Ekte nummer

I matematikk inkluderer settet med reelle tall (betegnet med ) både de rasjonelle tallene (positive, negative og null ) og de irrasjonelle tallene ; [ 1 ] og i en annen tilnærming, til transcendental og algebraikk . Det irrasjonelle og det transcendentale [ 2 ] kan ikke uttrykkes med en brøkdel av to heltall med en nevner som ikke er null; de har uendelige aperiodiske desimaltall, slik som , $π$ , eller det reelle tallet , hvis betydning ble uttalt av Euler på det attende århundre . [ 2 ] $\mathbb{R}$ ${\sqrt {5}}$ ${\displaystyle-logg(2)}$

De reelle tallene kan beskrives og konstrueres på forskjellige måter, noen enkle, selv om de mangler den strengheten som er nødvendig for formelle matematiske formål, og andre mer komplekse, men med den nødvendige strengheten for formelt matematisk arbeid.

I løpet av 1500- og 1600 - tallet gikk kalkuleringen mye frem, selv om den manglet et strengt grunnlag, siden man på den tiden slapp det strenge og logiske grunnlaget, så krevende i dagens teoretiske tilnærminger, og uttrykk som "liten" ble brukt, « grense», «tilnærminger» uten en presis definisjon. Dette førte til en rekke paradokser og logiske problemer som tydeliggjorde behovet for å lage et strengt grunnlag for matematikk, som besto av formelle og strenge (men absolutt tekniske) definisjoner av begrepet reelt tall . [ 3 ] I et senere avsnitt vil to av de mest brukte presise definisjonene i dag bli beskrevet: ekvivalensklasser av Cauchy-sekvenser av rasjonelle tall og Dedekind-kutt .

Historikk

Egypterne ga først opphav til vanlige brøker rundt 1000 f.Kr. C .; rundt 500 f.Kr C. en gruppe greske matematikere ledet av Pythagoras innså behovet for irrasjonelle tall . Negative tall ble utviklet av indiske matematikere rundt 600 , muligens gjenoppfunnet i Kina like etter, men ble ikke brukt i Europa før på 1100 -tallet , selv om Leonhard Euler på slutten av 1700-tallet forkastet negative løsninger på ligninger som uvirkelige. I det århundret ble reelle tall brukt i kalkulus uten en presis definisjon, noe som til slutt skjedde med den strenge definisjonen laget av Georg Cantor i 1871 .

Den strenge studien av den totale konstruksjonen av de reelle tallene krever faktisk en omfattende bakgrunn i settteori og matematisk logikk . Konstruksjonen og systematiseringen av reelle tall ble oppnådd på 1800 -tallet av to store europeiske matematikere ved å bruke forskjellige veier: Georg Cantors settteori (påfølgende innbygging, endelige og uendelige kardinaler), på den ene siden, og den matematiske analysen til Richard Dedekind (Dedekind) nabolag, miljøer og sakser ). Begge matematikerne oppnådde systematisering av reelle tall i historien, ikke spontant, men ved å bruke alle de tidligere fremskritt i saken: fra antikkens Hellas og gjennom matematikere som Descartes , Newton , Leibniz , Euler , Lagrange , Gauss , Riemann , Cauchy og Weierstrass .

Utvikling av tallbegrepet

Egypterne og babylonerne er kjent for å ha brukt brøker (rasjonelle tall) for å løse praktiske problemer. Imidlertid var det med utviklingen av gresk matematikk at det filosofiske aspektet ved tall ble vurdert. Pytagoreerne oppdaget at de harmoniske relasjonene mellom musikknoter tilsvarte forholdet mellom hele tall, [ 5 ] som inspirerte dem til å se etter numeriske proporsjoner i alle andre ting, og uttrykke det med maksimen " alt er tall ".

I gresk matematikk er to størrelser commensurable hvis det er mulig å finne en tredje slik at de to første er multipler av den siste, det vil si at det er mulig å finne en felles enhet slik at de to størrelsene har et heltall. Pythagoras prinsipp om at hvert tall er en kvotient av heltall uttrykt på denne måten at alle to størrelser må være kommensurerbare.

Imidlertid vaklet det ambisiøse Pythagoras-prosjektet før problemet med å måle diagonalen til et kvadrat eller hypotenusen til en rettvinklet trekant , siden det ikke er målbart med hensyn til bena. I moderne notasjon har en rettvinklet trekant hvis ben måler 1 en hypotenuse som måler kvadratroten av to , : $\sqrt 2$

Hvis ved hypotese er et rasjonelt tall og er redusert, så fra hvor .

{\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}

\frac{p}{q}

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}

2q^{2}=p^{2}

Hvis o er ment å ha en to i sin dekomponering, vil den bli kvadratisk, og derfor vil det være en jevn størrelse på den ene siden av likheten når den er oddetall på den andre siden. $s$ $hva$

Derfor må antakelsen om at det er et rasjonelt tall være falsk.

\sqrt 2

En selvmotsigelse oppsto da : i henhold til det pytagoreiske prinsippet er hvert tall rasjonelt, men hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant kan ikke måles med bena. Dette innebar at geometriske størrelser og numeriske størrelser heretter måtte behandles separat, noe som fikk konsekvenser for utviklingen av matematikk i løpet av de følgende to årtusenene. [ 6 ]

Grekerne utviklet en geometri basert på sammenligninger ( proporsjoner ) av segmenter uten referanse til numeriske verdier, ved å bruke forskjellige teorier for å håndtere tilfellet med inkommensurable målinger, for eksempel Eudoxus 'proporsjonsteori . Dermed forble irrasjonelle tall fra da av ekskludert fra aritmetikk siden de bare kunne behandles med metoden for uendelige tilnærminger . For eksempel fant pytagoreerne (i moderne notasjon) at hvis $a ⁄ b$ er en tilnærming til √ 2 , så er $p$ = $a$ + 2 $b$ og $q$ = $a$ + $b$ slik at $p ⁄ q$ er en mer nøyaktig tilnærming. Å gjenta prosessen igjen gir høyere tall som gir en bedre tilnærming. [ 7 ] Siden lengdene uttrykt med irrasjonelle tall kunne oppnås ved enkle geometriske prosesser, men aritmetisk bare ved prosesser med uendelige tilnærminger, førte det til at reell tallteori i hovedsak var geometrisk i 2000 år, og identifiserte reelle tall med punktene til en rettlinje. linje.

Ytterligere fremskritt i konseptet med det reelle antallet ventet til 1500- og 1600-tallet , med utviklingen av algebraisk notasjon, som tillot manipulering og drift av mengder uten referanse til segmenter og lengder. For eksempel ble formler funnet for å løse likninger av andre og tredje grad mekanisk ved hjelp av algoritmer , som inkluderte røtter og noen ganger til og med "ikke-reelle tall" (det vi nå kjenner som komplekse tall ). Imidlertid var det fortsatt ikke noe formelt tallbegrep, og geometri ble fortsatt gitt forrang som grunnlaget for all matematikk. Selv med utviklingen av analytisk geometri forble dette synspunktet gyldig, siden Descartes avviste ideen om at geometri kunne være basert på tall, siden for ham var det nye området ganske enkelt et verktøy for å løse geometriske problemer.

Deretter åpnet oppfinnelsen av kalkulus en periode med store matematiske fremskritt, med nye og kraftige metoder som tillot for første gang å angripe problemer knyttet til uendelighet gjennom konseptet grense . Dermed kan et irrasjonelt tall forstås som grensen for en uendelig sum av rasjonelle tall (for eksempel dens desimalutvidelse). Som et utvalg kan tallet $π$ studeres algebraisk (uten å appellere til geometrisk intuisjon) gjennom serien:

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right) =4\sumk=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k+1}}$

blant mange andre lignende uttrykk. Da var det intuitive konseptet med det reelle tallet allerede det moderne, og identifiserte lett et segment med mål på lengden (rasjonell eller ikke). Calculus banet vei for matematisk analyse , som studerer begreper som kontinuitet, konvergens, etc. Men analysen hadde ikke strenge definisjoner, og mange av bevisene appellerte fortsatt til geometrisk intuisjon. Dette førte til en rekke paradokser og unøyaktigheter.

Notasjon

Reelle tall uttrykkes med desimaler som har en uendelig rekkefølge av sifre til høyre for desimaltegnet, for eksempel 324.8232. Tre prikker legges ofte til på slutten (324.823211247...) som indikerer at det er flere desimaler, men de anses som uviktige.

Målinger i de fysiske vitenskapene er alltid en tilnærming til et reelt tall. Ikke bare er det mer kortfattet å skrive dem i form av en desimalbrøk ( det vil si rasjonelle tall som kan skrives som proporsjoner , med en eksakt nevner), men i alle fall er konseptet og betydningen av det reelle tallet fullstendig forstått. I matematisk analyse er reelle tall hovedobjektet for studiet. Det kan sies at reelle tall er arbeidsverktøyet for kontinuitetsmatematikken, for eksempel kalkulus og matematisk analyse, mens heltall er arbeidsverktøyet for diskret matematikk , der kontinuitet er fraværende.

Et reelt tall sies å være rekursivt hvis sifrene kan uttrykkes med en rekursiv algoritme. Et ikke-rekursivt tall er et som er umulig å spesifisere eksplisitt. Likevel antar den russiske skolen for konstruktivisme at alle reelle tall er rekursive.

Datamaskiner kan bare tilnærme reelle tall med rasjonelle tall; noen dataprogrammer kan imidlertid behandle et reelt tall nøyaktig ved å bruke dens algebraiske definisjon (for eksempel " ") i stedet for dens respektive desimaltilnærming. ${\sqrt {2}}$

Matematikere bruker symbolet (eller alternativt den fete bokstaven " R ") for å representere settet med alle reelle tall. Matematisk notasjon refererer til et dimensjonalt rom av reelle tall; for eksempel består en verdi av tre reelle tall og bestemmer et sted i tredimensjonalt rom. $\mathbb R$ $\mathbf{R}$ $? {R} n$ $n$ $\mathbb R^3$

I matematikk brukes ordet "ekte" som et adjektiv, noe som betyr at det underliggende feltet er feltet for reelle tall. For eksempel reell matrise , reell funksjon og ekte Lie algebra .

Typer av reelle tall

Rasjonelt og irrasjonelt

Et reelt tall kan være et rasjonelt tall eller et irrasjonelt tall . Rasjonale tall er de som kan uttrykkes som forholdet mellom to hele tall, for eksempel 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mens irrasjonelle tall er resten. Rasjonale tall kan også beskrives som de hvis desimalrepresentasjon til slutt er periodisk, mens irrasjonelle tall har en ikke-periodisk desimalutvidelse:

eksempler

{\frac {1}{4}}=0,250000...

er et rasjonelt tall siden det er periodisk fra tredje desimaltall.

{\frac {5}{7}}=0,7142857142857142857...

er rasjonell og har en periode på lengde 6 (gjentakelser 714285) .

\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots

er irrasjonell og dens desimalutvidelse er aperiodisk.

Settene med rasjonelle og irrasjonelle tall er betegnet med henholdsvis e . $\mathbb{Q}$ $\mathbb{I}$

Algebraisk og transcendental

En annen måte å klassifisere reelle tall på er i algebraiske og transcendentale tall . Et tall er algebraisk hvis det er et polynom med rasjonelle koeffisienter som har det som en rot og er transcendentalt ellers. Åpenbart er alle rasjonelle tall algebraiske: hvis det er et rasjonelt tall, med p heltall og q naturlig, så er det roten til ligningen . Imidlertid er ikke alle algebraiske tall rasjonelle. $\frac{p}{q}$ $qx=p$

eksempler Tallet er algebraisk siden det er en rot av polynomet

\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}

4x^3-6x^2+3x-4

Et eksempel på et transcendentalt tall er

\ln3=1\text{,}09861228866811\ldots

Settet med algebraiske tall er angitt med . $\mathbb{A}$

Beregnbar og irreduserbar

Et reelt tall sies å være beregnet hvis det har en endelig Kolmogorov-kompleksitet , det vil si hvis det kan skrives et dataprogram med endelig utvidelse som genererer sifrene til det tallet. Hvis et reelt tall ikke kan beregnes, sies det å være irreduserbart. En definisjon av irreduserbart tall er:

Settet med beregnelige reelle tall er angitt med . Rasjonelle og algebraiske tall er åpenbart beregnelige tall. Faktisk har vi følgende inkludering: $\mathbb {R}{\rm {komp}}$

$\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} \subset \mathbb {R}\rm {komp}}$

Videre er alle disse settene tellbare :

${\text{kort}}|\mathbb {Q} |={\text{kort}}|\mathbb {A} |={\text{kort}}|\mathbb {R}{\rm { comp}}|=\aleph0}$

Dette innebærer at settet med alle beregnelige tall er et sett med mål null .

Konstruksjoner av settet med reelle tall

Aksiomatisk presentasjon

Det ble foreslått av den tyske matematikeren David Hilbert. Utsagn tilsvarende Hilberts vises i gjeldende lærebøker om matematisk beregning og analyse. [ 8 ]

Det er forskjellige måter å konstruere settet med reelle tall fra aksiomer, den vanligste karakteriseringen er den som er kjent som den direkte metoden som introduserer systemet (ℝ, +,., ≤), der elementene i ℝ kalles reelle tall , + og. er to operasjoner på ℝ, er ≤ en ordrerelasjon på ℝ. [ 9 ] En aksiomatisk variant presenteres, gjennom følgende tre egenskaper:

Et sett er settet med reelle tall hvis det tilfredsstiller følgende tre betingelser: $(K,+,\cdot, ≤)$

$(K,+,\cdot)$ er et felt .
$(K,≤)$ er et fullstendig ordnet sett og bestillingen er kompatibel med operasjonene i feltet: Hvis da ; $a\le b$ $a+c\le b+c$ Ja og så . $a\le b$ $0\le c$ $ac \le bc$
Settet K er komplett: det tilfredsstiller aksiomet til supremumet : Hvert ikke-tomt, avgrenset øvre sett har et supremum .

Aksiomet til supremum er en variant av Weierstrass-prinsippet , som sier at hver øvre avgrenset sekvens av reelle tall har supremum

De to første betingelsene definerer begrepet ordnet felt , mens den tredje egenskapen er topologisk av natur og er det som skiller settet med reelle tall fra alle andre ordnede felt. Det skal bemerkes at det i prinsippet kan være forskjellige sett som tilfredsstiller de samme betingelsene og som kan være forskjellige fra settet med reelle tall, men et teorem sier at hvis dette skulle skje, ville begge strukturene i hovedsak vært like.

Ethvert ordnet felt som tilfredsstiller de tre nevnte egenskapene er isomorft med settet med reelle tall.

I lys av det ovennevnte kan vi snakke om settet med reelle tall (og ikke om et sett med reelle tall) og for å etablere dets unikhet, kan symbolet ℝ brukes til å representere det.

Når du angir den tredje egenskapen, spesifiseres det noen ganger at ℝ er fullstendig i Dedekind-forstand, siden det er andre aksiomer som kan brukes og at, forutsatt at de to første betingelsene, alle er logisk likeverdige. Noen av dem er:

(Cauchy) Settet K tilfredsstiller at enhver Cauchy-sekvens er konvergent.
(Bolzano-Weierstrass) Settet K tilfredsstiller at enhver avgrenset sekvens har en konvergent undersekvens.
Enhver avtagende sekvens av lukkede intervaller har et ikke-tomt kryss. $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$

Hver av de to første egenskapene nevnt i begynnelsen av avsnittet tilsvarer i sin tur en annen serie med aksiomer, slik at hvis det gjøres en sammenbrudd, kan settet med reelle tall karakteriseres som et sett som tilfredsstiller følgende liste over aksiomer .

Hvis , så (lås inn summen) $x,y\in\mathbb{R}$ $x+y\in\mathbb{R}$
Hvis , da (Kommutativitet i tillegg) $x,y\in\mathbb{R}$ $x+y=y+x\,$
Hvis , da (assosiativitet i tillegg) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $(x+y)+z=x+(y+z)\,$
Det eksisterer slik at for alt (nøytralt additiv) $0\in\mathbb{R}$ $x+0=x\,$ $x\in\mathbb{R}$
For hver er det et element slik at (additiv invers) $x\in\mathbb{R}$ $-x\in\mathbb{R}$ $-x+x=0\,$
Hvis , så (lås ved multiplikasjon) $x,y\in\mathbb{R}$ $xy\in\mathbb{R}$
Hvis , da (Kommutativitet i multiplikasjon) $x,y\in\mathbb{R}$ $xy=yx\,$
Hvis , da (Associativitet i multiplikasjon) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $(xy)z=x(yz)\,$
Det finnes , slik at for enhver (multiplikativ nøytral) $1\in \mathbb {R}$ $(1\neq 0)$ $x\cdot{1}=1\cdot{x}=x\,$ $x\in\mathbb{R}$
For hver er det et element slik at (Multiplikativ invers) $x\nev 0,x\in\mathbb{R}$ $x^{-1}\in\mathbb{R}$ $x^{-1}x=1\,$
Hvis , da (Distributivitet av multiplikasjon i tillegg) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $x(y+z)=xy+xz\,$
Hvis , så er bare ett av disse sant: ( Trikotomi ) $x,y\in\mathbb{R}$
- $x<y\,$
- $y<x\,$
- $x=y\,$
Hvis , og deretter (Transitivitet) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $x<y\,$ $y<z\,$ $x<z\,$
Hvis og , så (monotoni i tillegg) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $x<y\,$ $x+z<y+z\,$
Hvis , og , så (monotoni i multiplikasjon) $x,y,z\in\mathbb{R}$ $x<y\,$ $0<z\,$ $xz<yz\,$
Hvis er et ikke-tomt øvre begrenset sett i , så har det supremum i ( Axiom of the supremum ) $E \subset \mathbb{R}$ ${\mathbb {R}}$ $E\,$ ${\mathbb {R}}$

Aksiomer 1 til 15 tilsvarer den mest generelle strukturen til et ordnet felt. Det siste aksiomet er det som skiller seg fra andre ordnede felt som . Det skal bemerkes at aksiomene 1 til 15 ikke utgjør en kategorisk teori siden det kan vises at de tillater minst én annen ikke-standard modell av de reelle tallene, som er nettopp modellen som konstruksjonen av de hyperreale tallene er basert på. basert. ${\mathbb {R}}$ $\mathbb{Q}$

Konstruksjon etter desimaltall

Vi vurderer desimaltall slik vi kjenner dem intuitivt. Vi vet at , det vil si at tallet π uttrykkes som heltall 3 og en uendelig rekkefølge av sifrene 1, 4, 1, 5, 9, 2, osv. $\pi=3.1415926535897932384626\prikker$

Et desimaltall uttrykkes deretter som hvor er et heltall og hvert er et element i settet . Videre vurderer vi at køene til 9 ikke eksisterer . $x.d_1d_2d_3d_4\dots$ $x$ $ga$ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Settet med alle desimaltall hvor er et positivt heltall er betegnet med og kalles settet med positive reelle tall . $x$ $\mathbb{R}^+$

Settet med alle desimaltall hvor er et negativt heltall er betegnet med og kalles settet med negative reelle tall . $x$ $\mathbb{R}^-$

Desimaltallet kalles null . $0,00000\prikker$

Mengden er betegnet med og kalles settet med reelle tall . $\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0,00000\dots\}$ $\mathbb{R}$

Den totale ordensrelasjonen til desimaltallene er definert som

$0>x\,$ for alle $x\in\mathbb{R}^-$
$x>y\,$ når og $x\in\mathbb{R}^+$ $y\in\mathbb{R}^-$
$x>0\,$ for alle $x\in\mathbb{R}^+$
Gitt to reelle tall og , i et av følgende tilfeller: $x=a.a_1a_2a_3a_4\prikker$ $y=b.b_1b_2b_3b_4\prikker$ $x>y\,$
- $a>b\,$
- $a=b\,$ og videre finnes det slik at for alle og $n\in\mathbb{N}$ $a_i=b_i\,$ $1\leq i<n$ $a_n > b_n\,$

Dedekind skjærkonstruksjon

Det er verdier som ikke kan uttrykkes som rasjonelle tall , slik er tilfellet med . Det er imidlertid klart at det kan tilnærmes med rasjonelle tall så mye som ønskelig. Vi kan da dele opp settet med rasjonelle tall i to delmengder og på en slik måte at det i settet er alle de rasjonelle tallene og i alle de rasjonelle tallene slik at . $\sqrt 2$ $\sqrt 2$ $EN$ $B.$ $EN$ $x < \sqrt 2$ $B.$ $x > \sqrt 2$

Et Dedekind-snitt er et bestilt par som gjør nettopp dette. Konseptuelt er skjæret "mellomrommet" mellom og . På denne måten er det mulig å definere en som sådan at og . $(A,B)$ $EN$ $B.$ $\sqrt 2$ $(A,B)$ $A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}$ $B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}$

Det er mulig å vise at det er unikt definert av , så skjæret reduseres ganske enkelt til . $B.$ $EN$ $(A,B)$ $EN$

Det er også beviselig at settet med alle kutt tilfredsstiller de reelle tallaksiomene, og dermed er det settet med alle Dedekind-kutt. Dette er den første formelle konstruksjonen av de reelle tallene under settteori . $\mathbb{R}$

Sakser i settet R av reals

Et reelt tall bestemmer på den reelle linjen et kutt hvis klasser er og . [ 10 ] $r$ $A=\{x/\quad x\leq r\}$ $B=\{x/\quad x>r\}$

Konstruksjon av Cauchy-sekvenser

Cauchy-sekvenser tar opp ideen om å tilnærme et reelt tall med rasjonelle tall. [ referanse nødvendig ] Ta for eksempel likheten

\sum{n=0}^{\infty }{\cfrac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\ frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-\dots =\pi

Det er klart at denne summen bare fungerer med rasjonelle tall i formen:

\cfrac{4(-1)^n}{2\,n+1}

sluttresultatet er imidlertid det irrasjonelle tallet . Hver gang en term legges til, kommer uttrykket nærmere og nærmere . $\pi \,$ $\pi \,$

Cauchy-sekvenser generaliserer dette konseptet for å definere reelle tall. En sekvens av rasjonelle tall defineres først som en funksjon som bruker notasjonen . $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q} \,$ $x_{n}:=f(n)$

En Cauchy-sekvens er en sekvens av rasjonelle tall hvis elementer er mindre og mindre forskjellige. Mer formelt er en Cauchy-sekvens definert som en sekvens av rasjonelle tall slik at det for alt eksisterer en slik at for alt er sant . $\epsilon\in\mathbb Q^+$ $n_0\in\mathbb N$ $m,n\geq{n_0}$ $|x_m-x_n|<\epsilon\,$

På denne måten er det mulig å definere det reelle tallet som sekvensen av rasjonelle tall: $\pi$

x_i = \sum_{n=0}^i \cfrac{4(-1)^n}{2n+1}

Definisjon av reelle tall etter Cauchy-sekvenser

La være settet med Cauchy-sekvenser i . La være forholdet definert i av $\Gamma$ $\mathbb {Q}$ $\sim$ $\Gamma$

(x_{n})_{n}\sim (y_{n})_{n}\iff \lim​​n\rightarrow \infty }x_{n}-y_{n}=0

Denne relasjonen er en ekvivalensrelasjon på settet med Cauchy-sekvenser definert på . Vi kaller settet med reelle tall kvotientsettet , der en rekkefølgerelasjon og en topologi kan defineres. Det er vist at er isomorf til en undergruppe av . [ 11 ] $\sim$ $\Gamma$ $\mathbb {Q}$ $\Gamma /_{\sim }$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb{R}$

Arkimedesk aksiom

Være noen. Da finnes det et naturlig tall slik at ; dette uttrykker igjen det . [ 12 ] $a>0,b\in \mathbb {R}$ $n$ $na>b$ $\limn\rightarrow \infty }{\frac {b}{n}}=0$

Operasjoner med reelle tall

Alle slags grunnleggende operasjoner kan utføres med reelle tall med flere viktige unntak:

Det er ingen røtter av jevn rekkefølge (kvadrat, fjerde, sjette, osv.) av negative tall i reelle tall, (selv om de eksisterer i settet med komplekse tall der slike operasjoner er definert).
Divisjonen med null er ikke definert (fordi null ikke har en multiplikativ invers, det vil si at det ikke er et tall x slik at 0· x =1).
Du kan ikke finne logaritmen til et negativt reelt tall, uansett basen til logaritmene, et positivt tall annet enn 1. [ 13 ]

Disse begrensningene har ringvirkninger på andre områder av matematikken som kalkulus: det er vertikale asymptoter på de stedene hvor nevneren til en rasjonell funksjon har en tendens til null, det vil si i de verdiene av variabelen der en divisjon med null vil forekomme , eller det er ingen reell graf i de verdiene av variabelen der negative tall resulterer for røtter av jevn orden, for å nevne et eksempel på grafkonstruksjon i analytisk geometri.

Approksimasjoner og feil

Beregning med reelle tall fører vanligvis til resultater med mange desimaler som er uhåndterlige, noe som gjør det nødvendig å velge tilnærminger som introduserer feil.

For eksempel vil arealet av en sirkel med en radius på 5 meter avhenge av verdien vi tar for tallet π :

$A=\pi \cdot r^{2}$
$A=25\pi$ m2 _

Altså, avhengig av hvordan vi runder π til tideler eller hundredeler:

$A=3.1\cdot 25=77.5$ m 2 m 2
$A=3.14\cdot 25=78.5$

To partisjoner

Settet med reelle tall er den usammenhengende foreningen av rasjonelle og irrasjonelle tall.
Settet R er foreningen av A og T; A, settet av algebraiske realer, og T, settet av transcendentals [ 14 ]

Se også

Klassifisering av tall

komplekser

:\;\mathbb {C}

Kongelige

:\;\mathbb {R}

rasjonell

:\;\mathbb {Q}

heltall

:\;\mathbb {Z}

naturlig

:\;\mathbb {N}

Null : 0

To klassifiseringer

Det er en partisjon av settet med realer i to delmengder: rasjonell og irrasjonell. Alle rasjonaler er algebraiske og irrasjonale kan være algebraiske og transcendentale.
Det er en annen partisjon av settet med realer i to andre delmengder: algebraisk og transcendental. De førstnevnte er rasjonelle og irrasjonelle. Alle transcendenter er irrasjonelle [ 2 ]

Referanser

↑ Arias Heads, Jose Maria; Maza Saez, Ildefonso (2008). "Aritmetikk og algebra". I Carmona Rodriguez, Manuel; Diaz Fernandez, Francisco Javier, red. Matematikk 1 . Madrid: Grupo Editorial Bruño, aksjeselskap. s. 13. ISBN 9788421659854 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ a b c Manual of mathematics (1985) Tsipkin, Mir Publishing House, Moscow, Shapovalova oversettelse; s. 86
^ Anglin, W.S. (1991). Matematikk: En kortfattet historie og filosofi . Springer. ISBN 3-540-94280-7 .
↑ Soto, Elena (15. desember 2015). "Det matematiske øyet til Horus" .
↑ Pythagoras strekker en musikalsk streng hvis tonehøyde er tatt som en base og deler den inn i 12 like deler (0,12). Hvis du tråkker på midten ( $6 ⁄ 12$ ~ $1 ⁄ 2$ ) får du en konkordant lyd, jo høyere oktav . Det samme skjer når du tråkker på 9 ( 3 ⁄ 4 ), den øverste fjerde og på 8 ( 2 ⁄ 3 ), den femte .
↑ Danzig, Tobias (1955). Legatet til grekerne . London: Unwin Brothers LTD. 3982581 .
^ Stillwell, John (1989). Matematikk og dens historie . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96981-0 . 19269766 .
↑ Haaser et al., Kudiatsev; Bartle og en annen, følg med
↑ "Konseptet med antall tall" (1973) César Trejo. Forslaget er fra D. Hilbert som dukket opp i hans berømte artikkel i 1900: Über die Zahlbegriff pp. 82 og 83
↑ Kudryatsev: Mathematical Analysis , Mir Moscow Publishing House, USSR-epoke
↑ Zamansky. En introduksjon til moderne algebra og analyse . Montaner og Simon, Barcelona
↑ Haaser et al: Matematisk analyse I
↑ Bruk definisjonen av logaritme
↑ Courant: Hva er matematikk?

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på Real number .

Weisstein, Eric W. "Faktisk antall" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .