Geometri (fra latin geometrĭa , og dette fra gresk γεωμετρία fra γῆ gē , 'jord', og μετρία metria , 'mål') er en gren av matematikken som omhandler planetens egenskaper eller figurstudiet . , [ 1 ] inkludert: punkter , linjer , plan , polytoper (som paralleller , perpendikulære , kurver , overflater , polygoner , polyedre , etc.).
Det er det teoretiske grunnlaget for beskrivende geometri eller teknisk tegning . Det gir også grunnlag for instrumenter som kompasset , teodolitten , strømavtakeren eller det globale posisjoneringssystemet (spesielt når det vurderes i kombinasjon med matematisk analyse og fremfor alt med differensialligninger ).
Dens opprinnelse går tilbake til løsningen av konkrete problemer knyttet til målinger. Den har sin praktiske anvendelse i anvendt fysikk , mekanikk , arkitektur , geografi , kartografi , astronomi , nautikk , topografi , ballistikk , etc., og er nyttig i utarbeidelse av design og til og med i produksjon av håndverk .
Den babylonske sivilisasjonen var en av de første kulturene som inkorporerte studiet av geometri. Oppfinnelsen av hjulet åpnet veien for studiet av omkretsen og senere for oppdagelsen av tallet π (pi); De utviklet også sexagesimal-systemet , vel vitende om at hvert år har 365 dager, implementerte de også en formel for å beregne arealet til den rektangulære trapesen . [ 2 ]
I det gamle Egypt var det høyt utviklet, ifølge tekstene til Herodotus , Strabo og Diodorus Siculus . Euklid , i det 3. århundre f.Kr. C. konfigurerte geometri på en aksiomatisk og konstruktiv måte , [ 3 ] en behandling som etablerte en norm som skulle følges i mange århundrer: den euklidiske geometrien beskrevet i The Elements .
Studiet av astronomi og kartografi , som forsøkte å bestemme posisjonene til stjerner og planeter på himmelsfæren, fungerte som en viktig kilde til geometrisk problemløsning i mer enn et årtusen. René Descartes utviklet samtidig algebraen for ligninger og analytisk geometri , og markerte et nytt stadium, der geometriske figurer, som plankurver, kunne representeres analytisk, det vil si med funksjoner og ligninger. Geometri er beriket av studiet av den iboende strukturen til geometriske enheter analysert av Euler og Gauss , noe som førte til etableringen av topologi og differensialgeometri .Geometri har som mål å gå utover det som nås av intuisjon. Derfor er en streng metode nødvendig, uten feil; for å oppnå dette har aksiomatiske systemer historisk blitt brukt . Det første aksiomatiske systemet er etablert av Euclid , selv om det var ufullstendig. Et annet aksiomatisk system , dette allerede fullført, ble foreslått på begynnelsen av 1900 -tallet av David Hilbert . Som i ethvert formelt system, er definisjoner ikke bare ment å beskrive egenskapene til objekter, eller deres relasjoner. Når noe aksiomatiseres, blir objektene ideelle abstrakte enheter og deres relasjoner kalles modeller.
Dette betyr at ordene 'punkt', 'rett' og 'plan' må miste all materiell betydning. Ethvert sett med objekter som tilfredsstiller definisjonene og aksiomene vil også tilfredsstille alle teoremene til den aktuelle geometrien, og relasjonene deres vil være praktisk talt identiske med den "tradisjonelle" modellen.
Følgende er noen av de viktigste konseptene innen geometri. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
I euklidisk geometri er aksiomer og postulater proposisjoner som relaterer konsepter, definert i form av punkt, linje og plan. Euclid foreslo fem postulater, og det var det femte (parallellismepostulatet) som århundrer senere - da mange geometre stilte spørsmål ved det da de analyserte det - ville oppstå nye geometrier: elliptisk ( Riemann -geometri ) eller hyperbolikken til Nikolai Lobachevski .
I analytisk geometri er aksiomer definert i form av punktligninger , basert på matematisk analyse og algebra . Det får en annen ny betydning å snakke om punkter, linjer eller plan. f ( x ) kan definere hvilken som helst funksjon, det være seg en linje, sirkel, plan osv.
Euclid tok en abstrakt tilnærming til geometri i sine Elements , [ 7 ] en av de mest innflytelsesrike bøkene som noen gang er skrevet. [ 8 ] Euklid introduserte visse aksiomer eller postulater som uttrykker primære eller selvinnlysende egenskaper til punkter, linjer og plan. [ 9 ] Han fortsatte med å utlede andre egenskaper strengt ved matematisk resonnement. Det karakteristiske trekk ved Euklids tilnærming til geometri var dens strenghet, og den har blitt kjent som aksiomatisk eller syntetisk geometri. [ 10 ] På begynnelsen av 1800-tallet førte oppdagelsen av ikke-euklidiske geometrier av Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) og andre [ 11 ] til en gjenoppliving av interesse for denne disiplinen, og på 1900 -tallet brukte David Hilbert (1862–1943) aksiomatisk resonnement i et forsøk på å gi et moderne grunnlag for geometri. [ 12 ]
Punkter regnes som grunnleggende objekter i euklidisk geometri . De har blitt definert på ulike måter, inkludert Euklids definisjon som «det som ikke har noen del» [ 13 ] og ved å bruke algebra eller nestede sett. [ 14 ] I mange områder av geometri, som analytisk geometri , differensialgeometri og topologi , anses alle objekter å være bygget fra punkter. Noen geometristudier er imidlertid gjort uten referanse til punkter. [ 15 ]
Euclid beskrev en linje som "lengde uten bredde" som "ligger likt med hensyn til punkter på seg selv". [ 13 ] I moderne matematikk, gitt mangfoldet av geometrier, er begrepet en linje nært knyttet til måten geometri beskrives på. For eksempel, i analytisk geometri, er en linje i planet ofte definert som settet med punkter hvis koordinater tilfredsstiller en gitt lineær ligning, [ 16 ] men i en mer abstrakt setting, som for eksempel insidensgeometri, kan en linje være et uavhengig objekt , forskjellig fra settet med punkter som ligger på den. [ 17 ] I differensialgeometri er en geodesisk en generalisering av forestillingen om en linje til buede rom. [ 18 ]
Et plan er en todimensjonal flat overflate som strekker seg uendelig. [ 13 ] Plan brukes i alle områder av geometri. For eksempel kan plan studeres som en topologisk overflate uten referanse til avstander eller vinkler; [ 19 ] kan studeres som et affint rom, der kollinearitet og proporsjoner kan studeres, men ikke avstander; [ 20 ] kan studeres som det komplekse planet ved bruk av komplekse analyseteknikker; [ 21 ] og så videre.
Euklid definerer en plan vinkel som helningen til hverandre, i et plan, av to linjer som møtes og ikke er rett til hverandre. [ 13 ] I moderne termer er en vinkel figuren som dannes av to lysstråler, kalt sidene av vinkelen, som deler et felles endepunkt, kalt toppunktet til vinkelen. [ 22 ]
I euklidisk geometri brukes vinkler til å studere polygoner og trekanter, i tillegg til å danne et studieobjekt i seg selv. [ 13 ] Studiet av vinklene til en trekant eller av vinklene i en enhetssirkel danner grunnlaget for trigonometri. [ 23 ]
I differensialgeometri og kalkulus kan vinklene mellom plankurver eller romkurver eller overflater beregnes ved å bruke den deriverte [ 24 ] [ 25 ]
En kurve er et endimensjonalt objekt som kan være rett (som en linje) eller ikke; kurver i todimensjonalt rom kalles plankurver og de i tredimensjonalt rom kalles romkurver. [ 26 ]
I topologi er en kurve definert av en funksjon fra et område med reelle tall til et annet rom. [ 19 ] I differensialgeometri brukes samme definisjon, men det kreves at den definerende funksjonen er differensierbar. [ 27 ] Algebraisk geometri studerer algebraiske kurver, som er definert som algebraiske varianter av dimensjon én. [ 28 ]
En overflate er et todimensjonalt objekt, for eksempel en kule eller paraboloid . [ 29 ] I differensialgeometri [ 27 ] og topologi er [ 19 ] overflater beskrevet av todimensjonale "lapper" (eller nabolag) som er satt sammen av henholdsvis diffeomorfismer eller homeomorfismer. I algebraisk geometri beskrives overflater med polynomlikninger. [ 28 ]
En variasjon er en generalisering av begrepene kurve og overflate . I topologi er en manifold et topologisk rom der hvert punkt har et nabolag som er homeomorf til det euklidiske rommet. [ 19 ] I differensialgeometri er en differensierbar manifold et rom der hvert nabolag er diffeomorfe til det euklidiske rommet . [ 27 ]
Manifolder er mye brukt i fysikk , inkludert generell relativitetsteori og strengteori . [ 30 ]
Lengde , areal og volum beskriver størrelsen eller omfanget av et objekt i henholdsvis én dimensjon, to dimensjoner og tre dimensjoner . [ 31 ]
I euklidisk geometri og analytisk geometri kan lengden på et linjestykke ofte beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem . [ 32 ]
Areal og volum kan defineres som fundamentale størrelser atskilt fra lengde, eller kan beskrives og beregnes i form av lengder i et tredimensjonalt plan eller rom . [ 31 ] Matematikere har funnet mange eksplisitte formler for arealet og formler for volumet til ulike geometriske objekter. I kalkulus kan areal og volum defineres i form av integraler, slik som Riemann-integralet [ 33 ] eller Lebesgue-integralet . [ 34 ]
Begrepet lengde eller avstand kan generaliseres, noe som gir opphav til ideen om beregninger. [ 35 ] For eksempel måler den euklidiske metrikken avstanden mellom punkter i det euklidiske planet, mens den hyperbolske metrikken måler avstanden i det hyperbolske planet. Andre viktige eksempler på metrikk inkluderer Lorentz-metrikken for spesiell relativitet og den semi-riemannske metrikken for generell relativitet. [ 36 ]
I en annen retning utvides begrepene lengde, areal og volum med målteorien, som studerer metoder for å tilordne en størrelse eller et mål til mengder, der målene følger regler som ligner på klassisk areal og volum. [ 37 ]
Kongruens og likhet er begreper som beskriver når to former har lignende egenskaper. [ 38 ] I euklidisk geometri brukes likhet for å beskrive objekter som har samme form, mens kongruens brukes til å beskrive objekter som er like i både størrelse og form. [ 39 ] Hilbert, i sitt arbeid med å skape et mer strengt grunnlag for geometri, behandlet kongruens som et udefinert begrep hvis egenskaper er definert av aksiomer.
Kongruens og likhet er generalisert i transformasjonsgeometri, som studerer egenskapene til geometriske objekter som er bevart av ulike typer transformasjoner. [ 40 ]
Klassiske geometre ga spesiell oppmerksomhet til konstruksjonen av geometriske objekter som var blitt beskrevet på annen måte. Klassisk sett er de eneste instrumentene som er tillatt i geometriske konstruksjoner kompasset og rette . Videre måtte hver konstruksjon fullføres i et begrenset antall trinn. Noen problemer viste seg imidlertid å være vanskelige eller umulige å løse med disse midlene alene, og geniale konstruksjoner ble funnet ved bruk av paraboler og andre kurver, samt mekaniske innretninger.
Der tradisjonell geometri tillot dimensjonene 1 (en linje), 2 (et plan) og 3 (vår omgivelsesverden tenkt som tredimensjonalt rom), har høyere dimensjoner blitt brukt av matematikere og fysikere i nesten to århundrer. [ 41 ] Et eksempel på en matematisk bruk for høyere dimensjoner er konfigurasjonsrommet til et fysisk system, som har en dimensjon lik systemets frihetsgrader. For eksempel kan konfigurasjonen av en skrue beskrives med fem koordinater. [ 42 ]
I generell topologi har dimensjonsbegrepet blitt utvidet fra de naturlige tallene til den uendelige dimensjonen (for eksempel Hilbert-rom) og de positive reelle tallene (i fraktal geometri ). ]]). [ 43 ] I algebraisk geometri har dimensjonen til en algebraisk variant fått flere tilsynelatende forskjellige definisjoner, som alle er likeverdige i de vanligste tilfellene. [ 44 ]
Emnet symmetri i geometri er nesten like gammelt som selve geometrivitenskapen. [ 45 ] Symmetriske former som sirkelen , regulære polygoner og platoniske faste stoffer hadde dyp betydning for mange eldgamle filosofer [ 46 ] og ble undersøkt i detalj før Euklids tid. [ 9 ] Symmetriske mønstre forekommer i naturen og ble kunstnerisk avbildet på en rekke måter, inkludert grafene til Leonardo da Vinci , MC Escher og andre. [ 47 ] I andre halvdel av 1800-tallet kom forholdet mellom symmetri og geometri under intens gransking.
Felix Kleins Erlangen - program forkynte at i en veldig presis forstand, symmetri, uttrykt gjennom forestillingen om en transformasjonsgruppe , bestemmer hva geometri er. [ 48 ] Symmetri i klassisk euklidisk geometri er representert ved kongruenser og stive bevegelser, mens i projektiv geometri spilles en analog rolle av åser, geometriske transformasjoner som konverterer rette linjer til rette linjer. [ 49 ] Imidlertid var det i de nye geometriene til Bolyai og Lobachevsky, Riemann, Clifford og Klein, og Sophus Lie at Kleins idé om å "definere en geometri gjennom dens symmetrigruppe" fant sin inspirasjon. [ 50 ] Både diskrete og kontinuerlige symmetrier spiller en fremtredende rolle i geometri, førstnevnte i topologi og geometrisk gruppeteori, [ 51 ] [ 52 ] sistnevnte i Lie-teori og Riemanns geometri . [ 53 ] [ 54 ]
En annen type symmetri er prinsippet om dualitet i projektiv geometri , blant andre felt. Dette metafenomenet kan grovt beskrives som følger: i et hvilket som helst teorem , bytt 'punkt' med 'plan', 'join' med 'møte', 'møt' med 'inneholder', og resultatet er et teorem som er like reelt. [ 55 ] En lignende og nært beslektet form for dualitet eksisterer mellom et vektorrom og dets dobbeltrom . [ 56 ]
Området topologi , som hadde en stor utvikling på 1900 -tallet , er i teknisk forstand en type transformasjonsgeometri , der transformasjonene som bevarer egenskapene til figurer er homeomorfismer (dette skiller seg for eksempel fra metrisk geometri , der transformasjonene som ikke endrer egenskapene til figurene er isometriene ). Dette har ofte blitt uttrykt i form av ordtaket: "topologi er geometrien til gummisiden".
Siden de gamle grekerne har det vært mange bidrag til geometri, spesielt fra 1700-tallet og utover . Dette har ført til spredning av en rekke undergrener av geometri med svært forskjellige tilnærminger. For å klassifisere de forskjellige utviklingene av moderne geometri, kan forskjellige tilnærminger brukes:
De gamle grekerne hadde bare én type geometri, nemlig euklidisk geometri, smart kodifisert i Euklids elementer av en aleksandrinsk skole ledet av Euklid . Denne typen geometri var basert på en formell stil med deduksjoner fra fem grunnleggende postulater . De fire første ble allment akseptert og Euklid brukte dem mye, men det femte postulatet ble mindre brukt, og deretter prøvde forskjellige forfattere å bevise det fra de andre, umuligheten av en slik deduksjon førte til verifikasjonen at sammen med euklidisk geometri var det andre typer geometrier der Euklids femte postulat ikke deltok. I henhold til modifikasjonene introdusert i dette femte postulatet, oppnås forskjellige familier av geometrier eller forskjellige geometriske rom mellom dem:
Fra 1800-tallet ble det konkludert med at ikke-euklidiske geometrier kunne defineres mellom dem:
På 1800-tallet utviklet Klein det såkalte Erlange-programmet som etablerte en annen måte å nærme seg geometriske konsepter på: å studere under hvilke ulike typer matematiske transformasjonsinvarianser ble verifisert . Dermed ble grupper utstyrt med forskjellige operasjoner identifisert og underdisipliner ble foreslått basert på hvilke som var de spesielle typene transformasjoner som invarianser ble registrert under. Denne studien tillot følgende geometriske klassifisering :
Selv om Euklid i utgangspunktet begrenset seg til geometriske konsepter som kunne representeres av figurer (punkter, linjer, sirkler osv.), førte utviklingen av andre grener av matematikken som ikke opprinnelig var knyttet til selve geometrien til bruk av andre greners verktøy på problemer Riktig geometrisk, slik ble de født: . Algebraisk geometri . Analytisk geometri . beskrivende geometri
I tillegg til de faktiske undergrenene, har det dukket opp en rekke praktiske anvendelser av geometri i moderne tid, inkludert:
Å lære geometri innebærer utvikling av visuelle og argumentative ferdigheter.
For at læringen av geometri ikke skal være meningsløs, er det viktig at lærergruppen er opptatt av å finne en balanse mellom assosiasjonen av visualiseringsferdigheter og argumentasjon, siden begge ferdighetene er vesentlige i den enkeltes treningsprosess. Det handler med andre ord ikke bare om undervisningsinnhold som «oppskrift» eller å forholde seg til det som er fastsatt i læreplanen, men det er meningen at eleven med undervisningen i geometri lærer å tenke logisk. [ 57 ]
Mennesket, fra barndommen, skaper representasjoner av den fysiske verden som omgir ham. Disse genererer et behov (teoretisk og praktisk) for å oppnå en forståelse av den verden. Høyre hjernehalvdel viser seg å være mest fordelaktig i nærvær av visuelle stimuli, i motsetning til venstre hjernehalvdel, som er ansvarlig for å utvikle verbale ferdigheter. Studiet av geometri bidrar betydelig til utviklingen av de romlige visualiseringsbehovene; Men inntil en nyere historisk periode, som stammer fra 1950-tallet, ble matematikklærere interessert i studiet av dette feltet, ved å koble matematisk evne med romlig evne. [ 57 ]
Når det gjelder vanskene som studentene presenterer når de studerer geometri er: løse et problem algebraisk; beregne omkrets, arealer og volumer, fordi de ikke identifiserer hvilken formel som skal brukes og vanskeligheter med å tolke hva et problem sier. Når man utfører analysen etter nivå, kan man se at i den diversifiserte syklusen (tiende og ellevte år) er den største vanskeligheten de presenterer å tolke hva et problem sier. Hovedvanskeligheten til elevene på henholdsvis syvende, åttende og niende år er å forstå formlene for omkretsen, arealer og volumer og å lære definisjonene; løse en problemsituasjon algebraisk og problemer med å trekke ut informasjon fra en geometrisk tegning. [ 57 ]