Agoh – Giuga formodning

I tallteori antyder Agoh-Giuga-formodningen at et positivt heltall p er et primtall hvis og bare hvis

pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.

hvor er (p-1) -th Bernoulli-tallet . $B_{p-1}$

Den ble oppkalt etter Takashi Agoh og Giuseppe Giuga.

Tilsvarende formulering

Formuleringen ovenfor av formodningen skyldes Takashi Agoh (1990); en tilsvarende formulering skyldes Giuseppe Giuga, som i 1950 antok at p er primtall hvis

1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}

eller lignende,

\sum​​i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}.

Det er lett å vise at å anta at p er et primtall er tilstrekkelig til å hevde kongruensrelasjonen, siden hvis p er primtall, sier Fermats lille setning at

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

hvor , og resultatet følger av at $a=1,2,\dots ,p-1$ $p-1\equiv -1{\pmod {p}}.$

Delstat

Utsagnet forblir en formodning, siden det faktum at hvis et tall n ikke er primtall (det vil si at n er sammensatt ) ennå ikke er bevist , så holder ikke formelen. Det har imidlertid vist seg at et sammensatt tall n tilfredsstiller formelen hvis og bare hvis det er både et Carmichael- tall og et Giuga-tall , og at hvis et slikt tall eksisterer, må det ha minst 13 800 sifre (Borwein, Borwein , Borwein , Girgensohn, 1996).

Forholdet til Wilsons teorem

Agoh-Giuga-formodningen har en viss likhet med Wilsons teorem , som allerede er bevist. Wilsons teorem sier at et tall p er primtall hvis og bare hvis

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}},

eller lignende,

\prod{i=1}^{p-1}i\equiv -1{\pmod {p}}.

For en oddetall p har vi det

\prod{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}},

Og for p=2 har vi det

\prod{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

Hvis Agoh-Giuga-formodningen viste seg å være sann, ville en kombinasjon av dette resultatet med Wilsons teorem indikere at et tall p er primtall hvis og bare hvis

\sum{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}

\prod{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

Referanser

Agoh, Takashi (1995). «On Giuga's conjecture» [On Giuga's conjecture]. Mathematica Manuscript 87 ( 4): 501-510. doi : 10.1007/bf02570490 .
Borwein, D .; Borwein, J .; Borwein, P.B .; Girgensohn, R. (1996). Giugas formodning om primalitet . American Mathematical Monthly 103 : 40-50. doi : 10.2307/2975213 . Arkivert fra originalen 31. mai 2005 . Hentet 30. januar 2016 .
Giuga, Giuseppe (1951). «Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi» [Om en antatt karakteristisk egenskap ved primtall]. Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (på italiensk) 83 : 511-518. ISSN 0375-9164 .
Sorini, Laerte (2001). «Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga» [En heuristisk metode for løsning av Giuga-formodningen]. Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (på italiensk) 68 . ISSN 1720-9668 .

v du og Primetallsformodninger

Hardy-Littlewood 1 2 Agoh Giuga Andrica Artin Bateman-Horn brokort Bunyakovsky Kinesisk hypotese Cramer dickson dubner Elliott-Halberstam Firoozbakht Gilbreath Grimm Landau problemer Goldbach Svak Legendre tvillingsøskenbarn Legendre er konstant Lemoine Mersenne Oppermann Polignac Polya Redmond – Søn Schinzels H-hypotese Waring primtall