Chebyshev polynomer

I matematikk er Chebyshev-polynomene , oppkalt etter Pafnuti Chebyshev , [ 1 ] en familie av ortogonale polynomer som er relatert til De Moivres formel og som lett kan defineres rekursivt, slik tilfellet er med tallene til Fibonacci- eller Lucas-tall . Det skilles vanligvis mellom Chebyshev-polynomer av den første typen, som er betegnet med T n , og Chebyshev-polynomer av den andre typen , betegnet U n . Bokstaven T brukes for den alternative translitterasjonen av navnet Chebyshev som Tchebychef eller Tschebyscheff .

Chebyshev-polynomene T n eller U n er polynomer av grad n og sekvensen av Chebyshev-polynomer av enhver type danner en familie av polynomer.

Chebyshev-polynomer er viktige i tilnærmingsteori fordi røttene til Chebyshev-polynomer av den første typen, også kalt Chebyshev-noder , brukes som noder i polynominterpolasjon . Det resulterende interpolerende polynomet minimerer Runge-fenomenproblemet og gir en nær tilnærming av polynomet til den beste tilnærmingen til en kontinuerlig funksjon under maksimal norm . Denne tilnærmingen fører direkte til Clenshaw–Curtis kvadraturmetoden .

I studiet av differensialligninger oppstår de som løsningen på Chebyshevs differensialligninger

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!

for polynomer av henholdsvis første og andre type. Disse ligningene er spesielle tilfeller av differensialligningen Sturm – Liouville .

Definisjon

Chebyshev-polynomene av den første typen er definert av gjentakelsesrelasjonen

T_0(x) = 1 \,\!

T_1(x) = x \,\!

T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,\!

Et eksempel på en genererende funksjon for T n er

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Chebyshev-polynomer av den andre typen er definert av gjentakelsesrelasjonen

U_0(x) = 1 \,\!

U_1(x) = 2x \,\!

U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,\!

Et eksempel på en genererende funksjon for U n er

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}. \,\!

Trigonometrisk definisjon

Chebyshev-polynomene av den første typen kan defineres av den trigonometriske identiteten :

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

fra hvor:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,\!

for n = 0, 1, 2, 3,..., mens den andre typen polynomer tilfredsstiller:

U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta} \,\!

som er strukturelt lik Dirichlet-kjernen .

At cos( nx ) er et polynom av n. grad i cos( x ) som kan oppnås ved å merke seg at cos( nx ) er den reelle delen av den ene siden av De Moivres formel , og at den reelle delen av den andre siden er en polynom i cos( x ) og sin( x ), der alle potenser av sin( x ) er jevne, kan deretter erstattes via identiteten cos²( x ) + sin²( x ) = 1.

Denne identiteten er veldig nyttig i forbindelse med den rekursive genererende formelen, som lar cosinus til et hvilket som helst multippelintegral av en vinkel beregnes utelukkende i form av cosinus til grunnvinkelen. Evaluering av de to første Chebyshev polynomene:

T_0(x)=\cos\ 0x\ =1 \,\!

T_1(\cos(x))=\cos\ (x) \,\!

man kan direkte fastslå at:

\cos(2 \theta)=2\cos\theta \cos\theta - \cos(0 \theta) = 2\cos^{2}\,\theta - 1 \,\!

\cos(3 \theta)=2\cos\theta \cos(2\theta) - \cos\theta = 4\cos^3\,\theta - 3\cos\theta \,\!

og så videre. For å trivielt teste om resultatene virker rimelige, er det tilstrekkelig å legge til koeffisientene på begge sider av likhetstegnet (det vil si å sette theta lik null, i så fall er cosinus lik enhet), og oppnå at 1 = 2 - 1 i første uttrykk og 1 = 4 - 3 i det andre.

En umiddelbar konsekvens er komposisjonsidentiteten

T_n(T_m(x)) = T_{n\cdot m}(x).\,\!

Eksplisitt

T_n(x) = \begin{cases} \cos(n\arccos(x)), & \ x \i [-1,1] \\ \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\ \end{tilfeller} \,\!

(ikke å glemme at de inverse hyperbolske cosinusene til x og − x er forskjellige med konstanten π). Fra et lignende resonnement som det forrige, er det mulig å utvikle en lukket form for generatrisen til Chebyshev-polynomer av den tredje typen:

\cos(n \theta)=\frac{e^{i \theta}+e^{-in \theta}}{2}=\frac{(e^{i \theta})^n+(e^{ i \theta})^{-n}}{2} \,\!

som, kombinert med De Moivres formel :

\! e^{i \theta}=\cos\theta+i \sin\theta=\cos\theta+i \sqrt{1-\cos^2\theta}=\cos\theta+\sqrt{\cos^2\ theta-1} \,\!

leveranse:

\cos(n \theta)=\frac{\left(\cos\theta+ \sqrt{\cos^2\theta-1}\right)^n+\left(\cos\theta+ \sqrt{\cos^2\ theta-1}\,\right)^{-n}}{2} \,\!

uttrykk som selvfølgelig er en mye raskere måte å bestemme cosinus til N ganger en gitt vinkel enn å iterere omtrent N ganger i den rekursive formen. Til slutt, ved å erstatte x , kan vi skrive: $\cos(\theta)$

T_n(x)=\frac{\left(x+ \sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+ \sqrt{x^2-1}\right)^{-n}}{2 }.

Definisjon fra Pells ligning

Chebyshev-polynomene kan også defineres som løsningene til Pells ligning

T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!

i en ring R[ x ] (se f.eks. Demeyer (2007) , s.70). Dermed kan de genereres av standardteknikken for Pells ligninger for å ta krefter til en grunnleggende løsning:

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

Forholdet mellom Chebyshev polynomer av den første og andre typen

Chebyshev-polynomene av den første og andre typen er relatert gjennom følgende ligninger

\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots

T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).

T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,

T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

Gjentaksrelasjonen for den deriverte av Chebyshev-polynomene kan fås fra disse relasjonene

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{, }\quad n=1,\ldots

Denne relasjonen brukes i Chebyshevs spektrale metode for å løse differensialligninger.

Tilsvarende kan de to sekvensene også defineres fra et par gjensidige gjentakelsesligninger :

T_0(x) = 1\,\!

U_{-1}(x) = 0\,\!

T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,

U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)\,

Disse kan fås fra trigonometriske formler; for eksempel hvis , da $\scriptstyle x = \cos\vartheta$

\begin{align} T_{n+1}(x) &= T_{n+1}(\cos(\vartheta)) \\ &= \cos((n + 1)\vartheta) \\ &= \ cos(n\vartheta)\cos(\vartheta) - \sin(n\vartheta)\sin(\vartheta) \\ &= T_n(\cos(\vartheta))\cos(\vartheta) - U_{n- 1}(\cos(\vartheta))\sin^2(\vartheta) \\ &= xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x). \\ \end{align}

Merk at både disse og de trigonometriske ligningene antar en enklere form hvis vi følger den alternative konvensjonen med å skrive U n (polynomet av grad n) som U n +1 .

Egenskaper

Ortogonalitet

Både T n og U n danner en familie av ortogonale polynomer . Polynomer av den første typen er ortogonale med hensyn til vekt

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\!

på intervallet [−1,1], dvs. vi har:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\venstre\{ \begin{matrise} 0 &: n\ne m~~~~~\\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{matrise} \right. \,\!

Dette kan bevises ved å ta x= cos(θ) og bruke identiteten T n (cos(θ))=cos(nθ). På samme måte er polynomer av den andre typen ortogonale med hensyn til vekten

\sqrt{1-x^2} \,\!

på intervallet [−1,1], dvs. vi har:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = \begin{cases} 0 &: n\ne m\\ \pi/2 &: n =m \end{cases} \,\!

(som, når normalisert for å danne et sannsynlighetsmål , er den halvsirkelformede Wigner-fordelingen ).

Minimum standard $\infty$

Gitt noen , blant polynomene av grad med første koeffisient 1, er slik at den maksimale absolutte verdien i intervallet er minimum. Denne maksimale absolutte verdien er og når dette maksimum nøyaktig ganger: ved og og de andre endepunktene til . $1 \le n$ $n$ $f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)$ $[-elleve]$ $\frac1{2^{n-1}}$ $|f(x)|$ $n+1$ $-1$ $1$ $n-1$ $F$

Differensiering og integrasjon

Derivater av polynomer kan være mindre direkte. Ved å differensiere polynomene til deres trigonometriske former, er det lett å vise at:

\frac{d T_n}{dx} = n U_{n - 1}\,

\frac{d U_n}{dx} = \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1}\,

\frac{d^2 T_n}{dx^2} = n \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n \frac{(n + 1)T_n - U_n} {x^2 - 1}.\,

De to siste formlene kan være numerisk problematiske på grunn av divisjon med null (0/0 ubestemt form , spesifikt) ved x = 1 og x = −1. Det kan vises at:

\frac{d^2 T_n}{dx^2} \Bigg|_{x = 1} \!\! = \frac{n^4 - n^2}{3}

\frac{d^2 T_n}{dx^2} \Bigg|_{x = -1} \!\! = (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}

Når det gjelder integrasjonen, innebærer den første deriverte av T n det

\int U_n\, dx = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}\,

og tilbakefallsrelasjonen for polynomer av den første typen som involverer deriverte sier at

\int T_n\, dx = \frac{1}{2} \left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\ høyre) = \frac{n T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x T_n}{n - 1}.\,

Røtter og ender

Et Chebyshev-polynom av noe slag med grad n har n distinkte enkle røtter, kalt Chebyshev-noder , i intervallet [−1,1]. Ved å bruke den trigonometriske definisjonen og gitt det

\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(2k+1)\right)=0

det er lett å vise at røttene til T n er

x_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2k-1}{n}\right) \mbox{ , } k=1,\ldots,n.

På samme måte er røttene til U n

x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } k=1,\ldots,n.

En unik egenskap til Chebyshev polynomer av den første typen er at i intervallet −1 ≤ x ≤ 1 har alle ekstreme verdier verdier lik −1 eller 1. Både den første og andre typen har ekstremum ved kantpunktene, gitt av:

T_n(1) = 1\,

T_n(-1) = (-1)^n\,

U_n(1) = n + 1\,

U_n(-1) = (n + 1)(-1)^n\,

Andre egenskaper

Chebyshev-polynomene er et spesialtilfelle av Gegenbauer-polynomene , som igjen er et spesialtilfelle av Jacobi-polynomene .

For hvert ikke-negativt heltall n er T n ( x ) og U n ( x ) begge polynomer av grad n . De er partalls- eller oddetallsfunksjoner av x hvis n er partall eller oddetall, så når de er skrevet som polynomer av x , har de bare partall eller oddetall.

Den første koeffisienten til T n er 2 n − 1 hvis 1 ≤ n , men 1 hvis 0 = n .

Se også

Chebyshev noder
Tchebyshev filter
Chebyshev kuberot
Legendre polynomer
Hermittpolynomer
Rasjonelle Chebyshev-funksjoner
Clenshaw–Curtis kvadratur
Tilnærmingsteori

Referanser

^ Chebyshev polynomer ble først presentert i: PL Chebyshev (1854) «Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes», Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg , vol. 7, s. 539–586.

Eksterne lenker

Modul for Chebyshev Polynomials av John H. Mathews
Chebyshov Interpolation: An Interactive Tour , inkluderer en illustrativ Java-applet .