Kropp (matematikk)

I matematikk, spesielt innen abstrakt algebra , er et felt (noen ganger kalt et felt som en oversettelse av engelsk felt ) et algebraisk system [ 1 ] der operasjonene kalt addisjon og multiplikasjon kan utføres og oppfylle egenskapene: assosiativ , kommutativ og distributiv av multiplikasjon med hensyn til addisjon, [ 2 ] i tillegg til eksistensen av additiv invers, multiplikativ invers og et nøytralt element for addisjon og et annet for multiplikasjon, som gjør det mulig å utføre subtraksjonsoperasjoner og divisjon (unntatt divisjon med null ); disse egenskapene er allerede kjent fra aritmetikken til rasjonelle tall.

Felt er viktige algebraiske strukturer for studier i ulike grener av ren matematikk : abstrakt algebra , matematisk analyse , tallteori , geometri , topologi , matematisk fysikk , etc.; siden de gir passende generaliseringer av binære operasjoner på sett og tallsystemer som settene med rasjonelle tall , reelle tall og komplekse tall .

Konseptet med et felt brukes for eksempel til å formelt definere og konstruere et vektorrom og transformasjonene på disse objektene, gitt av matriser , objekter i lineær algebra hvis komponenter kan være elementer i et vilkårlig felt. Galois- teorien studerer symmetrirelasjonene i algebraiske ligninger, fra observasjonen av oppførselen til røttene deres og utvidelsene til tilsvarende kropper og deres forhold til automorfismer til tilsvarende kropper.

Definisjon

Et felt er en kommutativ divisjonsring , det vil si en kommutativ og enhetlig ring der hvert element som ikke er null er inverterbart med hensyn til produktet. Derfor er en kropp et sett K der to operasjoner er definert , + og ·, kalt henholdsvis addisjon og multiplikasjon , som oppfyller følgende egenskaper:

K er lukket for addisjon og multiplikasjon

For alle a , b i K tilhører a + b og a · b K (eller mer formelt er + og · matematiske operasjoner på K );

Assosiativitet av addisjon og multiplikasjon

For alle a , b , c i K , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c og a · ( b · c ) = ( a · b ) · c .

Kommutativitet av addisjon og multiplikasjon

For alle a , b i K , a + b = b + a og a b = b a . _

Eksistensen av et nøytralt element for addisjon og multiplikasjon

Det finnes et element 0 i K , slik at for alle a i K , a + 0 = a . Det finnes et element 1 i K , forskjellig fra 0, slik at for alle a i K , a · 1 = a .

Eksistens av motsatt element og invers:

For hver a i K finnes det et element -a i K , slik at a + (-a ) = 0. For hver a ≠ 0 i K eksisterer det et element a -1 i K , slik at a · a -1 = 1.

Fordeling av multiplikasjon med hensyn til addisjon

For alle a , b , c , i K , a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ).

Kravet a ≠ 0 sikrer at settet som inneholder bare én null ikke er et felt, og eliminerer forresten muligheten for nulldelere som ikke er null i feltet , noe som også gjør det til et integritetsdomene . Direkte fra aksiomene kan det vises at ( K , +) og ( K - { 0 }, ) er kommutative -1tilinversog-amotsatt) ergruppeteoriog at derfor (segrupper en . Inversen til et produkt er også lik produktet av inversene:

( a b ) -1 = a -1 b -1

forutsatt at a og b er forskjellige fra null. Andre nyttige regler inkluderer

- a = (-1) a

og mer generelt

- ( a b ) = ( - a ) b = a ( - b )

i tillegg til

a 0 = 0,

alle kjente regler for elementær aritmetikk .

Alternative definisjoner

Syntetisk kalles en ring P en «kropp», hvis den ikke bare består av null og i den er deling mulig i alle tilfeller (unntatt divisjon med null), og bestemmer dette entydig, det vil si om for ethvert element m og n av P , hvorav n er forskjellig fra null, finnes det i P ett element q , og bare ett som tilfredsstiller likheten nq = m . Elementet q kalles kvotienten av elementene m og n og betegnes q = m / n . [ 3 ]

Et felt F er et integritetsdomene som inneholder for hvert element a ≠ 0 en "invers" til -1 som bekrefter likhet:

a -1 a = 1. [ 4 ]

Feltet H er en kommutativ ring med enhet 1 ≠ 0, hvor hvert element ≠ 0 er inverterbart. Gruppen H * = U(H), dannet av alle elementene som har en multiplikativ invers, kalles "feltets multiplikasjonsgruppe".

Feltet resulterer (a) som en hybrid av to abelske felt, det ene additiv og det andre multiplikativ, knyttet sammen av den distributive loven, at en presentasjon er nok til å nyte den kommutative egenskapen til multiplikasjon. Produktet CD -1 er skrevet i brøknotasjon som c/d. Brøken c/d bestemmes kun når d ≠ 0, det er den eneste løsningen av ligningen dt = c. [ 5 ]

Indikasjoner for brøker

l/m = n/p sss lp = mn, m,p ≠ 0. Ekvivalens av brøker
l/m + n/p = (lp +mn) / mp. m,p ≠ 0. Addisjon av to fraksjoner.
-(l/m) = -l/m = l/-m, m ≠ 0, motsatt av en brøk
l/m × n/p = ln/mp, m,p ≠ 0. Multiplikasjon av to brøker
(l/m) -1 = m/l, l, m ≠ 0. Multiplikativ invers. [ 5 ]

Identitetselementene vurderes:

1 = m/m for enhver m som ikke er null.
0 = 0/m for alle m≠0.

Eksempler på kropper

Rasjonell og algebraisk

De rasjonelle tallene er et tallfelt som inkluderer en delmengde som er isomorf til heltallene , som på grunn av misbruk av notasjon også er betegnet som . Hvert rasjonelt tall kan representeres av et sett med brøker, men settet med rasjonaler bør ikke identifiseres med settet med brøker (siden 1/2 og 2/4 er to forskjellige brøker som representerer samme rasjonelle tall). For å definere rasjonalene, må en ekvivalensrelasjon på settet med brøker vurderes: $\mathbb Z$

$F=\left\{{a \over b}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}$

Ekvivalensrelasjonen mellom to brøker a / b og c / d er relatert hvis ad = bc , det vil si:

$\frac{a}{b} \thicksim \frac{c}{d} \iff annonse = bc$

Under disse forholdene er settet med rasjonaler settet med ekvivalensklasser som settet med brøker er delt inn i . $\mathbb{Q} = F/\thicksim$

De rasjonelle tallene danner ikke et algebraisk lukket felt , en viktig teorem fra feltteori beviser eksistensen av et algebraisk lukket felt som inneholder det første (strengt en isomorf sett ). Siden rasjonalene ikke er algebraisk lukket, deres algebraiske lukking eksisterer og kan konstrueres , dette settet kalles feltet med algebraiske tall , det kan vises at: $\mathbb{A}$

$\mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{A} \subsetneq \mathbb{C}, \qquad \mathbb{A} \nsubseteq \mathbb{R}$

Komplekse tall inneholder både det algebraiske tallfeltet og de reelle tallene. Imidlertid inneholder de virkelige ikke de algebraiske siden for eksempel . Videre kan det vises at rasjonelle tall og algebraiske tall er tellbare sett mens reelle og komplekse tall ikke er: $i = \sqrt{-1} \in \mathbb{A}$

${\text{kort}}\ \mathbb {Q} ={\text{kort}}\ \mathbb {A} =\aleph{0}<{\text{kort}}\ \mathbb {R } ={\text{kort}}\ \mathbb {C} =2^{\aleph{0}}$

Reelle, komplekse og p - adiske tall

De reelle tallene med de vanlige operasjonene danner et felt. $\mathbb R$

De hyperreelle tallene danner et felt som inneholder de reelle tallene, pluss de uendelige og uendelige tallene. De surrealistiske tallene danner et felt som inneholder de reelle tallene, bortsett fra at de er en klasse for seg selv, ikke et sett. Settet med alle surrealistiske tall med "bursdag" mindre enn en viss utilgjengelig kardinal er en kropp.

De reelle tallene inneholder flere interessante underfelt: de algebraiske reelle tallene, de beregnelige tallene og de definerbare tallene .

Komplekse tall består av uttrykk av typen $\mathbb C$

a + b i

hvor i er den imaginære enheten , dvs. et (ikke-reelt) tall som tilfredsstiller i 2 = −1. Addisjon og multiplikasjon av de reelle tallene er definert på en slik måte at alle aksiomene i feltet gjelder for C. For eksempel tilfredsstiller fordelingsloven

( a + b i) · ( c + d i) = ac + bc i + ad i + bd i 2 , som er lik ac − bd + ( bc + ad )i.

De rasjonelle tallene kan utvides til de p-adiske tallfeltene for hvert primtall p .

Finite kropper

Det minste feltet har bare to elementer: 0 og 1. Det er merket med eller og kan noen ganger defineres av de to tabellene ${\mathbb F}_2$ ${\mathbb Z}_2$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline + & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \hline \mathbf{0} & 0 & 1 \\ \mathbf{1} & 1 & 0 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{|c|c|c|} \hline \cdot & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \hline \mathbf {0} & 0 & 0 \\ \mathbf{1} & 0 & 1 \\ \hline \end{array}

Den har viktige applikasjoner innen informatikk , spesielt boolsk algebra , kryptografi og kodingsteori .

Mer generelt, for et primtall , er settet med "heltall" modulo et begrenset felt med elementene: dette er ofte skrevet som hvor operasjoner er definert ved å utføre operasjonen på , dividere med og ta resten, se aritmetikk modulær . $s$ $s$ $s$ ${\mathbb Z}_p = \{ 0, 1,...,p-1\}$ $\mathbb Z$ $s$

Funksjonskropper

For et gitt felt K er mengden K ( X ) av rasjonelle funksjoner på variabelen X med koeffisienter på K et felt; dette er definert som settet med kvotienter av polynomer med koeffisienter i K.

Hvis K er et felt, og p ( X ) er et irreduserbart polynom i en ring av polynomer F [ X ], så er kvotienten F [ X ]/< p ( X )> et felt med et underfelt som er isomorf til K . For eksempel er R [ X ]/( X 2 +1) et felt (faktisk er det isomorft til feltet med komplekse tall).

Når K er et felt, er settet K [[X]] av formell Laurent-serie over K et felt.

Hvis V er en algebraisk variant over K , danner de rasjonelle funksjonene V → K et felt , funksjonsfeltet V. Hvis S er en Riemann-overflate , danner de meromorfe funksjonene fra S → C et felt.

Ultrafiltre

Hvis I er et indekssett, er U et ultrafilter på I , og Ki er et felt for hver i i I , er ultraproduktet til K i (ved å bruke U ) et felt.

Undertekster

La E og K være to felt med E et underfelt av K (det vil si en delmengde av K som inneholder 0 og 1, lukket under operasjonene + og * til K og med sine egne operasjoner definert av begrensning). La x være et element av K ikke i E. Da er E ( x ) definert som det minste underfeltet av K som inneholder E og x . For eksempel er Q ( i ) delfeltet til de komplekse tallene C som består av alle tall på formen a+bi hvor a og b er rasjonelle tall.

Noen innledende teoremer

Settet med ikke-null-elementer i et felt K (vanligvis betegnet med K × ) er en abelsk gruppe under multiplikasjon. Hver endelige undergruppe av K × er syklisk .

Karakteristikken til ethvert felt er null eller et primtall . (Karakteristikken er definert til å være det minste positive heltall n slik at n 1 = 0, eller null hvis det ikke er en slik n ; her betyr n 1 at n adderer 1 + 1 + 1 +... + 1.)

Hvis er en potens av et primtall , eksisterer det (med unntak av isomorfisme) nøyaktig ett begrenset felt med elementer. Videre er dette de eneste mulige endelige legemer. $q > 1$ $hva$

Som en ring har et felt ikke noe ideal bortsett fra {0} og seg selv.

Hver endelig divisjonsring er et felt ( Wedderburns teorem ).

For hvert felt K eksisterer det (med unntak av isomorfisme) et unikt felt G som inneholder K , er algebraisk over K og er algebraisk lukket . G kalles den algebraiske lukkingen av K.

Kroppskonstruksjoner

Underkropper og idealer

Hvis en delmengde E av et felt ( K ,+, ) sammen med operasjonene ·, + begrenset til E selv er et felt, kalles det et delfelt av K . Et slikt delfelt har samme 0 og 1 som K.

La være en kropp, og . Det sies å være et underfelt av eller å være en utvidelse av hvis det er sant at det er et felt når operasjonene og er begrenset til . Spesielt vil det da være en subring av . Vi har da det og er respektive undergrupper av de abelske gruppene og . $(K,+,\cdot)$ $E\delsettK$ $\E$ $\k$ $\k$ $\E$ $(E,+,\cdot)$ $\ (+)$ $(\cdot)$ $\E$ $\E$ $(K,+,\cdot)$ $\ (E,+)$ $(E \setminus \{0\}, \cdot)$ $\(K,+)$ $(K \setminus \{0\},\cdot)$

Siden hver kropp er en ring, kan vi spørre oss selv om formen på dens idealer . Til å begynne med, siden hver kropp er en kommutativ ring , er hvert venstre ideal ideelt (bilateralt) og hvert høyre ideal er også ideelt (bilateralt). Så vi trenger bare å studere kroppens idealer.

Hvis er et ideal for feltet , så må hvert element som ikke er null ha en invers, , så er det en enhet av [det vil si ], og det vil ha det , det vil si . På denne måten er de eneste idealene til en kropp kroppen selv og null-idealet. $\ÅÅ$ $\k$ $en \i K$ $a^{-1} \i K$ $\a$ $\k$ $a \i U(K)$ $I \cap U(K) \neq \varnothing$ $\ I=K$

Brødtekst

Gitt en ring , som også er et integritetsdomene , er feltet dannet av kvotienten til settet ( der angir settet med ikke-null-elementer) under ekvivalensrelasjonen definert av: ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}^{*}$ ${\mathcal {A}}^{*}$ ${\mathcal {A}}$ $\mathcal{R}$

(a,b)\ {\mathcal {R}}\ (c,d)\ \leftrightarrow \ ad=bc

sammen med operasjonene

sum: , og

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)

produkt :.

(a,b)\ ganger (c,d)=(ac,bd)

Paret er vanligvis representert som , og feltet av brøker er betegnet som . Feltet med rasjonelle tall er hentet på denne måten fra ringen av heltall , med addisjons- og produktoperasjoner som generaliseringer av de vanlige for det numeriske settet. $(a,b)$ $\frac{a}{b}$ $Q({\mathcal {A}})$

Feltet med brøkdeler av en ring er, bortsett fra isomorfisme, det minste feltet som inneholder nevnte ring: hvis det er et felt som inneholder en ring , så . Spesielt . [ 7 ] $\mathbb {F}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}\subset Q({\mathcal {A}})\subseteq \mathbb {F}$ $Q(\mathbb {F} )=\mathbb {F}$

Konstruksjonen av funksjonsfeltet kan generaliseres til vilkårlige kommutative ringer for å danne « brøkringer », men i dette tilfellet må settet med tillatte nevnere (i stedet for ) være en hvilken som helst ikke-tom delmengde, som ikke inneholder null eller divisorer av null , og være lukket under multiplikasjon. Den resulterende ringen er ikke en kropp, men hvert element av er en enhet i ringen. [ 8 ] ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {A}}^{*}$ ${\mathcal {D}}$

Felt med rasjonelle funksjoner på ubestemt n

Gitt et domene med integritet , med brøkdel , er ringen av polynomer i ubestemte deler i seg selv et integritetsdomene. Vi kan deretter bruke konstruksjonen ovenfor på denne ringen av polynomer for å få brøkfeltet . ${\mathcal {A}}$ ${\mathbb{K}}$ $n$ ${\mathcal {A}}[X_{1},...,X_{n}]$ $Q({\mathcal {A}}[X_{1},...,X_{n}])$

Analogt kan feltet av brøkdeler av ringen av ubestemte polynomer konstrueres , som tar koeffisienter i . Begge deler av brøker faller sammen; dette kalles «feltet for ubestemte rasjonelle funksjoner i n» med koeffisienter i , og er betegnet med . [ 9 ] $n$ $\mathbb {K} [X_{1},...,X_{n}]$ ${\mathbb{K}}$ ${\mathbb{K}}$ $\mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})$

Følgelig er den dannet av kvotientene til polynomer $\mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})$

$\mathbb {K} (X_{1},...,X_{n})=\venstre\{{\frac {P(X_{1},...,X_{n})}{ Q(X_{1},...,X_{n})}}{\Big |}\ P,Q\in \mathbb {K} [X_{1},...,X_{n}], Q\neq 0\right\}/{\mathcal {R}}$

hvor:

{\frac {P}{Q}}{\mathcal {R}}{\frac {R}{S}}\iff PS=QR

Body extension

Se også: Forlengelse av kropper

En algebraisk utvidelse av et felt K er det minste feltet som inneholder K og en rot av et irreduserbart polynom p ( X ) i K [ X ]. Alternativt er den identisk med K - faktorringen [ X ]/( p ( X )), der ( p ( X )) er idealet spennet av p ( X ).

Bestilt brødtekst

En bestilt kropp er en kropp der det kan defineres en bestillingsrelasjon som er forenlig med kroppsoperasjoner, det vil si:

(x < y) \Høyrepil (x+z < y+z)

, for alle x , y og z .

(x > 0 \land y> 0) \Høyrepil x\cdot y > 0

, for alle x og y .

x > 0 \venstrepil -x < 0

, for enhver x .

Det rasjonelle og det reelle er ordnede felt, på den annen side i de komplekse er det ikke mulig å definere en rekkefølge som er kompatibel med gruppeoperasjonene (hvis i > 0 følger det at -1 > 0, hvis i < 0 følger det at ( -i ) ( -i ) = -1 > 0). $\mathbb{Q}$ $\R$ $\mathbb{C}$

Se også

Referanser

^ Birkhoff et al. Moderne algebra , Teide Barcelona
^ "Tallteori" (1985) Niven og Zuckerman; ISBN 968-18-0669-7 s. 69
↑ "Higher Algebra Course" (1981) AG Kurosch, oversatt av Emiliano Aparicio Bernardo Editorial Mir, Moskva, s. 282
^ "Moderne algebra" (1960) Birkhoff og Mac Lane; Oversettelse av Rafael Rodríguez Vidal; Redaksjonell Teide, Barcelona, s. 42
^ a b Kostrikin, 1983 .
↑ Gamboa og Ruiz, 2002 , s. 22.
↑ Dummit og Foote, 2004 , s. 263.
↑ Dummit og Foote, 2004 , s. 261.
↑ Gamboa og Ruiz, 2002 , s. 119-122.

Bibliografi

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakt algebra (3. utgave). Wiley.
Gamboa, José Manuel; Ruiz, Jesus M. (2002). Kommutative ringer og kropper . UNED.
Kostrikin, AI (1983). Introduksjon til algebra (2. utgave). Moskva: Mir.

Eksterne lenker

Weisstein, Eric W. «Felt» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Hazewinkel, Michael, red. (2001), "Field" , Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1556080104 .
Field på PlanetMath .
Wikibooks er vert for en bok eller manual om abstrakt algebra . inkludert et kapittel om kropper.