Kardinaltall



All kunnskapen som mennesket har samlet i århundrer om Kardinaltall er nå tilgjengelig på internett, og vi har samlet og bestilt den for deg på en mest mulig tilgjengelig måte. Vi vil at du skal kunne få tilgang til alt relatert til Kardinaltall som du vil vite raskt og effektivt; at opplevelsen din er hyggelig og at du føler at du virkelig har funnet informasjonen om Kardinaltall som du lette etter.

For å nå våre mål har vi gjort en innsats for ikke bare å få den mest oppdaterte, forståelige og sannferdige informasjonen om Kardinaltall, men vi har også passet på at utformingen, lesbarheten, lastehastigheten og brukervennligheten til siden være så hyggelig som mulig, slik at du på denne måten kan fokusere på det essensielle, kjenne til all data og informasjon som er tilgjengelig om Kardinaltall, uten å måtte bekymre deg for noe annet, vi har allerede tatt hånd om det for deg. Vi håper vi har oppnådd vårt formål og at du har funnet informasjonen du ønsket om Kardinaltall. Så vi ønsker deg velkommen og oppfordrer deg til å fortsette å nyte opplevelsen av å bruke scientiano.com.

En bijektiv funksjon , f : X Y , fra sett X til sett Y viser at settene har samme kardinalitet, i dette tilfellet lik kardinalnummer 4.
Aleph null , den minste uendelige kardinalen

I matematikk er kardinalnumre eller kardinaler for en generalisering av de naturlige tallene som brukes til å måle kardinaliteten (størrelsen) til sett . Kardinaliteten til et endelig sett er et naturlig tall: antall elementer i settet. De transfinite kardinalnumrene, ofte betegnet med det hebraiske symbolet ( aleph ) etterfulgt av et abonnement, beskriver størrelsene på uendelige sett .

Kardinalitet er definert når det gjelder bijektive funksjoner . To sett har samme kardinalitet hvis, og bare hvis det er en en-til-en-korrespondanse (vedeksjon) mellom elementene i de to settene. Når det gjelder endelige sett, stemmer dette overens med den intuitive ideen om størrelse. Når det gjelder uendelige sett, er oppførselen mer kompleks. En grunnleggende teorem på grunn av Georg Cantor viser at det er mulig for uendelige sett å ha forskjellige kardinaliteter, og spesielt er kardinaliteten til settet med reelle tall større enn kardinaliteten til settet med naturlige tall . Det er også mulig for en riktig delmengde av et uendelig sett å ha samme kardinalitet som det originale settet - noe som ikke kan skje med riktige undersett av endelige sett.

Det er en transfinitt sekvens av kardinalnummer:

Denne sekvensen starter med de naturlige tallene inkludert null (endelige kardinaler), som etterfølges av aleph-tallene (uendelige kardinaler i velordnede sett ). Alef -tallene er indeksert av ordinære tall . Under forutsetning av aksiom valg , dette transfinite sekvens omfatter alle kardinaltall. Hvis man avviser det aksiomet, er situasjonen mer komplisert, med ytterligere uendelige kardinaler som ikke er alefer.

Kardinalitet studeres for sin egen skyld som en del av settteorien . Det er også et verktøy som brukes i grener av matematikk, inkludert modellteori , kombinatorikk , abstrakt algebra og matematisk analyse . I kategoriteori danner kardinalnumrene et skjelett av kategorien sett .

Historie

Begrepet kardinalitet, som nå forstått, ble formulert av Georg Cantor , opphavsmannen til settteori , i 18741884. Kardinalitet kan brukes til å sammenligne et aspekt ved endelige sett. For eksempel er settene {1,2,3} og {4,5,6} ikke like , men har samme kardinalitet , nemlig tre. Dette fastslås ved at det eksisterer en bijeksjon (dvs. en-til-en-korrespondanse) mellom de to settene, for eksempel korrespondansen {1 4, 2 5, 3 6}.

Cantor brukte begrepet sin bieking på uendelige sett (for eksempel settet med naturlige tall N = {0, 1, 2, 3, ...}). Dermed kalte han alle settene som hadde en vedeksjon med N som kan telles (uendelig mange) , som alle har samme kardinalnummer. Dette kardinal tallet kalles , aleph-null . Han kalte kardinalnumrene til uendelige sett for transfinite kardinalnumre .

Cantor beviste at enhver ubegrenset delmengde av N har samme kardinalitet som N , selv om dette kan se ut til å gå i strid med intuisjonen. Han beviste også at settet av alle bestilte par med naturlige tall er tallløs; dette innebærer at mengden av alle rasjonelle tall også er tallløs, siden hver rasjonell kan representeres av et par heltall. Senere beviste han at mengden av alle reelle algebraiske tall også er talløs. Hvert reelt algebraisk tall z kan kodes som en endelig sekvens av heltall, som er koeffisientene i polynomligningen som det er en løsning på, dvs. den ordnede n-tupelen ( a 0 , a 1 , ..., a n ) , a i Z sammen med et par rasjonaler ( b 0 , b 1 ) slik at z er den unike roten til polynomet med koeffisienter ( a 0 , a 1 , ..., a n ) som ligger i intervallet ( b 0 , b 1 ).

I sin 1874 papir " på en eiendom av samlingen av alle reelle algebraiske tall ", Cantor viste at det finnes høyere orden kardinal tall, ved å vise at settet av de reelle tall har kardinalitet større enn for N . Beviset hans brukte et argument med nestede intervaller , men i et papir fra 1891 beviste han det samme resultatet ved å bruke sitt geniale, men enklere diagonale argument . Det nye kardinalnummeret til settet med reelle tall kalles kontinuitetets kardinalitet og Cantor brukte symbolet for det.

Cantor utviklet også en stor del av den generelle teorien om kardinalnummer; han beviste at det er et minste transfinitt kardinalnummer ( , aleph-null), og at for hvert kardinalnummer er det en neste større kardinal

Hans kontinuumhypotese er påstanden om at kardinaliteten til settet med reelle tall er det samme som . Denne hypotesen har vist seg å være uavhengig av standardaksiomene for matematisk settteori; det kan verken bevises eller motbevises fra standardforutsetningene.

Motivasjon

Ved uformell bruk er et kardinalnummer det som normalt omtales som et telletall , forutsatt at 0 er inkludert: 0, 1, 2, .... De kan identifiseres med de naturlige tallene som begynner med 0. Tellingstallene er nøyaktig det som formelt kan defineres som de endelige kardinalnummerene. Uendelige kardinaler forekommer bare i matematikk og logikk på høyere nivå .

Mer formelt kan et ikke-null tall brukes til to formål: å beskrive størrelsen på et sett, eller å beskrive plasseringen av et element i en sekvens. For endelige sett og sekvenser er det lett å se at disse to forestillingene sammenfaller, siden vi for hvert tall som beskriver en posisjon i en sekvens kan konstruere et sett som har nøyaktig riktig størrelse. For eksempel beskriver 3 posisjonen til 'c' i sekvensen <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, og vi kan konstruere settet {a, b, c}, som har 3 elementer.

Når det gjelder uendelige sett , er det imidlertid viktig å skille mellom de to, siden de to forestillingene faktisk er forskjellige for uendelige sett. Tatt i betraktning posisjonsaspektet fører til ordinære tall , mens størrelsesaspektet generaliseres av kardinalnumrene beskrevet her.

Intuisjonen bak den formelle definisjonen av kardinal er konstruksjonen av et begrep om den relative størrelsen eller "storheten" til et sett, uten referanse til den typen medlemmer det har. For endelige sett er dette enkelt; man teller ganske enkelt antall elementer et sett har. For å sammenligne størrelsene på større sett, er det nødvendig å appellere til mer raffinerte forestillinger.

Et sett Y er minst like stor som et sett X hvis det er en injektiv kartlegging fra elementene i X til elementene i Y . En injektiv kartlegging identifiserer hvert element i settet X med en unik element av settet Y . Dette er lettest å forstå av et eksempel; anta at vi har settene X = {1,2,3} og Y = {a, b, c, d}, så ved å bruke denne størrelsesbegrepet vil vi observere at det er en kartlegging:

1 a
2 b
3 c

som er injektiv, og følgelig konkludere med at Y har cardinality er større enn eller lik X . Elementet d har ingen elementskartlegging, men dette er tillatt ettersom vi bare krever en injektiv kartlegging, og ikke nødvendigvis et injektivt og kartlegging. Fordelen med denne oppfatningen er at den kan utvides til uendelige sett.

Vi kan deretter utvide dette til et likestillingsforhold. To sett X og Y er sagt å ha den samme cardinality dersom det foreligger en Bijeksjon mellom X og Y . Ved Schroeder-Bernstein teorem , tilsvarer dette at det foreligger både en injektiv kartlegging fra X til Y , og en injektiv kartlegging fra Y til X . Vi skriver deretter | X | = | Y |. Selve kardinalnummeret til X er ofte definert som det minste ordinære a med | en | = | X |. Dette kalles von Neumann -kardinaloppgaven ; for at denne definisjonen skal være fornuftig, må det bevises at hvert sett har samme kardinalitet som noen ordinære; denne uttalelsen er det velordnede prinsippet . Det er imidlertid mulig å diskutere settenes relative kardinalitet uten å eksplisitt tildele navn til objekter.

Det klassiske eksemplet som brukes er det uendelige hotellparadokset, også kalt Hilberts paradoks for Grand Hotel . Anta at det er en gjestgiver på et hotell med et uendelig antall rom. Hotellet er fullt, og så kommer en ny gjest. Det er mulig å passe inn den ekstra gjesten ved å be gjesten som var i rom 1 om å flytte til rom 2, gjesten i rom 2 om å flytte til rom 3, og så videre, slik at rom 1 er ledig. Vi kan eksplisitt skrive et segment av denne kartleggingen:

1 2
2 3
3 4
...
n n + 1
...

Med denne oppgaven kan vi se at settet {1,2,3, ...} har samme kardinalitet som settet {2,3,4, ...}, siden en sammenheng mellom det første og det andre har blitt vist. Dette motiverer definisjonen av et uendelig sett som et hvilket som helst sett som har en skikkelig delsett av samme kardinalitet (dvs. et Dedekind-uendelig sett ); i dette tilfellet er {2,3,4, ...} et skikkelig delsett av {1,2,3, ...}.

Når man vurderer disse store objektene, vil man kanskje også se om tanken om tellerekkefølge sammenfaller med kardinalens definisjon ovenfor for disse uendelige settene. Det hender at det ikke gjør det; ved å vurdere eksemplet ovenfor kan vi se at hvis det eksisterer et objekt "ett større enn uendelig", må det ha samme kardinalitet som det uendelige settet vi startet med. Det er mulig å bruke en annen formell oppfatning for tall, kalt ordinaler , basert på ideene om å telle og vurdere hvert tall etter tur, og vi oppdager at forestillingene om kardinalitet og ordinalitet er divergerende når vi går ut av de endelige tallene.

Det kan bevises at kardinaliteten til de reelle tallene er større enn de naturlige tallene som nettopp er beskrevet. Dette kan visualiseres ved hjelp av Cantors diagonale argument ; klassiske spørsmål om kardinalitet (for eksempel kontinuumhypotesen ) er opptatt av å oppdage om det er noe kardinal mellom noen par andre uendelige kardinaler. I nyere tid har matematikere beskrevet egenskapene til større og større kardinaler.

Siden kardinalitet er et så vanlig begrep i matematikk, brukes en rekke navn. Samhet av kardinalitet blir noen ganger referert til som ekvipotens , ekvipollens eller ekvivalentitet . Det sies således at to sett med samme kardinalitet er henholdsvis ekvipotente , ekvipollente eller likeverdige .

Formell definisjon

Formelt, forutsatt valg av aksiom , er kardinaliteten til et sett X det minste ordinale tallet slik at det er en byeksjon mellom X og . Denne definisjonen er kjent som von Neumann -kardinaloppgaven . Hvis aksjonspunktet for valget ikke antas, er det nødvendig med en annen tilnærming. Den eldste definisjonen av cardinality av et sett X (implisitt i Cantor og eksplisitt i Frege og Principia Mathematica ) er som klasse [ X ] i alle sett som er equinumerous med X . Dette fungerer ikke i ZFC eller andre relaterte systemer for aksiomatisk settteori, fordi hvis X ikke er tom, er denne samlingen for stor til å være et sett. Faktisk, for X er det en injeksjon fra universet i [ X ] ved å kartlegge et sett m til { m } × X , og så ved aksiomet for begrensning av størrelse er [ X ] en riktig klasse. Definisjonen fungerer imidlertid i typeteori og i New Foundations og relaterte systemer. Imidlertid, hvis vi begrenser oss fra denne klassen til de som er likestilt med X som har minst rangering , så vil det fungere (dette er et triks på grunn av Dana Scott : det fungerer fordi samlingen av objekter med en gitt rangering er et sett).

Formelt sett er rekkefølgen blant kardinalnummer definert som følger: | X | | Y | betyr at det foreligger en injektiv funksjon fra X til Y . De Cantor-Bernstein-Schroeder teoremet sier at hvis | X | | Y | og | Y | | X | deretter | X | = | Y |. Den aksiom valg tilsvarer utsagnet om at gitt to sett X og Y , enten | X | | Y | eller | Y | | X |.

Et sett X er Dedekind-uendelig hvis det eksisterer et riktig delsett Y av X med | X | = | Y |, og Dedekind-finite hvis et slikt delsett ikke eksisterer. De endelige kardinalene er bare de naturlige tallene , i den forstand at et sett X er begrenset hvis og bare hvis | X | = | n | = n for et naturlig tall n . Ethvert annet sett er uendelig .

Forutsatt valgfri aksiom, kan det bevises at Dedekind -forestillingene tilsvarer de vanlige. Det kan også bevises at kardinalen ( aleph null eller aleph-0, hvor aleph er den første bokstaven i det hebraiske alfabetet , representert ) i settet med naturlige tall er den minste uendelige kardinalen (dvs. et uendelig sett har en delmengde på kardinalitet ). Den neste større kardinalen er betegnet med , og så videre. For hver ordinal er det et kardinalnummer, og denne listen tømmer alle uendelige kardinalnumre.

Kardinal regning

Vi kan definere aritmetiske operasjoner på kardinalnummer som generaliserer de vanlige operasjonene for naturlige tall. Det kan vises at for endelige kardinaler sammenfaller disse operasjonene med de vanlige operasjonene for naturlige tall. Videre deler disse operasjonene mange eiendommer med vanlig regning.

Etterfølger kardinal

Hvis valgets aksiom holder, har hver kardinal en etterfølger, betegnet + , hvor + > og det ikke er noen kardinaler mellom og dens etterfølger. (Uten valget aksiom, ved bruk av Hartogs 'teorem , kan det vises at for ethvert kardinalnummer er det en minimal kardinal + slik at ) For endelige kardinaler er etterfølgeren ganske enkelt + 1. For uendelige kardinaler er etterfølgerkardinal skiller seg fra etterfølgerordinalen .

Kardinal tillegg

Hvis X og Y er disjunkte , er tilsetning gitt ved forening av X og Y . Hvis de to settene ikke allerede er usammenhengende, kan de erstattes av forskjellige sett med samme kardinalitet (f.eks. Erstatte X med X × {0} og Y med Y × {1}).

Null er en additiv identitet + 0 = 0 + = .

Addisjon er assosiativ ( + ) + = + ( + ).

Tilsetningen er kommutativ + = + .

Tilsetningen er ikke-reduserende i begge argumentene:

Forutsatt valgfri aksiom, er det enkelt å legge til uendelige kardinalnummer. Hvis enten eller er uendelig, da

Subtraksjon

Forutsatt valgfri aksiom og, gitt en uendelig kardinal og en kardinal , eksisterer det en kardinal slik at + = hvis og bare hvis . Det vil være unikt (og lik ) hvis og bare hvis < .

Kardinal multiplikasjon

Produktet av kardinaler kommer fra det kartesiske produktet .

· 0 = 0 · = 0.

· = 0 ( = 0 eller = 0).

Den ene er en multiplikativ identitet · 1 = 1 · = .

Multiplikasjon er assosiativ ( · ) · = · ( · ).

Multiplikasjon er kommutativ · = · .

Multiplikasjon er ikke-reduserende i begge argumentene: ( · · og · · ).

Multiplikasjon fordeler seg over tillegg: · ( + ) = · + · og ( + ) · = · + · .

Forutsatt valgfri aksiom er multiplikasjon av uendelige kardinalnummer også enkelt. Hvis enten eller er uendelig og begge er ikke-null, så

Inndeling

Forutsatt valgfri aksiom og gitt et uendelig kardinal og et ikke-null kardinal , eksisterer det en kardinal slik at · = hvis og bare hvis . Det vil være unikt (og lik ) hvis og bare hvis < .

Kardinal eksponentiering

Eksponentiering er gitt av

hvor X -Y er mengden av alle funksjoner fra Y til X .

0 = 1 (spesielt 0 0 = 1), se tom funksjon .
Hvis 1 , så 0 = 0.
1 = 1.
1 = .
+ = · .
· = ( ) .
( · ) = · .

Eksponentiering er ikke avtagende i begge argumentene:

(1 og ) ( ) og
( ) ( ).

2 | X | er kardinaliteten til innstilt effekt av settet X og Cantor diagonale argument viser at 2 | X | > | X | for et sett X . Dette beviser at ingen største kardinal eksisterer (for for enhver kardinal kan vi alltid finne en større kardinal 2 ). Faktisk er klassen av kardinaler en skikkelig klasse . (Dette beviset mislykkes i noen av teoriene, særlig New Foundations .)

Alle de gjenværende proposisjonene i denne delen antar aksiomet til valget:

Hvis og begge er begrensede og større enn 1, og v er uendelig, så er = .
Hvis er uendelig og er begrenset og ikke-null, så = .

Hvis 2 og 1 og minst en av dem er uendelig, så:

Maks ( , 2 ) Maks (2 , 2 ).

Ved hjelp av König teorem , kan man bevise < cf ( ) og <cf (2 ) for en hvilken som helst uendelig kardinal , hvor cf ( ) er den cofinality av .

Røtter

Forutsatt valgfri aksiom og gitt en uendelig kardinal og en endelig kardinal større enn 0, vil kardinalen tilfredsstillende være .

Logaritmer

Forutsatt valgfri aksiom og gitt en uendelig kardinal og en endelig kardinal større enn 1, kan det hende at en kardinal tilfredsstiller . Men hvis en slik kardinal eksisterer, er den uendelig og mindre enn , og enhver endelig kardinalitet større enn 1 vil også tilfredsstille .

Logaritmen til et uendelig kardinalnummer er definert som det minste kardinalnummeret slik at 2 . Logaritmer av uendelige kardinaler er nyttige i noen matematikkfelt, for eksempel i studiet av kardinal invarianter av topologiske rom , selv om de mangler noen av egenskapene som logaritmer med positive reelle tall besitter.

Kontinuumhypotesen

Den kontinuum hypotese (CH) fastslår at det ikke er kardinal strengt mellom og den sistnevnte kardinaltall blir også ofte betegnet med ; det er kardinaliteten til kontinuumet (settet med reelle tall ). I dette tilfellet Den generaliserte kontinuumhypotesen (GCH) sier at for hvert uendelig sett X er det ingen kardinaler strengt mellom | X  | og 2 X  | . Kontinuumhypotesen er uavhengig av de vanlige aksiomene for settteori, Zermelo - Fraenkel -aksiomene sammen med valgaksiomet ( ZFC ).

Se også

Referanser

Merknader

Bibliografi

Eksterne linker

Opiniones de nuestros usuarios

Anders Stensrud

Jeg trengte å finne noe annerledes om Kardinaltall, som ikke var den typiske tingen som alltid leses på internett, og jeg likte denne artikkelen av Kardinaltall.

Erna Ness

Noen ganger når du leter etter informasjon på internett om noe, finner du for lange artikler som insisterer på å snakke om ting som ikke interesserer deg. Jeg likte denne artikkelen om Kardinaltall fordi den går til poenget og snakker om akkurat det jeg vil, uten at gå seg vill i informasjon ubrukelig.

Rita Håland

Takk. Artikkelen om Kardinaltall hjalp meg.