Sundaram-silen er en tabell over de sammensatte odde naturlige tallene , bygd opp av aritmetiske progresjoner ordnet i kolonner. Silen er basert på prinsippet om at ved å bestemme settet med odde sammensatte tall, kan settet med primtall utledes . Den n-te kolonnen har for første ledd (2 n + 1) 2 og for forskjell mellom påfølgende ledd d = 4 n + 2. Ethvert oddetall, forskjellig fra 1, som ikke finnes i tabellen, er primtall.
Tenk på et oddetall av formen , der p og q er naturlige tall og for noen naturlige k . Deretter,
slik at n ble funnet i pth - kolonnen og den kth - raden
Ved å variere p og k langs settet med tall som er produktet av to oddetall som finnes i tabellen, oppnås.
9 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
femten | 25 | ||||||||||
tjueen | 35 | 49 | |||||||||
27 | Fire fem | 63 | 81 | ||||||||
33 | 55 | 77 | 99 | 121 | |||||||
39 | 65 | 91 | 117 | 143 | 169 | ||||||
Fire fem | 75 | 105 | 135 | 165 | 195 | 225 | |||||
51 | 85 | 119 | 153 | 187 | 221 | 255 | 289 | ||||
57 | 95 | 133 | 171 | 209 | 247 | 285 | 323 | 361 | |||
63 | 105 | 147 | 189 | 231 | 273 | 315 | 357 | 399 | 441 | ||
69 | 115 | 161 | 207 | 253 | 299 | 3. 4. 5 | 391 | 437 | 483 | 529 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Sundaram var en matematiker fra India . Skjermen han publiserte i 1934 var noe annerledes enn modellen som presenteres her.
Den kvadratiske formen har minst ett par (k, j) løsninger i naturlige tall, for hver verdi av sammensatt p . Når p er sammensatt, kan k ha en hvilken som helst naturverdi og kan også være null, hvis tallet p er et kvadrat. Verdien av j er alltid fra null for sammensatt p . En unik (k, j) løsning , med j = 0, indikerer at p er et primtall i .
Hvis vi utvider kvadratet, er resultatet analogt med uttrykket [1]: .
Løsningene til den kvadratiske formen er ikke avgrenset ennå, så denne formelen kan ikke brukes til å bestemme primaliteten til et tall. Sikting er en nesten " brute force "-metode , også upraktisk for svært store antall.
Hvis vi omorganiserer Sundaram-sikten og skriver den på en annen måte, kan vi dele sammensatte tall inn i usammenhengende klasser:
Kriteriet som skal følges er å gruppere tallene som har samme minimumsdeler. Vi starter med 9, som er et kvadrat, og fortsetter med alle multiplene av 3 som ikke inneholder partallsfaktorer. Vi fortsetter med 25, som også er et kvadrat, og grupperer alle multiplene av 5 som ikke har mindre enn 5. Og så videre (legg merke til at 81 nå er i klassen vi startet med 9). Alle disse klassene av sammensatte naturlige tall er gruppert i to-og-to usammenhengende undergrupper.
Nå utvider vi innholdet i silen litt mer. Vi plasserer den laveste divisor som presedens for hver rute og aksepterer den som en representant for klassen (det er den laveste felles divisor i klassen). Videre legger vi til 2 og alle par som en tilleggsklasse, og vi har da alle naturlige tall -unntatt 1- delt inn i usammenhengende klasser. Dette indikerer at en kvotient av en ekvivalensrelasjon er utført . Representantene for disse klassene er primtallene.