Primtall

I matematikk er et primtall et naturlig tall større enn 1 som bare har to distinkte positive divisorer : seg selv og 1 . [ 1 ] [ 2 ] Derimot er sammensatte tall de naturlige tallene som har en annen naturlig divisor enn seg selv og 1, og som derfor kan faktoriseres . Tallet 1 regnes etter konvensjon verken som primtall eller sammensatt.

De 168 primtallene mindre enn 1000 er:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 3 , 7 , 9 , 7 , 9 , 7 , 9 , 7 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 173 , 179 , 1 , 3 , 1 , 3 , 1 , 1 , 3 , 1 , 3 , 1 , 2 , 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 7 , 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 502, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 5, , 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653. , 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827. , 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 og 997 (sekvens A000040 i OEIS ).

Det første primtallet etter tusen er 1.009, etter ti tusen er det &&&&&&&&&&&&010007.&&&&&010.007, etter hundre tusen er det &&&&&&&&&&0100003.&&&&&0100.003, og umiddelbart etter en million er det &&&&&&&&&01000003.&&&&&01.000.003.

Egenskapen til å være et primtall kalles primalitet .

I algebraisk tallteori er primtall kjent som rasjonelle primtall for å skille dem fra gaussiske primtall. [ 3 ] Primaliteten avhenger ikke av nummereringssystemet, men den avhenger av ringen der primaliteten studeres. To er en rasjonell primtall; den har imidlertid faktorer som et Gaussisk heltall: 2 = (1+i)*(1-i).

Studiet av primtall er en viktig del av tallteorien , en gren av matematikken som omhandler egenskaper, i utgangspunktet aritmetikk, [ 4 ] til heltall.

Primtall er til stede i noen hundre år gamle formodninger som Riemann-hypotesen og Goldbachs formodning , løst av Harald Helfgott i sin svake form .

Fordelingen av primtall er et iterativt spørsmål om forskning i tallteori: hvis tall betraktes isolert, ser primtall ut til å være sannsynlig fordelt, men den "globale" fordelingen av primtall følger veldefinerte lover.

Historikk

Det førhellenske østen

Hakkene i Ishango-beinet , som stammer fra mer enn &&&&&&&&&&&020000.&&&&&020 000 år siden (derfor før skriften dukket opp ) og som ble funnet av arkeologen Jean de Heinzelin de Braucourt , [ 5 ] ser ut til å isolere fire primtall: 11, 13 , 17 og 19. Noen arkeologer tolker dette faktum som bevis på kunnskapen om primtall. Det er imidlertid svært få funn som lar oss skjelne kunnskapen som mannen på den tiden egentlig hadde. [ 6 ]

Tallrike avfyrte leirtavler tilskrevet sivilisasjonene som fant sted i Mesopotamia gjennom det 2. årtusen f.Kr. C. vise løsningen av aritmetiske problemer og vitne om tidens kunnskap. Beregningene krevde å kjenne inversene til de naturlige tallene, som også er funnet på nettbrett. [ 7 ] I det sexagesimale systemet som ble brukt av babylonerne for å skrive tall, beregnes inversene av potensdelere på 60 ( vanlige tall ) lett; for eksempel, å dele på 24 tilsvarer å multiplisere med 150 (2·60+30) og forskyve det sexagesimale kommaet to plasser. Den matematiske kunnskapen til babylonerne krevde en solid forståelse av multiplikasjon, divisjon og faktorisering av naturlige.

I egyptisk matematikk krevde det å beregne brøker kunnskap om operasjoner, inndeling av naturlige elementer og faktorisering. Egypterne opererte kun med de såkalte egyptiske brøkene , summen av enhetsbrøker , det vil si de som har telleren 1, slik som , så brøker med en annen teller enn 1 ble skrevet som summen av inverser av naturlige, om mulig uten repetisjon i stedet for . [ 8 ] Det er grunnen til at de på en bestemt måte måtte kjenne til eller intuere primtallene. [ 9 ] $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots$ $\left({\tfrac {2}{3}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}\right.$ $\venstre . \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3} \right)$

Antikkens Hellas

Det første udiskutable beviset på kunnskap om primtall dateres tilbake til rundt 300 f.Kr. C. og finnes i Euklids elementer ( bind VII til IX). Euklid definerer primtallene, viser at det er uendelig mange av dem, definerer den største felles divisor og minste felles multiplum , og gir en metode for å bestemme dem som i dag er kjent som Euklids algoritme . Elementene inneholder også det grunnleggende aritmetiske teoremet og hvordan man konstruerer et perfekt tall fra et Mersenne-primtall.

The Sieve of Eratosthenes , tilskrevet Eratosthenes of Cyrene , er en enkel metode for å finne primtall. I dag bruker imidlertid de største primtallene som finnes ved hjelp av datamaskiner andre raskere og mer komplekse algoritmer.

Fra renessansens tid

Etter gresk matematikk var det liten fremgang i studiet av primtall før det syttende århundre . I 1640 etablerte Pierre de Fermat (om enn uten bevis) Fermats lille teorem , senere bevist av Leibniz og Euler . Det er mulig at et spesielt tilfelle av denne teoremet var kjent i Kina lenge før.

Fermat antok at alle tall på formen 2 2 n +1 var primtall (derav er de kjent som Fermat-tall ), og han bekreftet denne egenskapen opp til n = 4 (det vil si 2 16 + 1). Fermat-tallet 2 32 + 1 er imidlertid sammensatt (en av primfaktorene er 641), som Euler beviste. Faktisk er ingen Fermat-tall kjent for å være primtall enn de som allerede er kjent av Fermat selv.

Den franske munken Marin Mersenne undersøkte primtall av formen 2p − 1, med p primtall. Til hans ære er de kjent som Mersenne-tall .

Mange resultater angående primtall finnes i Eulers arbeid med tallteori. Han beviste divergensen i serien , og i 1747 viste han at alle partalls perfekte tall er av formen 2p −1 ( 2p − 1), der den andre faktoren er et Mersenne-primtall. Det antas at det ikke er noen odde perfekte tall, men det er fortsatt et åpent spørsmål. $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots$

På begynnelsen av det nittende århundre antok Legendre og Gauss uavhengig av hverandre at når n nærmer seg uendelighet, er antallet primtall mindre enn eller lik n asymptotisk til , der ln( n ) er den naturlige logaritmen til n . Ideene som Bernhard Riemann legemliggjorde i et papir fra 1859 om zeta-funksjonen skisserte banen som ville føre til beviset for primtallsteoremet . Hadamard og De la Vallée-Poussin utformet hver for seg denne ordningen og lyktes i å bevise teoremet i 1896. $\tfrac{n}{\ln (n)}$

For øyeblikket kontrolleres ikke primaliteten til et tall av påfølgende divisjoner , i hvert fall ikke hvis tallet er relativt stort.

I løpet av 1800-tallet ble algoritmer utviklet for å finne ut om et tall er primtall eller ikke ved å faktorisere det neste tallet (p+1) eller det forrige (p-1). Innenfor det første tilfellet er Lucas-Lehmer-testen , utviklet fra 1856. Innenfor det andre tilfellet er Pépin-testen for Fermat-tall (1877). Det generelle tilfellet med en primalitetstest når det umiddelbart foregående tallet er fullstendig faktorisert kalles Lucas-testen .

Deretter ble primalitetsalgoritmer funnet bare ved å oppnå en delvis faktorisering av p+1 eller p-1. Eksempler på disse algoritmene er Proth-testen (utviklet rundt 1878) og Pocklington-testen (1914). I disse algoritmene kreves det at produktet av de kjente primfaktorene til p-1 er større enn kvadratroten av p . Mer nylig, i 1975, utviklet Brillhart, Lehmer og Selfridge BLS-primalitetstesten som bare krever at et slikt produkt er større enn terningsroten til p . Den mest kjente metoden i denne klassen er Koniaguin og Pomerance-testen fra 1997, som krever at dette produktet er større enn p 3/10 . [ 10 ] [ 11 ]

Fra og med 1970-tallet oppdaget flere forskere algoritmer for å bestemme om et hvilket som helst tall er primtall eller ikke med subeksponentiell kompleksitet, noe som gjør det mulig å utføre tester på tall med tusenvis av sifre, selv om de er mye tregere enn tidligere metoder. Eksempler på disse algoritmene er APRT-CL-testen (utviklet i 1979 av Adleman, Pomerance og Rumely, med forbedringer introdusert av Cohen og Lenstra i 1984), hvor faktorene p m -1 brukes, hvor eksponenten m avhenger av størrelsen på tallet hvis primalitet skal verifiseres, den elliptiske kurveprimalitetstesten (utviklet i 1986 av S. Goldwasser, J. Kilian og forbedret av AOL Atkin), som leverer et sertifikat som består av en serie tall som gjør det mulig senere å raskt bekrefte om tallet er primtall eller ikke. Den siste utviklingen er AKS primality test (2002), som selv om kompleksiteten er polynom, for tallene som dagens teknologi kan håndtere er den tregeste av de tre.

I lang tid ble bruken av primtall antatt å være svært begrenset utenfor ren matematikk . [ 12 ] [ 13 ] Dette endret seg på 1970 -tallet med utviklingen av offentlig nøkkelkryptografi , der primtall dannet grunnlaget for tidlige algoritmer, slik som RSA -algoritmen .

Siden 1951 har det største kjente primtallet alltid blitt oppdaget ved hjelp av datamaskiner . Jakten på stadig økende primtal har vekket interesse også utenfor det matematiske fellesskapet. Distribuerte databehandlingsprosjekter som GIMPS har vunnet popularitet de siste årene , ettersom matematikere fortsetter å undersøke egenskapene til primtall.

Tallet 1 regnes ikke som et primtall

Spørsmålet om tallet 1 skal betraktes som primtall eller ikke er basert på konvensjon. Begge posisjonene har sine fordeler og ulemper. Faktisk, frem til 1800-tallet , anså de fleste matematikere det for å være et primtall. Mange matematiske verk er fortsatt gyldige til tross for at de vurderer 1 som et primtall, slik som Stern og Zeisel. Derrick Norman Lehmers liste over primtall opp til 10 006 721, gjengitt frem til 1956 [ 14 ] begynte med 1 som første primtall. [ 15 ]

Foreløpig er det matematiske fellesskapet tilbøyelig til å ikke vurdere 1 i listen over primtall. Denne konvensjonen tillater for eksempel en veldig billig formulering av aritmetikkens grunnleggende teorem : « hvert naturlig tall har en unik representasjon som et produkt av primfaktorer, bortsett fra rekkefølgen ». [ 16 ] [ 17 ] I tillegg har primtall mange egenskaper som 1 mangler, for eksempel forholdet mellom tallet og den tilsvarende verdien av Eulers φ-funksjon eller divisorfunksjonen . [ 18 ] Det er også likhet for hvert positivt heltall, , som vil tillate oss å si at det har faktorer. [ 19 ] $n$ $1= 1^n$ $n$

Egenskaper til primtall

Grunnleggende teorem for aritmetikk

Den grunnleggende teoremet for aritmetikk sier at hvert naturlig tall har en unik representasjon som et produkt av primfaktorer, bortsett fra rekkefølge. Den samme primfaktoren kan dukke opp flere ganger. 1-en blir da representert som et tomt produkt .

Primtall kan betraktes som "klossene" som ethvert naturlig tall er bygget med. For eksempel kan vi skrive tallet 23.244 som et produkt av 2 2 ·3·13·149, og enhver annen faktorisering av 23.244 som et produkt av primtall vil være identisk bortsett fra rekkefølgen av faktorene.

Betydningen av denne teoremet er en av grunnene til å ekskludere 1 fra settet med primtall. Hvis 1 ble tatt opp som et primtall, ville setningen til teoremet kreve ytterligere avklaring.

Fra denne unike faktoriseringen i primfaktorer utvikles andre konsepter som er mye brukt i matematikk, for eksempel det minste felles multiplum , den største felles divisor og koprimaliteten til to eller flere tall. A) Ja,

Det minste felles multiplum av to eller flere tall er det minste felles multiplum av dem alle. For å beregne det, blir tallene brutt ned i primfaktorer og de vanlige og uvanlige faktorene tas med sin maksimale eksponent. For eksempel er det minste felles multiplum av 10=2 5 og 12=2 2 3 60=2 2 3 5.
Den største felles divisor av to eller flere tall er den største felles divisor av dem alle. Det er lik produktet av fellesfaktorene med deres minimumseksponent. I eksemplet ovenfor er den største felles faktoren på 10 og 12 2.
Til slutt er to eller flere tall coprime , eller primtall til hverandre, hvis de ikke har felles primtallsfaktorer; det vil si hvis dens største felles divisor er 1. Et primtall er altså co-primtall med et hvilket som helst naturlig tall som ikke er et multiplum av seg selv.

Andre egenskaper

I sin skriving i desimaltallsystemet har alle primtall, unntatt 2 og 5, ett av disse som enhetsnummer: 1, 3, 7 eller 9. Generelt, i ethvert nummereringssystem, er alle primtall unntatt et endelig tall. ende på et siffer som er coprime med grunntall.
Av ovenstående følger det at alle primtall unntatt 2 er av formen 4n + 1 eller 4n + 3. Tilsvarende er alle primtall unntatt 2 og 3 av formen 6n + 1 eller 6 n -1.
I den aritmetiske progresjonen 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, er det et uendelig antall primtall av formen 4n-1, n heltall. [ 20 ]
I den aritmetiske progresjonen 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, …, er det et uendelig antall primtall av formen 6k+1, k heltall [ 21 ]
Euklids lemma : Hvis p er et primtall og divisor av produktet av heltall ab , så er p en divisor av a eller b .
Fermats lille teorem : Hvis p er primtall og a er et annet naturlig tall enn 1, så er a p − a delelig med p .
Hvis et tall p ikke deler tallet m, så (p; m) =1 [ 22 ]
Hvis p er et annet primtall på 2 og 5, er det alltid et periodisk tall i sin desimalrepresentasjon, av periode p − 1 eller en divisor av p − 1. Dette kan utledes direkte fra Fermats lille teorem. uttrykt i base q (i stedet for base 10) har lignende egenskaper, så lenge p ikke er en primfaktor av q . $\tfrac{1}{p}$ $\tfrac{1}{p}$
Wilsons teorem : Et naturlig tall n > 1 er primtall hvis og bare hvis faktorialet ( n - 1)! + 1 er delelig med n . Likeledes er et naturlig tall n > 4 sammensatt hvis og bare hvis ( n - 1)! er delelig med n .
Karakteristikken til hvert felt er enten null eller et primtall.
Sylows første teorem : Hvis G er en endelig gruppe , så er p primtall og pn er den største potensen av p som deler rekkefølgen til G. Da eksisterer det en undergruppe av G av orden p n .
Cauchys teorem : Hvis G er en endelig gruppe og p er et primtall som deler rekkefølgen til G , så inneholder G et element av orden p .
Copeland-Erdős konstant 0,235711131719232931374143 …, oppnådd ved å sammenkoble primtallene i desimalsystemet, er et irrasjonelt tall .
Verdien av Riemann zeta-funksjonen i hvert punkt i det komplekse planet er gitt som en meromorf fortsettelse av en funksjon definert av et produkt over settet av alle primtall for Re( s ) > 1:

\zeta(s)= \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.

I regionen der det er konvergent, kan dette produktet indeksert med primtallene beregnes, og oppnå forskjellige verdier, noen av dem viktige i tallteori. De to første er:

\prod{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\infty

(tilsvarer den harmoniske serien , relatert til uendeligheten av primtall ).

\prod{p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {\pi{2}}{6}}

(tilsvarer Basel-problemet ). Generelt er det et rasjonelt tall når n er et partall positivt heltall.

\frac{1}{\pi^n}\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-n}}

Ringen er et felt hvis og bare hvis p er primtall. Tilsvarende: p er primtall hvis og bare hvis φ( p ) = p − 1. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
Hvis p > 1, er polynomet x p -1 + x p -2 + ··· + 1 irreduserbart over hvis og bare hvis p er primtall. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
Et naturlig tall n er primtall hvis og bare hvis det n -te Chebyshov- polynomet av den første typen T n ( x ), delt på x , er irreduserbart i . Dessuten er T n ( x ) ≡ x n hvis og bare hvis n er primtall. $2 = i(1-i)^2$ $\mathbb{Z}[x]$
Ikke hvert primtall er et gaussisk primtall; slik er tilfellet med 2, som som et gaussisk heltall innrømmer dekomponeringen der normen til er 2, derfor er det ikke en enhet i Z[i]. $2 = i(1-i)^2$ $1-i$
Formens primtall er lik summen av to perfekte kvadrater; så de er ikke gaussiske primtall. Mens formens primtall er gaussiske primtall. $4n+1$ $4n+3$
Hvert rasjonelt primtall er et heltalls gaussisk tall, uten at det nødvendigvis er et primtall. [ 23 ]

Primtall og aritmetiske funksjoner

Aritmetiske funksjoner , det vil si reelle eller komplekse funksjoner , definert over et sett med naturlige tall, spiller en avgjørende rolle i tallteori . De viktigste er de multiplikative funksjonene , som er de funksjonene f som vi har for hvert par med primtall ( a , b )

f(ab)=f(a)f(b) \,\!

Noen eksempler på multiplikative funksjoner er Eulers φ-funksjon , som assosierer til hver n antall positive heltall som er mindre og coprime med n , og funksjonene τ og σ , som henholdsvis assosierer til hver n antall divisorer av n og summen av dem alle. Verdien av disse funksjonene på potensene til primtall er

\operatørnavn{\varphi}(p^m)=p^mp^{m-1}

\operatørnavn{\tau}(p^m)=m+1

\operatørnavn{\sigma}(p^m)=1+p^2+p^3+\cdots+p^m

Takket være egenskapen som definerer dem, kan aritmetiske funksjoner enkelt beregnes ut fra verdien de tar i potensene til primtall. Faktisk gitt et naturlig tall n av faktorisering

n=p_1^{q_1}\cdots p_a^{q_a}

du må

f(n)=f(p_1^{q_1})\cdots f(p_a^{q_a})

hvor problemet med å beregne f ( n ) har blitt omdirigert til det med å beregne f på potensene til primtallene som deler n , verdier som generelt er lettere å oppnå ved hjelp av en generell formel. For å vite verdien av funksjonen φ over n =450=2 3 2 5 2 er det for eksempel nok å beregne

\operatørnavn{\varphi}(450)=\operatørnavn{\varphi}(2)\cdot\operatørnavn{\varphi}(3^2)\cdot\operatørnavn{\varphi}(5^2)=(2-1 )\cdot(9-3)\cdot(25-5)=120

Kjennetegn ved settet med primtall

Uendelig av primtall

Se også: Uendelig av primtall

Det finnes uendelige primtall. Euklid foretok den første demonstrasjonen rundt år 300 f.Kr. C. i bok IX i hans verk Elements . [ 24 ] En vanlig tilpasning av dette originale beviset følger: Ta et vilkårlig, men endelig sett med primtall p 1 , p 2 , p 3 , ···, p n , og betrakt produktet av dem alle pluss en , . Dette tallet er åpenbart større enn 1 og forskjellig fra alle primtall pi i listen. Tallet q kan være primtall eller sammensatt. Hvis det er primtall vil vi ha et primtall som ikke er i originalsettet. Hvis den tvert imot er sammensatt, så vil det være en eller annen faktor p som deler q . Forutsatt at p er noe av p i , så følger det at p deler forskjellen , men ingen primtall deler 1, det vil si at en absurditet er nådd ved å anta at p er i den opprinnelige mengden. Konsekvensen er at mengden som ble valgt ikke er uttømmende, siden det er primtall som ikke tilhører den, og dette er uavhengig av den endelige mengden som tas. $q=p_1\ ganger p_2\ ganger p_3 \ldots \ ganger p_n + 1$ $q - p_1 \ ganger p_2 \ ganger p_3 \ldots \ ganger p_n = 1$

Derfor er settet med primtall uendelig.

Hvis settet med de første n primtallene tas som mengden, så , hvor p n # er det som kalles primorial av p n . Et primtall av formen p n # +1 kalles et euklidisk primtall etter den greske matematikeren. Et bevis som ligner på Euklids kan også gjøres ved å ta produktet av et gitt antall primtall minus en, stedet for produktet av disse primtall pluss en. I denne forstand kalles et primtall av formen p n # ± 1 et primtall . $q=p_1\ ganger p_2\ ganger p_3 \ldots \ ganger p_n+1 = p_n\skarp +1$

Ikke alle tall på formen p n # +1 er primtall. I dette tilfellet, som følger av det forrige beviset, må alle primfaktorene være større enn n . For eksempel: 2 3 5 7 11 13+1=30031=59 509

Andre matematikere har bevist uendeligheten av primtall med ulike metoder som kommer fra områder av matematikk som kommutativ algebra og topologi . [ 25 ] Noen av disse bevisene er basert på bruken av uendelige sekvenser med egenskapen at hver av dens begreper er co-prime med alle de andre, så det skapes en bijeksjon mellom begrepene i sekvensen og en delmengde (uendelig) fra settet med primtall.

En sekvens som tilfredsstiller denne egenskapen er Euclid-Mullin-sekvensen , som stammer fra det euklidiske beviset på uendeligheten av primtall, siden hver av dens ledd er definert som den minste primfaktoren av én pluss produktet av alle de ovennevnte leddene. Sylvester-sekvensen er definert på lignende måte, siden hver av termene er lik én pluss produktet av alle de foregående. Selv om vilkårene i denne siste sekvensen ikke nødvendigvis er alle prime, er hver av dem co-prime med alle de andre, så enhver av dens primfaktorer kan velges, for eksempel den minste av dem, og det resulterende settet vil være en uendelig sett hvis ledd er prime.

Andre utsagn som involverer uendeligheten av primtall

Et enda sterkere resultat, som direkte antyder uendeligheten av primtall, ble oppdaget av Euler på det attende århundre . Sier at serien er divergerende . En av Mertens sine teoremer gjør det mer konkret, og sier det $\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots$

\sum_{p\leq n} \frac{1}{p}=\ln \ln n+O(1)

[ 26 ]

hvor uttrykket O (1) indikerer at leddet er avgrenset mellom -C og C for n større enn n 0 , hvor verdiene til C og n 0 ikke er spesifisert. [ 27 ]

Et annet resultat er Dirichlets teorem , som går slik:

I hver aritmetisk progresjon a n = a + n · q , der de positive heltallene a , q ≥ 1 er primtall for hverandre , er det uendelig mange ledd som er primtall.

Bertrands postulat sier :

Hvis n er et naturlig tall større enn 3, er det alltid et primtall p slik at n < p < 2 n - 2.

En svakere, men elegant måte å si det på er at hvis n er et naturlig tall større enn 1, så eksisterer det alltid et primtall p slik at n < p < 2 n . Dette betyr at i en geometrisk progresjon med et første heltallsledd større enn 3 og et forhold lik 2, mellom hvert ledd i progresjonen og det neste, er det minst ett primtall.

Frekvens av primtall

Se også: Primtallsteorem

$n$	$\pi (n)$	$\pi (n) - \tfrac{n}{\ln n}$	$\mathrm{Li} (n) - \pi (n)$	$\tfrac{n}{\pi(n)}$
10	4	−0,3	2.2	2500
10 2	25	3.3	5.1	4000
10 3	168	23	10	5.952
10 4	1229	143	17	8.137
10 5	9.592	906	38	10.425
10 6	78.498	6.116	130	12.740
10 7	664.579	44.158	339	15.047
10 8	5.761.455	332.774	754	17.357
10 9	50.847.534	2.592.592	1.701	19.667
10 10	455.052.511	20 758 029	3.104	21.975
10 11	4.118.054.813	169.923.159	11.586	24.283
…	…	…	…	…

Når uendeligheten av primtall er påvist, er det verdt å spørre hvordan primtallene er fordelt på de naturlige tallene, det vil si hvor hyppige de er og hvor det n -te primtallet forventes å bli funnet. Denne studien ble initiert uavhengig av Gauss og Legendre på slutten av det attende århundre , hvor de introduserte oppregningsfunksjonen til primtall π( n ), og antok at verdien var ca.

\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}

. [ 28 ]

Arbeidet med å bevise denne formodningen spenner over hele det nittende århundre . De første resultatene ble oppnådd mellom 1848 og 1859 av Chebyshov , som beviste ved bruk av rent aritmetiske metoder eksistensen av to konstanter A og B slik at

A\leq \frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}} \leq B

for n stor nok. Han klarte å vise at hvis grensen for kvotienten til disse uttrykkene eksisterte, må den være 1.

Hadamard og de la Vallée-Poussin utarbeidet et bevis i 1896, uavhengig av hverandre, ved å bruke lignende metoder, basert på bruken av Riemann zeta-funksjonen , som ble introdusert av Bernhard Riemann i 1859 . Det tok til 1949 å finne et bevis som bare brukte elementære metoder (det vil si uten å bruke kompleks analyse ). Dette beviset ble utviklet av Selberg og Erdős . I dag er teoremet kjent som primtallsteoremet .

Gauss introduserte selv et mer presist estimat ved å bruke logaritme-integralfunksjonen :

\pi(n)\approx \mathrm{Li}(n)=\int_2^n \frac{1}{\ln x}\mathrm{d}x

I 1899 viste De la Vallée-Poussin at feilen som ble gjort ved å tilnærme seg på denne måten er $\pi(n)$

\pi(n)-\mathrm{Li}(n) = O \venstre(n \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln n}}\right)=O\venstre(\frac{n} {(\ln n)^m}\høyre)

for en positiv konstant a og for hvert heltall m . Dette resultatet ble litt forbedret med årene. På den annen side, i 1901 viste Von Koch at hvis Riemann-hypotesen var sann, ble følgende, mer presise anslag oppnådd: [ 29 ]

\venstre | \pi(n) - \mathrm{Li}(n) \right | = O\venstre(\sqrt n \ln n\høyre).

En ekvivalent form av primtallsteoremet er at p n , det n -te primtallet, er godt tilnærmet med n ln( n ). Faktisk er p n strengt tatt større enn denne verdien.

Forskjellen mellom to påfølgende primtall

Knyttet til fordelingen av primtall er studiet av intervallene mellom to påfølgende primtall . Dette intervallet, med det eneste unntaket av det mellom 2 og 3, må alltid være lik eller større enn 2, siden det mellom to påfølgende primtall er minst ett partall og derfor et sammensatt tall. Hvis to primtall har en forskjell på 2, sies de å være tvillinger , og med unntak av "trillingen" som dannes av tallene 3, 5 og 7, forekommer tvillingtallene alltid to og to. Dette er også enkelt å bevise: Blant tre påfølgende oddetall større enn 3 er det alltid ett som er et multiplum av 3, og derfor sammensatt. De første parene med tvillingprimtal er (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) og (29, 31).

På den annen side kan forskjellen mellom påfølgende primtall være så stor du vil. Beviset er relativt enkelt:

være et naturlig tall . Så alle tall i skjemaet $n$

${\tekststil (n+1)!+i}$

er sammensatte tall hvis , da og . $2\leq i\leq n+1$ $1<i<(n+1)+i$ ${\frac {(n+1)!+i}{i}}=(i-1)!\cdot (i+1)(i+2)...(n)(n+1) +1\i \mathbb {N}$

En liste med sammensatte tall kan dermed konstrueres, og siden det er et vilkårlig naturlig tall, så kan intervallet gjøres så stort som ønskelig. $n$ $n$

For eksempel, hvis det er nødvendig å konstruere et intervall på fem påfølgende tall der ingen er et primtall, gjør du . Disse verdiene tilsvarer: $n=5$

6!+2=722=2 \ 361

6!+3=723=3 \ 241

6!+4=724=4 \cdot 181

6!+5=725=5 \ 145

6!+6=726=6 \ 121

Den neste verdien, 6!+7=727, er primtall. [ 30 ] Imidlertid er det minste primtall som er n unna den neste generelt mye mindre enn fakultetet, for eksempel er det minste tilfellet av to påfølgende separate primtall på åtte enheter (89, 97), mens 8! er lik 40.320.

Rekkefølgen av forskjeller mellom påfølgende primtall [ 31 ] har blitt grundig studert i matematikk, og det er etablert mange formodninger rundt dette konseptet som forblir uløste.

Konklusjon

Modellering av fordelingen av primtall er et tilbakevendende forskningstema blant tallteoretikere. Primaliteten til et bestemt tall er (så langt) uforutsigbar til tross for at det er lover, som primtallsteoremet og Bertrands postulat , som styrer distribusjonen i stor skala. Leonhard Euler kommenterte:

Frem til i dag har matematikere forgjeves forsøkt å finne noen rekkefølge i primtallssekvensen, og vi har grunn til å tro at det er et mysterium som sinnet aldri vil forstå. [ 32 ]

I en forelesning fra 1975 kommenterte den tysk-amerikanske matematikeren Don Zagier :

Det er to fakta om fordelingen av primtall som jeg håper å overbevise dere om så ugjendrivelig at de vil forbli permanent etset i deres hjerter. Den første er at til tross for deres enkle definisjon og rollen de spiller som byggesteiner for de naturlige tallene, vokser primtall som ugress blant de naturlige tallene, og ser ikke ut til å adlyde noen annen lov enn tilfeldighetenes. , og ingen kan forutsi hvor den neste vil spire. Det andre faktum er enda mer utrolig, siden det står det motsatte: at primtall viser utrolig regelmessighet, at det er lover som styrer deres oppførsel, og at de adlyder disse lovene med nesten militær presisjon. [ 33 ]

Finne primtall

Primalitetstester

The Sieve of Eratosthenes er en enkel måte å finne alle primtall mindre enn eller lik et gitt tall. Den er basert på å lage en liste over alle de naturlige tallene fra 2 til det tallet og gjentatte ganger krysse ut multiplene av primtallene som allerede er oppdaget. Den nyere Atkin-silen har mer kompleksitet, men hvis den er riktig optimalisert er den også raskere. Det er også en nylig Sundaram-sikt som bare genererer sammensatte tall, med primtall som de manglende tallene.

I praksis er det man ønsker å finne ut om et gitt tall er primtall uten å måtte sette sammen en liste over primtall. En metode for å bestemme primaliteten til et tall er divisjon etter prøve , som består i å suksessivt dele det tallet med primtallene mindre enn eller lik kvadratroten. Hvis noen av delingene er nøyaktige, er ikke tallet primtall; ellers er det førsteklasses. For eksempel, gitt n mindre enn eller lik 120, for å bestemme dens primalitet er det nok å sjekke om den er delelig med 2, 3, 5 og 7, siden det neste primtallet, 11, allerede er større enn √120. Det er den enkleste primalitetstesten, og den mister raskt sin nytteverdi for å teste primaliteten til store tall, siden antallet mulige faktorer vokser for raskt ettersom det potensielt primtallet vokser.

Faktisk er antallet primtall mindre enn n omtrentlig

\frac {n}{\ln n - 1}

For å bestemme primaliteten til n , er den største primfaktoren som trengs ikke større enn √ n , slik at antallet primfaktorkandidater blir nær

\frac {\sqrt{n}}{\ln\sqrt{n} - 1}

Dette uttrykket vokser mer og saktere som en funksjon av n , men siden store n er av interesse, blir også antallet kandidater stort: for eksempel for n = 10 20 har vi 450 millioner kandidater.

Likeledes er det mange andre deterministiske primalitetstester som er basert på egenskaper som karakteriserer primtall, men deres beregningsmessige nytte avhenger mye av testen som brukes. For eksempel kan Wilsons teorem brukes til å beregne primaliteten til et tall, men det har den ulempen at det kreves beregning av en faktorial , en beregningsmessig uoverkommelig operasjon når man arbeider med store tall. Her kommer kjøretiden til den benyttede algoritmen inn i bildet, som er uttrykt i Landau-notasjon . For å bestemme primaliteten til stadig større tall (tusenvis av sifre), søkes om mulig de algoritmene hvis utførelsestid vokser så sakte som mulig, som kan uttrykkes som et polynom . Selv om AKS-primalitetstesten oppfyller denne betingelsen, er denne algoritmen ekstremt treg for tallområdet som brukes i praksis.

På den annen side er det ofte nok å ha et raskere svar med stor (men ikke sikker) sannsynlighet for å være sant. Primaliteten til et relativt stort antall kan raskt kontrolleres ved hjelp av sannsynlighetsbestemmelser . Disse testene tar vanligvis et tilfeldig tall kalt et "vitne" og kobler det inn i en formel sammen med det potensielt primtall n . Etter flere iterasjoner er det løst at n enten er "definitivt sammensatt" eller "sannsynligvis primtall". Disse siste tallene kan være primtall eller pseudoprimtal (sammensatte tall som består primalitetstesten). Noen av disse testene er ikke perfekte: det kan være sammensatte tall som testen anser som "sannsynligvis prime" uavhengig av vitnet som brukes. Disse tallene kalles pseudo-absolutt primtall for den testen. For eksempel er Carmichael - tall sammensatte tall, men Fermat-testen vurderer dem som sannsynligvis primtall. De mest brukte sannsynlighetstestene, som Miller-Rabin-testen eller den utdaterte Solovay-Strassen-testen , som har blitt erstattet av den forrige, har imidlertid ikke denne ulempen, selv om de også er sannsynlighetsprøver.

Noen probabilistiske tester kan bli deterministiske, og noen tester kan forbedre utførelsestiden hvis noen matematiske hypoteser blir verifisert. For eksempel, hvis den generaliserte Riemann-hypotesen er verifisert , kan en deterministisk versjon av Miller-Rabin-testen brukes, og den elliptiske kurveprimalitetstesten kan forbedre kjøretiden betydelig hvis noen analytiske tallteorihypoteser ble verifisert. .

89=== Faktoreringsalgoritmer === En faktoreringsalgoritme er en algoritme som skiller primfaktorene til et tall én etter én. Faktoriseringsalgoritmer kan også fungere som primalitetstester, men generelt har de en mindre fordelaktig utførelsestid. For eksempel kan prøvedelingsalgoritmen modifiseres slik at den ikke stopper når en nøyaktig divisjon oppnås, men fortsetter å utføre nye divisjoner, og ikke på det opprinnelige tallet, men på den oppnådde kvotienten. Etter prøvedeling er de eldste kjente metodene Fermats metode , som er basert på forskjellene mellom kvadrater og er spesielt effektiv når n er produktet av to nære primtall, og metoden til Euler , som er basert på representasjonen av n som summen av to kvadrater på to forskjellige måter.

Nylig har algoritmer blitt utviklet basert på et bredt spekter av teknikker, for eksempel fortsatte fraksjoner eller elliptiske kurver , selv om noen er forbedringer av tidligere metoder (den kvadratiske sikten , for eksempel, er basert på en forbedring av Fermats metode og har subeksponensiell beregning kompleksitet over antall sifre i n ). Andre, som for eksempel Pollards rho-metode , er sannsynlige, og er ikke garantert å finne divisorene til et sammensatt tall.

I dag er den raskeste deterministiske algoritmen i generell bruk den generelle tallfeltsikten ( GNFS ) , som også har subeksponentiell beregningskompleksitet over antall sifre til n . [ 34 ] En algoritme hvis utførelsestid er polynom over antall sifre til n ( Shors algoritme ) har blitt foreslått, men den krever å bli utført i en kvantedatamaskin , siden simuleringen i en vanlig datamaskin krever en eksponentiell tid. Det er ingen kjente algoritmer for faktorisering på en tradisjonell datamaskin i polynomtid, og dette har ikke vist seg å være umulig.

Formler som bare genererer primtall

Se også: Primetallsformel

Gjennom historien har mange formler blitt søkt for å generere primtall. Det høyeste nivået av etterspørsel etter en slik formel vil være at den knytter hvert naturlig tall n til det n -te primtallet. På en mer mild måte kan en injeksjonsfunksjon f bes om som assosierer hvert naturlig tall n med et primtall på en slik måte at hver av verdiene som tas bare vises én gang.

I tillegg kreves det at funksjonen kan anvendes effektivt og effektivt i praksis. [ 35 ] For eksempel sikrer Wilsons teorem at p er et primtall hvis og bare hvis ( p -1)!≡-1 (mod p ). Et annet eksempel: funksjonen f( n ) = 2 + ( 2( n !) mod ( n +1)) genererer alle primtall, bare primtall, og bare verdien 2 tas mer enn én gang. Begge formlene er imidlertid basert på beregningen av en faktorial, noe som gjør dem beregningsmessig umulige.

I søket etter disse funksjonene har særlig polynomfunksjoner blitt undersøkt. Det skal bemerkes at ingen polynom, selv i flere variabler, bare returnerer prime verdier. [ 36 ] For eksempel returnerer polynomet i én variabel f ( n ) = n ² + n + 41, studert av Leonardo Euler, prime verdier for n = 0, …, 39, men for n= 40 resulterer i et sammensatt tall. [ 37 ] Hvis konstantleddet er null, er polynomet et multiplum av n , så polynomet er sammensatt for sammensatte verdier av n . Ellers, hvis c er konstantleddet, så er f ( cn ) et multiplum av c , så hvis polynomet ikke er konstant, må det nødvendigvis inkludere sammensatte verdier. $40^2 +40 +41 = 41^2$

Imidlertid er det polynomer i flere variabler hvis positive verdier (når variablene går gjennom naturlige tall) er nettopp primtall. Et eksempel er dette polynomet oppdaget av Jones, Sato, Wada og Wiens i 1976: [ 36 ]

(1 - (w \cdot z + h + j - q)^2 - (2 \cdot n + p + q + z - e)^2 - (a^2 \cdot y^2 - y^2 + 1 - x^2)^2 \prikker

- (e^3 \cdot (e + 2) \cdot (a + 1)^2 + 1 - o^2)^2 - (16 \cdot (k + 1)^3 \cdot (k + 2) \ cdot (n + 1)^2 + 1 - f^2)^2 \prikker

- (((a + u^2 \cdot (u^2 - a))^2 - 1) \cdot (n + 4 \cdot d \cdot y)^2 + 1 - (x + c \cdot u) ^2)^2 - (a \cdot i + k + 1 - l - i)^2 \prikker

- ((g \cdot k + 2 \cdot g + k + 1) \cdot (h + j) + h - z)^2 - (16 \cdot r^2 \cdot y^4 \cdot (a^2) - 1) + 1 - u^2)^2 \prikker

- (p - m + l \cdot (a - n - 1) + b \cdot (2 \cdot a \cdot n + 2 \cdot a - n^2 - 2 \cdot n - 2))^2 - ( z - p \cdot m + p \cdot l \cdot a - p^2l + t \cdot (2 \cdot a \cdot p - p^2 - 1))^2 \prikker

-(q-x+y\cdot (ap-1)+s\cdot (2\cdot a\cdot p+2\cdot ap^{2}-2\cdot p-2))^{2 }-(a^{2}\cdot l^{2}-l^{2}+1-m^{2})^{2}-(n+l+vy)^{2})\cdot ( k+2)

Som med formler med faktorialer, er ikke dette polynomet praktisk å beregne, siden selv om de positive verdiene det tar er alle prime, returnerer det praktisk talt ikke annet enn negative verdier når variablene a til z varieres fra 0 til uendelig

En annen tilnærming til problemet med å finne en funksjon som bare genererer primtall er gitt av Mills' teorem , som sier at det eksisterer en konstant θ slik at

\lgulv \theta^{3^n}\rgulv

er alltid et primtall, hvor er etasjefunksjonen . [ 38 ] Det er ennå ikke kjent noen formel for å beregne Mills konstant, og tilnærmingene som er i bruk er basert på sekvensen av såkalte Mills-primtall (primtallene som genereres av denne formelen), som de ikke kan oppnås strengt, men bare sannsynlig. , forutsatt at Riemann-hypotesen er sann . $\lgulv \rgulv$

Primetallsklasser

Av større interesse er andre formler som, selv om de ikke bare genererer primtall, er raskere å implementere, spesielt hvis det er en spesialisert algoritme som gjør at primaliteten til verdiene de tar, raskt kan beregnes. Fra disse formlene oppnås relativt små delmengder av settet med primtall, som vanligvis gis et samlenavn.

Primitive primtall og faktorielle primtall

Se også: Prime primtall og Faktorielt primtall .

Primordiale primtallene , direkte relatert til det euklidiske beviset på uendeligheten av primtall, er de av formen p = n # ± 1 for et naturlig tall n , der n # er lik produktet 2 3 5 7 · 11 · … av alle primtall ≤ n. Likeledes sies et primtall å være faktorielt primtall hvis det har formen n ! ± 1. De første faktorielle primtallene er:

nei ! − 1 er primtall for n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, … [ 39 ] nei ! + 1 er primtall for n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, … [ 40 ]

Fermat prime

Se også: Fermat-nummer

Fermat - tall , knyttet til konstruksjonen av regulære polygoner med rettkant og kompass , er tall av formen , med naturlig n . De eneste Fermat-primtallene som er kjent til dags dato er de fem som Fermat selv allerede kjente, tilsvarende n = 0, 1, 2, 3 og 4, mens for verdier på n mellom 5 og 32 er disse tallene sammensatte . [ 41 ] $F_n=2^{2^n} + 1$

For å bestemme dens primaalitet er det en spesialisert test hvis utførelsestid er polynom : Pépin-testen . Imidlertid vokser Fermat-tallene i seg selv så raskt at det bare har vært aktuelt for små verdier på n . I 1999 ble det brukt for n = 24. For å bestemme karakteren til andre større Fermat-tall, brukes metoden for suksessive divisjoner , og fra juni 2009 er 241 sammensatte Fermat-tall kjent, selv om dens fullstendige faktorisering i de fleste tilfeller er ukjent. [ 41 ]

Mersenne prime

Se også: Mersenne-primtall

Mersenne-tall er de av formen M p = 2 p – 1, hvor p er primtall. [ 42 ] De største kjente primtallene er generelt av denne formen, siden det finnes en svært effektiv primalitetstest , Lucas–Lehmer-testen , for å avgjøre om et Mersenne-tall er primtall eller ikke.

For øyeblikket er det største kjente primtallet M 82.589.933 = 2.82.589.933 - 1, som har 24.862.048 desimaler. Det er kronologisk det 51. kjente Mersenne-primtallet og oppdagelsen ble annonsert 7. desember 2018 [ 43 ] takket være det distribuerte databehandlingsprosjektet " Great Internet Mersenne Prime Search " (GIMPS).

Andre klasser av primtall

Det er bokstavelig talt dusinvis av etternavn som kan legges til konseptet med et primtall for å referere til en undergruppe som oppfyller en bestemt egenskap. For eksempel er de pytagoreiske primtallene de som kan uttrykkes i formen 4 n +1. Med andre ord, dette er primtallene hvis gjenværende delt på 4 er 1. Et annet eksempel er Wieferich-primtallene , som er de primtallene p slik at p 2 deler 2 p -1 - 1.

Noen av disse egenskapene refererer til et konkret forhold til et annet primtall:

Tvillingprimtall : p og p+2 er hvis de begge er primtall.
Sophie Germain primtall : Gitt p primtall, er det Sophie Germain hvis 2 p + 1 også er primtall. En sekvens av tall p 1 , p 2 , p 3 ,··· , p n alle primtall, slik at p i +1 =2 p i +1 for alle i ∈ {1,2,···,n - 1 }, kalles den (komplette) Cunningham-kjeden av den første typen , og tilfredsstiller per definisjon at hvert av begrepene, bortsett fra det siste, er en Sophie Germain-primtall. Det antas at for hver naturlig n er det uendelig mange Cunningham-kjeder med lengde n , [ 44 ] selv om til dags dato ingen har gitt bevis for at dette er sant.
Wagstaff primtall : p er hvis , hvor q er et annet primtall. [ 45 ] [ 46 ] $\textstyle p={{2^q+1}\over 3}$

Spesielle navn er også gitt til noen klasser av primtall som avhenger av tallgrunnlaget som brukes eller måten sifrene skrives på, og ikke på en matematisk formel. Dette er tilfellet med somirp- tall ( omvendte primtall ), som er de primtallene slik at tallet oppnådd ved å reversere rekkefølgen på sifrene også er primtall. Det er også tilfellet med gjenforenede primtall , som er de primtallene som er sammenkobling av enere. Hvis, i stedet for å ta i betraktning det desimale nummereringssystemet , det binære blir vurdert , oppnås et annet sett med repunit-primtall, som også sammenfaller med Mersenne-primtallene. Til slutt er de triadiske primtallene de tallene som er primtall, capicua og symmetriske med hensyn til en horisontal linje.

Bare fordi en klasse med primtall er gitt et navn med en presis definisjon, betyr det ikke at noe primtall er kjent for å være av den klassen. For eksempel er ingen Wall-Sun-Sun primtall kjent så langt , men relevansen ligger i det faktum at i 1992, før Wiles bevis på Fermats siste teorem , ble det oppdaget at falskheten til teoremet for et tall gitt primtall p impliserte at p var en vegg-sol-sol-primtall. Dette betydde at søket etter primtall av denne typen en tid også var søket etter et moteksempel til Fermats siste teorem. [ 47 ]

Sammendragstabell

Primetallsklasser

etter formel

• Fermat ( $2 2 n + 1$ ) • Mersenne ( $2 p - 1$ ) • Dobbel Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) • Wagstaff $(2 p + 1)/3$ • Proth ( $k 2 n + 1$ ) • Faktoriell ( $n ! \pm 1$ ) • Primal ( $p n # \pm 1$ ) • Euklid ( $p n # + 1$ ) • Pythagoras ( $4 n + 1$ ) • Pierpont ( $2 m \cdot 3 n + 1$ ) • Quartic ( $x 4 + y ) 4$ ) • Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) • Cullen ( $n \cdot 2 n + 1$ ) • Woodall ( $n \cdot 2 n - 1$ ) • Cubic ( $x 3 - y 3 )/( x - y$ ) • Leyland ( $x y + y x$ ) • Thabit ( $3 2 n - 1$ ) • Williams ( $( b -1) b n - 1$ ) • Mills ( $? A 3 n ?$ )

I serie med heltall

• Fibonacci • Lucas • Pell • Newman-Shanks-Williams • Perrin • Skillevegger • Bell • Motzkin

for sine eiendommer

• Wieferich ( even ) • Wall-Sun-Sun • Wolstenholme • Wilson • Lucky • Lucky • Ramanujan • Pillai • Fair • Strong • Stern • Supersingular (elliptisk kurve) • Supersingular (moonshine theory) • Bra • Superprime • Higgs • svært coootient

Grunnlagsavhengig _

• Palindromisk • Omirp • Repunit $(10$ $n$ $- 1)/9$ • Utskiftbar • Sirkulær • Avkortbar • Minimal • Delikat • Primitiv • Lang • Unik • Glad • Autonummerering • Smarandache-Wellin • Strobogrammatisk • Dihedral • Tetradisk

Ved mønstre av utseende

• Tvillinger ( $p , p + 2$ ) • Stor tvillingkjede ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) • Triplett ( $p , p + 2 eller p + 4, p + 6$ ) • Quad ( $p , p + 2, p + 6, p + 8$ ) • k -tuppel • Prime Prime ( $p , p + 4$ ) • Sexy ( $p , p + 6$ ) • Chen • Sophie Germain/trygt ( $p , 2 p + 1$ ) • Cunningham ( $p , 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) • Aritmetisk progresjon ( $p + a n , n = 0, 1, 2, 3, . . .$ ) • Balansert ( $p - n , p , p + n fortløpende$ )

etter størrelse

• Megaprime (1 000 000+ sifre) • Størst kjent

Komplekse tall

• Eisenstein • Gaussisk

Sammensatte tall

• Pseudoprimtall ( katalansk • elliptisk • Euler • Euler-Jacobi • Fermat • Frobenius • Lucas • Somer-Lucas • Sterk ) • Carmichael • Nesten primtall • Semiprimtall • Interprime • Pernisiøs

Andre typer

• Sannsynlig primtall • Industriell karakter primtall • Ulovlig tall • Primetallsformel • Forskjellen mellom to påfølgende primtall

Formodning

Det er mange åpne spørsmål om primtall. Mange av dem er svært gamle problemer, og en av de mest betydningsfulle er Riemann-hypotesen, nevnt flere ganger i denne artikkelen som en formodning som, hvis den er sann, ville avsløre en rekke relevante resultater innen ulike felt av matematikk.

Riemann hypotese

Se også: Riemann-hypotese

For å forstå Riemann-hypotesen, en formodning uttalt i 1859 , men som til dags dato (2022), forblir uløst, er det nødvendig å forstå Riemann zeta-funksjonen . La være et komplekst tall med reell del større enn 1. Deretter, $s$

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.$

Den andre likheten er en konsekvens av aritmetikkens grunnleggende teorem , og viser at zetafunksjonen er nært knyttet til primtall.

Det er to typer nuller av zeta-funksjonen, det vil si verdier der ζ( s ) = 0: de trivielle , som er s =-2, s =-4, s = -6, etc. , (de negative partalls) og de ikke-trivielle , som er de nullene som ikke ligger på den reelle aksen. Det Riemann-hypotesen sier er at den reelle delen av alle ikke-trivielle nuller er lik 1/2.

Sannheten til hypotesen innebærer en dyp forbindelse med primtallene, i hovedsak, i tilfelle av å bli verifisert, sier den at primtallene er fordelt på en mest mulig regelmessig måte. Fra et «fysisk» ståsted står det grovt sett at uregelmessigheter i fordelingen av primtall kun kommer fra tilfeldig støy. Fra et matematisk synspunkt sier det at den asymptotiske fordelingen av primtall (ved primtallsteoremet , andelen primtall mindre enn n er ) er også sant for mye mindre intervaller, med en feil på omtrent kvadratroten av n (for intervaller nær n ). Det er vidt spredt i det matematiske miljøet at hypotesen er sann. Konkret er den enkleste antakelsen at primtall ikke skal ha betydelige uregelmessigheter i distribusjonen uten god grunn. [ 48 ] $\tfrac{1}{\ln(n)}$

Andre gjetninger

Uendelighet av visse typer primtall

Mange formodninger handler om hvorvidt det er uendelig mange primtall av en bestemt form. Dermed antas det at det er uendelig mange Fibonacci-primtall [ 49 ] og uendelig mange Mersenne-primtall , men bare et begrenset antall Fermat-primtall . [ 50 ] Det er ikke kjent om det er uendelig mange euklidiske primtall .

Fordeling av primtall

Det er også mange formodninger som omhandler visse egenskaper ved fordelingen av primtall. Tvillingprimtallene sier altså at det er uendelig mange tvillingprimtall , som er par av primtall hvis forskjell er 2. Polignacs formodning er en mer generell og sterkere versjon av den forrige, siden den sier at for hvert positivt heltall n , er det uendelig mange par av påfølgende primtall som avviker med 2n . På sin side sier en svakere versjon av Polignacs formodning at hvert partall er forskjellen mellom to primtall.

På samme måte antas uendeligheten til primtallene på formen n 2 + 1. I følge Brocard-formodningen er det alltid minst fire primtall blant kvadratene av påfølgende primtall større enn 2. Legendres formodning sier at for hver naturlig n er det et primtall mellom n 2 og ( n +1) 2 . Til slutt sier Cramérs formodning , hvis sannhet ville antyde Legendres, at:

$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n)^2} = 1$

Additiv tallteori

Andre formodninger knytter noen additive egenskaper til tall til primtall. Goldbach-formodningen sier altså at hvert partall større enn 2 kan skrives som summen av to primtall, selv om det også finnes en svakere versjon av den samme formodningen som sier at hvert oddetall større enn 5 kan skrives som summen av tre primtall. Den kinesiske matematikeren Chen Jingrun viste i 1966 at ethvert tilstrekkelig stort partall faktisk kan uttrykkes som summen av to primtall eller som summen av et primtall og et tall som er produktet av to primtall. ( " semi -prime" ). [ 51 ]

Landaus fire problemer

I 1912 etablerte Landau på den femte internasjonale kongressen for matematikere i Cambridge en liste over fire av de allerede nevnte problemene på primtall, som er kjent som Landau-problemene . Ingen av dem er løst til dags dato. Dette er Goldbach-formodningen, tvillingprim-formodningen, Legendre-formodningen og primtallene til formen n 2 + 1. [ 52 ]

Generalisering av primtallsbegrepet

Begrepet et primtall er så viktig at det har blitt generalisert på ulike måter i ulike grener av matematikken.

Grunnelementer i en ring

Hovedelementer og irreduserbare elementer kan defineres i ethvert integritetsdomene . [ 53 ] I ethvert unikt faktoriseringsdomene , for eksempel ringen av heltall, er settet med primeelementer lik settet med irreduserbare elementer, som er {..., −11, −7, −5, − 3, − 2, 2, 3, 5, 7, 11, …}. $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Betrakt for eksempel de Gaussiske heltall , det vil si de komplekse tallene i formen a + bi med a , b ∈ . Dette er et integritetsdomene, og dets hovedelementer er de gaussiske primtallene . Legg merke til at 2 ikke er et gaussisk primtall, fordi det innrømmer faktorisering som et produkt av Gauss primtall (1+ i ) og (1- i ). Imidlertid er element 3 primtall i de gaussiske heltall, men det er ikke i et annet heltallsdomene. Generelt er rasjonelle primtall (det vil si primelementene i ringen ) av formen 4k +3 Gaussiske primtall, men de av formen 4k +1 er det ikke. $\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$

Primære idealer

I ringteori er et ideal I en delmengde av en ring A slik at

hvis i , j ∈ I , så tilhører summen i + j I
og hvis x ∈ A , i ∈ I , så tilhører produktene a × i , i × a I .

Et hovedideal defineres da som et ideal som også tilfredsstiller at:

for et hvilket som helst par av elementer a , b av ring A slik at deres produkt a × b tilhører I , så er minst ett av de to elementene, a eller b , i I.
Jeg er ikke hele ringen A.

Primeidealer er et relevant verktøy i kommutativ algebra , algebraisk tallteori og algebraisk geometri . De viktigste idealene til ringen av heltall er idealene (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Et sentralt problem i algebraisk tallteori er måten primidealer blir faktorisert når de utsettes for en utvidelse av felt. I eksemplet med Gaussiske heltall, (2) forgrener seg i kraft fra et primtall (siden og genererer det samme primidealet), er primidealene til formen inerte (de opprettholder sin primalitet) og de til formen blir produkt av to forskjellige hovedidealer. $1+i$ $1-i$ $4k+3$ $4k+1$

Primer i verdsettelsesteori

Nok en generalisering oppstår i algebraisk tallteori. Gitt et organ , mottar de navnet på verdivurderinger på visse funksjoner i . Hver av disse verdivurderingene genererer en topologi på , og to verdivurderinger sies å være likeverdige hvis de genererer samme topologi. En prime of er en ekvivalensklasse av verdivurderinger. Med denne definisjonen er primtallene til feltet med rasjonelle tall representert av den absolutte verdifunksjonen så vel som av de p -adiske verdivurderingene på for hvert primtall p . ${\mathbb{K}}$ ${\mathbb{K}}$ ${\mathbb{K}}$ $\mathbb{R}$ ${\mathbb{K}}$ ${\mathbb{K}}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$

Prime knuter


Noen prime knuter.

I knuteteori er en primærknute en ikke-triviell knute som ikke kan dekomponeres i to mindre knuter. Mer presist er det en knute som ikke kan skrives som en sammenhengende sum av to ikke-trivielle knuter.

I 1949 beviste Horst Schubert et faktoriseringsteorem analogt med aritmetikkens grunnleggende teorem, som hevder at hver knute unikt kan oppnås som en sammenhengende sum av prime knop. [ 54 ] Av denne grunn spiller prime knuter en sentral rolle i knuteteori: en klassifisering av knuter har vært det sentrale temaet for teorien siden slutten av 1800 -tallet .

Applikasjoner i matematikk

I studiet av komplekse tall brukes begrepet "relative primtall" for å definere primitive røtter til enhet . [ 55 ] Hvis n er et primtall, er alle n-te røtter av 1 primitive røtter, bortsett fra rot 1.

I definisjonen av et begrenset felt kreves det at antall elementer i en ring er et primtall. I et slikt tilfelle, eliminering av null, har hvert element en multiplikativ invers og strukturen til et felt oppnås. [ 56 ]

I definisjonen av en stjernepolygon med n sider, for å ta poengene til m i m , kreves det at m er mindre enn n/2 og primer med n . [ 57 ]

Når man definerer den kanoniske representanten for et rasjonelt tall, ved bruk av ekvivalensklasser av ordnede par med heltall, må det definerende ordnede paret nødvendigvis involvere to relativt prime heltall. A fortiori, minst en av dem, en absolutt fetter. [ 58 ]

Programmer i databehandling

RSA-algoritmen er basert på å skaffe den offentlige nøkkelen ved å multiplisere to store tall (større enn 10 100 ) som er primtall. Sikkerheten til denne algoritmen er at det ikke finnes noen kjente raske måter å inkludere et stort antall i hovedfaktorene ved bruk av tradisjonelle datamaskiner .

Primtall i kunst og litteratur

Primtall har påvirket en rekke kunstnere og forfattere. Den franske komponisten Olivier Messiaen brukte dem til å lage ikke-metrisk musikk. I verk som La Nativité du Seigneur (1935) eller Quatre études de rythme (1949-50) bruker han samtidig motiver hvis lengde er et primtall for å skape uforutsigbare rytmer. I følge Messiaen var denne måten å komponere på «inspirert av naturens bevegelser, bevegelser av fri og ulik varighet». [ 59 ]

I romanen skrevet i 1968 2001: A Space Odyssey nevner Arthur C. Clarke at monolitten av utenomjordisk opprinnelse har forholdet mellom kvadratet av de tre første primtallene: 1,4,9.

I sin science fiction-roman Contact , senere tilpasset til en film , foreslår Carl Sagan at primtall kan brukes til å kommunisere med utenomjordiske intelligenser, en idé han uformelt hadde utviklet sammen med den amerikanske astronomen Frank Drake i 1975. [ 60 ]

The Curious Incident of the Dog at Midnight , av Mark Haddon, som beskriver i første person livet til en autistisk ung mann høyt begavet i matematikk og hoderegning , bruker kun primtall for å nummerere kapitlene.

I Scarlett Thomass roman PopCo jobber Alice Butlers bestemor med beviset på Riemann-hypotesen . Boken illustrerer en tabell over de første tusen primtallene. [ 61 ]

The Solitude of Prime Numbers , en roman skrevet av Paolo Giordano , vant Strega-prisen i 2008.

Det er også mange filmer som gjenspeiler den populære fascinasjonen for mysteriene til primtall og kryptografi, for eksempel Cube , Sneakers , Love Has Two Faces og A Beautiful Mind . Sistnevnte er basert på biografien til matematikeren og nobelprisvinneren John Forbes Nash , skrevet av Sylvia Nasar . [ 62 ]

Den greske forfatteren , Apostolos Doxiadis , skrev onkel Petros og Goldbachs formodning , som forteller hvordan et fiktivt matematisk vidunderbarn fra det tidlige 1900- tallet fordyper seg i matematikkens verden på en spennende måte og prøver å løse et av de vanskeligste problemene og fortsatt uløst. fra matematikk, Goldbachs formodning, som sier: "Hvert partall kan uttrykkes som summen av to primtall."

Se også

Kryptografi
Forskjellen mellom to påfølgende primtall
faktoriell ring
irreduserbart element
hovedelement
Gaussisk heltall
Ulam spiral
Primetallsformel
største kjente primtall
Industriell karakter primtall
ulovlig primtall
Søskenbarn til Solinas
sannsynligvis fetter
primalitetsprøve
Vedlegg: Primtall
Vedlegg: Tabell over primfaktorer

Portal: Matematikk . Innhold relatert til matematikk .

Klassifisering av tall

komplekser

:\;\mathbb {C}

Kongelige

:\;\mathbb {R}

rasjonell

:\;\mathbb {Q}

heltall

:\;\mathbb {Z}

naturlig

:\;\mathbb {N}

En : 1

naturlige primtall

naturlige forbindelser

Null : 0

negative heltall

brøkdel

nøyaktig

aviser

sigarer

Blandet

irrasjonell

Algebraiske irrasjonaler

Transcendent

imaginære

Referanser

↑ Niven og Zuckerman: An Introduction to Number Theory ISBN 968-18-069-7, s. 19
↑ Burton W. Jones: Tallteori , Trillas redaksjonell. Mexico by, s. 55
↑ Niven-Zuckerman. Innføring i tallteori
↑ Abramo Hefez: Curso de algebbra vol.1, ISBN 9972-9394-1-3 , s. 87
↑ Marcus du Sautoy , La symphonie des nombres premiers S.42 (på fransk)
↑ Préhistoire de la géométrie: le problème des sources , artikkel av Olivier Keller (på fransk)
^ "Matematikkens fødsel." . Arkivert fra originalen 14. juni 2009 . Hentet 7. juni 2009 .
↑ Arnaldez, Roger og andre (1988). Østens eldgamle vitenskaper . Barcelona: Orbis S.A. Editions ISBN 84-402-0159-1 .
↑ Planetmath.org. "Historie om primtall." . Hentet 7. juni 2009 .
^ Crandall, Richard (2001). Primtall, et beregningsperspektiv . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9 .
↑ Bernstein, Daniel. «Prime tester» . Hentet 1. juli 2009 .
^ Singh, Simon (1998). "P. 126». Fermats gåte . Redaksjonell Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3 . .
↑ Carles Pina i Estany (2005). "Kuriositet rundt primtall." . Hentet 5. juni 2009 .
↑ Hans Riesel, primtall og datamaskinmetoder for faktorisering . New York: Springer (1994): 36 (på engelsk)
↑ Richard K. Guy og John Horton Conway, The Book of Numbers . New York: Springer (1996): 129-130 (på engelsk)
^ Gowers, T. (2002). Matematikk: En veldig kort introduksjon . Oxford University Press . s. 118 . ISBN 0-19-285361-9 . "Den tilsynelatende vilkårlige ekskluderingen av 1 fra definisjonen av et primtall ... uttrykker ingen dyp kunnskap om tall: det er bare en nyttig konvensjon, vedtatt slik at det bare er én måte å faktorisere et hvilket som helst tall inn i dets primfaktorer. "
^ " Hvorfor er nummer én ikke primtall? " (på engelsk), åpnet 31-05-2009.
^ " Argumenter for og mot primaliteten til 1 ", åpnet 31-05-2009.
↑ Det kan bevises med prinsippet om matematisk induksjon
↑ GN Berman: A Walk Through Number Theory , USSR Publishing House, Moskva 2007, s. 207
↑ Berman: Op. cit.
↑ TM Aosto: Introduksjon til analytisk teori om tall, Editorial Reverté SA Barcelona, 1980
↑ Niven Zuckerman. Innføring i tallteori
↑ , Euclid (1991-1996). "Vol. II, bok IX, proposisjon 20.». elementer . Komplett arbeid, Madrid, Redaksjonell Gredos . ISBN 978-84-249-1463-9 .
↑ DIAMOND (2008). "Topologisk bevis på primtalls uendelighet." . Hentet 5. juni 2009 .
↑ Se for eksempel An Introduction to theory of Numbers , s. 24. (på engelsk)
↑ Generelt indikerer Landau-notasjon at den er asymptotisk dominert av , det vil si . For mer informasjon, les Landau-notasjon . $\scriptstyle f(n) \in O(g(n))$ $\scriptstyle f(n)$ $\scriptstyle O(g(n))$ $\scriptstyle \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{f(n)}{g(n)}\right| < \infty$
↑ Med dette uttrykket menes det at grensen for forholdet mellom de to uttrykkene nærmer seg 1 når n nærmer seg uendelig.
^ von Koch, Helge (1901). "Om fordeling av fornavn" . SpringerLink . Hentet 6. juni 2009 .
↑ Merk at dette ikke trenger å være sant generelt, for eksempel hvis n er oddetall, så er n !+( n +1) delelig med 2.
↑ (sekvens A001223 i OEIS )
↑ Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (innbundet). Princeton: Princeton University Press (2003): 163
↑ Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (innbundet). Princeton: Princeton University Press (2003): 171
↑ Eric W. Weisstein. "Number Field Sieve" (på engelsk) . Hentet 31. mai 2009 .
↑ Introduksjon til kapittel 3 i Ribenboims bok Den nye boken med primtallsrekorder .
^ a b Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial , åpnet 06-06-2009
↑ IS Sominski "Method of matematical induction" Mir Publishing House, Moskva (1985) andre utgave
↑ WH Mills, A prime-representing function (1947)
↑ (sekvens A002982 i OEIS )
↑ (sekvens A002981 i OEIS )
^ a b Keller, Wilfrid (2009). Fermat factoring status . Arkivert fra originalen 10. februar 2016 . Hentet 1. juni 2009 .
↑ DIAMOND (2008). "Hvert Mersenne-tall med en sammensatt eksponent er også en sammensatt" . Hentet 7. juni 2009 . . Ved kontraposisjon følger det at for å søke etter prime Mersenne-tall, er det nok å søke blant Mersenne-tallene med en primtallseksponent.
^ "GIMPS-prosjektet oppdager største kjente primtall: 2 82 589 933 -1" . Mersenne Research, Inc. 21. desember 2018 . Hentet 21. desember 2018 .
↑ Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy og Steve Sarasin. "Primtall og Riemann-hypotesen" . s. 6. Arkivert fra originalen 2010-06-15 . Hentet 7. juni 2009 .
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. «A000979. Wagstaff primer." . Arkivert fra originalen 18. juni 2010 . Hentet 23. april 2010 .
↑ Weisstein, Eric W. Wagstaff Prime . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
↑ Caldwell, Chris . " The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime " (på engelsk) . Prime-sidene . University of Tennessee . http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WallSunSunPrime . Hentet 6. juni 2009 .
↑ Bombieri, Enrico (2000). "Riemann-hypotesen" (på engelsk) . Clay Mathematics Institute. Arkivert fra originalen 27. mars 2009 . Hentet 6. juni 2009 .
↑ Caldwell, Chris . " The Top Twenty: Lucas Number " (på engelsk) . Prime-sidene . University of Tennessee . http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48 . Hentet 1. juni 2009 .
^ Se for eksempel Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory , Springer-Verlag ., problem A3, s. 7–8.
↑ Tony Crilly (2011). 50 ting å vite om matematikk . Red. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9 .
↑ Mathworld - Landaus problemer
^ "Algebraiske tall" . 2004. Arkivert fra originalen 2009-05-29 . Hentet 7. juni 2009 .
↑ I Mathworld . (på engelsk)
↑ Kurosch. "Avansert algebra"
↑ Fraleigh. "Abstrakt algebra"
↑ GM Bruno. "elementer av geometri"
↑ CA Trejo «Tallbegrepet»
^ Peter Hill (1994). Amadeus Press, red. Messiaens følgesvenn . ISBN 0-931340-95-0 . .
↑ Carl Pomerance , Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence , åpnet 31-05-2009
↑ En matematiker anmelder PopCo Arkivert 12. desember 2008 på Wayback Machine (på engelsk), åpnet 31-05-2009
↑ Music of the Spheres Arkivert 2015-10-9 på Wayback Machine , Marcus du Sautoys utvalg av Prime Number Films, åpnet 2009-05-31

Eksterne lenker

Wikibooks er vert for en bok eller manual om beregning av primtall .
"Eratosthenes Sieve for Prime Numbers Applied in C/C++" . Brainum kode .
Online kalkulator for primfaktorer, av www.mathstools.com
Prime-sidene
På artikkelen av Manindra Agrawal et al. PRIMER ER I P, hvor de sier: "Vi presenterer en deterministisk polynom-tidsalgoritme som bestemmer om et inngangstall n er primtall eller sammensatt" mathmistakes
Effektive algoritmer for beregning av primtall, av Steve Litt
Er dette primtallet?

v du og Primetallsformodninger

Hardy-Littlewood 1 2 Agoh Giuga Andrica Artin Bateman-Horn brokort Bunyakovsky Kinesisk hypotese Cramer dickson dubner Elliott-Halberstam Firoozbakht Gilbreath Grimm Landau problemer Goldbach Svak Legendre tvillingsøskenbarn Legendre er konstant Lemoine Mersenne Oppermann Polignac Polya Redmond – Søn Schinzels H-hypotese Waring primtall