Komplekst tall

De komplekse tallene , utpekt av notasjonen , er en forlengelse av de reelle tallene og danner et algebraisk lukket felt . [ 1 ] Mellom begge sett med tall er det sant at , det vil si: det er strengt tatt inneholdt i . Komplekse tall inkluderer alle røttene til polynomer , i motsetning til reelle tall. Hvert komplekst tall kan representeres som summen av et reelt tall og et imaginært tall (som er et reelt multiplum av den imaginære enheten , angitt med bokstaven i , eller i polar form ). $\scriptstyle \mathbb {C}$ $\scriptstyle {\mathbb {R}}$ $\scriptstyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ $\scriptstyle {\mathbb {R}}$ $\scriptstyle {\mathbb {C}}$

Komplekse tall er arbeidsverktøyet for algebra, analyse, så vel som grener av ren og anvendt matematikk som komplekse variable, differensialligninger, det letter beregningen av integraler, i aerodynamikk, hydrodynamikk og elektromagnetisme blant annet av stor betydning. Videre er komplekse tall mye brukt i matematikk, i mange felt av fysikk (spesielt kvantemekanikk ), og ingeniørfag , spesielt elektronikk og telekommunikasjon , for deres nytte i å representere elektromagnetiske bølger og elektrisk strøm .

I matematikk utgjør disse tallene et felt og blir generelt sett på som punkter på planet: det komplekse planet . Dette feltet inneholder de reelle tallene og de rene imaginære tallene.

Historikk

Den generelle formelen for løsningen av røttene (uten å bruke trigonometriske funksjoner ) av en tredjegradsligning inneholder kvadratrøttene til et negativt tall når alle tre røttene er reelle tall, en situasjon som ikke kan rettes opp ved å faktorisere ved hjelp av teoremet av den rasjonelle roten hvis det kubiske polynomet er irreduserbart (den såkalte casus irreducibilis ). Dette puslespillet førte til at den italienske matematikeren Gerolamo Cardano tenkte på komplekse tall rundt 1545, [ 2 ] selv om hans forståelse var rudimentær.

Arbeid med problemet med generelle polynomer førte til slutt til den grunnleggende teoremet til algebra , som viser at det i domenet av komplekse tall eksisterer en løsning for hver polynomligning av grad én eller høyere. De komplekse tallene danner et algebraisk lukket felt , der enhver polynomligning har en rot .

Tallrike matematikere bidro til utviklingen av komplekse tall. Reglene for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og å ta røtter av komplekse tall ble utviklet av den italienske matematikeren Rafael Bombelli , [ 3 ] og det var den irske matematikeren William Rowan Hamilton som utviklet en mer abstrakt formalisme for komplekse tall, og utvidet denne abstraksjonen til å teorien om kvaternioner .

Kanskje den tidligste flyktige referansen til kvadratroten av negativt tall kan sies å dukke opp i arbeidet til den greske matematikeren Hero of Alexandria fra 1. århundre . I sin Stereometrica vurderer han, tilsynelatende ved en feiltakelse, volumet av en pyramide med en umulig løsning, og når slutten av beregningene, selv om negative størrelser ikke ble unnfanget i hellensk matematikk og Heron ganske enkelt erstattet det med den samme positive verdien ( ) .. [ 4 ] ${\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}$ ${\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}$

Interessen for å studere komplekse tall som et tema i seg selv oppsto først på 1500 -tallet , da italienske matematikere oppdaget algebraiske løsninger for røttene til kubiske og kvartiske polynomer (se Niccolò Fontana Tartaglia og Gerolamo Cardano ). De innså snart at disse formlene, selv om du bare var interessert i reelle løsninger, noen ganger krevde manipulasjon av kvadratrøtter av negative tall. Som et eksempel gir Tartaglias formel for en kubikkligning av formen [ note 1 ] løsningen til ligningen $x$ $3$ $=$ $x$ i formen $x^{3}=px+q$

{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1 }}\right)^{-1/3}\right).

Ved første øyekast virker dette som tull. Imidlertid viser formelle beregninger med komplekse tall at ligningen $z 3 = i$ har løsninger $- i$ , y . Ved å erstatte disse etter tur i Tartaglias kubiske formel og forenkle, får vi 0, 1 og -1 som løsningene av $x$ $3$ $-$ $x$ $= 0$ . Selvfølgelig kan denne spesielle ligningen løses med øyet, men den illustrerer at når generelle formler brukes til å løse kubiske ligninger med reelle røtter, så, som senere matematikere strengt demonstrerte, er bruken av komplekse tall uunngåelig . Rafael Bombelli var den første som eksplisitt tok for seg disse tilsynelatende paradoksale løsningene av de kubiske ligningene, og han utviklet reglene for kompleks aritmetikk som forsøker å løse disse problemene. ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i$ ${\tfrac {-{\sqrt {3}}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i$ ${{\sqrt {-1}}^{1/3}}$

Begrepet "imaginært" for disse mengdene ble laget av René Descartes i 1637, og forsøkte nettopp å understreke deres imaginære natur [ 5 ]

[...] noen ganger bare imaginære, det vil si at man kan forestille seg så mange som allerede er sagt i hver ligning, men noen ganger er det ingen mengde som stemmer med det vi forestiller oss. ([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque equation, mais qu'il n'y quelquefois aucune quantité qui correspond à celle qu ' på forestill deg.)

En annen kilde til forvirring var at ligningen så ut til å være lunefullt inkonsistent med den algebraiske identiteten , som er gyldig for ikke-negative reelle tall $a$ og $b$ , og som også ble brukt i beregninger av komplekse tall med enten $a$ eller $b$ positive og den andre negativ. Den feilaktige bruken av denne identiteten (og den relaterte identiteten ) i tilfelle hvor $a$ og $b$ er negative bekymret selv Euler. Denne vanskeligheten førte til slutt til konvensjonen om å bruke spesialsymbolet $i i$ stedet for √ −1 for å beskytte seg mot denne feilen. Likevel anså Euler det som naturlig å introdusere elever for komplekse tall mye tidligere enn det man gjør i dag. I sin elementære algebra-lærebok, Elements of Algebra , ville han skrive inn disse tallene nesten umiddelbart og deretter bruke dem naturlig. ${\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$ ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ ${\tfrac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\tfrac {1}{a}}}$

På 1700 -tallet fikk komplekse tall større bruk, da det ble bemerket at formell manipulering av komplekse uttrykk kunne brukes til å forenkle beregninger som involverer trigonometriske funksjoner. For eksempel, i 1730 observerte Abraham de Moivre at de kompliserte identitetene som knytter de trigonometriske funksjonene til et heltallsmultiplum av en vinkel til potensene til de trigonometriske funksjonene til den vinkelen ganske enkelt kan omformuleres med følgende velkjente formel som bærer navnet hans, formel fra De Moivre :

(\cos \theta +i\operatørnavn {sin} \theta )^{n}=\cos n\theta +i\operatørnavn {sin} n\theta .

I 1748 gikk Leonhard Euler videre og oppnådde Eulers formel for kompleks analyse :

\cos \theta +i\operatørnavn {sin} \theta =e^{i\theta }

formelt manipulere komplekse potensserier , og bemerket at denne formelen kunne brukes til å redusere enhver trigonometrisk identitet til mye enklere eksponentielle identiteter.

Ideen om et komplekst tall som et punkt i det komplekse planet ble først beskrevet av Caspar Wessel i 1799, selv om det hadde blitt forutsett allerede i 1685 i John Wallis De Algebra tractatus .

Wessels memoarer dukket opp i Proceedings of the Royal Danish Academy of Fine Arts , men gikk ubemerket hen. I 1806 ga Jean-Robert Argand uavhengig ut et hefte om komplekse tall og ga et strengt bevis på den grunnleggende teoremet til algebra . Carl Friedrich Gauss hadde tidligere publisert et i hovedsak topologisk bevis på teoremet i 1797, men uttrykte den gangen tvil om "den sanne metafysikken til kvadratroten av −1" . Det var ikke før i 1831 at han overvant denne tvilen og publiserte sin avhandling om komplekse tall som punkter i planet, og etablerte i stor grad moderne notasjon og terminologi. På begynnelsen av 1800- tallet ble den geometriske representasjonen av komplekse tall uavhengig oppdaget av andre matematikere: Buée, Mourey , Warren , Français og broren hans, Bellavitis . [ 6 ]

Den engelske matematikeren Godfrey Harold Hardy kommenterte at Gauss var den første matematikeren som brukte komplekse tall "på en virkelig sikker og vitenskapelig måte" , selv om matematikere som Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jakob Jacobi nødvendigvis brukte dem rutinemessig før Gauss publiserte sin traktat fra 1831. [ 7 ]

"Hvis dette emnet hittil har blitt vurdert fra feil synspunkt, og derfor innhyllet i mystikk og innhyllet i dunkelhet, skyldes det i stor grad mangelfull terminologi som kan klandres. Hvis +1, -1 og √ −1 , i stedet for å bli kalt positive, negative og imaginære enheter (eller enda verre, umulig), hadde fått navn på direkte, inverse og laterale enheter, ville det neppe blitt utvidet slikt mørke ." - Gauss [ 8 ]

Augustin Louis Cauchy og Bernhard Riemann ga grunnleggende innsikt i kompleks analyse , og brakte den til en høy grad av fullføring, som startet rundt 1825 i Cauchys tilfelle.

De vanlige begrepene som brukes i teorien skyldes hovedsakelig dens grunnleggere. Argand kalte "retningsfaktor" til ; og "modul" til ; Cauchy (1828) kalte den "reduserte formen" (l'expression réduite) og introduserte tilsynelatende begrepet "argument"; Gauss brukte $i$ for , introduserte begrepet "komplekst tall" for $a$ $+$ $bi$ , og kalte a $2$ $+$ $b$ $2$ $"$ normen". Uttrykket retningskoeffisient , ofte brukt for , skyldes Hankel (1867), og absolutt verdi for modul skyldes Weierstrass. $\cos \phi +i\sin \phi$ $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ $\cos \phi +i\sin \phi$ $\sqrt{-1}$ $\cos \theta +i\operatørnavn {sin} \theta$

Senere klassiske forfattere om den generelle teorien inkluderer Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Amandus Schwarz , Karl Weierstrass og mange andre.

Komplekse tall knyttet til analytiske eller komplekse variable funksjoner har gjort det mulig å utvide begrepet kalkulus til det komplekse planet. Kompleks variabelregning har en rekke bemerkelsesverdige egenskaper som har egenskaper som kan brukes til å oppnå en rekke nyttige resultater i anvendt matematikk . [ 9 ]

Definisjon

Hvert komplekst tall z er definert som et ordnet par reelle tall: z = ( a , b ). I sin tur er det første elementet a definert som den reelle delen av z , det er betegnet ; det andre elementet b er definert som en tenkt del av z , betegnet . Så i settet ℂ av komplekse tall, er tre operasjoner og likhetsrelasjonen definert: $a={\text{Re}}(z)$ $b={\text{Im}}(z)$

Likestilling

(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d

Tallet kalles et reelt komplekst tall, og siden det etableres en isomorfisme mellom settet av disse og settet ℝ av reelle tall, antas det at hvert reelt tall er et komplekst tall. Det komplekse tallet kalles et rent imaginært tall . Siden et komplekst tall sies å være summen av et reelt tall med et rent imaginært tall. [ 10 ] $(a,0)$ $(0,b)$ $(a,0) + (0,b) = (a,b)$

Rasjonelle operasjoner

Addisjon

(a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)

skalært produkt

r(a,b)=(ra,\,rb)

Multiplikasjon

(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Fra disse operasjonene kan vi utlede andre, for eksempel følgende:

Subtraksjon

(a,b)-(c,d)=(ac,\,bd)

Inndeling

{\frac {(a,b)}{(c,d)}}={(ac+bd,\,bc-ad) \over c^{2}+d^{2}}=\ venstre({ac+bd \over c^{2}+d^{2}},{bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)

Imaginær enhet

Et spesielt komplekst tall er definert, spesielt i algebra, av stor betydning, tallet i ( j i fysikk), kalt den imaginære enheten , definert som

{\mathrm {i}}=(0,1)\,\!

Som tilfredsstiller følgende likestilling:

{\mathrm {i}}^{2}={\mathrm {i}}\cdot {\mathrm {i}}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=- 1

Tatt i betraktning det er det mulig å identifisere $(a,0)\cdot (0,1)=(0,a)$

(a, 0) \cdot (0, 1) = a\mathrm{i} = (0, a)

I elementære tekster er i 2 definert til å være lik -1. Det er også en av røttene til ligningen x 2 + 1 = 0. [ 11 ]

Absolutt verdi eller modul, argument og konjugat

Absolutt verdi eller modul til et komplekst tall

Absoluttverdien , modulen eller størrelsen på et komplekst tall z er gitt av følgende uttrykk :

$|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {{\hbox{Re}}^{2}(z)+{\hbox{Im}}^{2}(z)} }$

Hvis vi tenker på de kartesiske koordinatene til det komplekse tallet z som et punkt i planet; vi kan se, ved Pythagoras teorem , at den absolutte verdien av et komplekst tall sammenfaller med den euklidiske avstanden fra opprinnelsen til planet til nevnte punkt.

Hvis komplekset skrives på eksponentiell form z = re iφ , så | z | = r . Det kan uttrykkes i trigonometrisk form som z = r (cosφ + isenφ), der cosφ + isenφ = og iφ er den velkjente Euler-formelen .

Vi kan enkelt sjekke disse fire viktige egenskapene med absolutt verdi

\left|z\right|=0\Longleftrightpil z=0

\left|z+w\right|\leq |z|+|w|

\left|zw\right|=|z||w|

\left|zw\right|\geq ||z|-|w||

for alle komplekse z og w .

Per definisjon er avstandsfunksjonen som følger d ( z , w ) = | z - w | og det gir oss et metrisk rom med kompleksene som vi kan snakke om grenser og kontinuitet med . Kompleks addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er kontinuerlige operasjoner. Hvis ikke annet er oppgitt, antas det at dette er metrikken som brukes på komplekse tall.

Plott eller fase

Hovedargumentet eller fasen til et generisk komplekst tall , hvor e , er vinkelen mellom abscisseaksen OX og vektoren OM , med M( x , y ). Det er gitt av følgende uttrykk: $z=x+yi\,$ $x=Re(z)$ $y=Im(z)$ $φ$

$\phi =\operatørnavn {Arg}(z)=\operatørnavn {atan2}(y,x)$

hvor atan2(y,x) er arctangensfunksjonen definert for de fire kvadrantene:

\operatørnavn {atan2}(y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac yx}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac yx}\right )+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac yx}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac { \pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{udefinert}} &\qquad y=0,x=0\end{cases}}

Eller også: Å være: $\operatørnavn {atan2}(y,x)={\frac \pi 2}\operatørnavn{sgn}(y)-\arctan \left({\frac xy}\right)\quad \forall x,y\in { \mathbb R}$

\operatorname{sgn}(y)={\begin{cases}1\qquad y\geq 0\\-1\qquad y<0\\\end{cases}}

[ 12 ]

skiltfunksjonen . _

Argumentet har periodisitet 2π, så det er et hvilket som helst heltall. Vinkelen Arg z er hovedverdien til arg z som tilfredsstiller betingelsene -π < Arg z <= π beskrevet ovenfor. [ 13 ] $\arg z=\operatørnavn {arg} z+2k\pi$ $k$

Konjugering av et komplekst tall

To binomialer kalles konjugater hvis de bare er forskjellige i sentraltegnet. På denne måten er konjugatet til et kompleks z (betegnet som o ) et nytt komplekst tall, definert slik: ${\bar{z}}$ $z^{*}\,\!$

{\bar {z}}=ab\mathrm {i} \Longleftrightarrow z=a+b\mathrm {i}

Det er observert at begge er forskjellige i tegnet til den imaginære delen. Med dette nummeret er egenskapene oppfylt:

\overline {z+w}={\bar {z}}+{\bar {w}}

z+\overline {z}=2\cdot {\hbox{Re}}(z)

z-\overline {z}=2i\cdot {\hbox{Im}}(z)

\overline {zw}={\bar {z}}{\bar {w}}

z\in {\mathbb {R}}\Longleftrightarrow {\bar {z}}=z

|z|^{2}=z{\bar {z}}\geq 0

z\neq 0\Høyrepil {\frac {1}{z}}={\frac {{\bar {z}}}{|z|^{2}}}

Denne siste formelen er den foretrukne metoden for å beregne det inverse av et komplekst tall hvis det er gitt i rektangulære koordinater.

Representasjoner

Binomial representasjon

Et komplekst tall er representert i binomial form som:

z=a+bi\,

Den reelle delen av det komplekse tallet og den imaginære delen kan uttrykkes på forskjellige måter, som vist nedenfor:

a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)

b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)

Polar representasjon

I denne representasjonen er modulen til det komplekse tallet, og vinkelen er argumentet til det komplekse tallet. $\tekststil {r}$ $\tekststil {\phi }$

\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox {Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}}(z)}{{\hbox{Re}}}(z)}}\right )

\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}

Ved å løse for a og b i de foregående uttrykkene, og ved å bruke den binomiale representasjonen, resulterer det:

z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\operatørnavn {sin} {\phi }

Tar felles faktor r :

z=r\left(\cos {\phi }+{\mathrm {i}}\sin {\phi}\right)

Dette uttrykket er ofte praktisk forkortet som følger:

\ z=r\;\operatørnavn {cis}\;{\phi }

som kun inneholder forkortelsene for henholdsvis de trigonometriske cosinusforholdene, den imaginære enheten og sinusforholdet til argumentet.

I følge dette uttrykket kan man se at for å definere et komplekst tall både på denne måten og med den binomiale representasjonen kreves det to parametere, som kan være henholdsvis reell og imaginær del eller modul og argument.

I følge Eulers formel :

\cos {\phi}+i\operatørnavn {sin} {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi};\;z=re^{i\phi }

I vinkelnotasjon , ofte brukt i elektroteknikk , er modulen og argumentfaseren representert som : $r$ $φ$

z=r\angle \phi .

Vinkelen er imidlertid ikke entydig bestemt av z , siden det kan være uendelige komplekse tall som har samme verdi representert i planet, som er forskjellige med antall omdreininger, enten de er mot klokken (positive) eller med klokken (negative) som er representert av heltall , som antydet av Eulers formel: $φ$ $k\in {\mathbb {Z}}$

\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \quad z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}

På grunn av dette er den generelt begrenset til intervallet [-π, π) og denne begrensningen kalles hovedargumentet til z og betegnes φ=Arg( z ). Med denne konvensjonen er koordinatene unikt bestemt av z . $φ$ $φ$

Operasjoner i polar form

Multiplikasjon av komplekse tall er spesielt enkelt med polar notasjon:

z_{1}z_{2}=rse^{{{\mathrm {i}}(\phi +\psi )}}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{{{\mathrm {i} }\phi }}se^{{{\mathrm {i}}\psi }}

Inndeling:

{\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{{{\mathrm {i}}(\phi -\psi )}}

Myndiggjøring:

z^{n}=r^{n}e^{\mathrm {i} \phi n}\Leftrightarrow z^{n}=\left(re^{i\phi}\right)^{n }z^{n}=(a+b\mathrm {i} )^{n}=

z^{n}=(a+b{\mathrm {i}})^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{{n-1}} b{\mathrm {i}}+{n \choose 2}a^{{n-2}}\left(b{\mathrm {i}}\right)^{2}+\ldots +{n \choose {n-1}}a\left(b{\mathrm {i}}\right)^{{n-1}}+{n \choose n}\left(b{\mathrm {i}}\right) n

Nte rot av et komplekst tall

Kvadratrot

Gitt det komplekse tallet z vil vi si og det er oppfylt det ${\sqrt {z}}=\{w_{1},w_{2}\}$ $z=w_{i}^{2},\,i=1,2$

Eksempel

{\sqrt {i}}=\left\{\cos {\frac {\pi }{4}}+\operatørnavn {sin} {\frac {\pi }{4}},\,\cos {\frac {3\pi }{4}}+\operatørnavn {sin} {\frac {3\pi }{4}}\right\}

Representasjon i form av matriser av orden 2

I ringen av andreordens matriser over feltet av reelle tall , kan en undergruppe finnes som er isomorf til feltet av komplekse tall. Vel, det etableres en samsvar mellom hvert komplekst tall a + b i med matrisen

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}.

På denne måten oppnås en en-til-en korrespondanse. Summen og produktet av to slike matriser har igjen denne formen, og summen og produktet av komplekse tall tilsvarer summen og produktet av slike matriser. Spesielt oppfyller matrisen rollen som imaginær enhet. [ 14 ] ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

Planet av de komplekse tallene eller Argand Diagram

Konseptet med komplekst plan gjør at komplekse tall kan tolkes geometrisk . Kompleks talladdisjon kan relateres til vektoraddisjon , og kompleks tallmultiplikasjon kan enkelt uttrykkes ved hjelp av polare koordinater , der størrelsen på produktet er produktet av størrelsene til leddene, og vinkelen regnet fra produktets reelle akse er summen av vinklene til leddene og kan sees på som transformasjonen av vektoren som roterer og endrer størrelse samtidig.

Å multiplisere et kompleks med i tilsvarer en 90° rotasjon mot klokken. På samme måte kan det faktum at (-1)·(-1)=+1 forstås geometrisk som kombinasjonen av to 90° rotasjoner, som oppnår en 180º rotasjon ( i kvadrat = -1), noe som resulterer i en fortegnsendring når du fullfører en runde.

Argand-diagrammer brukes ofte for å vise posisjonene til polene og nullpunktene til en funksjon i det komplekse planet.

Kompleks analyse, teorien om komplekse funksjoner, er et av de rikeste områdene innen matematikk, og finner anvendelse i mange andre områder av matematikk så vel som i fysikk , elektronikk og mange andre felt.

Egenskaper

Brødtekst av komplekse tall

Settet ℂ med komplekse tall tilfredsstiller aksiomatikkens lover som definerer et felt :

Kommutativ egenskap : z + w = w + z ; zw = wz .
Assosiativ egenskap : v +( w + z )= ( v + w )+ z ; v ( wz )= ( vw ) z
Fordelingsegenskap : v ( w + z ) = vw + vz ; ( w + z ) v = wv + zv
Eksistens av identiteter:

Den additive identiteten, null: z + 0 = 0+ z = z ; den multiplikative identiteten, den 1:

z\cdot 1=1\cdot z=z

Invers: Hvert komplekst tall har sin additive inverse - z slik at z +(- z ) = 0 og hvert komplekst tall som ikke er null har sin multiplikative inverse z -1 , slik at z · z -1 = 1. [ 15 ]

Hvis vi identifiserer det reelle tallet a med komplekset ( a , 0), vises feltet med reelle tall R som et underfelt av C. Videre danner C et 2-dimensjonalt vektorrom over realene. Komplekser kan ikke ordnes som for eksempel de reelle tallene , så C kan ikke konverteres til et ordnet felt på noen måte .

Vektorrom

Mengden ℂ med tillegg av komplekse tall og vurderer de reelle tallene som skalarer , kan defineres ℂ som et vektorrom . Det er:

Hvis z , w er komplekse tall, så er z + w et komplekst tall. Denne interne operasjonen definerer en additiv gruppestruktur.
Hvis r er et reelt tall og z er et komplekst tall, så er rz , kalt et skalært multiplum av z , også et komplekst tall. De to operasjonene tilfredsstiller aksiomatikken til et lineært eller vektorrom. [ 16 ]

Applikasjoner

I matematikk

Løsninger av polynomligninger

En rot eller null [ 17 ] av polynomet p er et kompleks z slik at p ( z )=0. Et viktig resultat av denne definisjonen er at alle polynomiske (algebraiske) ligninger av grad n har nøyaktig n løsninger innen komplekse tall , det vil si at de har nøyaktig n komplekser z som tilfredsstiller likheten p ( z )=0, regnet med deres respektive mangfold. Dette er kjent som Algebras grunnleggende teorem , og det viser at komplekser er et algebraisk lukket felt ; Dette er grunnen til at matematikere anser komplekse tall for å være mer naturlige tall enn reelle tall når de løser ligninger.

Det gjelder også at hvis z er en rot av et polynom p med reelle koeffisienter, så er det komplekse konjugatet av z også en rot av p .

Kompleks variabel eller kompleks analyse

Studiet av komplekse variable funksjoner er kjent som kompleks analyse . Den har et stort antall bruksområder som verktøy i anvendt matematikk så vel som i andre grener av matematikk. Kompleks analyse gir noen viktige verktøy for å bevise teoremer selv i tallteori ; mens reelle funksjoner av reelle variabler trenger et kartesisk plan for å bli representert; komplekse variable funksjoner krever firedimensjonalt rom, noe som gjør dem spesielt vanskelige å representere. Fargede illustrasjoner i tredimensjonalt rom brukes ofte for å foreslå den fjerde koordinaten eller 3D -animasjonene for å representere alle fire.

Differensialligninger

I differensialligninger , når man studerer løsningene av de lineære differensialligningene med konstante koeffisienter , er det vanlig å først finne de (vanligvis komplekse) røttene til det karakteristiske polynomet , som gjør at den generelle løsningen av systemet kan uttrykkes i form av basisfunksjoner av formen :. $\lambda \,$ $f(x)=e^{{\lambda x}}\,$

Fraktaler

Mange fraktale objekter , for eksempel Mandelbrot-settet, kan fås fra konvergensegenskapene til en sekvens av komplekse tall. Konvergensdomeneanalyse avslører at slike sett kan ha enorm selvliknende kompleksitet .

I fysikk

Komplekse tall brukes innen elektronikk og andre felt for en riktig beskrivelse av varierende periodiske signaler (se Fourier-analyse ) . I et uttrykk av den typen vi kan tenke på som amplituden og som fasen til en sinusbølge med en gitt frekvens . Når vi representerer en vekselstrøm eller spenning (og derfor med sinusformet oppførsel) som den reelle delen av en kompleks variabel funksjon av formen der ω representerer vinkelfrekvensen og det komplekse tallet z gir oss fasen og amplituden, vil behandlingen av alle formler som styrer motstander , kapasiteter og induktorer kan forenes ved å introdusere imaginære motstander for de to siste (se elektriske nettverk ). Elektriske ingeniører og fysikere bruker bokstaven j for den imaginære enheten i stedet for i som vanligvis er ment for strømintensitet. $z=d^{{i\phi }}\,$ $r\,$ $\phi\,$ $f(t)=ze^{{i\omega t}}\,$

Det komplekse feltet er like viktig i kvantemekanikk hvis underliggende matematikk bruker uendelig dimensjonale Hilbert-rom over C (ℂ). [ referanse nødvendig ]

I spesiell relativitetsteori og generell relativitetsteori er noen formler for metrikken for romtid mye enklere hvis vi tar oss tid til å være en tenkt variabel. [ referanse nødvendig ]

Generaliseringer

De komplekse tallene kan generaliseres som gir opphav til de hyperkomplekse tallene . Feltet med komplekse tall er et kommutativt underfelt av den kvaternioniske algebraen , som igjen er en subalgebra av andre mer omfattende algebraer ( oktonioner , sedenioner ): $\scriptstyle {\mathbb {H}}$

${\mathbb {C}}\subset {\mathbb {H}}\subset {\mathbb {O}}\subset {\mathbb {S}}$

En annen mulig generalisering er å vurdere kompleksifiseringen av hyperreelle tall :

${\mathbb {C}}\subset {}^{*}\mathbb{R} (i)$

Se også

Klassifisering av tall

komplekser

:\;\mathbb {C}

Kongelige

:\;\mathbb {R}

rasjonell

:\;\mathbb {Q}

heltall

:\;\mathbb {Z}

naturlig

:\;\mathbb {N}

Null : 0

Notater

↑ I moderne notasjon er Tartaglias løsning basert på å utvide kuben av summen av to kuberøtter: . Med , , , kan $u$ og $v$ uttrykkes i form av $p$ og $q$ som henholdsvis og . Derfor ,. Når den er negativ (casus irreducibilis), må den andre kuberoten betraktes som det komplekse konjugatet av den første. $\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)^{3}=3{\sqrt[{3}]{uv }}\left({\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}\right)+u+v$ $x={\sqrt[{3}]{u}}+{\sqrt[{3}]{v}}$ $p=3{\sqrt[{3}]{uv}}$ $q=u+v$ $u=q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ $v=q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}$ $x={\sqrt[{3}]{q/2+{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}+{\sqrt[ {3}]{q/2-{\sqrt {(q/2)^{2}-(p/3)^{3}}}}}$ $(q/2)^{2}-(p/3)^{3}$

Referanser

↑ JV Uspenski (professor ved Stanford University): Theory of Equations , Limusa Noriega Group Publishers. Mexico DF. (1992) ISBN 968-18-2335-4 .
↑ Kline, Morris. En historie om matematisk tanke, bind 1 . s. 253.
↑ Katz, Victor J. (2004), "9.1.4", A History of Mathematics, Brief Version , Addison-Wesley , ISBN 978-0-321-16193-2 .
^ Nahin, Paul J. (2007), An Imaginary Tale: The Story of √ − 1 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-12798-9 , hentet 2011-04-20 .
↑ Descartes, René (1954) [1637], La Géométrie | The Geometry of René Descartes med en faksimile av den første utgaven , Dover Publications , ISBN 978-0-486-60068-0 , hentet 2011-04-20 .
↑ Caparrini, Sandro (2000), "Om den vanlige opprinnelsen til noen av verkene om geometrisk tolkning av komplekse tall" , i Kim Williams, red., Two Cultures , Birkhäuser, s. 139, ISBN 978-3-7643-7186-9 . Utdrag fra side 139
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM (2000) [1938], An Introduction to theory of Numbers , OUP Oxford , s. 189 (fjerde utgave), ISBN 978-0-19-921986-5 .
↑ Utdraget sitat fra " A Short History of Complex Numbers ", Orlando Merino, University of Rhode Island (januar, 2006) http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf
↑ William R. Derrick: Kompleks variabel med applikasjoner . Grupo Editorial Iberoamérica, trykt i Mexico ISBN 968-7270-35-7
↑ Moderne algebra . Schaumm Editions
↑ Algebra av Aurelio Baldor
↑ Helt enig med det som står i ««Functions of complex variabel Operational calculus Stability theory» av Krasnov/Kiselev og Makárenko. Mir forlag, Moskva. s. 9 (1983)
↑ Cesar Trejo. Op cit.
↑ Moses Lasarus. Komplekse tall . Moshera Editions, Lima (2011)
↑ Derryck. Op cit.
↑ Zamansky. Introduksjon til moderne algebra og analyse
↑ Matematisk analyse. Haaser, LaSalle og Sullivan (1977) Thresh Volume I, s.483

Bibliografi

Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I , Springer, ISBN 0-387-90328-3 .
IM Yaglom: Komplekse tall og deres anvendelser på geometri' . USSR Publishing House Moscow (2009) ISBN 978-5-396-00077-3

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på Complex number .
Weisstein, Eric W. «Kompleks tall» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
komplekse tall . Gratis interaktiv bok av RED Descartes