Sundaram sikt

Sundaram-silen er en tabell over de sammensatte odde naturlige tallene , bygd opp av aritmetiske progresjoner ordnet i kolonner. Silen er basert på prinsippet om at ved å bestemme settet med odde sammensatte tall, kan settet med primtall utledes . Den n-te kolonnen har for første ledd (2 n + 1) 2 og for forskjell mellom påfølgende ledd d = 4 n + 2. Ethvert oddetall, forskjellig fra 1, som ikke finnes i tabellen, er primtall.

Tenk på et oddetall av formen , der p og q er naturlige tall og for noen naturlige k . Deretter,

slik at n ble funnet i pth - kolonnen og den kth - raden

Ved å variere p og k langs settet med tall som er produktet av to oddetall som finnes i tabellen, oppnås.

9
femten 25
tjueen 35 49
27 Fire fem 63 81
33 55 77 99 121
39 65 91 117 143 169
Fire fem 75 105 135 165 195 225
51 85 119 153 187 221 255 289
57 95 133 171 209 247 285 323 361
63 105 147 189 231 273 315 357 399 441
69 115 161 207 253 299 3. 4. 5 391 437 483 529
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Sundaram var en matematiker fra India . Skjermen han publiserte i 1934 var noe annerledes enn modellen som presenteres her.

En tilknyttet kvadratisk form

Den kvadratiske formen har minst ett par (k, j) løsninger i naturlige tall, for hver verdi av sammensatt p . Når p er sammensatt, kan k ha en hvilken som helst naturverdi og kan også være null, hvis tallet p er et kvadrat. Verdien av j er alltid fra null for sammensatt p . En unik (k, j) løsning , med j = 0, indikerer at p er et primtall i .

Hvis vi utvider kvadratet, er resultatet analogt med uttrykket [1]: .

Løsningene til den kvadratiske formen er ikke avgrenset ennå, så denne formelen kan ikke brukes til å bestemme primaliteten til et tall. Sikting er en nesten " brute force "-metode , også upraktisk for svært store antall.

En ekvivalensrelasjon

Hvis vi omorganiserer Sundaram-sikten og skriver den på en annen måte, kan vi dele sammensatte tall inn i usammenhengende klasser:

Kriteriet som skal følges er å gruppere tallene som har samme minimumsdeler. Vi starter med 9, som er et kvadrat, og fortsetter med alle multiplene av 3 som ikke inneholder partallsfaktorer. Vi fortsetter med 25, som også er et kvadrat, og grupperer alle multiplene av 5 som ikke har mindre enn 5. Og så videre (legg merke til at 81 nå er i klassen vi startet med 9). Alle disse klassene av sammensatte naturlige tall er gruppert i to-og-to usammenhengende undergrupper.

Nå utvider vi innholdet i silen litt mer. Vi plasserer den laveste divisor som presedens for hver rute og aksepterer den som en representant for klassen (det er den laveste felles divisor i klassen). Videre legger vi til 2 og alle par som en tilleggsklasse, og vi har da alle naturlige tall -unntatt 1- delt inn i usammenhengende klasser. Dette indikerer at en kvotient av en ekvivalensrelasjon er utført . Representantene for disse klassene er primtallene.

Referanser