Irreduserbart polynom

I ringteori , gitt et domene med integritet R, sies et polynom som ikke er null og ikke-enhet (det vil si uten en multiplikativ invers i R[x]) å være irreduserbart hvis, i en hvilken som helst faktorisering av formen i domenet , en av polynomer eller er enhet. Når det aktuelle integritetsdomenet er et felt, tilsvarer det faktum at det er et irreduserbart element av det faktum at det ikke kan tas i betraktning som produktet av to polynomer av mindre streng grad enn dets eget. Det vil si, hvis så må det være eller (det vil si at en av dem må være et konstant polynom). $p(x)\in R[x]$ $p(x)=q(x)r(x)$ $R[x]$ $q(x)$ $r(x)$ $p(x)$ $R[x]$ $p=r\cdot q$ $r \i R$ $q\in R$

Dette er et spesielt tilfelle av et irreduserbart element i et integrert domene .

Heltallsdomenet R kan blant annet være settet av reelle tall (som er et heltallsdomene fordi det er felt ) , settet med komplekse tall (også felt), settet med rasjonelle tall (også felt) eller settet med heltall (som ikke er en kropp, men er et heltallsdomene). $\scriptstyle {\mathbb {R}}$ $\scriptstyle {\mathbb {C}}$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$

Eksempler

De følgende fem polynomene viser noen elementære trekk ved reduserbare og irreduserbare polynomer, avhengig av integritetsdomenet der de er definert:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)

p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})

p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(xi)(x+i)

Over ringen av heltall er de to første polynomene reduserbare, men de tre siste er irreduserbare (den tredje har ingen heltallskoeffisienter). $\scriptstyle \mathbb {Z}$
Over feltet med rasjonelle tall er de tre første polynomene reduserbare, men de to andre er irreduserbare. $\scriptstyle \mathbb {Q}$
Over feltet med reelle tall er de fire første polynomene reduserbare, men den femte er fortsatt irreduserbar. $\scriptstyle {\mathbb {R}}$
Over feltet komplekse tall er alle fem polynomene reduserbare. Faktisk, i , kan hvert ikke-konstant polynom dekomponeres i lineære faktorer $\scriptstyle {\mathbb {C}}$ $\scriptstyle {\mathbb {C}}$

p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})

hvor er den ledende koeffisienten til polynomet og er nullpunktene til . Derfor er alle irreduserbare polynomer av grad 1.

a_{n}

z_{1},\ldots ,z_{n}

p(x)

Når det gjelder felt , kan de polynomene av grad 2 med en negativ diskriminant heller ikke reduseres, siden til tross for at de er faktorisert av polynomer av mindre grad enn dette, og større enn eller lik 0, har de ikke koeffisientene sine innenfor feltet til det virkelige. Dette er den grunnleggende teoremet til algebra . $\scriptstyle {\mathbb {R}}$

Kriterier for ikke-reduserbarhet

For å bevise om et polynom er irreduserbart, kan flere kriterier brukes, blant annet Eisensteins kriterium , reduksjonskriteriet eller Gauss' Lemma . Dessuten er alle primitive polynomer irreduserbare, selv om det motsatte ikke er sant. Et irreduserbart polynom er et primitivt polynom hvis og bare hvis når p er primtall og x er et ordenselement . $x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\ikke \equiv 1{\pmod {f(x)}}$ $p^{m}\in \mathbb {Z}p}[x]/f(x)$

Irreduserbare polynomer av Z[x]

Et polynom er irreduserbart over , hvis og bare hvis det også er irreduserbart. $\scriptstyle P(x)$ $\scriptstyle \mathbb {Z} [X]$ $\scriptstyle Q(x)=P(x+1)$
Trivielt, et andregradspolynom, som ikke har 1 eller -1 som rot, kan bare reduseres hvis dets uavhengige ledd ikke er et primtall: , hvis , så innebærer reduserbarhet at det uavhengige leddet har to ikke-trivielle divisorer og derfor kan derfor ikke være primtall. $\scriptstyle P(x)=(ax+b)(cx+d)=(ac)x^{2}+(ad+bc)x+bd$ $\scriptstyle \{b,d\}\cap \{{+1,-1}\}=\varnothing$

Irreduserbare polynomer av Q[x]

La f(x) være et primitivt polynom. Således, hvis f(x) er irreduserbar over , så er den også irreduserbar over . [ 1 ]

\scriptstyle \mathbb {Z} [X]

\scriptstyle \mathbb {Q} [X]

Irreduserbare polynomer av R[x]

De irreduserbare polynomene på er binomene og polynomene i grad 2, slik at deres diskriminant er negativ, det vil si: $\scriptstyle \mathbb {R} [X]$ $\scriptstyle x^{2}+bx+c$

$\Delta <0;\,\qquad \Delta =b^{2}-4c$

Se også

Referanser

↑ F. Zaldívar, 1996, s. 3. 4

Bibliografi

Zaldivar, Felipe (1996). "1. Ringer». I UAM Iztapalapa, red. Galois Theory (1 utgave). Mexico: Anthropos. s. 33-41. ISBN 84-7658-502-0 .

Eksterne lenker

Weisstein, Eric W. "Irreduserbart polynom" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .