Metrisk plass

I matematikk er et metrisk rom et sett som har en avstandsfunksjon knyttet til seg, det vil si at denne funksjonen er definert på settet, og oppfyller egenskaper tilskrevet avstand, slik at for et hvilket som helst par av punkter i settet, er disse på en en viss avstand tildelt av nevnte funksjon.

Spesielt vil ethvert metrisk rom også være et topologisk rom fordi enhver avstandsfunksjon definert på et gitt sett induserer en topologi på det settet. Dette er topologien indusert av de åpne kulene assosiert med avstandsfunksjonen til det metriske rommet.

Definisjoner

Definisjon av metrisk rom

Formelt sett er et metrisk rom et sett (hvis elementene kalles punkter ) med en tilhørende avstandsfunksjon (også kalt metrisk ) (hvor er settet med reelle tall ). Å si at det er en avstand over er å si at for alle , , i , må denne funksjonen tilfredsstille følgende betingelser eller egenskaper for en avstand: $M$ $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ $\mathbb R$ $d$ $M$ $x$ $Y$ $z$ $M$

$d(x,y)=0\venstrepil x=y$
$d(x,y)=d(y,x)\,$ (symmetri)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,$ ( trekantulikhet ).

Av disse følger også:

$d(x,y)\geq 0$ (ikke negativitet)

Noen definisjoner knyttet til et metrisk rom

La være et metrisk rom, og la og være et poeng av og være et positivt eller null reelt tall, henholdsvis: $(M,d)\!$ $a\in M\!$ $r\in \mathbb {R}++}\cup \{0\}\!$ $M\!$

Den (åpne) ballen sentrert ved og med radius , kalles delmengden av : , vanligvis betegnet som , eller som . $en$ $r$ $M\!$ $\{x\in M|d(x,a)<r\}$ $B(a,r)$ $B_{r}(a)$
Det kalles en lukket ball sentrert ved og med radius , delmengden av : , vanligvis betegnet som eller som eller også som . $en$ $r$ $M\!$ $\{x\in M|d(x,a)\leq r\}$ $B_{c}(a,r)$ ${\overline {B}}(a,r)$ ${\overline {B}}_{r}(a)$
I funksjonell analyse kan terminologien føre til en viss forvirring, siden den åpne kulen med radius og senter vanligvis betegnes med eller , mens -og her kommer den mulige forvirringen- den lukkede ballen med senter og radius er betegnet med eller med . $r\,\!$ $en\,\!$ $U(a,r)\,\!$ $U_{r}(a)\,\!$ $en\,\!$ $r\,\!$ $B(a,r)\,\!$ $B_{r}(a)\,\!$
Noen forfattere bruker uttrykket " disk " i stedet for "ball", så det er mulig å snakke i termer av "åpen disk" og "lukket disk" . Spesielt brukes denne terminologien i Complex Variable , og når man vurderer den euklidiske avstanden over settet . $? {R} 2$
Det kalles en sfære sentrert ved og med radius , delmengden av gitt av , vanligvis betegnet som , eller som . $en$ $r$ $M\!$ $\{x\in M|d(x,a)=r\}\!$ $S(a,r)$ $S_{r}(a)$

Topologi til et metrisk rom

Avstanden til det metriske rommet induserer i en topologi , og derfor er rommet i sin tur et topologisk rom ved å ta som åpne delmengder for topologien alle delmengdene som tilfredsstiller $d$ $M$ $ELLER$

(\forall u\in U)(\exists \varepsilon \in \mathbb {R}++}|B(u,\varepsilon )\subset U)

Dette gjelder alle delmengder der et punkt i er sentrum av en kule med positiv radius som er helt inkludert i , eller det som er det samme: U har ingen punkter på grensen; den har ingen grenser. $ELLER$ $ELLER$ $ELLER$

En slik topologi kalles en topologi indusert av en $d$ $M$ .

Vi kan da intuitivt tolke at et åpent sett da er en del som har en viss "tykkelse" rundt hvert av sine punkter.

Et metrisk underrom av et metrisk rom er et topologisk underrom av det topologiske rommet , hvor er topologien på indusert av . Det vil si at den arver fra topologien indusert av . $(E,d)\,$ $(M,d)\,$ $(M,T)\,$ $T\,$ $M\,$ $d$ $OG\,$ $M\,$ $d$

Et nabolag til et punkt i et metrisk rom er ikke noe mer enn en delmengde slik at det eksisterer en åpen ball . Settet er grunnlaget for topologien indusert av , og det er også grunnlaget for miljøene til nevnte topologi. Siden det er tett i , viser det seg at det også er basen for nabolag i topologien indusert av . Følgelig tilfredsstiller hvert metrisk rom det første tellelighetsaksiomet . $v$ $en$ $M$ $V\subset M$ $r>0$ $B(a,r)\subset V$ $\{B(a,r):a\in M,r\in \mathbb {R} ,r>0\}$ $d$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\{B(a,r):a\in M,r>0,r\in \mathbb {Q} \}$ $d$

Hvert metrisk rom er et Hausdorff-rom . I tillegg, som forekommer i pseudometriske rom, er følgende egenskaper ekvivalente med metriske rom: å være et Lindelöf-rom, som tilfredsstiller det første tellelighetsaksiomet og å være separerbart .

Alternative aksiomsystemer

Egenskap 1 ( ) følger av 4 og 5. Noen forfattere bruker den utvidede reelle linjen og lar avstanden ta verdien . Enhver slik metrikk kan skaleres tilbake til en endelig metrikk (ved å bruke eller ), og de to metriske romkonseptene er likeverdige når det gjelder topologi . En metrikk kalles en ultrametrisk hvis den tilfredsstiller følgende sterkere versjon av trekantens ulikhet : $d(x,y)\geq 0$ $\infty$ $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$

\forall x,y,z\in M,d(x,z)\leq {\mbox{max}}(d(x,y),d(y,z))

Hvis egenskap 3 fjernes, oppnås et pseudometrisk mellomrom . Fjerner vi egenskap 4 i stedet, får vi et kvasymmetrisk mellomrom . Men ved å miste symmetri i dette tilfellet endres egenskap 3 vanligvis slik at både og er nødvendig for at e skal identifiseres. Alle kombinasjoner av de ovennevnte er mulige og referert til med deres respektive nomenklaturer (for eksempel som "kvasi-pseudo-ultrametrisk" ). $d(x,y)=0$ $d(y,x)=0$ $x$ $Y$

Fullt avgrenset metrisk rom

Et metrisk rom vil sies å være fullstendig avgrenset hvis og bare hvis det tilfredsstiller følgende egenskap: $(Xd)$

$\forall r>0,\eksisterer x_{1},...x_{k}\i X$ slik at $\cup{i=1}^{k}B(x_{i},r)\supseteq X$

Det er sant at hvert totalt avgrenset rom også er avgrenset. I tillegg er alt kompakt helt avgrenset. Denne egenskapen er nyttig nettopp for å demonstrere kompakthet, siden det er en ekvivalens mellom å være kompakt og å være fullstendig avgrenset og fullstendig . Faktisk er det for mange bevis nettopp denne karakteriseringen av kompakthet som brukes.

Eksempler

La X være et hvilket som helst ikke-tomt sett og definere som $d$

d(x,y)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=y,\\1&{\mbox{if }}x\neq y.\end{cases}}

Så er en metrikk på , kalt en diskret metrikk , og er et metrisk rom. kalles et diskret rom ; se Haaser og Sullivans faktiske analyse. $d$ $X$ $\left(X,d\right)$ $\left(X,d\right)$

Reelle tall med avstandsfunksjonen gitt av den absolutte verdien , og mer generelt et euklidisk n -rom med den euklidiske avstanden , er komplette metriske rom. Det komplekse tallsystemet er et metrisk rom som som sådan er lik . $d\left(x,y\right)=\left|yx\right|$ $\mathbb{C}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$
Mer generelt er ethvert normert vektorrom et metrisk rom som definerer . Hvis et slikt rom er komplett, kaller vi det et Banach-rom . $d\left(x,y\right)=\left\|yx\right\|$
Hvis er et sett og er et metrisk rom, kan settet med alle avgrensede funksjoner (dvs. de funksjonene hvis bilde er en avgrenset delmengde av ) konverteres til et metrisk rom ved å definere for alle avgrensede funksjoner og . Hvis den er komplett, er denne plassen også komplett. $X$ $M$ $f:X\to M$ $M$ $d\left(f,g\right)=\supx\in X}d\left(f(x),g(x)\right)$ $F$ $g$ $M$
Hvis X er et topologisk rom og M er et metrisk rom, danner settet av alle avgrensede kontinuerlige funksjoner fra X til M et metrisk rom hvis vi definerer metrikken som før: d ( f , g ) = sup x på X d ( f ( x ), g ( x )) for alle avgrensede kontinuerlige funksjoner f og g . Hvis M er komplett, er denne plassen også komplett.

Hvis M er et metrisk rom, kan vi konvertere mengden K ( M ) av alle kompakte delmengder av M til et metrisk rom ved å definere Hausdorff avstand d ( X , Y ) = inf{ r : for hver x i X finnes det en y i Y med d ( x , y ) < r og for hver y i Y finnes det et x i X med d ( x , y ) < r ). I denne beregningen er to elementer nær hverandre hvis hvert element i det ene settet er nært et bestemt element i det andre settet. Det kan vises at K ( M ) er komplett hvis M er komplett.

En logisk analyse

Det grunnleggende metriske konseptet er det for den korte funksjonen , morfismene til den metriske kategorien (isomorfismene, dvs. bi-korte kart, er isometriene ), men dets vanlige uttrykk bruker rekkefølgen og summen i de positive realene, da,
1) Det er åpenbart at : | x- | x - y | | = y er det samme som x = 0 eller y ≤ x , så avstand på positive realer gir svak rekkefølge der, sterk orden ( y ≤ x ssi ... ) er vanskelig, men mulig, hvis en løsning av | x - y | = y dvs. y = x / 2.
2) | d ( y , z ) - | d ( y , z ) - d´ ( f ( y ), f ( z )) | | = d´ ( f ( y ), f ( z )) uttrykker at f er en kort funksjon , uten noen referanse til en rekkefølge i de positive realene.
3) Følgende ekvivalens av den trekantede ulikheten

| d ( x , y ) − d ( x , z ) | ≤ d ( y , z )

det uttrykker (uten noen henvisning til en operasjon på de positive realene, | x - y | er avstanden der) det faktum at d ( x , - ) er en kort funksjon (så ensartet, så kontinuerlig). d: x - > d ( x , - ) er en isometri.

Å bringe begge sammen : | d ( y , z ) - | d ( y , z ) - | d ( x , y ) − d ( x , z ) | | | = | d ( x , y ) − d ( x , z ) | uttrykk trekantulikhet direkte.
en liten endring : | d ( y , z ) - | d ( z , y ) - | d ( x , y ) − d ( x , z ) | | | = | d ( x , y ) − d ( x , z ) | uttrykker trekantet ulikhet og symmetri (lag z = x og bruk | x - d ( y , y )| = x ).

Metriserbare mellomrom

Et topologisk rom sies å være metrizable når det eksisterer en avstand hvis induserte topologi er nettopp topologien . $(X,T)$ $d$ $T$

Et grunnleggende problem i topologi er å bestemme hvorvidt et gitt topologisk rom er metriserbart eller ikke. Det er ulike resultater i denne forbindelse.

Urysohns metriseringsteorem

Hvert regulært topologisk rom som tilfredsstiller det andre aksiomet om opptelling er metriserbart.

Nagata – Smirnov metriseringsteorem (tilstrekkelig tilstand)

Hvert vanlig rom med en lokalt begrenset tellbar basis kan måles.

Nagata – Smirnov metriseringsteorem (nødvendig betingelse)

Hvert metriserbart rom har et lokalt begrenset tellegrunnlag.

Stones metriseringsteorem

Hvert metriserbart rom er parakompakt.

Smirnovs metriseringsteorem

Et topologisk rom er metriserbart hvis og bare hvis det er parakompakt og lokalt metriserbart.

Metriseringsteorem for fullstendig separerbare mellomrom

Et fullstendig separerbart topologisk rom er metriserbart hvis og bare hvis det er regulært.

Se også

Referanser

Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , European Mathematical Society , 2004, SBN 978-3-03719-010-4
Metriske mellomrom (Wikibook) [1]