Suksesjon (matematikk)

I matematisk analyse og i algebra er en sekvens en sekvens av tall eller andre matematiske objekter relatert til hverandre, der den relative posisjonen til hvert tall i forhold til det forrige tas i betraktning. For eksempel (3, 5, 7, 9...) er en sekvens med påfølgende oddetall større enn 1, og (2, 4, 8, 16...) er en sekvens med potensene 2. Rekkefølgen er matematisk definert som en applikasjon hvis domene er settet av naturlige tall og dets codomene er et hvilket som helst annet sett, vanligvis av tall av forskjellig natur, de kan også være geometriske figurer eller funksjoner; det vil si at hver posisjon i indekssekvensen 1, 2, 3, 4... er assosiert med et objekt som tilsvarer det i destinasjonssettet. Hver av dem kalles en term (også element eller medlem ) av sekvensen og antallet ordnede elementer (muligens uendelig) kalles lengden på sekvensen. Må ikke forveksles med en matematisk serie , som er tallet som er et resultat av å legge til alle leddene i en uendelig sekvens.

I motsetning til et sett er rekkefølgen termene vises i relevant, og samme term kan vises i mer enn én posisjon. Formelt kan en sekvens defineres som en funksjon over settet av naturlige tall (eller en delmengde derav) og er derfor en diskret funksjon .

For eksempel er sekvensen ( A , B , C  ) en sekvens av bokstaver som er forskjellig fra sekvensen ( C , A , B  ). I dette tilfellet snakker vi om endelige sekvenser (med lengde lik 3). Et eksempel på en uendelig sekvens vil være sekvensen av partall positive tall: 2, 4, 6, 8 ...

Finite sekvenser identifiseres noen ganger med ord over et sett. Saken av en tom sekvens (uten elementer) kan også vurderes, men denne saken kan utelukkes avhengig av konteksten.

Historie

Sekvenser som følger en viss regel har alltid tiltrukket seg oppmerksomheten til matematikere i alle generasjoner. Men til tross for dette og det faktum at de var kjent fra antikken, ble de ikke studert i detalj før tiden for den største utviklingen av matematikk på det attende århundre . Det var på den tiden at konseptet om grensen for en sekvens ble perfeksjonert som verdien som dens termer suksessivt nærmer seg.

Uten tvil var Leonhard Euler den tidens mest fremragende matematiker, takket være hans avgjørende bidrag innen ulike felt av matematikk, spesielt innen sekvenser og numeriske serier. Bemerkelsesverdig er også den italienske matematikeren Leonardo de Pisa , som på det tolvte århundre introduserte i Europa en av de mest brukte matematiske sekvensene i naturfenomener, Fibonacci-tallene .

Generelt brukes sekvenser til å representere ordnede lister over elementer, men fremfor alt, innenfor diskret matematikk brukes de på forskjellige andre måter, for eksempel innen informatikk og i spillteori ... ...

Generelt

Notasjon

Det er forskjellige notasjoner og forestillinger om sekvens i matematikk, avhengig av studieområdet, hvorav noen (som eksakt sekvens ) ikke dekkes av notasjonen introdusert nedenfor.

Notasjonen brukes ofte for å indikere en sekvens, der den refererer til elementet i sekvensen i posisjon n , kalt den generelle termen . Subskriptet angir plassen den opptar i den sekvensen. Et eksempel kan være det med jevne positive tall, som angir nevnte rekkefølge med : $\{a_{n}\}$ $a_{n}$ ${n\in \mathbb{N}}$ $\{a_{n}\}$

$\{a_{n}\}=2,4,6,8,10,12,\,...$

deretter

$a_{1}=2,\ a_{2}=4,\ a_{3}=6,\ a_{4}=8,\ldots$

I tilfelle at elementene i sekvensen er bestemt av en regel, kan sekvensen spesifiseres ved å referere til formelen til et vilkårlig begrep. I sekvensen ovenfor kan det spesifiseres med formelen . $\{a_{n}\}$ $a_{n}=2n$

Det er vanlig å finne sekvenser der de nedskrevne posisjonene starter fra null, i stedet for fra én, spesielt i diskret matematikk eller informatikk. En annen variabel enn n kan også brukes for å betegne den generelle termen, der det er hensiktsmessig for å unngå forveksling med andre variabler.

I litteraturen er det mulig å finne et stort utvalg av alternative notasjoner. For eksempel bruk av parenteser i stedet for klammeparenteser, eller indikasjoner på grensene ved varianter med super og subscripts, her er noen eksempler:

$(a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$
$( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m$
$\{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,$

Sekvenser definert av gjentakelse

En gjentakelsesrelasjon for en sekvens er en ligning som etablerer begrepet a n som en funksjon av de foregående leddene for alle heltall n slik at . Sekvensen i seg selv er løsningen av gjentaksrelasjonen hvis termene tilfredsstiller relasjonen for hvert positivt heltall n . $\left\{{a_{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} 0}}$ $a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}$ $n\geq n_{0}$

Rekursive algoritmer gir en løsning på et problem av størrelse n når det gjelder å løse en eller flere forekomster av samme problem, men av mindre størrelse. Et eksempel på en sekvens ved gjentakelse er Fibonacci-sekvensen , der hvert ledd etter det tredje er summen av de to foregående leddene. Denne sekvensen er generelt definert som:

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\,$

Når kompleksiteten til en rekursiv algoritme basert på en sekvens utføres, oppnås en gjentakelsesrelasjon som uttrykker antall operasjoner som er nødvendige for å løse et problem av størrelse n i form av antall operasjoner som er nødvendige for å løse det samme problemet med data av mindre størrelse.

På denne måten kan eksistensen av en sterk sammenheng mellom gjentakelsesrelasjoner og rekursjon verifiseres, siden de brukes til å løse et stort antall problemer, som for eksempel å beregne renters rente , beregne antall trekk i spillet Towers of Hanoi og antall kaniner på en øy (problem foreslått av Fibonacci og relatert til Fibonacci-sekvensen) .

Eksempler

Blant de vanlige og mye brukte sekvensene kan finnes den aritmetiske progresjonen og den geometriske progresjonen . Den grunnleggende forskjellen er at i aritmetisk progresjon er trinnet fra et ledd til det neste addisjon av en konstant, og i geometrisk progresjon fås neste ledd i sekvensen ved å multiplisere en konstant. I det første tilfellet er forskjellen mellom påfølgende ledd konstant, mens i det andre er forholdet eller kvotienten mellom påfølgende ledd konstant:

Aritmetisk progresjon: $a_{i}=a_{i-1}+d\quad \rightarrow \quad d=a_{i}-a_{i-1}\;;\quad i=1,2,\dots \, ;\;d=ctr.$

Geometrisk progresjon: $x_{i}=r\ x_{i-1}\quad \rightarrow \quad r={\dfrac {a_{i}}{a_{i-1}}}\;;\quad i=1 ,2,\prikker \,;\;r=cte.$

Det er også andreordens aritmetiske progresjon der forskjellen mellom de påfølgende leddene i progresjonen ikke er en konstant, men i stedet utgjør en aritmetisk progresjon: $a_{i}=a_{i-1}+d_{i}\;;\quad d_{i}=d_{i-1}+c\;;\quad i=1,2,\dots \,;\;c=cnt.$

Formell definisjon og grunnleggende egenskaper

De ulike definisjonene er vanligvis knyttet til arbeidsområdet, den vanligste og generelle er definisjonen av numerisk suksesjon , i praksis brukes suksesjoner intuitivt.

Formell definisjon

En numerisk sekvens er formalisert som en anvendelse av de naturlige tallene over et annet numerisk sett X , på en slik måte:

${\begin{array}{rccl}a:&\mathbb {N} &\longrightarrow &X\\&n&\longmapsto &a_{n}\end{array}}$

En sekvens der settet X = N kan for eksempel være Fibonacci-sekvensen . Som en generell regel er den numeriske sekvensen formalisert som en anvendelse av de naturlige tallene på de reelle tallene . I begge tilfeller er det ganske enkelt betegnet som eller, hvis abonnentene er forstått å være heltall, er det også betegnet som . $\left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ $\left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}$

Navnet gitt til sekvensen kan også referere til verdiene den tar på de virkelige; Således, hvis bildet av var rasjonalene , det vil si heltallsbrøker av typen , kan det kalles en sekvens av rasjonelle tall, og det samme for irrasjonelle , naturlige, heltall, algebraiske , transcendentale , ... $a_{}^{}$ $\scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0$

Endelighet og uendelighet

En endelig sekvens (av lengde r ) med elementer som tilhører en mengde S , er definert som en funksjon $\{a_{n}\}$

$f:\{1,2,\ldots ,r\}\;\longrightarrow \;S$

og i dette tilfellet tilsvarer elementet . For eksempel tilsvarer endeligheten og uendeligheten (av lengde 4) til primtall mindre enn 10 (2,3,5,7) funksjonen (hvor er settet med primtall) definert av: $a_{n}$ $f(n)$ $f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P}$ $\mathbb{P}$

$f(1)=2\;,\quad f(2)=3\;,\quad f(3)=5\;,\quad f(4)=7$

En uendelig sekvens med elementer som tilhører en mengde S , er definert som en funksjon $\{a_{k}\}$

$f:\mathbb {N} \;\longrightarrow \;S$

hvor analogt tilsvarer . $\{a_{n}\}$ $f(n)$

Etterfølge

En undersekvens eller delsekvens av en sekvens er sekvensen som dannes fra den gitte sekvensen ved å eliminere noen av dens elementer uten å forstyrre den relative posisjonen til de gjenværende elementene. For eksempel er sekvensen som dannes av de positive partallene (2, 4, 6, …) en delsekvens av de naturlige tallene (1, 2, 3, …). Plasseringen av noen elementer endres når andre elementer fjernes. De relative posisjonene er imidlertid bevart. $\{a_{n}\}$

Formelt sett er en undersekvens av en sekvens en hvilken som helst sekvens av formen , der er en strengt økende sekvens av positive heltall. For en sekvens er det åpenbart flere undersekvenser. [ 1 ] $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }$ $\{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$

Monotone sekvenser

I en monoton sekvens er forskjellen mellom hvert ledd og det neste alltid av samme fortegn. De kan være økende eller avtagende. [ 2 ]

En økende sekvens er en der den ikke-strenge ulikheten gjelder, det vil si hvor hvert ledd er mindre enn eller lik det følgende ledd. Innenfor disse kan blant annet inkluderes konstante sekvenser . Hvis betingelsen som er pålagt, det vil si at neste ledd alltid er strengt tatt større enn forgjengeren , kalles de strengt økende sekvenser . $a_n^{} \leq a_{n+1}$ $a_n^{} < a_{n+1}$ $a_{n+1}^{}$ $a_n^{}$

På samme måte kan den avtagende sekvensen defineres , i henhold til den generelle termen, hvis . Den vil være strengt minkende hvis . $a_n^{} \geq a_{n+1}$ $a_n^{} > a_{n+1}$

Eksempel på en økende sekvens
Eksempel på en avtagende sekvens

Avgrensede sekvenser

Tre former for avgrenset suksesjon kan gis:

En sekvens { a n } vil være avgrenset ovenfor hvis det er et reelt tall M som begrenser sekvensen som følger: { a n } ≤ M .
På den annen side vil sekvensen være avgrenset nedenfra når et reelt tall N begrenser den på motsatt måte av den forrige: { a n } ≥ N .
Til slutt, hvis begge alternativene er gitt, vil { a n } være en avgrenset sekvens .

Grenser og konvergens

Konvergerende sekvenser

En viktig egenskap ved sekvenser er konvergens . Hvis en sekvens konvergerer, nærmer den seg en bestemt verdi kjent som grensen . Hvis en sekvens konvergerer til en eller annen grense, er den konvergent . En sekvens som ikke er konvergent er divergent .

Uformelt har en sekvens en grense hvis elementene i sekvensen kommer nærmere og nærmere en verdi (kalt grensen for sekvensen), og holder seg "vilkårlig" nær , noe som betyr at gitt et reelt tall større enn null, alle unntatt et begrenset antall elementer i sekvensen har en avstand til mindre enn . $L$ $L$ $\varepsilon$ $L$ $\varepsilon$

Formelt konvergerer en sekvens til eller har en grense (når ), og skrives, $\{a_n\}, \ a_n \i \mathbb{R}$ $L$ $L$ $n \høyrepil \infty$

$\limn}a_{n}=L$

når,

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\mid a_{n}-L\mid <\varepsilon ,\forall n\geq n_{0}$

Dette betyr at sekvensen er konvergent hvis det er et sted (i sekvensen) hvor forskjellen mellom sekvensens ledd og grensen er liten.

Det kan enkelt verifiseres at hvis en sekvens er konvergent, så er den unik (reductio ad absurdum brukes og en motsigelse oppnås) og sekvensen er avgrenset (umiddelbar konsekvens av definisjonen). $\{a_n\}, \ a_n \i \mathbb{R}$ $\lim_{n} a_n$

De oscillerende sekvensene er divergerende. Termene veksler på ubestemt tid fra dur til moll eller omvendt, så de har ingen grense. Intuitivt kalles det en alternativ sekvens når den veksler verdier med motsatt fortegn , ettersom den genererer sekvensen: en 0 =1, -1, 1, -1, 1, -1, …, brukt av alternative serier . $a_n=(-1)^{n}$

Cauchy sekvenser

Gitt sekvensen { a n } av reelle tall, kalles den Cauchy -sekvensen eller fundamental sekvens , i tilfelle den tilfredsstiller følgende krav: gitt et positivt reelt tall r , kan to positive heltall p oppnås , q slik at fra p > n 0 og q > n 0 det følger at | cp - cq | _ _ < r . [ 3 ]

I reelle tall konvergerer hver Cauchy-sekvens til en eller annen grense. Denne særegenheten innebærer et viktig resultat i den virkelige analysen, som er Cauchy-karakteriseringen for konvergens av sekvenser :

En sekvens av reelle tall er konvergent (til de reelle) hvis og bare hvis den er Cauchy.

Metriske mellomrom som bekrefter implikasjon til venstre kalles komplette mellomrom. Det er med andre ord en komplett plass. Generelt kan det enkelt bevises at det er en komplett plass. $\mathbb{R}$ $\mathbb {R}{N}$

Utvidelse til reals

Gitt en funksjon vil vi kalle utvidelse i realene til en funksjon hvis verdier sammenfaller i domenet til , det vil si . $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ $f_{}^{}$ $Q: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $f_{}^{}$ $f_{ | \mathbb{N}}=P_{ | \mathbb{N}}$

Det er feil å representere utvidelsen i realene med samme navn ( ), siden det er en totalt vilkårlig og ikke-unik assosiasjon som skaper forvirring og ikke gir mening for enkelte stykkevise funksjoner . Den utvidede kalles vanligvis for eksempel , eller hvis det er et polynom, eller hvis de er trigonometriske funksjoner, og legger til abonnenter om nødvendig. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{}$ $\psi_{}^{}$ $g_{}^{}$ $h_{}^{}$

Funksjonen f kan tilegne seg egenskaper til den utvidede P , hvis det er P med disse egenskapene, for eksempel grenser til uendelig, monotonisitet, begrensethet, blant andre.

Generalisering på forskjellige områder

Disse eksemplene er ment å være et lite utvalg av uendeligheten, strengt tatt, av bruksområder som disse sekvensene har i matematikk.

Det interne arbeidet med utviklingen av hvert tema i hvert område tvinger oss til å diversifisere måten å navngi og notere suksesjonene på, og blir hyppig bruk av indekser, abonnenter og hevet skrift for å spare overbelastningen av notasjon og gjøre dem mer lesbare og estetiske. av visualisering, presentasjon.

Rommet til komplekse endelige sekvenser ℂ

Du kan ha en slik sekvens $\left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ ${a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...)\text{, hvor } a_j^ {(i)}}\in \mathbb{C}-\venstre\{0\right\}$

Rommet av komplekse sekvenser eller ℓ ‍ 2 ‍ℂ ‍ n

Du kan ha en slik sekvens $\left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ ${V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)})\text{, hvor } a_j^{(i)}}\i \ mathbb{C}$

Polynomrommet K  [ x  ]

Et polynom er ikke noe mer enn en endelig rekkefølge slik som representert som . $P(x) \i K[x]$ $\left\{{a_n}\right\}_n$ $a_n \i K$ $P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Mellomrommet til M m  × n  ( k  ) matrisene

Du kan ha en sekvens slik at , hvor . $\left\{{A_i}\right\}_{i \in \mathbb{N}}$ $A_i:= \begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & \ldots & a_{1,n}^{(i)} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m,1 }^{(i)} & \ldots & a_{m,n}^{(i)} \end{pmatrix}$ $a_{j,k}^{(i)} \i K$

Du kan ha en sekvens , hvor , hvor er en vilkårlig reell sekvens og B er en åpen. $\left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$ $V_n^{}:= \alpha_n B$ $\alpha_n \in \mathbb{R}$

Funksjonelle sekvenser

Du kan ha en rekke kontinuerlige funksjoner . $\left\{{{f(x)}_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}=\sin(x)^n$

På proposisjonsspråk

La det være et alfabet, vi vil kalle settet med endelige sekvenser av n elementer av , det er definert induktivt av følgende sekvens av kartesiske produkter: $\mathrm {A} }$ $\mathrm {A}<n}$ $\mathrm {A} }$ $\mathrm {A} 1}=\mathrm {A} ,\mathrm {A} 2}=\mathrm {A} \times \mathrm {A} ,\,\cdots ,\,\ mathrm {A} <n}:=\mathrm {A}<n-1}\ ganger \mathrm {A}$

som dette . $\langle a_{1},\cdots ,a_{n}\rangle :=\langle \langle a_{1},\cdots ,a_{n-1}\rangle ,a_{n}\rangle \in \mathrm {A}<n}{\text{, og }}a_{i}:=\langle a_{i}\rangle \in \mathrm {A}$

I enkel homologi

Det enkle kjedekomplekset til det enkle komplekset K er ikke noe mer enn en gitt rekkefølge av abelske grupper og morfismer.

På språket for kategorier

La være en kategori, vi kan ha en sekvens , hvor . $\mathcal{A}$ $\left\{{A_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ $A_{n}^{}\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})$

Se også

Referanser

↑ Watson Fulks. Avansert beregning. limousin Mexico, 1973
↑ A.Bouvier: Dictionary of Mathematics (1979)
↑ Lages Lima. Matematisk analysekurs. Edunsa. Barcelona, 1991

Bibliografi

Fernandez Novoa, Jesus (1991). Matematisk analyse I (Volum 1) . Madrid: UNED. ISBN 9788436216684 .
Watson Fulks. avansert beregning
J. Dieudonne. Grunnleggende om moderne analyse
Lima-sjøene. Matematisk analysekurs
Banach. Beregning
Spivak. kalkulus

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har et mediegalleri om Succession .
Beregning av formelen til en sekvens
Innholdet i denne artikkelen inneholder materiale fra en oppføring i Universal Free Encyclopedia , publisert på spansk under Creative Commons Share-Alike 3.0- lisensen .