Kvadratrot

I matematikk er kvadratroten av et tall det tallet som, når det multipliseres med seg selv , resulterer i verdien , det vil si at det tilfredsstiller ligningen . [ 1 ] $x$ $Y$ $x$ $y^{2}=x$

Det tilsvarer arkiveringen av indeks 2 eller, tilsvarende, potensen til eksponent 1/2. Ethvert ikke-negativt reelt tall har en unik positiv kvadratrot eller hovedkvadratrot [ 2 ] og betegnes som hvor er rotsymbolet og er radikanden . Når det kreves å angi to kvadratrøtter, en negativ, og den andre positiv, , er de vanligvis nøye angitt som eller i henhold til rekkefølgen som trengs. $x$ ${\sqrt{x}}$ ${\sqrt {\;}}$ $x$ $-{\sqrt {x}}$ ${\sqrt{x}}$ $\pm {\sqrt {x}}$ $\mp {\sqrt {x}}$

Konseptet kan utvides til enhver algebraisk ring , og dermed er det mulig å definere kvadratroten av et negativt reelt tall eller kvadratroten av noen matriser . I de kvaternioniske tallene tillater negative reelle tall et uendelig antall kvadratrøtter, men alle andre kvaternioner som ikke er null, tillater bare to kvadratrøtter. I den ikke-kommutative ringen av reelle funksjoner av reell variabel med addisjon og sammensetning av funksjoner hvis f º f = g , kan det angis at f er "kvadratroten" av g . [ 3 ]

Historie

Kvadratrøtter er matematiske uttrykk som oppsto når man stilte ulike geometriske problemer som lengden på diagonalen til en firkant. Ahmes -papyrusen datert til rundt 1650 f.Kr. C., som kopierer eldre tekster, viser hvordan egypterne hentet ut kvadratrøtter. [ 4 ]

I det gamle India var kunnskap om teoretiske og anvendte aspekter ved kvadratet og kvadratroten minst like gammel som Sulba Sutras , datert mellom 500 og 300 f.Kr. C. En metode for å finne svært gode tilnærminger til kvadratrøttene til 2 og 3 er gitt i Baudhayana Sulba Sutraen . [ 5 ] Aryabhata (476-550) ga i sin avhandling Aryabhatiya (avsnitt 2.4) en metode for å finne kvadratroten av flersifrede tall.

Babylonerne tilnærmet kvadratrøtter ved gjentatte ganger å gjøre aritmetiske gjennomsnittsberegninger . I moderne termer handler det om å konstruere en sekvens gitt av: [ 6 ] $a_0, a_1, a_2, a_3, \prikker$

$a_{n+1}= \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{a}{a_n}\right).$

Det kan vises at denne matematiske sekvensen konvergerer på en slik måte at (som startverdi kan det heltall som er nærmest verdien av kvadratroten tas med en god tilnærming). Kvadratrøtter var en av de første utviklingene innen matematikk, og ble spesielt undersøkt i løpet av den pytagoreiske perioden , da oppdagelsen av at kvadratroten av 2 var irrasjonell ( usammenlignbar ) eller ikke kan uttrykkes som en kvotient, noe som var en milepæl i matematikk. tid. $a_n \to \sqrt{a}$ $a_{0}$

Opprinnelig ble nytten av kvadratroten demonstrert for løsning av trigonometriske og geometriske problemer , for eksempel beregning av lengden på diagonalen til en kvadrat eller Pythagoras teorem . Senere ble det nyttig for å operere med polynomer og løse ligninger av andre grad eller høyere, og de er for tiden et av de mest elementære matematiske verktøyene.

David Eugene Smith , i History of Mathematics , sier om den eksisterende situasjonen:

"I Europa dukket ikke disse metodene (for å finne kvadratet og kvadratroten) opp før Cataneus (1546). Han ga metoden til Ariabhata for å bestemme kvadratroten." [ 7 ]

Pietro Antonio Cataldi beregnet i 1613 kvadratroten tilnærmet ved fortsatte brøker , slik den vises i fellesverket Historia de la Matematica av Julio Rey Pastor og José Babini .

Senere ble definisjonen av kvadratrot utvidet . Flere matematikere så behovet for å finne ut tall som representerte kvadratroten av negative reelle tall for å løse alle kvadratiske ligninger, men det var først i 1777 at den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler symboliserte kvadratroten av –1 med bokstaven i . Generaliseringen av kvadratrotfunksjonen til negative tall gir opphav til begrepet imaginære tall og feltet for komplekse tall , noe som er nødvendig for at ethvert polynom skal ha alle sine røtter ( grunnsetning av algebra ). [ 8 ] Diagonaliseringen av matriser tillater også rask beregning av roten til en matrise.

kvadratrotsymbol $(\sqrt{\ })$

I Vesten på begynnelsen av 1200-tallet , oversatte Juan Hispalense , et medlem av den begynnende Toledo-oversetterskolen , til latin og spansk verk av arabiske astronomer og matematikere: Albumasar , Al-Kindi , Al-Battani og Thábit ibn Qurra som inkorporerte tegnet "?" som et symbol for bruken av roten. Han vil også bruke "?" Leonardo de Pisa i sitt arbeid "Practica Geometriae".

Det nåværende symbolet for kvadratroten ble introdusert i 1525 av matematikeren Christoph Rudolff for å representere denne operasjonen, [ 9 ] [ 10 ] som vises i hans bok Coss , den første avhandlingen om algebra skrevet på vulgærtysk . Tegnet er ikke noe mer enn en stilisert form av den lille bokstaven r for å gjøre det mer elegant [ referanse nødvendig ] , og forlenger det med et horisontalt slag, til det tar i bruk sitt nåværende utseende, som representerer det latinske ordet radix , som betyr rot . $(\sqrt{\ })$

kvadratrotfunksjon

Kvadratroten lar oss definere en reell funksjon hvis domene og bildet er settet (settet av alle ikke-negative reelle tall). For hvert reelle tall x er denne funksjonen definert som det eneste tallet som ikke er negativt , og som når kvadratet er lik x . Den består i å finne tallet hvis kvadrat er kjent. Kvadratrotfunksjonen til x uttrykkes som følger: $\venstre[0,\infty\høyre)$

$f(x)={\sqrt {x}}$

Vanligvis er kvadratroten av et heltall ikke et rasjonelt tall med mindre heltallet er et perfekt kvadrat , for eksempel:

$\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{64} = 8, \quad \sqrt{144} = 12$

som:

$16 = 4\ ganger 4 = 4^2, \quad 64 = 8\ ganger 8 = 8^2, \quad 144 = 12\ ganger 12 = 12^2$

Kvadratrotfunksjonen forvandler generelt rasjonelle tall til algebraiske tall ; er rasjonell hvis og bare hvis x er et rasjonelt tall som kan skrives som en brøkdel av to perfekte kvadrater . Hvis nevneren er , så er det et naturlig tall . Imidlertid er det irrasjonelt . $\sqrt x$ $1^2 = 1\,$ $\sqrt 2$

Oppdagelsen av at kvadratroten av mange tall var et irrasjonelt tall tilskrives pytagoreerne . Babylonerne og egypterne hadde allerede midler til å estimere kvadratroten numerisk, men deres interesse ser ut til å ha vært utpreget praktisk, så det ser ikke ut til å være noen referanser til kvadratrotens natur og problemet med om den kan uttrykkes som en kvotient av to hele tall.

Den geometriske tolkningen er at kvadratrotfunksjonen forvandler arealet til et kvadrat til lengden på siden.

Generelle egenskaper

Følgende kvadratrotegenskaper gjelder for alle ikke- negative reelle tall x , y :

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\qquad {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x }}{\sqrt {y}}}

Med eksponentiell notasjon:

{\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.

og også ekvivalensen:

${\sqrt {x^{2}}}=\left\|x\right\|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{ \text{if }}x<0\end{cases}}$ hvor er et reelt tall. $x$
Anta at og er reelle tall som tilfredsstiller ligningen og du vil finne . $x$ $en$ $x^2 = a$ $x$ En veldig vanlig feil er å "ta kvadratroten" og utlede at . Dette er feil, fordi kvadratroten av ikke er , men dens absolutte verdi , , i henhold til regelen beskrevet ovenfor. $x = \sqrt a$ $x^{2}$ $x$ $\|x\|$ Da er alt som kan konkluderes med det , eller tilsvarende . Denne doble muligheten for skyldes det faktum at absoluttverdifunksjonen ikke er en injektiv funksjon, så det kan være to forskjellige elementer i domenet, og , med samme bilde. I dette tilfellet er bildet , og elementene i domenet som bildet tilsvarer er og . $\venstre\| x\høyre\| = \sqrt a$ $x = \pm\sqrt a$ $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {a}}$ $-{\sqrt {a}}$

Funksjonen er kontinuerlig for alle ikke-negative tall og differensierbar for alle positive tall (den er ikke differensierbar for siden helningen til tangenten der er uendelig ). Dens derivat er gitt av: $\sqrt x$ $x$ $x$ $x=0$

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}

Taylor-serien med omtrent x = 0 og konvergent for | x | ≤ 1 kan bli funnet ved å bruke binomiale teoremet : $\sqrt{x+1}$

{\sqrt {x+1}}=\sum​​n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}\,x^{n}=\sum​​ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x n=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3} -{\ frac {5}{128}}x^{4}+\dots

I kalkulus , når du beviser at kvadratrotfunksjonen er kontinuerlig eller differensierbar , eller når du beregner visse grenser , er det veldig nyttig å multiplisere og dividere med det konjugerte tallet :

\sqrt x - \sqrt y = \frac{xy}{\sqrt x + \sqrt y}

og er gyldig for alle ikke-negative tall x og y som ikke begge er null.

Irrasjonalitet av kvadratrøtter

En viktig egenskap ved kvadratroten av heltall er at hvis de ikke er perfekte kvadrater , er røttene deres alltid irrasjonelle tall , som er tall som ikke kan uttrykkes som kvotienten av to heltall. Det vil si at kvadratroten av et heltall alltid vil være heltall eller irrasjonelt, aldri et ikke-heltallsrasjonalt tall.

Ethvert heltall kan uttrykkes som produktet av en rekke primfaktorer hevet til forskjellige eksponenter . Hvis de alle er like, gjør potenseringsegenskapene det mulig for roten å reduseres til et naturlig tall . Bare hvis en eller flere av faktorene har en oddetall eksponent er roten ikke naturlig.

Hvis det var rasjonelt skulle det være mulig å uttrykke det som med p , q heltall og primtall til hverandre. Ved å kvadrere begge deler får vi det , som er absurd , siden det på den ene siden er minst én primfaktor med en oddetallseksponent, mens begge på den andre siden av likhet uttrykkes som en funksjon av produktet av primtall hevet til eksponenter nødvendigvis par. $\sqrtn$ ${\tfrac {p}{q}}$ $n={\tfrac {p^{2}}{q^{2}}}$ $p^2$ $q^2$

Ved en reductio ad absurdum kom pytagoreerne frem til demonstrasjonen av irrasjonaliteten til kvadratroten av 2 , tilskrevet Hippasus av Metapontus , en disippel av Pythagoras . Ideen, i motsetning til det som var forventet i matematikk på den tiden, førte til den såkalte krisen for incommensurables av pythagoras filosofi .

Imidlertid er det nøyaktig lengden på diagonalen til en firkant hvis side er 1, noe som gjør den grafiske konstruksjonen av roten enkel. Av denne grunn fokuserte mye av hellensk matematikk på anvendt geometri som en måte å grafisk beregne verdier på. Theodore av Kyrene ankom spiralen som bærer navnet hans , som gjør at enhver rot kan representeres grafisk, og senere kom Euklid frem til en mer generell metode.

Firkantede nestede radikaler

I ulike sammenhenger brukes radikaler av formen

\sqrt{A + \sqrt{B}}

som i noen tilfeller kan skrives i skjemaet

\sqrt{A + 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

som er mulig hvis bare x + y = A , xy = B . [ 11 ] [ 12 ] Ovennevnte uttrykk kalles nestede radikaler.

Identiteten innebærer at , og ved påfølgende repetisjoner: $2=\sqrt{2+2}$ $2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}$

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Av analoge grunner får vi:

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$ ;

eller hva

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ;

Generelt, hvis r er en enhet strengt tatt større enn én, så:

$r =\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Denne måten å uttrykke tall på gjennom påfølgende repetisjon av tall inne i kvadratrøtter kan ha ulike anvendelser som oppløsningen av noen typer ligninger eller uttrykket av noen kjente tall som det gylne snitt eller tallet pi . [ 13 ]

fortsatte fraksjoner

Et av de mest interessante resultatene av studiet av irrasjonelle tall som fortsatte brøker ble oppnådd av den franske matematikeren Joseph-Louis Lagrange rundt 1780. Lagrange oppdaget at kvadratroten av ethvert ikke-kvadrat positivt heltall kan representeres av en periodisk fortsatt brøk, det vil si hvor et visst mønster av sifre forekommer gjentatte ganger i nevnerne. På en måte er disse kvadratrøttene mye enklere irrasjonelle tall, fordi de kan representeres med et enkelt repeterende mønster av sifre.

\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}} }}}\,

heltallstilnærminger

Tilnærmingen av kvadratrøtter til heltall er vanlig i visse matematiske problemer, for eksempel silen til Eratosthenes som i sine beregninger tilnærmer kvadratroten til det største heltall slik at kvadratet er mindre enn verdien av roten. Tilnærmingene kan være som standard — ved å bruke gulvfunksjonen — eller ved overskudd — ved å bruke takfunksjonen —. De første, gitt som standard, er følgende:

$n$	1	to	3	4	5	6	7	8	9	10	...	femten	16	17	...	24	25	26	27	28
$\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$	1	1	1	to	to	to	to	to	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5	5

En observasjon av de første leddene viser at i konstruksjonen av denne tabellen hoppes en økning suksessivt over på en vanlig måte. Mer presist gjentas null en gang, 1 tre ganger, 2 fem ganger, 3 syv ganger, 4 ni ganger, etc. Antall ganger hele tallet n gjentas er det n -te odde heltall. Beviset hviler på følgende identitet, av typen endelig forskjell :

(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,

Utvidelse av kvadratrotfunksjonen

Kvadratroten av et komplekst tall

Kvadraten til ethvert positivt reelt tall er positivt, og kvadratet av 0 er 0. Derfor kan ingen negativt tall ha kvadratrot i reelle tall. Det er imidlertid mulig å jobbe med et større system av tall, kalt komplekse tall , som inneholder løsninger til kvadratroten av ethvert negativt reelt tall (og til og med av et hvilket som helst komplekst tall). [ 14 ] De komplekse tallene kan konstrueres ved å definere et nytt abstrakt tall, betegnet med i (noen ganger j , spesielt i sammenheng med elektrisitet ) og kalt den imaginære enheten , som tilfredsstiller at i 2 = -1. Ved å bruke denne notasjonen kan vi tenke på i som kvadratroten av −1, men merk at vi også har (- i ) 2 = i 2 = -1, så (− i ) er også en kvadratrot av −1. Generelt, hvis x er et positivt reelt tall , gjelder følgende likhet for hovedkvadratroten av -x :

$\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = \pm i\sqrt{x}$

det vil si at kvadratroten av et negativt tall nødvendigvis er et tenkt tall. [ 15 ] For hvert komplekst tall som ikke er null , finnes det nøyaktig to tall slik at . $z$ $w$ $w^{2}=z\,\!$

Kvadratroten av et tenkt tall

Hvis du vil finne roten til et tenkt tall, kan du bevise likheten

${\sqrt {\pm ix}}={\sqrt {\frac {x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {x}{2}}}.$

For eksempel er kvadratrøttene til : $Yo$

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Hovedkvadratroten av et komplekst tall

Den generelle definisjonen av er å introdusere følgende grenpunkt : hvis det er representert i polare koordinater med −π < φ ≤ π, så setter vi hovedverdien til: $\sqrtz$ $z=d^{i\varphi }$

{\sqrt {z}}={\sqrt {re^{i\varphi }}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi \over 2}

Slik definert er rotfunksjonen holomorf overalt bortsett fra ikke-positive reelle tall, der den ikke engang er kontinuerlig . Taylor-serien ovenfor for forblir gyldig for resten av de komplekse tallene x med | x | < 1. $\sqrt{1+x}$

Det kan også representeres i form av trigonometriske funksjoner , ved å bruke Moivres formel . Hvis det da er nøyaktig to kvadratrøtter; den første er: $z=r(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi })$

{\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\ Ikke sant)

og for den andre roten brukes argumentet φ /2 + π, modulen er den samme. [ 16 ]

algebraisk formel

Generelt, for et komplekst tall uttrykt i kartesisk form , oppnås hovedkvadratroten ved hjelp av disse formlene:

{\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\operatørnavn {Re} (z)}{2}}}+i\ \operatørnavn {sgn}(\operatørnavn {Im} (z))\ {\sqrt {\frac {|z|-\operatørnavn {Re} (z)}{2}}},

hvor | z | er absoluttverdien eller modulen til det komplekse tallet, og tegnet til den imaginære delen av roten sammenfaller med tegnet til den imaginære delen av radikanden (se funksjonstegn (sgn) ).

Den andre kvadratroten fås ganske enkelt ved å multiplisere −1 med hovedkvadratroten, begge røttene kan skrives som

\pm \left({\sqrt {\frac {|z|+\operatørnavn {Re} (z)}{2}}}+i\ \operatørnavn {sgn}(\operatørnavn {Im} (z) )\ {\sqrt {\frac {|z|-\operatørnavn {Re} (z)}{2}}}\right)

Denne formelen kan brukes til å finne røttene til en (ikke-algebraisk) ligning med koeffisienter i ℂ. [ 17 ] [ referanse nødvendig ]

Karakterer

Legg merke til at på grunn av den diskontinuerlige karakteren til kvadratrotfunksjonen i det komplekse planet, er loven generelt feil, og har alle krefter på et gitt sett. Det er feil hvis det antas at denne loven er grunnlaget for flere ugyldige bevis , for eksempel som viser at : $\sqrt{zw} = \sqrt z \cdot \sqrt w$ $-1 = 1\,\!$

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = \pm 1

Der den tredje likheten må sees på som:

\sqrt{1} = 1 \longrightarrow \quad 1 \cdot 1 = 1^2 = 1

\sqrt{1} = -1 \longrightarrow \quad (-1) \cdot (-1) = (-1)^2 = 1

Ved å ikke vurdere, normalt, de to grenene til kvadratrotfunksjonen, kan det føre til feil i vurderingen av denne operasjonen.

Kvadratrøtter i quaternions

Med komplekse tall er det sikret at det bare er et begrenset antall n-te røtter til enhet. Så for eksempel -1 har bare to komplekse røtter i og − i . Imidlertid er det i kvaternioniske tall et uendelig antall kvadratrøtter av -1: faktisk danner løsningssettet en kule i tredimensjonalt rom. For å se dette, la q = a + bi + cj + dk være et kvaternion, og anta at kvadratet er −1. Når det gjelder a , b , c og d innebærer denne antakelsen det $\scriptstyle {\mathbb {H}}$

a^2 - (b^2 + c^2 + d^2) = -1,

2ab = 0,

2ac = 0,

2ad = 0.

Dette settet med reelle ligninger har uendelige løsninger. For å tilfredsstille de tre siste ligningene, må det tas at a = 0 eller b = c = d = 0, men denne siste muligheten kan ikke forekomme siden, som et reelt tall, vil den første ligningen antyde at a 2 = −1 , men det er umulig for et reelt tall. Derfor er a = 0 og b 2 + c 2 + d 2 = 1. Med andre ord. Legg merke til at bare et kvaternion som er lik et negativt reelt tall kan ha et uendelig antall kvadratrøtter. Alle de andre har bare to røtter (eller i tilfelle 0, en enkelt rot). Gitt et kvaternionisk tall (som ikke er en negativ reell) er de to kvaternioniske røttene: $a_0 + a_1i + a_2j + a_3k$

$\pm b_0 + \frac{a_1 i + a_2 j + a_3 k}{2b_0}, \qquad b_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a_0 + \sqrt{a_0^2+a_1^ 2+a_2^2+a_3^2}}$

Dette innebærer at ligningen:

$z_q^{2n} = 1, \qquad z_q\in\mathbb{H}, n\in\mathbb{N}.$

har uendelige løsninger, plassert på enhetssfæren.

Kvadratroten av matriser

Eksistensen av et produkt av matriser gjør det mulig å definere kvadratroten av en matrise som den matrisen B som multiplisert med seg selv gir den opprinnelige A , det vil si B 2 = A så B =√ A .

Kvadratrot i begrenset felt

La oss først definere kvadratene, for eksempel i F[7] settet med heltallsrester modulo 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. =-tegnet betyr kongruens. [ 18 ] Ikke alle tall i F[7] har .
12 = 1 ; 22 = 4 ; 32 = 2 ; 42 = 2 ; 52 = 4 ; 62 = 1 ; 0 2 = 0.

Vi vil si at a er kvadratroten av b hvis a 2 = b ; er betegnet . $a = \sqrt{b}$

Fra listen ovenfor ser man det

$\sqrt{1} = 1$ ;
$\sqrt{1} = 6$
$\sqrt{2} = 3$ ;
$\sqrt{2} = 4$ ;
$\sqrt{4} = 2$ ;
$\sqrt{4} = 5$ ;

kvadratrotberegning

I dag finnes det mange metoder for å beregne kvadratroten, noen egner seg for manuell beregning og andre bedre tilpasset automatisk beregning.

Algoritme

Når vi skal utføre kvadratroten med sin vanlige oppløsningsmetode, kan vi se delene den er delt inn i, selv om de vesentlige delene av den ikke trenger å vises eller kun brukes i operasjonen for å beregne kvadratroten. I følge dette bildet kan vi se at delene det er sammensatt av; er:

Radikal: er symbolet som indikerer at det er en kvadratrot.
Radicando eller subradikal mengde: det er tallet som kvadratroten er hentet fra.
Rot: det er riktig kvadratroten av radikanden.
Hjelperader: de vil hjelpe oss med å løse kvadratroten.
Resten: er det endelige tallet på prosessen for å løse kvadratroten.

Bruker logaritmer

Beregningen forenkles ved hjelp av logaritmer og deres egenskaper ved hjelp av logaritmetabeller eller regneregler .

\!\, \sqrt[2]{x} = \operatørnavn{antilog} \frac{\log(x)}{2} \,

Algoritmer for maskiner

Kalkulatorer , regneark og annen programvare brukes også ofte til å beregne kvadratrøtter. Programvare setter vanligvis på plass fine rutiner for å beregne eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmen eller logaritmen , og beregne deretter kvadratroten av x ved å bruke identiteten:

\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}

enten

\sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

Geometrisk konstruksjon av kvadratroten

Kvadratroten av et reelt tall kan konstrueres med linjal og kompass. I sine Elementer ga Euklid (300 f.Kr.) konstruksjonen av det geometriske gjennomsnittet av to størrelser i sine proposisjoner II.14 og VI.13. Siden det geometriske gjennomsnittet av y er , kan man konstruere ganske enkelt ved å ta . $en$ $b$ $\sqrt{ab}$ $\sqrt{a}$ $b=1$

Konstruksjonen ble også gitt av Descartes i sin bok La Géométrie , se figur 2 på andre side .

En annen metode for geometrisk konstruksjon (for røttene til naturlige tall) bruker rette trekanter og induksjon : den kan selvfølgelig konstrueres, og når den først er konstruert, har trekanten med 1 og som ben en hypotenusa på . $\sqrt{1} = 1$ ${\sqrt{x}}$ ${\sqrt{x}}$ $\sqrt{x+1}$

Trinn å følge for geometrisk konstruksjon

For å geometrisk "beregne" kvadratroten av et gitt reelt tall, er det som gjøres en konstruksjon, ved hjelp av en rettlinje og kompass, av et segment som måler kvadratroten av lengden av et opprinnelig segment hvis lengde er den gitte reelle verdi .

Trinnene som skal følges er disse:

Vi tegner et segment med lengde , det vil si med lengde lik tallet hvis kvadratrot vi ønsker å beregne. $OB\,\!$ $en\,\!$
Vi utvider segmentet med en enhet (i henhold til lengden som vi har tatt som en enhet) slik at vi har segmentet lengde . $OB\,\!$ $AB\,\!$ $til + 1\,\!$
Vi tegner en sirkel hvis diameter er segment . $AB\!$
På punktet (som er der forlengelsen av lengde 1 begynner) tegner vi en linje vinkelrett på . Denne linjen kutter omkretsen på to punkter. være noen av disse punktene. Så det viser seg at segmentet har en lengde: . $ENTEN\,\!$ $AB\!$ $H\,\!$ $ÅH\,\!$ $OH = \sqrt a$

Denne konstruksjonen har sin betydning i studiet av konstruerbare tall .

Bevis på at OH er lik kvadratroten av OB

For å bevise denne likheten, vil vi bevise at trekanter og er like trekanter : $ÅH\,\!$ $kokeplate\,\!$

Vinkelen er en rett vinkel (90º) siden den er diagonalen til en kapabel bue . $H\,\!$ $AB\,\!$
Segmentet er vinkelrett, etter konstruksjon, på segmentet . Så begge vinklene med toppunkt ved , (den høyre i diagrammet) og (den venstre i diagrammet) er rette vinkler. $ÅH\,\!$ $AB\,\!$ $ENTEN\,\!$ $BOH\,\!$ $HØY\,\!$
Summen av alle vinklene i en trekant er lik 180º.

Når vi tar i betraktning alt dette, bygger vi følgende ligningssystem:

$180 = 90 + B + (90 - H_i)\,\!$
$180 = 90 + A + H_i\,\!$

Hvor er den øvre vinkelen til den venstre trekanten hvis åpning vi ikke kjenner, de andre bokstavene representerer de andre vinklene som vi ikke kjenner og vinkelen kan representeres som subtraksjonen av siden 90º er heltallsverdien. Ved å løse den første ligningen ser vi at: $H_i\,\!$ $H_d\,\!$ $90 - H_i\,\!$ $H\,\!$

180 = 90 + B + 90 - H_i\,\!

;

H_i = B\,\!

Med det vi allerede har vist at disse vinklene måler det samme og når vi løser den andre:

90 = A + H_i\,\!

;

A = 90 - H_i\,\!

Med hva blir det oppnådd at og med dette demonstreres det at når man måler alle vinklene, er de like triangler av veien ~ . Ved å ha denne likheten har sidene av trekantene en lik proporsjonalitet for de tre sidene slik at: $90 - H_i = H_d\,\!$ $A = H_d\,\!$ $A H_i O_i\,\!$ $H_d B O_d\,\!$

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH} = \frac{HB}{AH}

Husk at når du konstruerer roten geometrisk , var den alltid lik 1, så tar vi det som interesserer oss, utvikler vi: $ÅU\,\!$

\frac{OH}{1} = \frac{OB}{OH}

;

OB = OH^2\,\!

;

OH = \sqrt{OB}

Blir bevist.

Nyttige kvadratrøtter

kvadratroten av 2

1^2+1^2 = x^2\,\!

x = \sqrt 2

Sannsynligvis var kvadratroten av 2 det første irrasjonelle tallet som ble oppdaget, hvis oppdagelse kostet livet til en medreligionist av Pythagoras. Verdien av dette tallet til 10 desimaler ved trunkering er 1,4142135623. Det vises som sinus og cosinus til en 45 graders seksagesimal vinkel. Det er flere gjentakelsesformler for å finne den omtrentlige verdien. En av dem er den velkjente Newtons tangentmetode. Dens irrasjonalitet hadde allerede blitt demonstrert av grekerne. Grunnlaget skyldes imidlertid de tyske matematikerne Richard Dedekind og Georg Cantor på 1900-tallet. Selvfølgelig er det ikke noe mer enn en grense som for irrasjonelle tall og fordi ingen kan skrive dets uendelige tall; men mindre enn 10 desimaler er nok for hva vitenskap og teknologi gjør. $og$ $\pi$

kvadratroten av 3

Kvadratroten av 3: , også kjent som Theodores konstant (etter Theodore of Cyrene ), er geometrisk verdien av diagonalen til en kube hvis kanter måler enhet, og kan bevises med Pythagoras teorem . Det er også hypotenusen til en konstruerbar rettvinklet trekant hvis ben måler kvadratroten av henholdsvis 2 og enhet. $\sqrt 3$

Verdien av dette tallet til 10 desimaler ved trunkering er 1,7320508075

kvadratroten av 5

Kvadratroten av 5: , vises i formelen for det gylne tallet , og er geometrisk hypotenusen til en trekant hvis ben måler henholdsvis 1 og 2, bekreftet av Pythagoras teorem. Verdien til 10 desimaler ved trunkering er 2,2360679774. $\sqrt 5$

Bruker og tilfeller

Kvadratroten brukes til å beregne hypotenusen til en rettvinklet trekant, og kjenne bena. Eller en av disse som kjenner hypotenusen og det andre benet.
For å finne radiusen til en sirkel som kjenner området.
Ved å oppdage om et positivt heltall er primtall; det er tilstrekkelig å betrakte som primdelere de primtallene som er mindre enn kvadratroten deres, tilnærmet til enheter.
Å finne tiden i akselerert jevn bevegelse uten starthastighet.
For å vite hvor mange innledende oddetall, fra 1, som er lagt til; ved å bruke en perfekt firkant som data.
I en kanonisk kvadratisk funksjon, ved å kjenne ordinaten, finn den tilsvarende abscissen.
For å beregne diagonalen til et kvadrat ved å kjenne arealet.
For å beregne rotmiddelkvadrat for positive data. [ 19 ]
Når du beregner arealet til en likesidet trekant, hvor den griper inn $\sqrt{3}$
Når man oppnår arealet til et vanlig tetraeder, som funksjon av kanten, brukes [ 20 ] $\sqrt{3}$
Når vi oppnår volumet til et vanlig tetraeder, som en funksjon av kanten, bruker vi ${\sqrt {2}}$
For å finne gjennomsnittlig proporsjonal c mellom a og b . Høyden på en trekant som kjenner projeksjonene av bena på hypotenusen. Tangenten til en omkrets, kjenne sekanten og dens ytre del.
Den brukes i visse trigonometriske forhold med en vinkel på 30º eller 60º. $\sqrt{3}$
Den brukes til å definere sinus og cosinus for en 45º vinkel. [ 21 ] ${\sqrt {2}}$
Ved løsning av en fullstendig andregradsligning eller av formen x 2 = a, brukes kvadratroten; i det første tilfellet hvis determinanten er negativ, og i den ufullstendige ligningen av andre grad hvis a er mindre enn null, er det nødvendig å finne kvadratroten av et negativt tall, som gir to konjugerte komplekse tall som røtter. I tilfelle det er en kvadratisk ligning med ikke-reelle komplekse koeffisienter, finnes også kvadratroten, men røttene til kvadratisk ligning, i dette tilfellet, er ikke nødvendigvis konjugerte. [ 22 ]
Ved å løse den reduserte kubikklikningen y 3 + py + q = 0, ved hjelp av den såkalte Cardano-formelen, er det nødvendig å finne kvadratroten av p 3 /27 + q 2 /4 = H; ta deretter kuberøttene av -q/2 + H og av -q/2 -H. [ 23 ]

Se også

Referanser

Karakterer

↑ Moderne algebra - struktur og metode. Dolciani og andre. Kulturpublikasjoner. Mexico, Mexico, 1986.
↑ I bøker oversatt fra engelsk for Pearson forlag trykt i Mexico. Bruken var mer generell, for å bruke den på n'te røtter.
↑ Plausibel generalisering til tilfellet med en ikke-kommutativ ring
^ Anglin, W.S. (1994). Matematikk: En kortfattet historie og filosofi . New York: Springer-Verlag, 1994.
^ Joseph, 2000 , kap. 8.
↑ Boyer: Matematikkens historie
^ Smith, 1925 , s. 148.
↑ Milton Donaire Peña. figurer og tall . Redaksjon San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9
↑ Boyer, Carl Benjamin (1992): History of mathematics (s. 360), oversatt av Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X og ISBN 84-206-8186-5 .
↑ Ifrah, Georges (1997): Universal history of figures (s. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 og ISBN 84-239-9730-8 .
↑ Alencar Filho, Edgard de: Plane Geometry Exercises [1986]
↑ Bruño GM: Elements of Geometry [1980]
↑ Elements of Geometry of Bruño, s. 148, 149 og 150
↑ Alfhors. Kompleksanalyse
↑ Spinoza. Matematikk ordbok. ISBN 84-8055-355-3 .
↑ Anvendelse av De Moivres teorem. In Complex Variable with Applications av William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7
↑ Alfhors: Variabelt kompleks
↑ Fraleigh: Abstrakt algebra
↑ Galdos. Aritmetikk
↑ "Brain" Mathematics Form, Lima.
↑ Resultater som vises i håndbøker for geometri og trigonometri eller i universitetstekster for disse disiplinene.
↑ Alhfords. KompleksVariabel. Tokyo 1956
↑ Adilson Gonçalvez. Introduksjon til algebra. Impa. Rio de Janeiro, 1939

Bibliografi

Stewart, James (2006). Regning: Begreper og kontekster . Mexico by: Thomson. ISBN 970-686-543-8 og ISBN 978-970-686-543-4 .
Joseph, George Gheverghese (2000). Påfuglens topp: matematikkens ikke-europeiske røtter . London. ISBN 0-691-00659-8 og ISBN 978-0-691-00659-8 .
Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics (vol 2) spesielle emner i elementær matematikk . Boston. ISBN 0-486-20430-8 og ISBN 978-0-486-20430-7 .
Anglin, W.S. (desember 1994). Matematikk: En kortfattet historie og filosofi . New York. ISBN 0-387-94280-7 og ISBN 978-0-387-94280-3 .

Eksterne linker

Wikimedia Commons har en mediekategori på kvadratrot .
Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om root .
Java-program for å finne kvadratroten av heltall med mange desimaler: [1]
Utdanningsnettsted for å lære hvordan du finner kvadratroten trinn for trinn: [2]