Sannsynlighet

Sannsynlighet er et mål på sikkerheten for at en hendelse vil inntreffe. Verdien er et tall mellom 0 og 1, der en umulig hendelse tilsvarer null og en viss hendelse tilsvarer en .

En empirisk måte å estimere sannsynlighet på er å få frekvensen som en gitt hendelse skjer med ved å gjenta tilfeldige eksperimenter , under tilstrekkelig stabile forhold. I noen eksperimenter der alle mulige utfall er kjent, kan sannsynligheten for disse hendelsene beregnes teoretisk, spesielt når de alle er like sannsynlige .

Sannsynlighetsteorien er den grenen av matematikken som studerer eksperimenter eller tilfeldige fenomener. Det er mye brukt i områder som statistikk , fysikk , samfunnsvitenskap , medisinsk forskning , finans , økonomi og filosofi for å forstå gjennomførbarheten av hendelser og den underliggende mekanikken til komplekse systemer.

Sannsynlighetsteoretisk terminologi

Eksperiment: En operasjon som kan gi noen veldefinerte resultater, men hvilke av dem som kan forutsies, kalles et tilfeldig eksperiment.

Eksempel: Når en mynt kastes, er det kjent at bare hoder eller haler kan vises. Du kan imidlertid ikke forutsi når du kaster mynten hvilken side den vil lande på.

Eksempel: Når en terning kastes er det kjent at et hvilket som helst av tallene 1,2,3,4,5 eller 6 kan vises på den øvre flaten, men det kan ikke forutsies hvilken som vil vises.

Sample Space: Alle mulige utfall av et eksperiment danner sammen Sample Space.

Eksempel: Når vi kaster en terning, kan du oppnå et hvilket som helst resultat fra 1 til 6. Alle de mulige tallene som kan vises på den øvre flaten danner Sample Space (angitt med S). Prøverommet for et terningkast er S={1,2,3,4,5,6}

Utfall: Ethvert mulig element i prøverommet S i et tilfeldig eksperiment kalles utfallet.

Eksempel: Når vi kaster en terning, kan vi få 3 eller når vi kaster en mynt, kan vi få hoder.

Hendelse: Enhver delmengde av prøverommet S kalles en hendelse (betegnet med E ). Når et resultat som tilhører delmengden E oppstår, sies det å ha skjedd en hendelse. Mens når et resultat som ikke tilhører delsettet E oppstår, har ikke hendelsen skjedd.

Eksempel: Tenk på eksperimentet med å kaste en terning. Her er prøverommet S={1,2,3,4,5,6} . La E være hendelsen at et tall mindre enn 4 vises. Dermed hendelsen E={1,2,3} . Hvis tallet 1 vises, sies hendelse E å ha skjedd. På samme måte, hvis resultatene er 2 eller 3, kan det bekreftes at hendelse E har skjedd , siden disse resultatene tilhører undergruppen E'

Forsøk: Med utprøving mener vi utførelsen av et randomisert eksperiment.

Eksempel: (i) Kast en rettferdig mynt , (ii) Kast en rettferdig terning [ 1 ]

Tolkninger

Når man arbeider med eksperimenter som er tilfeldige og veldefinerte i en rent teoretisk setting (som å kaste en rettferdig mynt), kan sannsynlighet beskrives numerisk med antall ønskede utfall delt på det totale antallet av alle utfall. For eksempel vil det å snu en mynt to ganger resultere i "heads-heads", "heads-tails", "tails-heads" og "tails-tails". Sannsynligheten for å få et "heads-heads"-utfall er 1 av 4 utfall, eller, i numeriske termer, 1/4, 0,25 eller 25 %. Når det gjelder praktisk anvendelse, er det imidlertid to brede kategorier av konkurrerende tolkninger av sannsynlighet, med tilhengere som har forskjellige syn på sannsynlighetens grunnleggende natur:

Objektivister tildeler tall for å beskrive en objektiv eller fysisk tilstand. Den mest populære versjonen av objektiv sannsynlighet er frequentist probability , som sier at sannsynligheten for en tilfeldig hendelse angir den relative frekvensen av forekomst av utfallet av et eksperiment når eksperimentet gjentas på ubestemt tid. Denne tolkningen anser sannsynlighet for å være den "langsiktige" relative frekvensen av utfall. [ 2 ] En modifikasjon av dette er tilbøyelighetssannsynligheten , som tolker sannsynlighet som tendensen til et eksperiment til å produsere et bestemt resultat, selv om det bare utføres én gang.
Subjektivister tildeler tall etter subjektiv sannsynlighet, det vil si som en grad av tro. [ 3 ] Grad av tro har blitt tolket som "prisen som et spill som betaler 1 bruksenhet hvis E, 0 hvis ikke E, ville bli kjøpt eller solgt." [ 4 ] Den mest populære versjonen av subjektiv sannsynlighet er den Bayesianske sannsynligheten . , som inkluderer ekspertkunnskap så vel som eksperimentelle data for å beregne sannsynligheter. Ekspertkunnskap er representert ved en tidligere (subjektiv) sannsynlighetsfordeling . Disse dataene mates inn i en sannsynlighetsfunksjon . Produktet av den tidligere funksjonen og sannsynlighetsfunksjonen, når normalisert, gir opphav til en posterior sannsynlighet som inkorporerer all informasjon som er kjent til dags dato. [ 5 ] Ved Aumanns konkordansteorem vil bayesianske agenter hvis tidligere tro er lik, ende opp med lignende bakre tro. Tilstrekkelig forskjellige forutsetninger kan imidlertid føre til forskjellige konklusjoner, uavhengig av hvor mye informasjon agentene deler. [ 6 ]

Etymologi

Ordet sannsynlighet stammer fra det latinske probabilitas , som også kan bety «sannsynlighet», et mål på et vitnes autoritet i en rettssak i Europa, og ofte korrelert med vitnets adel. På en måte skiller dette seg sterkt fra den moderne betydningen av sannsynlighet, som i stedet er et mål på vekten av empiriske bevis , og kommer frem til fra induktiv resonnement og statistisk slutning . [ 7 ]

Historikk

Definisjonen av sannsynlighet ble produsert på grunn av menneskets ønske om å vite med sikkerhet hendelsene som vil skje i fremtiden , det er grunnen til at forskjellige tilnærminger har blitt utviklet gjennom historien for å ha et sannsynlighetsbegrep og bestemme verdiene.

Ordboken til Royal Spanish Academy (RAE) definerer "tilfeldighet" som en tilfeldighet, en tilfeldig hendelse, og sier at uttrykket "tilfeldig" betyr "uten rekkefølge". [ 8 ] Ideen om sannsynlighet er nært knyttet til ideen om sjanse og hjelper oss å forstå sjansene våre for å vinne et sjansespill eller analysere meningsmålinger. Pierre-Simon Laplace uttalte: "Det er bemerkelsesverdig at en vitenskap som begynte med betraktninger om sjansespill har blitt det viktigste objektet for menneskelig kunnskap ." Å forstå og studere tilfeldigheter er avgjørende, fordi sannsynlighet er en nødvendig støtte for å ta beslutninger på ethvert felt. [ 9 ]

I følge Amanda Dure, "Før midten av det syttende århundre , betydde begrepet 'sannsynlig' (latin sannsynlig ) godkjennelig , og ble i den forstand brukt entydig på mening og handling. En sannsynlig handling eller mening var en som fornuftige mennesker ville påta eller opprettholde, etter omstendighetene." [ 10 ]

Bortsett fra noen elementære betraktninger gjort av Girolamo Cardano på det sekstende århundre , stammer sannsynlighetslæren fra korrespondansen til Pierre de Fermat og Blaise Pascal ( 1654 ). Christiaan Huygens ( 1657 ) ga den tidligste kjente vitenskapelige behandlingen av konseptet, etterfulgt av Juan Caramuels Kybeia ( 1670 ). Flere av de nevnte forfatterne - Fermat, Pascal og Caramuel - nevner i sine respektive korrespondanser en Ars Commutationes av Sebastián de Rocafull (1649), nå tapt. Jakob Bernoullis banebrytende Ars Conjectandi (posthum, 1713) og Abraham de Moivres Doctrine of Chances (1718) behandlet emnet som en gren av matematikken . Se Ian Hackings The Emergence of Probability for en historie om den tidlige utviklingen av selve begrepet matematisk sannsynlighet.

Feilteorien kan spores tilbake i tid til Roger Cotes ' Opera Miscellanea (posthum, 1722) , men et memoar utarbeidet av Thomas Simpson i 1755 (trykt 1756) brukte først teorien på diskusjonen om observasjonsfeil. Opptrykket ( 1757 ) av denne memoarboken angir aksiomene om at positive og negative feil er like sannsynlige, og at det er visse tilordnbare grenser som alle feil skal falle innenfor; Kontinuerlige feil diskuteres og det gis en sannsynlighetskurve.

Pierre-Simon Laplace (1774) gjorde det første forsøket på å utlede en regel for kombinasjonen av observasjoner fra prinsippene for sannsynlighetsteori. Han representerte loven om sannsynligheten for feil med en kurve , som en hvilken som helst feil e dens sannsynlighet, og eksponerte tre egenskaper til denne kurven: $y = \phi(x)$ $x$ $Y$

er symmetrisk til aksen ; $Y$
aksen er en asymptote , sannsynligheten for feilen er lik 0; $x$ $\infty$
den lukkede overflaten er 1, noe som gjør at det er en feil.

Han utledet en formel for gjennomsnittet av tre observasjoner. Han oppnådde også ( 1781 ) en formel for loven om lette feil (et begrep som skyldes Lagrange, 1774), men formelen hans førte til uhåndterlige ligninger. Daniel Bernoulli (1778) introduserte prinsippet om det maksimale produktet av sannsynlighetene for et system med samtidige feil.

Metoden med minste kvadrater skyldes Adrien-Marie Legendre ( 1805 ), som introduserte den i sine Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des cometes ( Nye metoder for bestemmelse av komets baner ). Ved å ignorere Legendres bidrag, utledet en irsk - amerikansk forfatter, Robert Adrain , redaktør av "The Analyst" (1808), først loven om lette feil,

\phi(x) = ce^{-h^2 x^2}

vesen og konstanter som avhenger av nøyaktigheten av observasjonen. Han la frem to bevis, det andre var i hovedsak det samme som John Herschels (1850). Gauss ga det første beviset som ser ut til å ha vært kjent i Europa (det tredje etter Adrains) i 1809. Ytterligere bevis ble gitt av Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837) ), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) og Morgan Crofton (1870). Andre medvirkende karakterer inkluderer Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) og Giovanni Schiaparelli (1875). Peters (1856) formel for , den sannsynlige feilen for en enkelt observasjon, er velkjent. $c$ $h$ $r$

På 1800-tallet inkluderte forfattere av den generelle teorien Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion , og Karl Pearson . Augustus De Morgan og George Boole forbedret utstillingen av teorien.

I 1930 utviklet Andrei Kolmogorov det aksiomatiske grunnlaget for sannsynlighet ved å bruke målteori.

På den geometriske siden (se integrert geometri ) var bidragsytere til The Educational Times innflytelsesrike (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson og Artemas Martin).

Se også: Statistikk

Teori

Sannsynlighet er en viktig parameter for å bestemme de ulike tilfeldighetene som oppnås etter en rekke forventede hendelser innenfor et statistisk område.

Det finnes ulike former som abstrakt metode, som Dempster-Shafer- teorien og den numeriske relativitetsteorien, sistnevnte med høy grad av aksept dersom man tar i betraktning at den reduserer mulighetene betraktelig til et minimumsnivå siden den sender inn alle gamle regler til en enkel relativitetslov. [ referanse nødvendig ]

Sannsynligheten for en hendelse er betegnet med bokstaven p og uttrykkes i form av en brøk og ikke i prosenter [ referanse nødvendig ] , slik at verdien av p faller mellom 0 og 1. På den annen side er sannsynligheten for at en hendelse "oppstår ikke" er lik 1 minus verdien av p og er merket med bokstaven q

P(Q) = 1 - P(E)

De tre metodene for å beregne sannsynlighet er addisjonsregelen, multiplikasjonsregelen og binomialfordelingen .

Tilleggsregel

Addisjonsregelen eller addisjonsregelen sier at sannsynligheten for at en bestemt hendelse inntreffer er lik summen av de individuelle sannsynlighetene, dersom hendelsene utelukker hverandre, det vil si at to ikke kan inntreffe samtidig.

På den ene siden, hvis , det vil si at de utelukker hverandre, da $A \cap B = \varnothing$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

På den annen side, hvis , det vil si at de ikke utelukker hverandre, så er Being: sannsynlighet for forekomst av hendelse A, sannsynlighet for forekomst av hendelse B og sannsynlighet for samtidig forekomst av hendelser A og B. $A\cap B\neq \varnothing$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
$P(A)=$ $P(B)=$ $P(A\cap B)=$

En annen måte å se det på vil være å uttrykke sannsynligheten for gjensidig ikke-eksklusive hendelser ved å summere sannsynlighetene for en gitt hendelse som en funksjon av andre hendelser:

$P(x)=\sumy}{P(x,y)}=\sumy}{P(y)P(x|y)}{SORT:}$

Multiplikasjonsregel

Multiplikasjonsregelen sier at sannsynligheten for forekomst av to eller flere statistisk uavhengige hendelser er lik produktet av deres individuelle sannsynligheter.

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , hvis A og B er uavhengige.

$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$ , hvis A og B er avhengige.

som er sannsynligheten for at B inntreffer etter å ha inntruffet eller verifisert hendelsen A. $P(B|A)$

Et parti inneholder "100" varer hvorav "20" er defekte. Objektene velges etter hverandre for å se om de er defekte. Anta at to objekter velges uten erstatning (som betyr at det tilfeldig valgte objektet er utelatt fra partiet). Hva er sannsynligheten for at de to valgte objektene er defekte?

Løsning:

være hendelsene

$A_{1}=$ første defekte objekt, andre defekte objekt $A_{2}=$

da vil to valgte objekter være defekte, når hendelsen inntreffer som er skjæringspunktet mellom hendelsene og . Fra den gitte informasjonen må du: $A_{1}\cap A_{2}$ $A_{1}$ $A_2$

$P(A_{1})={\frac {20}{100}}$ ; $P(A_{2}|A_{1})={\frac {19}{99}}$

så sannsynligheten for at de to valgte objektene er defekte er

$P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})={\frac {20}{100}}\cdot { \frac {19}{99}}={\frac {19}{495}}\simeq 0,038$

Anta nå at du velger et tredje objekt, så er sannsynligheten for at alle de tre valgte objektene er defekte

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_ {1}\cap A_{2})={\frac {20}{100}}\cdot {\frac {19}{99}}\cdot {\frac {18}{98}}={\frac { 19}{2695}}\sameq 0,007$

Laplaces regel

Laplaces regel sier at:

Sannsynligheten for at en umulig hendelse inntreffer er 0.
Sannsynligheten for at en bestemt hendelse inntreffer er 1, det vil si . $P(A)=1$

For å anvende Laplaces regel er det nødvendig at forsøkene gir opphav til likesannsynlige hendelser, det vil si at de alle har eller har samme sannsynlighet.

Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer beregnes som følger:

$P(A)={\frac {\text{Antall gunstige tilfeller}}{\text{ Antall mulige utfall}}}$

Dette betyr at: sannsynligheten for hendelse A er lik kvotienten av antall gunstige tilfeller (tilfellene der A skjer) over det totale antallet mulige tilfeller.

Binomialfordeling

Sannsynligheten for forekomst av en spesifikk kombinasjon av uavhengige og gjensidig utelukkende hendelser bestemmes med binomialfordelingen , som er en der det bare er to muligheter, som vanligvis betegnes som suksess og fiasko.

Det er to mulige gjensidig utelukkende utfall for hver prøve eller observasjon.
Serien av tester eller observasjoner utgjør uavhengige hendelser.
Sannsynligheten for suksess forblir konstant fra prøve til prøvelse, det vil si at prosessen er stasjonær.

For å bruke denne fordelingen til å beregne sannsynligheten for å oppnå et gitt antall suksesser i en serie eksperimenter i en Bernoulli-prosess , kreves tre verdier: det angitte antallet suksesser (m), antall forsøk og observasjoner (n) ; og sannsynligheten for suksess i hvert forsøk (p).
Da er sannsynligheten for at m suksesser skjer i et n-forsøk:

P(x=m)={n \choose m}p^{m}(1-p)^{nm}

hvor er det totale antallet mulige kombinasjoner av m elementer i et sett med n elementer. ${n \choose m}={\frac {n!}{m!(nm)!}}$

Applikasjoner

To viktigste daglige anvendelser av sannsynlighetsteori er i risikoanalyse og i handel med råvaremarkeder . Myndigheter bruker vanligvis sannsynlige metoder i miljøregulering der de kalles " equational pathway analysis ", og måler ofte velferd ved å bruke metoder som er stokastiske i naturen, og velger hvilke prosjekter de skal gjennomføre basert på statistiske analyser av dens sannsynlige effekt på befolkningen som helhet. Det er ikke riktig å si at statistikk er inkludert i selve modelleringen, siden risikoanalyser typisk er engangs- og derfor krever mer grunnleggende sannsynlighetsmodeller, f.eks. "sannsynligheten for en annen 9/11". En lov om små tall har en tendens til å gjelde for alle disse valgene og oppfatningene av effekten av disse valgene, noe som gjør sannsynlighetsmålinger til et politisk spørsmål. Et godt eksempel er effekten av den antatte sannsynligheten for en utbredt konflikt på oljeprisen i Midtøsten - som gir en ringvirkning på økonomien som helhet. En beregning fra et råvaremarked om at krig er mest sannsynlig kontra minst sannsynlig sender prisene høyere eller lavere og indikerer den oppfatningen til andre handelsmenn. Derfor beregnes ikke sannsynligheten uavhengig og er heller ikke nødvendigvis særlig rasjonell. Atferdsfinansieringsteori dukket opp for å beskrive effekten av denne gruppetenkningen på pris, på politikk og på fred og konflikt.

Oppdagelsen av strenge metoder for å beregne og kombinere sannsynlighetsberegninger kan med rimelighet sies å ha hatt en dyp effekt på det moderne samfunnet. Derfor kan det være av en viss betydning for de fleste innbyggere å forstå hvordan prognoser og sannsynlighet beregnes, og hvordan de bidrar til omdømme og beslutninger, spesielt i et demokrati .

En annen betydelig anvendelse av sannsynlighetsteori i hverdagen er reliabilitet . Mange forbruksvarer, som biler og forbrukerelektronikk , bruker pålitelighetsteori i produktdesign for å redusere sannsynligheten for feil. Sannsynligheten for feil er også nært knyttet til produktgarantien .

Det kan sies at det ikke finnes noe som heter sannsynlighet. Man kan også si at sannsynlighet er et mål på vår grad av usikkerhet, eller det vil si graden av vår uvitenhet gitt en situasjon. Derfor kan det være en sjanse på 1 til 52 for at det første kortet i en kortstokk blir Jack of Diamonds. Men hvis man ser på det første kortet og erstatter det, så er sannsynligheten enten 100 % eller 0 %, og det riktige valget kan gjøres nøyaktig av den som ser kortet. Moderne fysikk gir viktige eksempler på deterministiske situasjoner der bare probabilistisk beskrivelse er mulig på grunn av ufullstendig informasjon og kompleksiteten til et system, samt eksempler på virkelig tilfeldige fenomener.

I et deterministisk univers, basert på Newtonske konsepter , er det ingen sannsynlighet hvis alle forhold er kjent. I tilfellet med et ruletthjul, hvis kraften til hånden og perioden for denne kraften er kjent, vil tallet der ballen vil lande være sikkert. Dette forutsetter naturligvis også kunnskap om spinnerens treghet og friksjon, ballens vekt, flathet og rundhet, variasjoner i håndhastighet under bevegelse, og så videre. En probabilistisk beskrivelse kan da være mer praktisk enn newtonsk mekanikk for å modellere utdataene fra gjentatte kast med ruletthjulet. Fysikere møter den samme situasjonen i den kinetiske teorien om gasser, der det i prinsippet deterministiske systemet er så komplekst (med antall molekyler typisk i størrelsesorden av Avogadros konstant ) at bare den statistiske beskrivelsen av dets egenskaper er gjennomførbar. $6\cdot 10^{23}$

Kvantemekanikk , på grunn av Heisenbergs usikkerhetsprinsipp , kan foreløpig kun beskrives via sannsynlighetsfordelinger , noe som legger stor vekt på sannsynlighetsbeskrivelser. Noen forskere snakker om utvisningen fra paradiset. [ referanse nødvendig ] Andre er ikke fornøyd med tapet av determinisme. Albert Einstein kommenterte berømt i et brev til Max Born : Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. ( Jeg er overbevist om at Gud ikke kaster terningen ). Imidlertid er det i dag ingen bedre måte å beskrive kvantefysikk enn gjennom sannsynlighetsteori. Mange mennesker i dag forveksler det faktum at kvantemekanikk er beskrevet av sannsynlighetsfordelinger med antagelsen om at det derfor er en tilfeldig prosess, når kvantemekanikk er sannsynlig ikke fordi den følger tilfeldige prosesser, men fordi det ikke er i stand til å bestemme dens grunnleggende parametere nøyaktig. , som gjør det umulig å lage et deterministisk ligningssystem.

Biomedisinsk forskning

Se også: Prøvetaking i statistikk

Mest biomedisinsk forskning bruker sannsynlighetsprøver, det vil si de der forskeren kan spesifisere sannsynligheten for et hvilket som helst element i populasjonen som undersøkes. Sannsynlighetsprøver lar deg bruke slutningsstatistikk, de som lar deg trekke slutninger fra data. På den annen side tillater ikke-probabilistiske utvalg bare å bruke beskrivende statistikk, de som kun tillater å beskrive, organisere og oppsummere data. Det brukes fire typer sannsynlighetsutvalg: enkle tilfeldige utvalg, stratifiserte tilfeldige utvalg, klyngeutvalg og systematiske utvalg.

Forholdet til tilfeldigheter og sannsynlighet i kvantemekanikk

I et deterministisk univers , basert på konseptene fra Newtonsk mekanikk , ville det ikke vært noen sannsynlighet hvis alle forhold var kjent ( Laplaces demon ), men det er situasjoner der følsomheten for startforhold overstiger vår evne til å måle dem, dvs. å møte dem. I tilfellet med en spinner , hvis kraften til hånden og perioden for denne kraften er kjent, vil tallet som ballen vil stoppe ved være en sikkerhet (selv om dette, som en praktisk sak, sannsynligvis bare vil være sant på en spinner at det ikke ville vært nøyaktig nivå (som avslørt av Thomas A. Bass's Newtonian Casino ). Dette forutsetter også kunnskap om hjulets treghet og friksjon, ballens vekt, glatthet og rundhet, variasjoner i håndhastighet under spinn, etc. Dermed kan en sannsynlighetsbeskrivelse være mer nyttig enn newtonsk mekanikk for å analysere mønsteret av utfall fra gjentatte spinn av et ruletthjul. Fysikere står overfor den samme situasjonen i den kinetiske teorien om gasser , der systemet, selv om det i prinsippet er deterministisk , er like komplekst (med antall molekyler typisk i størrelsesorden av Avogadros konstant , 6,02<e <23 ) at bare en statistisk beskrivelse av dens egenskaper er mulig.

Sannsynlighetsteori er nødvendig for å beskrive kvantefenomener . [ 11 ] En revolusjonerende oppdagelse av fysikk på begynnelsen av det 20. århundre var den tilfeldige karakteren av alle fysiske prosesser som skjer på subatomære skalaer og som er styrt av kvantemekanikkens lover . Den objektive bølgefunksjonen utvikler seg deterministisk, men ifølge København-tolkningen handler det om sannsynligheter for å observere, resultatet blir forklart med en kollaps av bølgefunksjonen når en observasjon blir gjort. Tapet av determinisme for instrumentalismens skyld møtte imidlertid ikke universell godkjenning. Albert Einstein sa berømt i et brev til Max Born : "Jeg er overbevist om at Gud ikke spiller terninger." [ 12 ] I likhet med Einstein, mente Erwin Schrödinger , som oppdaget bølgefunksjonen, at kvantemekanikk er en statistisk tilnærming til en underliggende deterministisk virkelighet . [ 13 ] I noen moderne tolkninger av den statistiske målemekanikken , påberopes kvantedekoherens for å forklare forekomsten av subjektivt sannsynlige eksperimentelle resultater.

Se også

Referanser

↑ Matematikk lærebok for klasse XI . National Council of Educational Research and Training (NCERT). 2019.s. 384-388. ISBN 81-7450-486-9 .
^ Hacking, Ian (1965). Logikken til statistisk slutning . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-05165-1 .
↑ Finetti, Bruno de (1970). «Logisk grunnlag og måling av subjektiv sannsynlighet». Psychological Act 34 : 129-145. doi : 10.1016/0001-6918(70)90012-0 .
↑ Hajek, Alan (21. oktober 2002). "Tolkninger av sannsynlighet" . I Edward N. Zalta, red. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Vinter 2012-utgaven) . Hentet 22. april 2013 .
↑ Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduksjon til matematisk statistikk (6. utgave). Upper Saddle River: Pearson. ISBN 978-0-13-008507-8 .
^ Jaynes, E.T. (2003). «Avsnitt 5.3 Konvergerende og divergerende syn». I Bretthorst, G. Larry, red. Probability Theory: The Logic of Science ( 1 utgave). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59271-0 .
↑ Hacking, I. (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68557-3
↑ Royal Spanish Academy og Association of Academies of the Spanish Language. "sjanse " Ordbok for det spanske språket (23. utgave).
↑ "Sannsynlighetshistorie" . estadisticaparatodos.es . Hentet 12. januar 2011 .
↑ Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press . (1992). s. 54-55. ISBN 0-521-39459-7
^ Burgin, Mark (2010). "Tolkninger av negative sannsynligheter". .
^ Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Brev til Max Born, 4. desember 1926, i: Einstein/Born Briefwechsel 1916-1955 .
^ Moore, W.J. (1992). Schrödinger: Liv og tanke . Cambridge University Press . s. 479. ISBN 978-0-521-43767-7 .

Bibliografi

Kallenberg, O. (2005) Probabilistiske symmetrier og invariansprinsipper . Springer-Verlag, New York. 510 sider ISBN 0-387-25115-4
Kallenberg, O. (2002) Foundations of Modern Probability, 2. utg. Springer-serien i statistikk. 650 sider ISBN 0-387-95313-2
Olofsson, Peter (2005) Sannsynlighet, statistikk og stokastiske prosesser , Wily-Interscience. 504 s . ISBN 0-471-67969-0 .

Eksterne lenker

Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om sannsynlighet .
Utvalgte sannsynlighetsproblemer (løst)
Edwin Thompson Jaynes . Sannsynlighetsteori: Vitenskapens logikk . Fortrykk: Washington University, (1996). ( PDF ) (på engelsk)
Et sannsynlighetsproblem: [1]