Vektoriell plass

Denne artikkelen er orientert for å gi en streng og abstrakt behandling av konseptet vektorrom. For en mer tilgjengelig introduksjon til konseptet, se Vector

I lineær algebra er et vektorrom (eller også kalt et lineært rom ) en algebraisk struktur laget av et ikke-tomt sett , en indre operasjon (kalt addisjon , definert for elementene i settet), og en ytre operasjon (kalt produkt av en skalar , definert mellom nevnte sett og et annet sett, med kroppsstruktur ) som tilfredsstiller 8 grunnleggende egenskaper.

Elementene i et vektorrom kalles vektorer og elementene i feltet kalles skalarer .

Historikk

Historisk sett dateres de første ideene til moderne vektorrom tilbake til 1600 -tallet : analytisk geometri , matriser og systemer med lineære ligninger .

Vektorrom er avledet fra affin geometri gjennom inntasting av koordinater i planet eller tredimensjonalt rom. Rundt 1636 la de franske matematikerne Descartes og Fermat grunnlaget for analytisk geometri ved å koble løsningene av en likning i to variabler til bestemmelsen av en plan kurve . [ note 1 ] For å oppnå en geometrisk løsning uten å bruke koordinater, introduserte Bernhard Bolzano i 1804 visse operasjoner på punkter, linjer og plan, som er forgjengere til vektorer. [ note 2 ] Dette verket gjorde bruk av August Ferdinand Möbius sitt konsept med barysentriske koordinater fra 1827. [ note 3 ]

Den første moderne og aksiomatiske formuleringen skyldes Giuseppe Peano på slutten av 1800 -tallet . De neste fremskrittene i teorien om vektorrom kommer fra funksjonell analyse , hovedsakelig fra funksjonsrom . Funksjonsanalyseproblemer krevde å løse problemer om konvergens . Dette ble gjort ved å gi vektorrommene en tilstrekkelig topologi , slik at spørsmål om nærhet og kontinuitet kunne tas i betraktning . Disse topologiske vektorrommene , spesielt Banach -rom og Hilbert-rom, har en rikere og mer forseggjort teori.

Opprinnelsen til definisjonen av vektorer er Giusto Bellavitis sin definisjon av bipunkt, som er et orientert segment, hvor den ene enden er opprinnelsen og den andre et mål. Vektorer ble revurdert med introduksjonen av komplekse tall av Argand og Hamilton og opprettelsen av kvaternioner av sistnevnte (Hamilton var også den som oppfant navnet vektor). [ note 4 ] De er elementer av R 2 og R 4 ; behandling med lineære kombinasjoner dateres tilbake til Laguerre i 1867, som også definerte systemer med lineære ligninger .

I 1857 introduserte Cayley matrisenotasjon som muliggjør harmonisering og forenkling av lineære kart . Omtrent på samme tid studerte Grassmann den barysentriske kalkulusen som ble utviklet av Möbius. Han forutså sett med abstrakte objekter utstyrt med operasjoner. [ note 5 ] I hans arbeid er begrepene lineær uavhengighet og dimensjon , samt punktprodukt til stede. Faktisk overgår Grassmanns arbeid fra 1844 rammen av vektorrom, siden det å ta hensyn til multiplikasjon også førte ham til det som i dag kalles algebraer . Den italienske matematikeren Peano ga den første moderne definisjonen av vektorrom og lineære kart i 1888. [ note 6 ]

En viktig utvikling av vektorrom skyldes konstruksjonen av funksjonsrom av Henri Lebesgue . Dette ble senere formalisert av Banach i hans doktorgradsavhandling fra 1920 [ note 7 ] og av Hilbert . På dette tidspunktet begynte algebra og det nye feltet for funksjonell analyse å samhandle, spesielt med slike nøkkelbegreper som rom med p-integrerbare funksjoner og Hilbert-rom . Også på dette tidspunktet ble de første studiene på vektorrom med uendelige dimensjoner gjort.

Vektorrom har applikasjoner i andre grener av matematikk, naturvitenskap og ingeniørfag . De brukes i metoder som Fourier-serier , brukt i moderne bilde- og lydkomprimeringsrutiner , eller gir rammeverket for å løse partielle differensialligninger . Videre gir vektorrom en abstrakt, koordinatfri måte å håndtere geometriske og fysiske objekter, for eksempel tensorer , som igjen lar lokale egenskaper til manifolder studeres ved hjelp av lineariseringsteknikker.

Notasjon

Gitt et vektorrom over et felt , skilles elementene til og elementene til . $V$ $K$ $v$ $K$

Elementene i er vanligvis betegnet med $V$

\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w}

og kalles vektorer .

Avhengig av hvilke kilder som er konsultert, er det også vanlig å betegne dem med

{\bar {u}},{\bar {v}},{\bar {w}}

og hvis teksten handler om fysikk, er de vanligvis betegnet med

{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}

Mens elementene i er betegnet som $K$

a,b,\alpha ,\beta

og kalles skalarer .

Definisjon

Et vektorrom over et felt (som feltet med reelle tall eller komplekse tall ) er et ikke-tomt sett , for eksempel , utstyrt med to operasjoner som det vil bli lukket for: $K$ $v$

{\begin{array}{llccl}{\mbox{Sum}}&+:&{V\times V}&\rightarrow &{V}\\&&(\mathbf {u} ,\mathbf {v } )&\mapsto &\mathbf {u} +\mathbf {v} \end{array}}

intern drift slik at:

har den kommutative egenskapen :

\mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} ,\quad \forall \;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V

Har den assosiative egenskapen :

\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} ,\quad \forall \;\ mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V

Det er det nøytrale elementet :

\exists \;\mathbf {e} \i {}V:

\mathbf {u} +\mathbf {e} =\mathbf {u} ,

\forall \;\mathbf {u} \in V

Det motsatte elementet eksisterer :

\forall \;\mathbf {u} \in V,\quad \exists -\mathbf {u} \in {}V:

\mathbf {u} +(-\mathbf {u} )=\mathbf {e}

Og ha operasjonsproduktet etter en skalar:

{\begin{array}{llccl}{\mbox{Product}}&\cdot {}:&{K\times V}&\rightarrow &{V}\\&&{(a,\mathbf {u } )}&\mapsto &a\cdot \mathbf {u} \end{array}}

ekstern drift slik at:

Har den assosiative egenskapen :

\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} ,

\forall \;{\mathit {a}},{\mathit {b}}\i {}K,

\forall \;\mathbf {u} \in V

Det er det nøytrale elementet :

\exists e\in {K}:

e\cdot \mathbf {u} =\mathbf {u} ,

\forall \;\mathbf {u} \in V

Ha den fordelende egenskapen med hensyn til vektoraddisjon:

\mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) = \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v} ,

\forall \;{\mathit {a}}\i K,

\forall \;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V

Har fordelingsegenskapen med hensyn til skalær addisjon:

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} ,

\forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \i{} K ,

\forall \;\mathbf {u} \in V

Se også: Euklidisk rom Se også: vektor Se også: Grafisk representasjon av vektorer

Merknader

Navnet på de to operasjonene betinger ikke definisjonen av vektorrom, så det er vanlig å finne oversettelser av verk der multiplikasjon brukes for produktet og addisjon for summen , ved å bruke aritmetikkens distinksjoner.

For å bevise at et sett er et vektorrom: $V_{{}}^{{}}$

Det er hvis de to operasjonene, for eksempel og innrømme en redefinering av typen og oppfylle de 8 nødvendige betingelsene. $\odot(V,V)$ $\ast(V,K) ,$ $+(V,V)=\odot(V,V)$ $\cdot(K,V)=\ast(V,K)$
Hvis vi visste at det er en kommutativ eller abelsk gruppe med hensyn til summen, ville vi allerede ha bevist seksjonene 1, 2, 3 og 4 . $V_{{}}^{{}}$
Hvis vi visste at produktet er en handling fra venstre for , ville vi ha bevist avsnitt 5 og 6 . $V_{{}}^{{}}$
Hvis ikke, sies det motsatte:

\mathit{a} \mathbf{v} \neq \mathbf{v} \mathit{a}

Egenskaper

Unikheten til den nøytrale vektoren til egenskap 3
anta at nøytralen ikke er unik, det vil si la og være to nøytrale vektorer, da: $\mathbf{0_1}$ $\mathbf{0_2}$ $\venstre . \begin{array}{l} \mathbf{u} + \mathbf{0_1} = \mathbf{u} \\ \mathbf{u} + \mathbf{0_2} = \mathbf{u} \end{array} \ høyre \} \Rightarrow$ $\mathbf{u} + \mathbf{0_1} = \mathbf{u} + \mathbf{0_2} \Rightarrow$ $\mathbf{0_1} = \mathbf{0_2} \Høyrepil$ $\eksisterer! \; \mathbf{0} \i V$

Unikheten til den motsatte vektoren til egenskap 4
anta at det motsatte ikke er unikt, det vil si la og være to motsatte vektorer av , da, siden det nøytrale er unikt: $\mathbf{-u_1}$ $\mathbf{-u_2}$ $\mathbf{u}$ $\venstre . \begin{array}{l} \mathbf{u} - \mathbf{u_1} = \mathbf{0} \\ \mathbf{u} - \mathbf{u_2} = \mathbf{0} \end{array} \ høyre \} \Rightarrow$ $\mathbf{u} - \mathbf{u_1} = \mathbf{u} - \mathbf{u_2} \Rightarrow$ $- \mathbf{u_1} = - \mathbf{u_2} \Høyrepil$ $\eksisterer! - \mathbf{u} \i V$

Det unike ved elementet i kroppen $1_{}^{}$ $K_{}^{}$
anta at 1 ikke er unik, det vil si la og være to enheter, da: $\math{1_1} \;$ $\math{1_2} \;$ $\venstre . \begin{array}{l} \mathit{a} \cdot \mathit{1_1} = \mathit{a} \\ \mathit{a} \cdot \mathit{1_2} = \mathit{a} \end{array } \right \} \Rightarrow$ $\mathit{a} \cdot \mathit{1_1} = \mathit{a} \cdot \mathit{1_2} \Rightarrow$ $\mathit{1_1} = \mathit{1_2} \Høyrepil$ $\eksisterer! \; \mathit{1} \i K$

Unikheten til det omvendte elementet i kroppen $K_{{}}^{{}}$
anta at inversen av a, ikke er unik, det vil si la og være to motsetninger av , da, siden det nøytrale er unikt: $a_{}^{-1}$ $a_1^{-1}$ $a_2^{-1}$ $a_{}^{}$ $\venstre . \begin{array}{l} \mathit{a} \cdot \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{1} \\ \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}} = \mathit{1} \end{array} \right \} \Rightarrow$ $\mathit{a} \cdot \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}} \Rightarrow$ $\mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a_2^{-1}} \Rightarrow$ $\eksisterer! \mathit{a^{-1}} \i K$

Produkt av en skalar av den nøytrale vektoren
$\mathit{a} \cdot \mathbf{u} =$ $\mathit{a} \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{0})=$ $\mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{a} \cdot \mathbf{0} \Rightarrow$ $\mathit{a} \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$

Skalarprodukt 0 ganger en vektor
$\mathbf{u} =$ $\mathit{1} \cdot \mathbf{u} =$ $(\mathit{1} + \mathit{0}) \cdot \mathbf{u} =$ $\mathit{1} \cdot \mathbf{u} + \mathit{0} \cdot \mathbf{u} =$ $\mathbf{u} + \mathit{0} \cdot \mathbf{u} \Rightarrow$ $\mathit{0} \cdot \mathbf{u} =$ $\mathbf{0}$

Ja $\mathit{a} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{0} \Rightarrow$ ${\mathit {a}}={\mathit {0}}\quad \lor \quad \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

Ja det er sant. $a_{}^{}=0,$
Hvis da: $til \neq 0,$

\eksisterer! \; a^{-1} \i K :

a^{-1}a=1 \Høyrepil

u=

1u=

(a^{-1}a)u=

a^{-1}(au)=

a^{-1}0=0 \Høyrepil

u_{}^{}=0.

Notasjon

-au=-(au) \,

Observasjon

-au=(-a)u=a(-u) \,

Ja $au+a(-u)=a(uu)=a0=0 \Høyrepil$ $a(-u)=-au \,$
Ja $au+(-a)u=(aa)u=0u=0 \Høyrepil$ $(-a)u=-au \,$

Første eksempel med demo

Vi ønsker å bevise at det er et vektorrom over $? {R} 2$ $\mathbb{R}$

Hvis du spiller rollen som og som : $? {R} 2$ $v\;$ $\mathbb{R}$ $K\;$

Elementene:

\mathbf{u} \in V = \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times{}\mathbb{R}

De er, generelt:

\mathbf{u} =(u_x,u_y)

det vil si par av reelle tall. For klarhetens skyld er navnet på vektoren bevart, i dette tilfellet u , i dens koordinater, ved å legge til underskriften x eller y for å navngi dens komponent på henholdsvis x- eller y - aksen .

In definerer tilleggsoperasjonen: $v\;$

\begin{array}{ccll} +: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & (\mathbf{u},\mathbf{v}) & \mapsto & \mathbf {w}= \mathbf{u} + \mathbf{v} \end{array}

hvor:

\mathbf{u} = (u_x, u_y)

\mathbf{v} = (v_x, v_y)

\mathbf{w} = (w_x, w_y)

og summen av u og v vil være:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_x, u_y) + (v_x, v_y) = (u_x + v_x, u_y + v_y) = (w_x, w_y) = \mathbf{w}

hvor:

\begin{array}{l} w_x = u_x + v_x \\ w_y = u_y + v_y \end{array}

dette innebærer at vektoraddisjonen er intern og veldefinert.

Det indre operasjonstillegget har egenskapene:

1) Den kommutative egenskapen, det vil si:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(u_x, u_y) + (v_x, v_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(u_x + v_x, u_y + v_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(v_x + u_x, v_y + u_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(v_x, v_y) + (u_x, u_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}

\mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{v} + \mathbf{u}

2) Den assosiative egenskapen:

(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}= \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})

\Big( (u_x, u_y) + (v_x, v_y) \Big) + (w_x, w_y) = (u_x, u_y) + \Big( (v_x, v_y) + (w_x, w_y) \Big)

(u_x + v_x, u_y + v_y) + (w_x, w_y)= (u_x, u_y) + (v_x + w_x, v_y + w_y) \;

(u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) = (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) \;

3) har et nøytralt element : $\mathbf{0}$

\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}

(u_x, u_y) + (0, 0) = (u_x + 0, u_y + 0) = (u_x, u_y) \;

4) har motsatt element:

\mathbf{u} = (u_x, u_y)

\mathbf{-u} = (-u_x, -u_y)

\mathbf{u} + ( \mathbf{-u}) = (u_x, u_y) + (-u_x, -u_y) = (u_x - u_x, u_y - u_y) = (0, 0) = \mathbf{0}

Driftsproduktet etter en skalar:

\begin{array}{ccll} \cdot : & K \times V & \longrightarrow & V \\ & (\mathit{a}, \mathbf{u}) & \mapsto & \mathbf{v}= \mathit{ a} \cdot \mathbf{u} \end{array}

Produktet av a og u vil være:

\mathit{a} \cdot \mathbf{u} = a \cdot (u_x, u_y) = (a \cdot u_x, a \cdot u_y) = (v_x, v_y) = \mathbf{v}

hvor:

\begin{array}{l} v_x = a \cdot u_x \\ v_y = a \cdot u_y \end{array}

dette innebærer at vektormultiplikasjon med skalar er ekstern og likevel godt definert.

5) har den assosiative egenskapen:

\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V

Det er:

\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})= (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u}

\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot (u_x, u_y))= (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)

\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot u_x, \mathit{b} \cdot u_y)= (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)

(\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)= (\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x , \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)

6) være nøytralt element i produktet: $\mathit{1} \in{} R$

\mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V

Hvilke resultater:

\mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}

\mathit{1} \cdot (u_x, u_y) = \mathbf{u}

(\mathit{1} \cdot u_x, \mathit{1} \cdot u_y) = \mathbf{u}

(u_x, u_y) = \mathbf{u}

Som har fordelingsegenskapen:

7) distributiv til venstre:

\mathit{a} \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{a} \cdot \mathbf{v} , \quad \ forall{} \mathit{a}\in{}R , \quad \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V

I dette tilfellet har vi:

\mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) = \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v}

\mathit{a} \cdot ((u_x, u_y) + (v_x, v_y)) = \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{a} \cdot (v_x, v_y)

\mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) = (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{a} \cdot v_x, \mathit{ a} \cdot v_y)

\mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) = (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{a} \cdot v_x, \mathit{a} \cdot u_y + \mathit{a} \cdot v_y)

(\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot (u_y + v_y)) = (\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot ( u_y + v_y))

8) distributiv til høyre:

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} , \quad \ forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} R , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V

Som i dette tilfellet har vi:

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u}

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) = \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{b} \cdot (u_x, u_y)

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) = (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{b} \cdot u_x , \mathit{b} \cdot u_y)

(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) = (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y + \ mathit{b} \cdot u_y)

((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y) = ((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y)

Det er vist at det er et vektorrom.

Eksempler

Kroppene

Hver kropp er et vektorrom på seg selv, og bruker produktet av kroppen som produktet ved å skalere.

$\mathbb{C}$ er et vektorrom med dimensjon én over . $\mathbb{C}$

Hver kropp er et vektorrom over underfeltet sitt , og bruker produktet av kroppen som skalarproduktet.

$\mathbb{C}$ er et vektorrom på . ${\mathbb {R}}$
$\mathbb{C}$ er et vektorrom på . $\mathbb{Q}$

Sekvenser over et felt K

Det mest kjente vektorrommet notert som , hvor n > 0 er et heltall , har som elementer n -tupler , det vil si endelige sekvenser av lengde n med operasjonene: $K_{}^n$ $K_{{}}^{{}}$

( u 1 , u 2 , ..., u n )+( v 1 , v 2 , ..., v n )=( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n ). a( u 1 , u 2 , ..., u n )=( au 1 , au 2 , ..., au n ).

De uendelige sekvensene av er vektorrom med operasjonene: $K^{}$

( u 1 , u 2 , ..., u n , ...)+( v 1 , v 2 , ..., v n , ...)=( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n , ...). a( u 1 , u 2 , ..., u n , ...)=( au 1 , au 2 , ..., au n , ...).

Rommet til matrisene , , på , med operasjonene: $n \ ganger m$ $M_{n \times m}(K)$ $K^{}$

\begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{ pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1,1} & \cdots & y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{n,1} & \cdots & y_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1,1}+y_{1,1} & \cdots & x_{1,m}+y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \ \ x_{n,1}+y_{n,1} & \cdots & x_{n,m}+y_{n,m} \end{pmatrix}

a \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_{1,1} & \cdots & ax_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ ax_{n,1} & \cdots & ax_{n,m } \end{pmatrix}

Vektorrom er også en hvilken som helst gruppering av elementer der sum- og produktoperasjonene mellom disse grupperingene er definert, element for element, lik den for matriser , derfor har vi for eksempel boksene som vises i Taylor-utvidelsen av orden 3 av en generisk funksjon. $K_{{}}^{{}}$ $n \ ganger m$ $n \ ganger m \ ganger r$ $K_{{}}^{{}}$

Applikasjonsrom over en brødtekst

Settet med kart , et felt og et sett, danner også vektorrom ved vanlig addisjon og multiplikasjon: $F_{}^{}$ $f : M \høyrepil K$ $K^{}$ $M_{}^{}$

\forall f,g \in F,\; \forall a \i K

\begin{matrise} (f + g)(w) &:= f(w) + g(w)_{}^{},\\ \;\;\;\;(af)(w) &: = a(f)(w)_{}^{}.\;\;\;\;\;\;\; \end{matrise}

Polynomene

Vektorrommet dannet av polynomfunksjoner , la oss se det: $K[x]$

Generelt uttrykk: , hvor , vurdere .

p(x) = r_n x^n+ r_{n-1} x_{}^{n-1}+ ... + r_1 x + r_0

r_n, \; ..., r_0 \i K

\forall i>n\;r_{i}=0

p(x)+q(x)=(r_n x^n+r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{})

+(s_m x^m+ s_{m-1} x^{m-1}+ ... +s_1 x+s_0^{})

=..._{}^{}

=(t_M x^M+t_{M-1} x^{M-1}+...+t_1 x+t_0^{})=(p+q)(x)

, hvor og ,

M= \maks \{ m, \; n \}_{}^{}

t_i=r_i+s_i^{}

a(p(x))=a(r_n x^n+ r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{})

=( a r_n x^n+ a r_{n-1}x^{n-1}+ ... +a r_1 x + a r_0^{})

= t_n x^n+ t_{n-1}x^{n-1}+ ... + t_1 x + t_0^{}=(ap)(x)

Power- serier er like, bortsett fra at uendelig mange termer som ikke er null er tillatt.

Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene danner vektorrom med følgende operasjoner:

Generelt uttrykk:

f(x)= a_f^{} \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sin} (ix) + c_{f,i} \cos (ix) ) \in L^ to

(f+g)(x):=f(x)+g(x)_{}^{}

= a_f \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sin} (ix) + c_{f,i} \cos (ix) ) + a_g \sum_{i=1}^n ( b_{g,i} \mbox{sin} (ix) + c_{g,i} \cos(ix) )

= ( a_f + a_g ) \sum_{i=1}^n ( (b_{f,i} + b_{g,i}) \mbox{sin} (ix) + ( c_{f,i} + c_{ g,i} ) \cos(ix) ) \i L^2

(af)(x):=af(x)_{}^{}

= a ( a_f \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sin} (ix) + c_{f,i} \cos (ix)) )

= aa_f \sum_{i=1}^n ( ab_{f,i} \mbox{sin} (ix) + ac_{f,i} \cos(ix) ) \in L^2

Systemer med homogene lineære ligninger

$\begin{cases} \begin{matrix} a_{1,1}x_1 & + \dots & + a_{1,n}x_n & =0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m, 1}x_1 & + \dots & + a_{m,n}x_n & =0 \end{matrise} \end{cases} \;\;$ eller tilsvarende forenklet som $\begin{pmatrix} a_{1,1} & + \dots & + a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & \\ a_{m,1} & + \dots & + a_{m, n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $A_{}^{}x=0$

Et system med homogene lineære ligninger (lineære ligninger som alltid er en løsning, det vil si ) har løsninger som danner et vektorrom, det kan sees i sine to operasjoner: $x=0_{}^{}$ $(x_1,\; \dots ,\; x_n)=(0,\; \dots ,\; 0)$

Ax=0,Ay=0 \Høyrepil Ax+Ay=0 \Høyrepil

A(x+y)=0_{}^{}

Ja .

Ax=0,a \in K \Høyrepil a(Ax)=0 \Høyrepil

A(ax)=0_{}^{}

Også at ligningene selv, rader av matrisen notert som en matrise , det vil si , er et vektorrom, som kan sees fra deres to operasjoner: $A_{}^{}$ $1\ ganger n$ $E_i=(a_{i,1}, \; \dots , \; a_{i,n})$

E_ix=0,\; E_jx=0 \Høyrepil

E_i^{}x+E_jx=0 \Høyrepil (E_i+E_j)x=0

Ja .

E_ix=0,\; a \in K \Høyrepil

a(E_i^{}x)=0 \Høyrepil (aE_i)x=0

Vektorunderrom

Definisjon

La være et vektorrom på og et ikke-tomt delsett av , det sies å være et vektorunderrom av hvis: $v$ $K$ $U\subset V$ $V$ $ELLER$ $v$

$u+v\in U$
$\beta u\in U$

$\forall \;u,v\in U$ og . $\beta \in K$

Konsekvenser

$ELLER$ arver operasjonene til som veldefinerte applikasjoner, det vil si at de ikke unnslipper fra , og som en konsekvens har vi at er et vektorrom på . $v$ $ELLER$ $ELLER$ $K$

Med et hvilket som helst delsett av elementer valgt i de forrige vektorrommene, kan ikke tomme, vektorunderrom genereres, for dette vil det være nyttig å introdusere nye konsepter som vil lette arbeidet med disse nye vektorrommene.

Interne resultater

For å detaljere den interne oppførselen til alle vektorrom på en generell måte, er det nødvendig å eksponere en rekke verktøy kronologisk knyttet mellom dem, som det er mulig å konstruere gyldige resultater med i enhver struktur som er et vektorrom.

Lineær kombinasjon

Gitt et vektorrom vil vi si at en vektor er en lineær kombinasjon av vektorene hvis de eksisterer slik at $E_{{}}^{{}}$ $u\in E$ $S=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subseteq E$ $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$

$u=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n$

Vi vil betegne som det resulterende settet av alle lineære kombinasjoner av vektorene til . $\langle S_{}^{} \rangle_E$ $S_{}^{} \delsett E$

Proposisjon 1

Gitt et vektorrom og et sett med vektorer, er settet det minste vektorunderrommet i y som inneholder en . $E_{{}}^{{}}$ $S \subset E_{}^{}$ $F=\langle S_{}^{} \rangle_E$ $E_{{}}^{{}}$ $S_{}^{}$

Demonstrasjon
Hvis det motsatte antas, er det en mindre motsetning, siden u genereres av elementer av på grunn av de veldefinerte to operasjonene, derfor . $G_{}^{} \varsubsetneq F \Høyrepil$ $\eksisterer u \i F : u \noti G$ $S \delsett F \Høyrepil u \i G$ $F=G_{}^{}$

Merk . I dette tilfellet sies det at det er et system av generatorer som genererer .

S_{}^{}

F_{}^{}

Lineær uavhengighet

Vi vil si at et sett med vektorer er lineært uavhengig hvis vektoren 0 ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av vektorene til ikke-null , det vil si: $S_{}^{}=\{ v_1, \; \prikker , \; v_n \}$ $S_{}^{}$

Ja .

0=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n \Høyrepil a_1= \cdots = a_n = 0

Vi sier at et sett med vektorer er lineært avhengig hvis det ikke er lineært uavhengig. $S_{}^{}$

Proposisjon 2

$v_1,\; \prikker, \; v_n$ er lineært avhengige $\Leftrightarrow \exists v_i \neq 0 : v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j$

Demonstrasjon
$\Høyre pil )$ Lineært avhengig opptak . $\Rightarrow 0=b_1v_1+ \cdots + b_nv_n : \exists b_i \neq 0 \Rightarrow$ $b_iv_i= - \sum_{ i \neq j \geq 1}^n b_jv_j \Rightarrow$ $v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n (-b_j b_i^{-1}) v_j=\sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j$ $a_j= -b_j b_i^{-1}$ $\Venstre pil )$ Hvis hvor og derfor lineært avhengig. $v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j \Rightarrow$ $0=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n$ $a_i:=-1 \neq 0$

Grunnlaget for et vektorrom

Basis avslører strukturen til vektorrom på en kortfattet måte. En basis er den minste (endelige eller uendelige) mengden B = { v i } i ∈ I av vektorer som spenner over hele rommet. Dette betyr at enhver vektor v kan uttrykkes som en sum (kalt en lineær kombinasjon ) av elementene i basisen

a 1 v i 1 + a 2 v i 2 + ... + a n v i n ,

hvor a k er skalarer og v i k ( k = 1, ..., n ) elementer av basis B . Minimalitet, på den annen side, gjøres formell av konseptet lineær uavhengighet . Et sett med vektorer sies å være lineært uavhengig hvis ingen av elementene kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av resten. Tilsvarende en ligning

a 1 v i 1 + a i 2 v 2 + ... + a n v i n = 0

Det oppnås bare hvis alle skalarene a 1 , ..., a n er lik null. Ved definisjon av grunnlaget kan hver vektor uttrykkes som en endelig sum av elementene i basisen. På grunn av lineær uavhengighet er denne typen representasjon unik. Vektorrom introduseres noen ganger fra dette synspunktet.

Base formelt

Gitt et system av generatorer vil vi si at det er et grunnlag hvis de er lineært uavhengige.

Proposisjon 3. Gitt et vektorrom er en basis .

E, \; \{ v_1, \; \dots , v_n \} = F \delsett E

\venstrehøyrepil

\forall u \in E, \; \eksisterer! a_i \i K ,\;i \i {1,\; \dots , n} :

u=\sum_{i=1}^n a_iv_i

Proposisjon 4. Gitt et lineært uavhengig vektorrom og er lineært uavhengige.

E, \; S= \{v_1,\; \prikker , \; v_n \}

u \notin \langle S \rangle \Rightarrow

\{ u \} \cup S = \{ u, \; v_1, \; \prikker , \; v_n \}

Grunnlag for generatorer teorem

Hvert system av generatorer har en base.

Steinitz teorem

Hver basis av et vektorrom kan delvis endres av lineært uavhengige vektorer.

Konsekvens . Hvis et vektorrom har en basis av vektorer , har annenhver basis vektorer.

E_{{}}^{{}}

n_{}^{}

\Høyre pil

n_{}^{}

Observasjon

Hvert vektorrom har en basis. Dette faktum er basert på Zorns lemma , en ekvivalent formulering av valgaksiomet . Gitt de andre aksiomene til Zermelo – Fraenkel settteori , tilsvarer eksistensen av baser det valgte aksiomet. Lemma -ultrafilteret , som er svakere enn valgaksiomet, innebærer at alle baser i et vektorrom har samme "størrelse", dvs. kardinalitet . Hvis rommet dekkes av et begrenset antall vektorer, kan alt det ovennevnte bevises uten å ty til settteori.

Dimensjon

Gitt et vektorrom på : $K_{}^{}$

Hvis den har en endelig base, vil vi si dimensjon til antall elementer i nevnte base.
Hvis den har en ikke-endelig base, vil vi si at den er av uendelig dimensjon .

Notasjon

Gitt et vektorrom og et underrom har vi: $E_{{}}^{{}}$ $F_{}^{} \delsett E$

Hvis den har dimensjon , vil vi indikere den som . $E_{{}}^{{}}$ $n_{}^{}$ $\dim(E)=n_{}^{}$
Hvis det har dimensjon som et underrom av , vil vi indikere det som . $F_{}^{}$ $m_{}^{}$ $E_{{}}^{{}}$ $\dim_E(F)=m_{}^{}$

Skjæringspunktet mellom vektorunderrom

Gitt to vektorunderrom , er skjæringspunktet vektorunderrommet som finnes i disse, og vi vil merke det som: $F, G\delsett E$

F \cap G:= \{ u : \; u \i F , \; u \in G \}

. Merknader . For den suksessive skjæringen av vektorrom, fortsetter vi, induktivt, to og to.

Foreningen av vektorunderrom er generelt ikke et vektorunderrom.

Summen av vektorunderrom

Gitt to vektorunderrom , er summen et vektorunderrom som inneholder dem, og vi vil merke det som: $F, G\delsett E$

F+G:= \{ u=v_1+v_2 : \; v_1 \i F, \; v_2 \in G \}

Hvis F og G er vektorunderrom av E, er summen deres F+G det minste vektorunderrommet til E som inneholder F og G.

Observasjon . For suksessiv addisjon av vektorrom, fortsetter vi, induktivt, to og to.

Grassmanns formelteorem

Gitt to endeligdimensjonale vektorunderrom , har vi følgende resultat: $F, G\delsett E$

\dim_E(F+G) = \dim_E(F) + \dim_E(G) - \dim_E(F \cap G)

Direkte tillegg av vektorunderrom

Gitt to vektorunderrom , vil vi si at det er en direkte sum hvis og vi vil betegne det som: $F, G\delsett E$ $F+G_{}^{}$ $F \kap G = {0}$

F \ pluss G

Når og er i direkte sum, er hver vektor av unikt uttrykt som summen av en vektor av og en annen vektor av . $F$ $G$ $F+G$ $F$ $G$

Kvotient av vektorrom

Gitt et vektorrom og et vektorunderrom . $OG\,$ $F \delsett E$

Gitt vil vi si at de er relaterte modulo if . $u,v\in E$ $F\,$ $uv \i F$

Relasjonen ovenfor er en ekvivalensrelasjon .

Det er notert av en modulklasse .

[u] =u+F: = \{u+v : v \i F \}

= \{ w : w=u+v , \; v \in F \}

eller\,

F\,

Vi vil kalle kvotientsettet eller kvotientrommet settet av ekvivalensklassene ovenfor:

Det er notert med et nevnte kvotientrom.

E/F_{}^{}

Rommet er et vektorrom med følgende operasjoner: $E/F_{}^{}$

\begin{matrise} [u]+ [v] & := & [u+v] \\ \;\;\;\;\;\;\;\lambda [u] & := & [ \lambda u ]\;\;\;\; \end{matrise}

Grunnleggende konstruksjoner

I tillegg til det som er eksponert i de foregående eksemplene, er det en rekke konstruksjoner som gir oss vektorrom fra andre. I tillegg til de konkrete definisjonene gitt nedenfor, er de også preget av universelle egenskaper , som bestemmer et objekt X ved å spesifisere de lineære kartene til X til et hvilket som helst annet vektorrom.

Direkte tillegg av vektorrom

Gitt to vektorrom på samme felt , vil vi kalle vektorrommet direkte addisjon , la oss se at de to operasjonene er godt definert: $OG,\; F_{}^{}$ $K_{{}}^{{}}$ $E \ ganger F =$ $\{ u:=(u_1,\; u_2) : u_1 \i E,\; u_2 \i F \}$

u+v=(u_1,\;u_2)+(v_1,\;v_2)=

(u_1+v_1,\; u_2+v_2)

au =a(u_1,\;u_2)=

(au_1,\;au_2)

Vektorrom med tilleggsstruktur

Fra synspunktet til lineær algebra er vektorrom fullt ut forstått i den grad at ethvert vektorrom er karakterisert, unntatt isomorfismer, av dens dimensjon. Ad hoc vektorrom tilbyr imidlertid ikke et rammeverk for å håndtere det grunnleggende spørsmålet for analysen om en sekvens av funksjoner konvergerer til en annen funksjon. Likeledes er lineær algebra ikke tilpasset i seg selv for å håndtere uendelige serier , siden addisjon bare lar et begrenset antall ledd legges til. Behovene til funksjonsanalyse krever å vurdere nye strukturer.

Normerte mellomrom

Et vektorrom er normert hvis det er utstyrt med en norm .

Forslag 5 . Et normert rom er et metrisk rom , der avstanden er gitt av:

d(x,y)=\|xy\|

Hver avstand indusert av normen er en avstand.

Gitt en topologi på et vektorrom hvor punktene er lukket og de to operasjonene til vektorrommet er kontinuerlige med hensyn til nevnte topologi, vil vi si at: $\tau_{}^{}$ $X_{}^{}$

$\tau_{}^{}$ er en vektortopologi på , $X_{}^{}$

$X_{}^{}$ er et topologisk vektorrom .
Forslag 6. . Hvert topologisk vektorrom utstyrt med en metrikk er et normert rom. Forslag 7. . Hvert normert rom er et topologisk vektorrom.

Banach mellomrom

Et Banach-rom er et komplett normert rom.

Prehilbert mellomrom

Et prehilbertisk rom er et par , der er et vektorrom og er et punktprodukt . $(E_{}^{},\langle \cdot | \cdot \rangle)$ $E_{{}}^{{}}$ $\langle \cdot | \cdot \range$

Hilbert mellomrom

Et Hilbert-rom er et prehilbert-rom komplett etter normen definert av punktproduktet.

Morfismer mellom vektorrom

De er applikasjoner mellom vektorrom som opprettholder strukturen til vektorrommene, det vil si at de bevarer de to operasjonene og deres egenskaper fra ett til et annet av nevnte rom.

Lineære applikasjoner

Gitt to vektorrom og , på samme kropp, vil vi si at et kart er lineært hvis: $E_{{}}^{{}}$ $F_{}^{}$ $f:E \høyrepil F$

f(u+_E v)=f(u)+_F f(v)_{}^{}

f(a \cdot_E u)=a \cdot_F f(u)

Se også

Portal: Matematikk . Innhold relatert til matematikk .
Wikibooks er vert for en bok eller manual på Vector space .

Referanser

Notater

^ Bourbaki, 1969 , kap. "Algabre linéaire et algebre multilinéaire", s. 78–91.
^ Bolzano, 1804 .
^ Mobius, 1827 .
^ Hamilton, 1853 .
^ Grassmann, 1844 .
^ Peano, 1888 , kap. IX.
^ Banach, 1922 .

Historiske referanser

Banach, Stefan (1922). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations intégrales (Om operasjoner i abstrakte sett og deres anvendelse på integralligninger) (på fransk) 3 . Foundation Mathematicae . ISSN 0016-2736 .
Bolzano, Bernard (1804). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Betraktninger av noen aspekter ved elementær geometri) (på tysk) .
Bourbaki, Nicolas (1969). Éléments d'histoire des mathématiques (Elementer i matematikkens historie) (på fransk) . Paris: Hermann.
Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (på tysk) .
Hamilton, William Rowan (1853). Forelesninger om Quaternions . Royal Irish Academy.
Mobius, August Ferdinand (1827). Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentrisk kalkulus: et nytt verktøy for analytisk behandling av geometri) (på tysk) . Arkivert fra originalen 12. april 2009.
Moore, Gregory H. (1995), "The aksiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica 22 (3): 262-303, ISSN 0315-0860 .
Peano, Giuseppe (1888). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (på italiensk) . Torino.

Bibliografi

Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV vektorrom». Lineær algebra og geometri (på katalansk) . Publ. UAB.
Lang, S. (1976). Lineær algebra . Interamerikansk utdanningsfond. |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
Queysanne, M., Basic Algebra , Vicens-Vives. 1973.
Rudin, w., Funksjonsanalyse (Aksiomatisk definisjon av topologiske vektorrom innledende), Reverté.

Eksterne lenker

lek med vektorer
Weisstein, Eric W. «Vektorrom» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
En forelesning om grunnleggende konsepter relatert til vektorrom (gitt ved MIT )
En grafisk simulator for begrepene span, lineær avhengighet, base og dimensjon