Isomorfisme

I matematikk er en isomorfisme (fra gresk iso-morfos : Samme form) en homomorfisme (eller mer generelt en morfisme ) som innrømmer en invers. [ 1 ] Det matematiske konseptet isomorfisme er ment å fange ideen om å ha samme struktur . To matematiske strukturer som det er en isomorfismerelasjon mellom kalles isomorfer .

Formell definisjon

Det kan defineres kortfattet som en bijektiv homomorfisme , slik at dens inverse også er en homomorfisme . [ 2 ]​ Dette er: [ 3 ]​ [ 4 ]

En isomorfisme mellom to ordnede sett og er en bijektiv funksjon slik at: For alt har vi at hvis og bare hvis .

Hvis det er en isomorfisme mellom og , kalles og isomorf , og bijeksjonen er kjent som en isomorfisme mellom og . I tillegg, og kalles lik hverandre. [ 3 ]​ [ 5 ]

Hvis isomorfismen sies å være en automorfisme . Det kan vises at gitt et velordnet sett er den eneste mulige automorfismen identitetsfunksjonen . [ 4 ]

Egenskaper i totale bestillinger

Isomorfismer i lineært ordnede sett har en ekvivalensrelasjon , det vil si at de tilfredsstiller refleksivitet , symmetri og transitivitet , det vil si: [ 4 ]

La , og være lineært ordnet sett, så:

  • er isomorf til .
  • Hvis er isomorf til , så er isomorf til .
  • Hvis den er isomorf til og den er isomorf til så er den isomorf til .

Historie og konsept

På 1900  -tallet har den intuitive oppfatningen av struktur blitt spesifisert i matematikk , etter Aristoteles sin oppfatning av materie og form, ifølge hvilken hver struktur er et sett X utstyrt med visse operasjoner (som addisjon eller produkt) eller visse relasjoner ( for eksempel en bestilling ) eller visse delsett (som i tilfellet med topologi ), etc. I dette tilfellet er mengden X saken og operasjonene, relasjonene osv., definert i den, er formen.

Platons oppdagelse av at formen er det som betyr noe, fanges opp i matematikk med begrepet isomorfisme. Et kart f:X→Y mellom to sett med samme type struktur er en isomorfisme når hvert element i Y kommer fra et enkelt element av X og f transformerer operasjonene, relasjonene osv. som er i X til de som er i And. Når det er en isomorfisme mellom to strukturer, er begge umulige å skille, har de samme egenskapene, og ethvert utsagn er samtidig sant eller usant. Det er derfor i matematikk strukturene må klassifiseres bortsett fra isomorfismer .

På 1900  -tallet gjenvunnet den østerrikske biologen og vitenskapsfilosofen Ludwig von Bertalanffy dette konseptet som et element i formuleringen av sin generelle systemteori . For denne forfatteren var det en rekke tilfeldigheter i utviklingen av prosessene som utføres i ulike kunnskapsfelt (biologi, demografi, fysikk, samfunn, etc.) som han kalte isomorfisme. [ 6 ] Det var viktig for tilnærmingen til den nye teorien, fordi "isomorfismen som finnes mellom ulike terreng er basert på eksistensen av generelle prinsipper for systemer, av en mer eller mindre velutviklet generell systemteori". [ 7 ]

Delvis isomorfisme

Det er definert av: [ 4 ]

En delvis isomorfisme mellom to ordnede sett og er en bijektiv funksjon forutsatt at for alt vi har: hvis og bare hvis .

Eksempler på isomorfismer

For eksempel, hvis X er settet med positive reelle tall med produktet og Y er settet med reelle tall med summen, er den logaritmiske funksjonen ln:X→Y en isomorfisme, fordi og hvert reelt tall er logaritmen til en enkelt positivt reelt tall. Dette betyr at hver setning om produktet av positive reelle tall har (bare ved å erstatte hvert tall med sin logaritme) en ekvivalent setning når det gjelder summen av reelle tall, som vanligvis er enklere.

Et annet eksempel: hvis vi i rom E velger en lengdeenhet og tre innbyrdes perpendikulære akser som møtes i et punkt, så kan vi assosiere deres tre kartesiske koordinater til hvert punkt i rommet, og dermed få et kart f:E→R³ på settet av sekvenser av tre reelle tall. Når vi i E tar for oss avstanden som definerer den faste lengdeenheten og i R³ vurderer vi avstanden som definerer kvadratroten av summen av kvadratene av forskjellene, f er en isomorfisme. Denne grunnleggende oppdagelsen av Descartes gjør at ethvert problem i geometrien til rommet kan angis i form av sekvenser av tre reelle tall, og denne metoden for å nærme seg geometriske problemer er kjernen i såkalt analytisk geometri . [ referanse nødvendig ]

Kjennetegn ved isomorfisme

Oppdagelsen av en isomorfisme mellom to strukturer betyr i hovedsak at studiet av hver enkelt kan reduseres til den andre, noe som gir oss to forskjellige synspunkter på hvert spørsmål og ofte er avgjørende for dens riktige forståelse. Det betyr også en analogi som en form for logisk slutning basert på antakelsen om at to ting er like i noen henseender, de som sammenligningen er gjort på. I samfunnsvitenskap består en isomorfisme av anvendelsen av en analog lov fordi det ikke er noen spesifikk lov, eller også sammenligningen av et biologisk system med et sosialt system, når det gjelder å definere ordet "system". På samme måte er imitasjonen eller kopien av en stammestruktur i et habitat med en urban struktur.

Morfismene

Isomorfismer av en struktur med seg selv på en bijektiv måte kalles automorfismer . [ 8 ]

Generelt, i en vilkårlig kategori, er isomorfismene definert til å være kartene f:X→Y som tillater et inverst kart h:Y→X, invers både fra høyre og fra venstre. De er kanskje ikke bijektive morfismer, slik det allerede er tilfelle med topologiske rom.

Referanser

  1. ^ Awodey, Steve (2006). Isomorfismer . Kategoriteori . Oxford University Press . s. 11. ISBN  9780198568612 . 
  2. ↑ Mathworld
  3. ^ a b Casanovas, E. (1998). "Aksiomatisk settteori" . Universitetet i Barcelona : 5, 6, 7 . Hentet 23. april 2013 . 
  4. ↑ abcd Hrbecek , Karel ; Jech, Thomas (1999). Introduksjon til settteori . Marcel Dekker, Inc.pp. 36 , 58. 
  5. ↑ Hernandez Hernandez, Fernando (1998). Settteori: en introduksjon . Meksikansk matematisk samfunn. s. 84,85. 
  6. ↑ Von Bertalanfffy, Ludwing (2009). Generell systemteori . Fond for økonomisk kultur. s. 82-88. ISBN  978-968-16-0627-5 . 
  7. ↑ Von Bertalanffy, Ludwig (2009). Generell systemteori . Fond for økonomisk kultur. s. 86. 
  8. ^ "Automorfisme - fra Wolfram MathWorld" . Hentet 2009 .