Aritmetisk progresjon

I matematikk er en aritmetisk sekvens en tallsekvens slik at forskjellen mellom to påfølgende ledd i sekvensen er konstant , en slik mengde som kalles "forskjellen i progresjonen", "forskjellen" eller til og med "avstand".

For eksempel er den matematiske sekvensen 3, 5, 7, 9,... en aritmetisk sekvens med konstant forskjell 2, akkurat som 5, 2, −1, −4,... er en aritmetisk sekvens med konstant forskjell −3.

Formulering

I en aritmetisk progresjon, hvis to påfølgende ledd av noen av det tas, er forskjellen mellom dem en konstant, kalt forskjellen. Dette kan uttrykkes som en gjentakelsesrelasjon som følger:

a_{n+1}-a_{n}=d

Når du kjenner det første leddet a 1 og differansen d , kan det n'te leddet i progresjonen beregnes ved suksessiv substitusjon i gjentaksrelasjonen

a_{1},\,\underbrace {(a_{1}+d)}​​a_{2}},\,(\underbrace {\underbrace {a_{1}+d}​​a_{ 2}}+d} a 3 ),\,\cdots \,,\,(\underbrace {\underbrace {a 1}+(n-2)d} a n-1 }}+d} a n )

som gir en formel for den generelle termen for en aritmetisk progresjon, kompakt skrevet som:

( jeg ) $a_{n}=a_{1}+{(n-1)}{d}\,$

der d er et hvilket som helst reelt tall .

Den generelle termen kan også skrives på en annen måte. For dette vurderes begrepene a m og a n ( m < n ) av forrige progresjon, og de settes som en funksjon av a 1 :

{\begin{matrix}a_{m}=&a_{1}+(m-1)d\\a_{n}=&a_{1}+(n-1)d\end{matrise}}

Ved å trekke fra begge likhetene og transponere får vi:

( II ) $a_{n}=a_{m}-(mn)d\,$

uttrykk mer generelt enn ( I ), siden det gir vilkårene for progresjonen å kjenne en av dem, og forskjellen.

Monotoni

Avhengig av om forskjellen d i en aritmetisk progresjon er positiv, null eller negativ, har vi: [ 1 ] [ 2 ]

Ja , progresjonen øker monotont . Hvert ledd er større enn eller lik den forrige ( ). Som progresjonen 3, 6, 9, 12, 15, 18... ( d =3). $d>0$ $a_{n+1}\geq a_{n}$
Ja , progresjonen er monotont avtagende . Hvert ledd er mindre enn eller lik den forrige ( ). Som progresjonen 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7... ( d =-2). $d<0$ $a_{n+1}\leq a_{n}$
Ja , progresjonen er konstant . Alle ledd er like ( ). Som progresjonen 2, 2, 2, 2, 2... ( d =0). $d=0$ $a_{n+1}=a_{n}$

Rekursiv definisjon

En aritmetisk progresjon som er en sekvens der det første leddet er b og forskjellen d av to påfølgende ledd er konstant, defineres av følgende to betingelser:

a_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &b\\si&n>1&\longrightarrow &a_{n-1}+d\end{array}}\right .

er en andreordens rekursiv ligning [ 3 ]

Sum

Summen av leddene i et innledende segment av en aritmetisk progresjon er noen ganger kjent som en aritmetisk serie . Det er en formel for aritmetiske rekker. Summen av de første n verdiene av en endelig sekvens er gitt av formelen:

\sum{i=1}^{n}a_{i}={n(a_{1}+a_{n}) \over 2}\,

hvor er første ledd, er siste ledd, og er summeringsnotasjon . $a_1$ $a_{n}$ $\Sigma$

Tenk for eksempel på summen:

2+5+8+11+14

Summen kan raskt beregnes ved å ta antall ledd n i sekvensen (i dette tilfellet 5), multiplisere med første og siste ledd i sekvensen (her 2 + 14 = 16), og dividere med 2. Ta formelen , det ville vært:

2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.

Denne formelen fungerer for enhver aritmetisk progresjon av reelle tall som vet og . For eksempel: $a_1$ $a_{n}$

\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}= {\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}} .

Få frem formelen

La det være en aritmetisk progresjon av generell ledd og differanse d , summen av n ledd er: $a_{n}\,$

\sum{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1 } +(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)\,

ved å bruke formel ( II ), kan hvert ledd a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m av progresjonen uttrykkes i termer av den n-te som . Så: $\textstyle a_{m}=a_{n}-(nm)d\,$

\sum{i=1}^{n}a_{i}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots + (an_{n}-2d)+(an_{n}-d)+an_{n}\,

Legger medlem til medlem de to foregående likhetene, kansellerer alle leddene som multipliseres med d :

2\sum​​i=1}^{n}a_{i}=n(a_{1}+a_{n})\,

av det du får det

\sum{i=1}^{n}a_{i}=n{\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\,

Vilkår

I enhver aritmetisk progresjon av differansen d er summen av det første og siste leddet lik summen av det andre og nest siste ledd, med det til det tredje og nest siste ledd, og så videre. Det vil si at summen av to ledd like langt fra endepunktene er konstant, så lenge ( n - k )≥1.

a_{1}+a_{n}=a_{1+k}+a_{nk}=2a_{1}+(n-1)d=\mathrm {cte} \,

Hvis progresjonen har et oddetall av ledd, er den sentrale termen ved c den som, på grunn av plassen den opptar i progresjonen, er like langt fra sine ytterpunkter a 1 og n .

Representert på denne måten er det veldig enkelt å utlede formelen for summen av de n leddene i progresjonen, beskrevet ovenfor. For tilfellet hvor antall ledd er partall, er det n /2 konstante summer, med verdi ( a 1 + a n ). For oddetall er det ( n -1)/2 summer med verdi ( a 1 + a n ) pluss mellomleddet, som er plassert ved posisjon

c={\frac {n+1}{2}}\,

Ved å erstatte c i formelen ( I ) og operere litt, er begrepet også representert som en funksjon av ( a 1 + a n ), som

a_{c}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\,

så totalt er det n /2 summer med verdi ( a 1 + a n ) som i partall og formelen er gyldig for alle n .

Bemerkelsesverdige eksempler

Å finne summen av de første n positive heltallene tilsvarer å beregne den aritmetiske rekken av de n leddene i den aritmetiske progresjonen av differansen d = 1 og innledende ledd a 1 = 1:

1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\,

som for hver verdi av n også er kjent som et trekantet tall .

En velkjent historie er historien om oppdagelsen av denne formelen av Carl Friedrich Gauss da han var ti år gammel. Læreren hans, i den første aritmetikkklassen, ba elevene om å finne summen av de første 100 tallene, og han regnet umiddelbart ut resultatet: 5050. [ 4 ]

Produkt

Produktet av leddene til en endelig aritmetisk progresjon hvis startledd er a 1 , forskjellen d og n elementer totalt er gitt av uttrykket i lukket form

\prod{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d \ venstre({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({ \ frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline { n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{ 1 }}{d}}\right)}},

hvor angir den stigende faktoren og angir Gamma-funksjonen . (Merk imidlertid at formelen er ugyldig når den er et negativt heltall eller null.) $x^{\overline {n}}$ $\Gamma$ $a_{1}/d$

Dette er en generalisering av det faktum at produktet av progresjonen er gitt av faktoren og at produktet $1\ ganger 2\ ganger \cdots \ ganger n$ $n!$

m\ ganger (m+1)\ ganger (m+2)\ ganger \cdots \ ganger (n-2)\ ganger (n-1)\ ganger n\,\!

for positive heltall og er gitt av $m$ $n$

{\frac {n!}{(m-1)!}}.

Ved å ta formelen ovenfor, for eksempel, er produktet av leddene til den aritmetiske progresjonen gitt av a n = 3 + ( n -1)5 opp til det 50. leddet

P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {3}{5}}+50\right)}{\Gamma \left({\frac { 3}{5}}\right)}}\ca. 3,78438\ ganger 10^{98}.

Se også

Referanser

↑ Sapiña, R. «Løste problemer med aritmetiske progresjoner» . Problemer og ligninger . ISSN 2659-9899 . Hentet 15. mai 2020 .
↑ Llopis, José L. "Aritmetiske rekkefølger eller progresjoner" . Matheasy . ISSN 2659-8442 . Hentet 15. mai 2020 .
↑ Markushevich: Gjentakende arvefølger
^ Sartorius von Waltershausen, W. (1966) [1856], Carl Friedrich Gauss: A Memorial , oversatt av Helen Worthington Gauss, Colorado Springs, Colorado , hentet 2016-01-15 .

Weisstein, Eric W. Aritmetisk progresjon . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Weisstein, Eric W. «Aritmetikkserie» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .

Eksterne lenker

Øvelser med aritmetiske progresjoner (ematematicas.net)
Aritmetiske progresjonskalkulatorer (matesfacil.com)
Løs trinn i aritmetisk rekkefølge (trinn for trinn)