Dobbelt Mersenne-nummer

Doble Mersenne-tall
Antall kjente termer	4
Gjettet antall termer	4
første terminer	7, 127, 2147483647
Største kjente begrep	170141183460469231731687303715884105727
OEIS indeks	A077586 a( n )= 2^(2^prime( n ) − 1) − 1

I matematikk er et dobbelt Mersenne- tall et Mersenne-tall av formen

M_{M_{n}}=2^{M_{n}}-1=2^{2^{n}-1}-1

hvor eksponenten i sin tur er Mersenne-tallet , med naturlig n . $2^{n}-1$ $M_n$

Doble primtall Mersenne

Ofte vurderes bare doble Mersenne-tall som er primtall .

Siden et Mersenne-tall er primtall bare hvis det er primtall (du kan se beviset i artikkelen " Mersenne-tall "), er et dobbelt Mersenne-tall bare primtall hvis det også er et Mersenne-primtall. De første verdiene av p som det er primtall for er p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Av disse er det kjent å være primtall for p = 2, 3, 5, 7. For p = 13, 17, 19 og 31 er faktorer blitt funnet eksplisitt, og beviser dermed at de tilsvarende doble Mersenne-tallene er sammensatte. Derfor er den minste kandidaten for et dobbelt primtall Mersenne , det vil si 2 2305843009213693951 − 1. Med omtrent 6,94 × 10 17 sifre er dette tallet for stort for noen kjente primalitetstest. 33 . [ 1 ] $M_{p}$ $s$ $M_{M_{p}}$ $M_{p}$
$M_{p}$ $M_{M_{p}}$ $M_{M_{6}1}$

Her er listen over kjente doble Mersenne-primtall: [ 2 ]

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

(suksesjon A077586 i OEIS )

Den nest minste kandidaten til å bli den neste Mersenne doble primtall er , eller 2 2305843009213693951 − 1. Siden det er omtrent 1,695×10 694127911065419641 , er dette tallet for stort for noen kjente tester av primalitet . Den har ingen primfaktor under 1 × 10 36 . [ 3 ] $M_{M_{61}}$

Det antas at det sannsynligvis ikke finnes andre doble Mersenne-primtall enn de fire kjente. [ 2 ] [ 4 ]

De minste primfaktorene av hver (der p er det n -te primtallet) er følgende faktorer: $M_{M_{p}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617 ... (se ha comprobado que el siguiente menor término primo tiene que ser > 1× 1036 ) (suksesjon A309130 i OEIS )

Katalanske – Mersenne tall

Være . Sekvensen rekursivt definert som: $M(p)=M_{p}$

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (sekvens A007013 i OEIS )

er kjent som sekvensen av katalanske-mersenne-tall . [ 5 ] Det sies [ 6 ] at katalansk kom opp med denne arven etter at Lucas i 1876 oppdaget at han var en fetter. $M(127)=M(M(M(M(2))))$

Selv om de fem første leddene er primtall, kan ingen kjent metode bevise at noe annet ledd er primtall (i rimelig tid) bare fordi de er for store tall. Imidlertid, hvis det ikke er primtall, er det en sjanse til å finne ut av det ved å beregne modulen med hensyn til en liten primtall (ved å bruke rekursiv modulær eksponentiering ). Hvis det resulterende residualet er null, representerer det en faktor på og vil derfor motbevise dens primaalitet. Siden det er et Mersenne-primtall , må denne primfaktoren være av formen . Dessuten, fordi det er sammensatt når det er sammensatt, vil oppdagelsen av et sammensatt begrep i sekvensen utelukke muligheten for flere primtall i sekvensen. $c_{5}$ $c_{5}$ $s$ $s$ $c_{5}$ $c_{5}$ $s$ $2kc_{4}+1$ $2^{n}-1$ $n$

I populærkulturen

I Futurama -tegneserien The Beast with a Billion Backs er det doble Mersenne-tallet kort å se i "et elementært bevis på Goldbach-formodningen ". I episoden blir dette tallet referert til som Martian prime . $M_{M_{7}}$

Se også

Referanser

↑ Tony Forbes, Et søk etter en faktor på MM61. Fremgang: 9. oktober 2008 .
↑ a b Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages .
^ "Dobbel Mersenne 61 factoring-status" . www.doublemersennes.org . Hentet 31. mars 2022 .
↑ IJ Bra. Formodninger om Mersenne-tallene. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) s. 120-121 [hentet 2012-10-19]
↑ MathWorld: Catalan-Mersenne-nummer
↑ Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages .

Bibliografi

LE Dickson , History of theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Gjengitt av Chelsea Publishing, New York, 1971.

Eksterne lenker

Weisstein, Eric W. Dobbelt Mersennenummer . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Tony Forbes, et søk etter en MM61-faktor .
Status for faktorisering av doble Mersenne-tall
Mersennes Prime Double Quest
Operazione Doppi Mersennes