Matrise (matte)

I matematikk er en matrise et todimensjonalt sett med tall . Siden både summen og produktet av matriser kan defineres, sies de mer generelt å være elementer i en ring . En matrise er representert med en stor bokstav (A,B, …) og elementene med den samme små bokstaven (a,b, …), med et dobbelt skrift der den første indikerer raden og den andre kolonnen a den som tilhører.

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}$

De enkelte elementene i en matrise x , er ofte betegnet med , hvor maksimalverdien av er , og maksimalverdien av er . Så lenge matrisen har samme antall rader og kolonner som en annen matrise, kan de legges til eller trekkes fra element for element. $m$ $n$ $a_{ij}$ $Yo$ $m$ $j$ $n$

De kan legges til, multipliseres og dekomponeres på forskjellige måter, noe som også gjør dem til et nøkkelbegrep innen lineær algebra .

Historie

Kronologi [ 1 ]

År	Begivenhet
200 f.Kr c.	I Kina bruker matematikere tallrekker.
1848	JJ Sylvester introduserer begrepet 'matrise'.
1858	Cayley publiserer Memoirs on the Theory of Matrices .
1878	Frobenius beviser grunnleggende resultater i matrisealgebra.
1925	Heisenberg bruker matriseteori i kvantemekanikk

Opprinnelsen til arrays er veldig gammel. Latinske firkanter og magiske firkanter har blitt studert i lang tid. En magisk firkant, 3 x 3, er registrert i kinesisk litteratur rundt 650 f.Kr. C. [ 2 ]

Historien om bruken av matriser for å løse lineære ligninger er lang . En viktig kinesisk matematisk tekst som dateres tilbake til 300 f.Kr. C. til 200 a. C. , Nine Chapters on the Art of Mathematics ( Jiu Zhang Suan Shu ), er det tidligste kjente eksemplet på bruk av matriser for å løse et system med samtidige ligninger . [ 3 ] I det syvende kapittelet, " Verken for mye eller for lite ", dukket begrepet determinant opp for første gang, to tusen år før det ble publisert av den japanske matematikeren Seki Kōwa i 1683 og den tyske matematikeren Gottfried Leibniz i 1693 .

Magiske firkanter var kjent for arabiske matematikere , muligens så tidlig som på 1400-tallet. 7. e.Kr C., som igjen var i stand til å ta dem fra matematikere og astronomer i India , sammen med andre aspekter av kombinatorisk matematikk . Alt dette tyder på at ideen kom fra Kina . De første "magiske firkantene" av orden 5 og 6 dukket opp i Bagdad i år 983 , i Encyclopedia of the Brotherhood of Purity ( Rasa'il Ihkwan al-Safa ). [ 2 ]

Etter utviklingen av teorien om determinanter av Seki Kowa og Leibniz for å lette løsningen av lineære ligninger, på slutten av 1600- tallet , presenterte Cramer i 1750 det som nå kalles Cramers regel . Carl Friedrich Gauss og Wilhelm Jordan utviklet Gauss-Jordan-eliminasjonen på 1800 -tallet

Det var James Joseph Sylvester som først brukte begrepet " matrise " i 1848/1850 .

I 1853 ga Hamilton noen bidrag til matriseteorien. Cayley introduserte matrisenotasjon i 1858 , som en stenografisk måte å skrive et system med m lineære ligninger i n ukjente.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann , Frobenius , Olga Taussky-Todd og John von Neumann er blant de kjente matematikerne som jobbet med matriseteori. I 1925 gjenoppdaget Werner Heisenberg matriseregning, og grunnla en første formulering av det som skulle bli kvantemekanikk . Han regnes i denne forbindelse som en av kvantemekanikkens fedre.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), under andre verdenskrig , brukte matriseteori for å undersøke fenomenet aeroelastisitet kalt flagrende .

Introduksjon

Definisjon

En matrise er et p-dimensjonalt sett med tall (matriseelementer) arrangert i rader (eller rader) og kolonner , der en rad er hver av de horisontale linjene i matrisen og en kolonne er hver av de vertikale linjene. En matrise med rader og kolonner kalles en " etter matrise " (skrevet ) hvor . Settet med størrelsesmatriser er representert som , hvor er kroppen som elementene i matrisen tilhører. Størrelsen på en matrise er alltid gitt med antall rader først og antall kolonner etter det. $m$ $n$ $m$ $n$ $m\times n$ $m,n\in \mathbb {N} -\{0\}$ $m\times n$ ${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )$ ${\mathbb{K}}$

To matriser sies å være like hvis de har samme størrelse (dimensjon eller rekkefølge) og de samme elementene i samme posisjoner. Elementet i en matrise som er i th rad og th kolonne kalles elementet eller th element i matrisen. Disse uttrykkene tar også hensyn til rader først og kolonner andre. $Jo-\,\!$ $j-\,\!$ $jeg, j\,\!$ $(i,j)\,\!$

To matriser er like hvis de tilsvarende elementene er like, det vil si . $A,B\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )$ $a_{ij}=b_{ij},1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$

For å definere konseptet med en matrise, er begrepet "todimensjonalt sett" nyttig, om enn løst, men kan formaliseres ved å bruke konseptet med en funksjon . Dermed er en matrise med m rader og n kolonner med oppføringer i et felt en funksjon hvis domene er settet med ordnede par , hvor og , og hvis codomene er . Med denne definisjonen er inngangen verdien av funksjonen i det bestilte paret . ${\mathbb{K}}$ $(i,j)\,\!$ $1\leq i\leq m$ $1\leq j\leq n$ ${\mathbb{K}}$ $jeg, j\,\!$ $(i,j)\,\!$

Matriser er merket med stor bokstav, mens den tilsvarende små bokstaven brukes til å angi oppføringene deres, med abonnenter som refererer til rad- og kolonnenummeret til elementet. [ 4 ] For eksempel er elementet i en størrelsesmatrise som er i th rad og kolonne betegnet som , hvor og . $EN$ $m\times n$ $Jo-\,\!$ $j-\,\!$ $a_{{ij}}\,\!$ $1\leq i\leq m$ $1\leq j\leq n$

Når en oppføring eksplisitt skal representeres som er indeksert med et eller to siffer, introduseres et komma mellom rad- og kolonneindeksene. Så for eksempel er oppføringen som er i den første raden og den andre kolonnen i størrelsesmatrisen representert som , mens oppføringen som er i 23. rad og 100. kolonne er representert som . $Jo\,\!$ $j\,\!$ $EN\,\!$ $50 x 100$ $a_{{1,2}}\,\!$ $a_{{23 100}}\,\!$

I tillegg til å bruke store bokstaver for å representere matriser, representerer mange forfattere matriser med fet skrift for å skille dem fra andre matematiske objekter. [ referanse nødvendig ] Så det er en matrise, mens det er en skalar i den notasjonen. Imidlertid er denne notasjonen vanligvis igjen for bøker og publikasjoner, der det er mulig å gjøre dette typografiske skillet enkelt. I andre notasjoner anses konteksten som klar nok til ikke å bruke fet skrift. ${\mathbf {A}}$ $EN\,\!$

En annen notasjon, i seg selv et misbruk av notasjon, representerer matrisen ved dens oppføringer, dvs. eller til og med . $A:=(a_{{ij}})\,\!$ $A:=a_{{ij}}\,\!$

Som et spesielt tilfelle av matrise er radvektorer og kolonnevektorer definert. En radvektor eller radvektor er en hvilken som helst matrise av størrelse mens en kolonnevektor er en hvilken som helst matrise av størrelse . $1\ ganger n$ $m\ ganger 1$

Matriser som har samme antall rader som kolonner kalles kvadratiske matriser og settet er betegnet ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$

Eksempel

Gitt matrisen $A\in {\mathcal {M}}_{4\times 3}(\mathbb {K} )$

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\\\end{bmatrix}}

er en rekke størrelser . Inngangen er 7. $4 ganger 3$ $a_{{23}}\,\!$

Matrise $R\in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {K} )$

R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}

er en matrise av størrelse : en radvektor med 9 oppføringer. $1 x 9$

Grunnleggende operasjoner mellom matriser

Operasjonene som kan gjøres med matriser kommer fra deres applikasjoner, spesielt applikasjoner i lineær algebra . På denne måten er ikke operasjonene, eller deres helt spesielle måte å gjennomføres på, unike.

Sum eller addisjon

være $A,B\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$

${\begin{bmatrix}2&2&1\\3&2&1\\2&3&2\\2&0&4\end{bmatrix}}\quad +\quad {\begin{bmatrix}0&1&4\\1&4&0\\2&1&1\\0&2&2\end{bmatrix}}\ quad =\quad {\begin{bmatrix}2&3&5\\4&6&1\\4&4&3\\2&2&6\end{bmatrix}}$

. Matriseaddisjons- eller addisjonsoperasjonen er definert som en binær operasjon slik at og hvor addisjonsoperasjonen i det siste uttrykket er den tilsvarende binære operasjonen, men i kroppen . For eksempel er inngangen lik summen av elementene og som er . $+:{\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\times {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )\ lang høyrepil {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )$ $(A,B)\mapsto C=A+B$ $c_{{ij}}=a_{{ij}}+b_{{ij}}\,\!$ ${\mathbb{K}}$ $c_{{12}}\,\!$ $a_{{12}}\,\!$ $b_{{12}}\,\!$ $a_{{12}}+b_{{12}}\,\!$

La oss se på et mer eksplisitt eksempel. Være $A,B\in {\mathcal {M}}_{{3}}({\mathbb {R}})$

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+1&3+ 0&2 +5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

Matriser trenger ikke å være kvadratiske:

I lys av disse eksemplene er det umiddelbart å se at to matriser bare kan legges til hvis de begge har samme størrelse. Summen av matriser, i tilfelle at oppføringene er i et felt , har egenskapene assosiativitet, kommutativitet, eksistens av additiv nøytralt element og eksistens av additiv invers. Dette er slik siden dette er egenskapene til kroppene der matriseoppføringene er.

Egenskaper for matrisetillegg

La være , hvor er et felt så oppfylles følgende egenskaper for den binære operasjonen $A,B,C\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ ${\mathbb{K}}$ $+$

Assosiativitet

(A+B)+C=A+(B+C)\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av den binære operasjonen , følger resultatet siden fordi for alle . $+\,\!$ $(a_{{ij}}+b_{{ij}})+c_{{ij}}=a_{{ij}}+(b_{{ij}}+c_{{ij}})\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}},c_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

kommutativitet

(A+B)=(B+A)\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av den binære operasjonen , følger resultatet siden fordi for alle . $+\,\!$ $a_{{ij}}+b_{{ij}}=b_{{ij}}+a_{{ij}}\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

Eksistensen av det additive nøytrale elementet

Det er slikt $0\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$

A+0=0+A=A\,\!

Demonstrasjon
Ta slik at for noen (hvor sistnevnte er det additive nøytrale elementet i kroppen, som nødvendigvis eksisterer). Så for noen følger det at siden for noen , siden oppføringene er i en kropp. $0\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $0_{{ij}}=0_{{{\mathbb {K}}}}\i {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$ $A\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $A+0=A\,\!$ $a_{{ij}}+0_{{ij}}=a_{{ij}}+0_{{{\mathbb {K}}}}=a_{{ij}}$ $jeg, j\,\!$

Eksistensen av additivet invers

Det er slikt $D\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$

A+D=0\,\!

denne matrisen er merket med . $D\,\!$ $-EN\,\!$

Demonstrasjon
Gitt ta slik at . deretter ; deretter av egenskapene til felt hvor er additiv invers av i feltet for enhver . $A\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $D\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $A+D=0\,\!$ $a_{{ij}}+d_{{ij}}=0_{{ij}}=0_{{{\mathbb {K}}}}$ $d_{{ij}}=-a_{{ij}}\,\!$ $-a_{{ij}}\,\!$ $a_{{ij}}\,\!$ $jeg, j\,\!$

Disse egenskapene avhenger faktisk av settet som inngangene er i, som det har blitt sagt før, selv om feltene som vanligvis brukes i applikasjoner er (de reelle tallene ) og (de komplekse tallene ). $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$

På grunn av hvordan den binære addisjonsoperasjonen ble definert, sies det at denne operasjonen er en intern operasjon , så egenskapen at den er lukket under addisjon er i seg selv oppfylt. Med disse egenskapene har vi at det er en abelsk gruppe . ${\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $({\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}}),+)$

I tilfellet hvor settet som oppføringene til matrisen tilhører er en ring , fortsetter matriseaddisjonsoperasjonen å gi en abelsk gruppestruktur til , siden vi under en ring har at det er en abelsk gruppe . I tilfelle oppføringene er i en gruppe , må dette være en abelsk gruppe slik at tillegg av matriser fortsetter å gi en abelsk gruppestruktur til . $(A,+ A ,\cdot A )$ $({\mathcal {M}}_{{n\ ganger m}}(A),+)$ $(A,+ A ,\cdot A )$ $(A,+_{{A}})\,\!$ $(G,+_{{G}})\,\!$ $({\mathcal {M}}_{{n\ ganger m}}(G),+)$

Produkt ganger en skalar

La og . Produktoperasjonen av en skalar er definert som en funksjon slik at og hvor produktet er den tilsvarende binære operasjonen, men i feltet . For eksempel er input lik produkt . $A\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $\lambda \in {\mathbb {K}}$ ${\mathbb {K}}\times {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})\longrightarrow {\mathcal {M}}_{{n\times m }}({\mathbb {K}})$ $(\lambda ,A)\mapsto B=\lambda A$ $b_{{ij}}=\lambda a_{{ij}}\,\!$ ${\mathbb{K}}$ $b_{{12}}\,\!$ $\lambda a_{{12}}\,\!$

La oss se på et mer eksplisitt eksempel. være og $A\in {\mathcal {M}}_{{2\times 3}}({\mathbb {R}})$ $2\in {\mathbb {R}}$

2{\begin{bmatrix}1&\,\,\ \,8&-3\\4&-2&\,\,\,6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2(1) &\,\,\,\,2(8)&2(-3)\\2(4)&2(-2)&\,\,\,\,2(6)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}2&\,16&-6\\8&-4&\,12\end{bmatrix}}

Det er også umiddelbart å se at produktet ved en skalar resulterer i en matrise av samme størrelse som originalen. Produktet ganger en skalar vil også avhenge av den algebraiske strukturen som oppføringene er i. I tilfelle de er i et felt , vil det være to distributiviteter (en med hensyn til summen av matriser og den andre med hensyn til summen i feltet), assosiativitet og en egenskap angående produktet ved det multiplikative nøytrale elementet til feltet. Nedenfor er egenskapene.

Produktets egenskaper ved en skalar

La og , hvor er et felt , da er følgende egenskaper oppfylt for operasjonsproduktet av en skalar $A,B\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $\lambda ,\mu \in {\mathbb {K}}$ ${\mathbb{K}}$

Assosiativitet

(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . $(\lambda \mu )a_{{ij}}=\lambda (\mu a_{{ij}})\,\!$ $a_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

Fordeling med hensyn til summen av matriser

\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . $\lambda (a_{{ij}}+b_{{ij}})=\lambda a_{{ij}}+\lambda b_{{ij}}\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

Fordeling med hensyn til summen i kroppen

(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . $(\lambda +\mu )a_{{ij}}=\lambda a_{{ij}}+\mu a_{{ij}}\,\!$ $a_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

Produkt av kroppens multiplikasjonsnøytrale

1_{{{\mathbb {K}}}}A=A\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . $1_{{{\mathbb {K}}}}(a_{{ij}})=a_{{ij}}$ $a_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

På grunn av hvordan skalarproduktoperasjonen ble definert, sies det å være lukket under skalarprodukt. Med disse egenskapene og de for addisjon, har vi at det er et vektorrom med operasjonene addisjon og produkt av skalarer definert tidligere. ${\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$

I tilfellet at inngangene og skalarene ikke er i et felt, men i en ring , eksisterer ikke nødvendigvis den multiplikative nøytralen. Hvis den finnes, hvorved ringen er en ring med en , sies det å være en modul på . ${\mathcal {M}}_{{n\ ganger m}}(A)$ $EN\,\!$

Nå, fra de grunnleggende egenskapene kan det umiddelbart vises at:

$\lambda 0=0\,\!$

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet, siden for alle $c_{{ij}}=\lambda (0_{{ij}})=\lambda (0_{{{\mathbb {K}}}})=0_{{{\mathbb {K}}}}$ $jeg, j\,\!$

$0_{{{\mathbb {K}}}}A=0$

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden for alle fordi for alle . $c_{{ij}}=0_{{{\mathbb {K}}}}(a_{{ij}})=0_{{{\mathbb {K}}}}$ $jeg, j\,\!$ $a_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

$\lambda A=0\longrightarrow \lambda =0_{{{\mathbb {K}}}}{\text{ eller }}A=0$

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet, siden som i et felt er det ingen divisorer av null, så for alle innebærer det at eller for alle , dvs. . Et tilfelle der bare noen oppføringer i matrisen er null og skalaren ikke er null, er ikke mulig, siden vi i disse tilfellene vil si at det er deler av null og vi vil komme til en motsigelse, siden antakelsen er at oppføringene og skalarene er i en kropp. $\lambda (a_{{ij}})=0_{{{\mathbb {K}}}}$ $jeg, j\,\!$ $\lambda =0_{{{\mathbb {K}}}}$ $a_{{ij}}=0_{{{\mathbb {K}}}}$ $jeg, j\,\!$ $A=0\,\!$

$(-\lambda )A=\lambda (-A)\,\!$

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . $(-\lambda )(a_{{ij}})=(-1_{{{\mathbb {K}}}}(\lambda ))a_{{ij}}=(\lambda (-1_{{{\ mathbb {K}}}}))a_{{ij}}=\lambda (-1_{{{\mathbb {K}}}}(a_{{ij}}))=\lambda (-a_{{ij }})$ $a_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$

Dette siste resultatet lar oss bruke notasjonen uten risiko for tvetydighet. $-\lambda A\,\!$

Produkt av matriser

Matriseproduktet er definert på en veldig særegen og til og med lunefull måte når opprinnelsen ikke er kjent. Opprinnelsen kommer fra rollen til matriser som representasjoner av lineære kart . Produktet av matriser, som definert, kommer derfor fra sammensetningen av lineære kart. I denne sammenheng tilsvarer størrelsen på matrisen dimensjonene til vektorrommene som det lineære kartet etableres mellom. Produktet av matriser representerer således sammensetningen av lineære kart.

Faktisk, i visse baser har vi at det kan representeres som hvor er representasjonen av en vektor av i basen som er valgt for i form av en kolonnevektor. Hvis vi har to lineære kart og deretter og , vil kartet bli representert som hvor er produktet av matriserepresentasjonene av . Legg merke til at sammensetningen ikke kan forekomme mellom noen applikasjoner men mellom applikasjoner som går fra , spesielt må det være et forhold mellom dimensjonene til vektorrommene. Når dette er sagt, kan vi definere produktet som følger. $f:V\longrightarrow W$ $f(x)=Ax\,\!$ $x\,\!$ $V\,\!$ $V\,\!$ $f:V\longrightarrow W$ $g:W\longrightarrow U$ $f(x)=Bx\,\!$ $g(x)=Ax\,\!$ $g\circ f:V\longrightarrow U$ $g\sirkel f(x)=g(f(x))=g(Bx)=ABx$ $AB\,\!$ $f,g\,\!$ $V\høyrepil W\høyrepil U\,\!$

La og . Matriseproduktet er definert som en funksjon slik at og hvor for alle , det vil si . For eksempel inngangen . $A\in {\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})$ $B\in {\mathcal {M}}_{{m\times p}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n\times m}}({\mathbb {K}})\times {\mathcal {M}}_{{m\times p}}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathcal {M}}_{{n\times p}}({\mathbb {K}})$ $(A,B)\mapsto C=AB$ $c_{{ij}}=\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik}}b_{{kj}}$ $jeg, j\,\!$ $c_{{ij}}=a_{{i1}}b_{{1j}}+a_{{i2}}b_{{2j}}+a_{{i3}}b_{{3j}}+\dots +a_ {{im}}b_{{mj}}\,\!$ $c_{{12}}=a_{{11}}b_{{12}}+a_{{12}}b_{{22}}+a_{{13}}b_{{32}}+\dots +a_ {{1m}}b_{{m2}}$

La oss se på et mer eksplisitt eksempel. være og $A\in {\mathcal {M}}_{{2\times 3}}({\mathbb {R}})$ $B\in {\mathcal {M}}_{{3\times 2}}({\mathbb {R}})$

{\begin{bmatrix}\,\,\ \,1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin {bmatrise}\,\,\,\,1(3)+0(2)+2(1)&\,\,\,\,1(1)+0(1)+2(0)\\ -1(3)+3(2)+1(1)&-1(1)+3(1)+1(0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2 \\\end{bmatrise}}

hvor matriseproduktet er som vi hadde fastslått i definisjonen: en matrise . $C\in {\mathcal {M}}_{{2\times 2}}({\mathbb {R}})$

Uten å ta hensyn til motivasjonen som kommer fra lineære applikasjoner, er det tydelig å se at hvis vi ignorerer definisjonen av matriseproduktfunksjonen og bare tar hensyn til definisjonen av inngangene, vil produktet ikke være godt definert, siden hvis det gjør ikke ha samme antall kolonner som rader, så vi vil ikke kunne fastslå hvor summen slutter: hvis vi avslutter den med det største av disse tallene, vil det være tillegg som ikke er definert siden en av matrisene ikke vil ha flere oppføringer, mens hvis vi tar de mindre vil det være oppføringer av noen av matrisene som ikke er tatt hensyn til. Den må derfor ha samme antall kolonner som rader for at den skal kunne defineres. $EN\,\!$ $B\,\!$ $EN\,\!$ $B\,\!$ $AB\,\!$

Som det også kan antas, vil egenskapene til denne operasjonen generelt være mer begrensede siden, i tillegg til begrensningene som er pålagt av arten av input, er det denne begrensning med hensyn til størrelse. Det er også klart at matriseproduktet ikke alltid er en indre operasjon .

Produktet av A x B-matrisene kan også gjøres ved å legge til produktet av hver kolonne i A med den tilsvarende raden i B og uttrykt ved å bruke Einstein-summeringskonvensjonen . Den n-te kolonnen av produktet av matrisene A x B er en lineær kombinasjon av kolonnene til A, hvor hver skalar i kombinasjonen er det tilsvarende elementet i den n-te kolonnen i B. Den n-te raden i produktet av matrisene A x B er en lineær kombinasjon av radene i B, der hver skalar i den kombinasjonen er det tilsvarende elementet i den n-te raden i A.

Matrise Produktegenskaper

La være matriser med oppføringer i , hvor er en kropp, da er følgende egenskaper oppfylt for produktet av matriser (med tanke på at produktene eksisterer): $A,B,C\,\!$ ${\mathbb{K}}$ ${\mathbb{K}}$

Assosiativitet

A(BC)=(AB)C\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden, hvis , og så hvor fordi for alle . Her vurderer vi hva som er , er og er . $A(BC)=AH=R\,\!$ $r_{{ij}}=\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik}}h_{{kj}}\,\!$ $h_{{ij}}=\sum{\ell =1}}^{{p}}b_{{i\ell }}c_{{\ell j}}\,\!$ $r_{{ij}}=\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik}}\sum{\ell =1}}^{{p}}b_{{k \ell }} c_{{\ell j}}=\sum{\ell =1}}^{{p}}\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik }}b_{{k\ell }}c_{{\ell j}}=\sum{\ell =1}}^{{p}}s_{{i\ell }}c_{{\ell j }}=t_{{ij}}\ ,\!$ $(AB)C=SC=T\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}},c_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$ $EN\,\!$ $n\ ganger m$ $B\,\!$ $m\ ganger s$ $C\,\!$ $p\ ganger q$

Fordeling med hensyn til summen av matriser fra høyre

(A+B)C=AC+BC\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . Her vurderer vi hva som er , er og er . $\sum{k=1}}^{{m}}(a_{{ik}}+b_{{ik}})c_{{kj}}=\sum{k=1}}^{ {m}} a_{{ik}}c_{{kj}}+b_{{ik}}c_{{kj}}=\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik }}c_{{kj }}+\sum{k=1}}^{{m}}b_{{ik}}c_{{kj}}\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}},c_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$ $EN\,\!$ $n\ ganger m$ $B\,\!$ $n\ ganger m$ $C\,\!$ $m\ ganger s$

Fordeling med hensyn til summen av matriser fra venstre

A(B+C)=AB+AC\,\!

Demonstrasjon
Gitt definisjonen av operasjonen, følger resultatet siden fordi for alle . Her vurderer vi hva som er , er og er . $\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik}}(b_{{kj}}+c_{{kj}})=\sum{k=1}}^{ {m}} a_{{ik}}b_{{kj}}+a_{{ik}}c_{{kj}}=\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik }}b_{{kj }}+\sum{k=1}}^{{m}}a_{{ik}}c_{{kj}}\,\!$ $a_{{ij}},b_{{ij}},c_{{ij}}\in {\mathbb {K}}$ $jeg, j\,\!$ $EN\,\!$ $n\ ganger m$ $B\,\!$ $m\ ganger s$ $C\,\!$ $m\ ganger s$

Produktet av matriser er ikke kommutativt, hvis det var det, ville sammensetningen av lineære funksjoner vært kommutativt, og det skjer vanligvis ikke. Det er åpenbart at det er spesielle tilfeller av noen typer matriser der det er kommutativitet. I tilfelle som vi har, vil vi ha at produktet mellom matriser i også er i . I så fall er det i tillegg til vektorrom en algebra over et felt . I tilfelle at settet som oppføringene tilhører er en kommutativ ring med en, så er det i tillegg til modul en algebra over en ring. Enda mer med produktet av matriser er det en ring. ${\mathcal {M}}_{{n}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n}}({\mathbb {K}})$ ${\mathcal {M}}_{{n}}(A)$ $({\mathcal {M}}_{{n}}({\mathbb {K}}),+,\cdot )$ $\cdot$

Andre konsepter relatert til matriser

Rangering av en matrise

Rangeringen til en matrise er dimensjonen til bildet av det lineære kartet representert av , som sammenfaller med dimensjonen til vektorrommene generert av radene eller kolonnene til . $EN\,\!$ $EN\,\!$ $EN\,\!$

Transponert matrise

Transponeringen av en matrise , der det ikke nødvendigvis er et felt, er en matrise slik at . For eksempel innspillet . $A\in {\mathcal {M}}_{{n\ ganger m}}(X)\,\!$ $X\,\!$ $B\in {\mathcal {M}}_{{m\times n}}(X)\,\!$ $b_{{ij}}=a_{{ji}}\,\!$ $b_{{12}}=a_{{21}}\,\!$

La oss se på et mer eksplisitt eksempel. Være $A\in {\mathcal {M}}_{{2\times 3}}({\mathbb {R}})$

{\begin{bmatrix}1&\,\,\ \,8&-3\\4&-2&\,\,\ 6\end{bmatrix}}

da er dens transponering

{\begin{bmatrix}\,\,\ \,1&\,\,\ \,4\\\,\,\ \,8&-2\\-3&\,\,\,\,6 \end{bmatrix}}

Uformelt kan vi således si at transponeringen er den matrisen som er hentet fra originalen ved å endre rader etter kolonner. De vanlige notasjonene for å betegne transponeringen av en matrise er . $A^{{T}},A^{{t}}\,\!$

Matrisetransposisjonen har følgende egenskaper (der nå settet med oppføringer må være minst en kommutativ ring):

{\begin{aligned}&(A^{{T}})^{{T}}=A,\\&(A+B)^{{T}}=A^{{T}}+B^ {{T}},\\&(AB)^{{T}}=B^{{T}}A^{{T}},\\\end{justert}}

Hvis representerer et lineært kart, beskriver matrisen transponeringen av det lineære kartet . $A\in {\mathcal {M}}_{{n\ ganger m}}(X)\,\!$ $A^{{T}}\,\!$

Kvadratiske matriser og relaterte definisjoner

En kvadratisk matrise er en matrise som har samme antall rader som kolonner. Settet med alle n-for-n kvadratmatriser sammen med matriseaddisjon og matrisemultiplikasjon, er en ring som vanligvis ikke er kommutativ .

M( n , R ), ringen av kvadratiske reelle matriser, er en enhetlig reell assosiativ algebra . M( n , C ), ringen av komplekse kvadratiske matriser, er en kompleks assosiativ algebra.

Identitetsmatrisen I n av orden n er n til n matrisen der alle elementene på hoveddiagonalen er lik 1 og alle andre elementer er lik 0. Identitetsmatrisen heter slik fordi den tilfredsstiller ligningene MI n = M og I n N = N for en hvilken som helst matrise M m ved n og N n ved k . For eksempel, hvis n = 3:

{\mathbf {I}}_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Identitetsmatrisen er det enhetlige elementet i ringen av kvadratiske matriser.

De inverterbare elementene i denne ringen kalles invertible , regulære eller ikke- singulære matriser . En n for n matrise A er inverterbar hvis og bare hvis det finnes en matrise B slik at AB = I

( til venstre )

I dette tilfellet er B den inverse matrisen til A , identifisert av A - 1 . Settet med alle n ganger n inverterbare matriser danner en gruppe (spesifikt en Lie-gruppe ) under matrisemultiplikasjon, den generelle lineære gruppen .

Hvis λ er et tall og v er en vektor som ikke er null, slik at Av = λ v , så sies v å være en egenvektor til A og λ er den tilhørende egenverdien . Tallet λ er en egenverdi av A hvis og bare hvis A −λ I n ikke er inverterbar, noe som skjer hvis og bare hvis p A (λ) = 0, hvor p A ( x ) er det karakteristiske polynomet til A . p A ( x ) er et polynom av grad n og har derfor n komplekse røtter multiple røtter hvis det telles i henhold til deres multiplisitet. Hver kvadratisk matrise har nøyaktig n komplekse egenverdier.

Determinanten til en kvadratisk matrise A er produktet av dens n egenverdier, men kan også defineres av Leibniz sin formel . Inverterbare matriser er nettopp matrisene hvis determinant ikke er null.

Den gaussiske elimineringsalgoritmen kan brukes til å beregne determinanten, rangeringen og inversen til en matrise og til å løse systemer med lineære ligninger .

Sporet til en kvadratisk matrise er summen av elementene på diagonalen, som er lik summen av dens n egenverdier.

En Vandermonde -matrise er en kvadratisk matrise hvis rader er potenser av et tall. Dens determinant er enkel å beregne.

Logic Matrix

En logisk matrise, binær matrise, relasjonsmatrise, boolsk matrise eller (0,1) matrise er en matrise med oppføringer i det boolske domenet . En slik matrise kan brukes til å representere en binær relasjon mellom et par endelige sett. $B=\{0.1\}$

Representasjon av et matriseforhold

Hvis er en binær relasjon mellom de endelig ordnede settene e (slik at ), kan den representeres av den logiske matrisen hvis rad- og kolonneindekser rekker henholdsvis elementene til e , slik at oppføringene til er definert av: $R$ $X$ $Y$ $R\subseteq X\cdot Y$ $R$ $M$ $X$ $Y$ $M$

M_{i,j}={\begin{cases}1&(x_{i},y_{j})\in R\\0&(x_{i},y_{j})\ikke \in R \end{cases}}

For å angi tallene i hver rad og kolonne i matrisen, er mengdene X og Y ordnet med positive heltall: i varierer fra 1 til kardinaliteten (størrelsen) til X og j varierer fra 1 til kardinaliteten til Y .

Eksempel

Den binære relasjonen R på settet {1, 2, 3, 4} er definert slik at aRb gjelder hvis og bare hvis a deler b jevnt, uten rest. For eksempel tilfredsstiller 2 R 4 relasjonen fordi 2 deler 4 uten å etterlate en rest, men 3 R 4 gjør det ikke fordi når 3 deler 4 er det en rest av 1. Det neste settet er settet med par som relasjonen R gjelder for .

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

Den tilsvarende representasjonen som en boolsk matrise er:

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

Noen egenskaper

Matriserepresentasjonen av likhetsrelasjonen i et begrenset sett er identitetsmatrisen , det vil si en matrise hvis hoveddiagonal er alle enere (1), mens resten av elementene er null (0). Hvis det boolske domenet blir sett på som en halvring , der addisjon tilsvarer logisk ELLER og multiplikasjon til logisk OG , er matriserepresentasjonen av sammensetningen av to relasjoner lik produktet av matrisen av matriserepresentasjonene av denne relasjonen. Dette produktet kan beregnes i forventet tid O( n 2 ).

Ofte er operasjoner på binære matriser definert i form av modulær aritmetikk mod 2, det vil si at elementene behandles som elementer i Galois-feltet GF (2) = ℤ 2 . En rekke representasjoner oppstår og har en rekke mer begrensede spesielle former. De brukes for eksempel på XOR-satisfiable (engelsk) .

Antall distinkte m x n binære matriser er lik 2 mn , og er derfor endelig.

Applikasjoner

Matriser i databehandling

Matriser er mye brukt i databehandling, på grunn av deres lette og lette å manipulere informasjon. I denne sammenhengen er de en god måte å representere grafer på , og er mye brukt i numerisk beregning . I datagrafikk er arrays mye brukt for å oppnå animasjoner av objekter og former.

Eksempel på robotarm

Verden av matriser er veldig bred, selv om det virker så enkelt, kan programmer som Matlab lage matrisesystemer så komplekse at selv programmet finner det vanskelig å løse dem. Selv om det kanskje ikke virker slik, kan matriser også brukes på databehandling og programmering.

Et enkelt eksempel vil være feltet som brukes på programmering i det som er relatert til robotikk, siden i dette tilfellet brukes matlab-programmet for å kunne programmere roboter som en bionisk arm. Et eksempel kan være Lynx6.

Lynx6 regnes som en manipulator med 5 rotasjonsakser (base, skulder, albue, bevegelse og håndleddsrotasjon); Denne mekaniske armen gir raske, nøyaktige og repeterende bevegelser, takket være dens innebygde servomotorer. Som et tidligere trinn må det utvikles en applikasjon som får den direkte FK og inverse IK-modellen til robotarmen.

-FK-modellen består i å finne en homogen transformasjonsmatrise T som relaterer den kartesiske posisjonen (Px, Py, PZ) og Euler-vinklene (φ,ψ,θ) Ved å velge riktig koordinatsystem knyttet til hvert segment, er det mulig å gå fra ett referansesystem til det neste ved hjelp av 4 grunnleggende transformasjoner.

-Transformasjonsmatrise (1) Hvor er den resulterende matrisen som relaterer referansesystemet til segmentet i-1 med referansesystemet til det i-segmentet, Rotz(ϴ1) er rotasjonen rundt Z-aksen i-1 med en verdi på ϴ1 , T (0,0, di) er en translasjon av en avstand di, langs Zi-1-aksen, T (a1, 0,0) er en translasjon av en avstand a1, langs Xi-aksen. Og til slutt er Rotx(αi) rotasjonen rundt Xi-aksen, med verdien αi

Resultatene vil utelukkende avhenge av de geometriske egenskapene til manipulatorarmen. I vårt tilfelle avhenger de fysiske parametrene av de kjente ledd- og lengdeverdiene i hvert koordinatsystem, de må uttrykkes og tildeles i henhold til DH-konvensjonen. Ved å multiplisere de individuelle matrisene i ligning (1) i riktig rekkefølge, er transformasjonsmatrisen, som løser for posisjons- og orienteringsverdier i hvert koordinatsystem, ligning (2) De individuelle leddene i de tre første kolonnene i matrisen (n) , o, a) representerer orienteringen til hovedaksen i koordinatsystemet. Den siste kolonnen P indikerer posisjonen (x, y, z) til origo. Hver av leddene i matrisen kan beregnes fra følgende ligninger:

Forholdet mellom transformasjonsmatrisene danner den kinematiske kjeden til leddene og påfølgende segmenter av robotarmen. Hvor T er den søkte homogene transformasjonsmatrisen. Ved å erstatte parametrene i tabell 2 i transformasjonsmatrisene, oppnås disse ligningene. Ved å beregne den ikke-kommutative multiplikasjonen av ligning (17), oppnås den homogene transformasjonsmatrisen: Hvor (n, o, a) er en ortogonal trippel som representerer orienteringen og P er en vektor (Px, Py, Pz) som representerer posisjonen til armens endeeffektor Løsningen oppnådd for en posisjon i resten av armen med Θ1= 0º , θ2= 90º , θ3 =0º , θ4= -90º og θ5=0º

Matriseteori

Matriseteori er en gren av matematikken som fokuserer på studiet av matriser . Opprinnelig en undergren av lineær algebra , har den kommet til å dekke også emner relatert til grafteori , algebra , kombinatorikk og statistikk .

Matriser relatert til andre emner

En matrise kan identifiseres som en lineær kartlegging mellom to endeligdimensjonale vektorrom . Dermed blir matriseteori vanligvis sett på som en gren av lineær algebra . Kvadratiske matriser spiller en spesiell rolle, fordi settet med matriser av orden n (gitt n ikke-null naturlig heltall) har egenskaper for "stabilitet" av operasjoner.

Begrepene den stokastiske matrisen og den dobbeltstokastiske matrisen er viktige verktøy for å studere stokastiske prosesser , i sannsynlighet og i statistikk .

Positive bestemte matriser vises i søket etter maksima og minima for funksjoner til reelle verdier, og til flere variabler.

Det er også viktig å ha en teori om matriser til koeffisienter i en ring . Spesielt brukes matrisene til koeffisienter i ringen av polynomer i kommandoteori .

I ren matematikk kan ringer av matriser gi et rikt felt av moteksempler for matematiske formodninger.

Matriser i grafteori

I grafteori tilsvarer hver merket graf til tilstøtende matrisen . En permutasjonsmatrise er en matrise som representerer en permutasjon ; kvadratisk matrise hvis koeffisienter er 0 eller 1, med en enkelt 1 i hver linje og hver kolonne. Disse matrisene brukes i kombinatorikk.

Det er også en annen type matrise i tillegg til tilstøtningsmatrisen, som er kjent som insidensmatrisen der grafen er vist i en matrise av A (vil være kantene) med V (vil være hjørnene), der den inneholder informasjonen til kanten (1 hvis tilkoblet og 0 ikke tilkoblet).

Hvis vi får en graf , av størrelsesorden , kan vi representere et tilstøtende forhold, ved hjelp av en nxn-matrise, også kalt tilgrensningsmatrisen til G. $G=(X,U)$ $n$ $A=[a_{ij}]$

En rekke observasjoner bør tas i betraktning om dette:

Adjacency-matrisen er en boolsk matrise, som tidligere sagt er det en matrise som bare kan inneholde 0 og 1.
Σ i x ij = ytre halvgrad av x i
Σ j x ij = innvendig halvgrad av x j

I grafteori er matrisen til en graf matrisen som angir i linje i og kolonne j antall kanter som forbinder toppunkt i til toppunkt j. I en uorientert graf er matrisen symmetrisk. Summen av elementene i en kolonne gjør det mulig å bestemme graden av et toppunkt. Matrisen indikerer i linje i og kolonne j antall baner n kanter som grenser til toppunkt i til toppunkt j. $M^{n}$

Deretter vil vi vise et eksempel på en graf og dens tilstøtende matrise:

Nærhetsmatrisen til denne grafen vil bli gitt i formen:

/	V 1	v2 _	V 3	V 4
V 1	0	1	0	0
v2 _	1	0	1	1
V 3	1	1	0	1
V 4	0	1	1	1
V 5	0	0	1	0

Adjacency-matrisen er basert på forbindelsene som er laget mellom toppunktene på grafen, og vises dermed en 1 i tilfellene der to toppunkter er koblet sammen og en 0 i tilfellene der de ikke er det.

I noen tilfeller, slik som posisjonen V 3 /V 5 , observeres en 0 fordi forbindelsen mellom dem viser en retning som tillater passasje av strømning fra V 5 til V 3 , men ikke omvendt, og det er derfor V 5 / V 3 hvis den viser en 1.

Det må sies at hvis en annen rekkefølge av toppunktene tas, vil tilstøtningsmatrisen være forskjellig, men alle tilstøtende matriser som resulterer fra samme graf er forent av en permutasjonsmatrise P slik at P -1 CP = A (som C og En to forskjellige tilstøtende matriser, men som kommer fra samme graf).

Analyse og geometri

Den hessiske matrisen til en differensialfunksjon ƒ : R n → R består av den andre deriverte av f med hensyn til de forskjellige koordinatretningene, det vil si,

H(f)=\left[{\frac {\partial{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].

Den koder for informasjon om den økende oppførselen til funksjonen: gitt et kritisk punkt x = ( x 1 , ..., x n ), det vil si et punkt der den første partielle deriverte av ƒ forsvinner, har funksjonen et lokalt minimum hvis den hessiske matrisen er positiv bestemt for alle verdiene. Kvadratisk programmering kan brukes til å finne globale minima og maksima for en kvadratisk funksjon som er nært knyttet til de som er knyttet til matriser. $\partial f/\partial x_{i}$

En annen matrise som ofte brukes i geometriske situasjoner er Jacobi-matrisen til et differensierbart kart f : R n → R m . Hvis f 1 , ..., f m angir komponentene til f , er Jacobi-matrisen definert som

J(f)=\venstre[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.

Hvis n > m , og hvis rangeringen til Jacobi-matrisen når sin maksimale verdi m , er f lokalt inverterbar på det punktet, av den implisitte funksjonsteoremet . Partielle differensialligninger kan klassifiseres ved å vurdere koeffisientmatrisen til de høyeste ordens differensialoperatorene i ligningen. For partielle elliptiske differensialligninger er denne matrisen positiv for alle sine verdier, som har en avgjørende innflytelse på gruppen av mulige løsninger av den aktuelle ligningen.

Den endelige elementmetoden er en viktig numerisk metode for å løse partielle differensialligninger, mye brukt i simuleringer av komplekse fysiske systemer. Den prøver å tilnærme løsningen til en eller annen ligning av lineære funksjoner bit for bit, der brikkene er valgt med hensyn til et tilstrekkelig fint rutenett, som igjen kan omformes som en matriseligning.

Noen teoremer

Se også

Referanser

Beezer, Rob , et første kurs i lineær algebra , lisensiert under GFDL . (På engelsk)
Jim Hefferon : Lineær algebra (online lærebøker)

Notater

↑ Tony Crilly (2011). 50 ting å vite om matematikk . Red. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9 .
^ a b Swaney, Mark. Magiske firkanters historie .
↑ Shen Kangshen et al. (red.) (1999). Ni kapitler av matematisk kunst, følgesvenn og kommentar . Oxford University Press . sitert av Otto Bretscher (2005). Lineær algebra med applikasjoner (3. utgave). Prentice Hall. s. 1 .
↑ Av Burgos, Juan (2006). "Systemer av lineære ligninger" . Lineær algebra og kartesisk geometri . s. 6 . ISBN 9788448149000 .

Eksterne lenker

Determinant av en matrise
En kort historie om lineær algebra og lineær matriseteori
Matematikk/matriser (på Wikibooks)

Dette verket inneholder en delvis oversettelse hentet fra engelsk Wikipedias " Matrix (matematikk) ", nærmere bestemt denne versjonen , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .
Dette verket inneholder en delvis oversettelse hentet fra engelsk Wikipedias logiske matrise , nærmere bestemt denne versjonen , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .