Gyldne tall

Det gyldne snitt (også kalt det gylne snitt , Guds tall , ekstreme og gjennomsnittlige forhold , [ 2 ] gyldne snitt , gyldne snitt , gyldne middelverdi, gyldne snitt og guddommelige snitt [ 3 ] ) er et irrasjonelt tall , [ 4 ] ] Representert med den greske bokstaven φ (phi) (små bokstaver) eller Φ (Phi) (store bokstaver) etter den greske billedhuggeren Phidias .

Dens numeriske verdi, ved bruk av radikaler eller desimaler, er:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618\ 033\ 988\ 749\ 894\ldots$

Det er også representert med den greske bokstaven tau (Τ τ), [ 5 ] fordi det er den første bokstaven i den greske roten τομή , som betyr å forkorte , selv om det er mer vanlig å finne den representert med bokstaven fi ( phi ) (Φ,φ). Det er også representert med den små greske bokstaven alfa. [ 6 ]

Det er et irrasjonelt algebraisk tall (dets desimalrepresentasjon er uendelig og har ingen punktum) som har mange interessante egenskaper og som ble oppdaget i gamle tider, ikke som et aritmetisk uttrykk, men som et forhold eller proporsjon mellom to segmenter av en rett linje, det vil si en geometrisk konstruksjon. Denne andelen finnes både i noen geometriske figurer og i naturen: i årene til bladene til noen trær, i tykkelsen på grenene, i skallet til en snegle, i bukettene til solsikker, etc. En av de mest merkelige aritmetiske egenskapene er at kvadratet (Φ 2 ≈ 2,61803398874988...) og dets gjensidige (1/Φ ≈ 0,61803398874988...) har samme uendelige desimaler.

På samme måte tilskrives en estetisk karakter til objekter hvis mål holder det gylne snitt. Noen tror til og med at det har mystisk betydning . Gjennom historien har dens inkludering i utformingen av forskjellige verk innen arkitektur og annen kunst blitt tilskrevet , selv om noen av disse tilfellene har blitt stilt spørsmål ved av forskere innen matematikk og kunst.

Definisjon

Det gylne snitt er den numeriske verdien av forholdet mellom to linjestykker a og b ( a lengre enn b ), som oppfyller følgende forhold:

Den totale lengden, summen av de to segmentene a og b , er til det større segmentet a , hva dette segmentet a er til det minste b . Skrevet som en algebraisk ligning :

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$

Å være verdien av det gylne tallet φ kvotienten: . Det oppstår ved å stille følgende geometriske problem: å dele et segment i to andre, slik at når vi deler den totale lengden på det største segmentet, får vi samme resultat som når vi deler lengden til det største segmentet med lengden til det største segmentet. minste. $\phi =a/b$

Beregning av verdien av det gylne snitt

To tall a og b er i det gylne snitt hvis:

Fradrag

	1	to
ligninger	${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$	$\varphi ={\frac {a}{b}}$
forenkling	$1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}$
Erstatter	$1+\varphi−1}=\varphi$
multiplisere $(\varphi )$	$\varphi +1=\varphi{2}$
lysning	$\varphi 2}-\varphi -1=0$
positiv løsning	$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{\textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203\ldots$

som er verdien av det gylne snitt, tilsvarende forholdet . $a/b$

Historien om det gylne snitt

Noen forfattere antyder at det gylne snitt er funnet som et forhold på flere babylonske og assyriske stelae fra rundt 2000 f.Kr. C. Det er imidlertid ingen historisk dokumentasjon som indikerer at det gyldne tallet bevisst ble brukt av disse kunstnerne i utarbeidelsen av stelene. Når man måler en kompleks struktur er det lett å få nysgjerrige resultater hvis man har mange målinger tilgjengelig. I tillegg, for å kunne bekrefte at det gylne tallet er til stede, må målingene tas fra betydelige punkter på objektet, men dette er ikke tilfellet for mange hypoteser som forsvarer tilstedeværelsen av det gylne tallet. Av alle disse grunnene konkluderer Mario Livio med at det er svært usannsynlig at babylonerne oppdaget det gyldne snitt. [ 7 ]

Antikken

Den første som foretok en formell studie av det gylne snitt var Euklid (ca. 300 f.Kr. - 265 f.Kr. ), som definerte det slik:

En linje sies å være kuttet i ekstreme og gjennomsnittlige forhold når hele linjen er til det store segmentet som det store segmentet er til det mindre segmentet. Euclid The Elements Definisjon 3 av den sjette boken.

Euklid viste også at dette tallet ikke kan beskrives som forholdet mellom to hele tall; det vil si at det er et irrasjonelt tall .

Platon (ca. 428 - 347 f.Kr. ) kan ha studert det gylne snitt; Imidlertid kan han bli kreditert med å utvikle teoremer relatert til det gylne snitt fordi den greske historikeren Proclus skrev:

Eudoxus … multipliserte antall teoremer knyttet til delen som Platon ga opphav til. Proclus i en kommentar til den første boken av Euklids elementer .

Her ble ordet snitt ( τομή ) ofte tolket som det gylne snitt. Fra og med 1800 -tallet har imidlertid denne tolkningen vært gjenstand for stor kontrovers, og mange forskere har kommet til den konklusjon at ordet seksjon ikke hadde noe med det gylne snitt å gjøre. Ikke desto mindre anså Platon de irrasjonelle tallene, oppdaget av pytagoreerne , for å være av spesiell betydning og nøkkelen til kosmos fysikk. Dette synet hadde stor innflytelse på mange senere filosofer og matematikere, spesielt neoplatonistene .

Moderne tid

I 1509 publiserte den italienske matematikeren og teologen Luca Pacioli De Divina Proportione (Den guddommelige proporsjonen), der han legger frem fem grunner til at han anser det som hensiktsmessig å betrakte det gylne snitt som guddommelig:

unikhet ; _ Pacioli sammenligner den unike verdien av det gylne tallet med det unike ved Gud .
Det faktum at det er definert av tre linjesegmenter, forbinder Pacioli det med treenigheten .
Inkommensurabiliteten ; _ for Pacioli er usammenlignbarheten til det gylne snitt og Guds usammenlignbarhet likeverdige.
Selvlikheten knyttet til det gylne tallet; Pacioli sammenligner det med Guds allestedsnærvær og uforanderlighet.
I følge Pacioli, på samme måte som Gud ga eksistens til universet gjennom kvintessensen, representert ved dodekaederet , ga det gylne snitt eksistens til dodekaederet.

I 1525 publiserte Albrecht Dürer en instruksjon om måling av plane og solide figurer med linjal og kompass , der han beskriver hvordan man kan spore den gylne spiralen basert på det gylne snitt, som er kjent som "Dürers spiral", med en linjal og kompass .

Astronomen Johannes Kepler ( 1571 - 1630 ) utviklet en platonisk modell av solsystemet ved å bruke de platoniske faste stoffene, og refererte til det gylne snitt i grandiose termer:

Geometri har to store skatter: den ene er Pythagoras teorem ; den andre, inndelingen av en linje mellom det ekstreme og dets proporsjonale. Den første kan vi sammenligne med et mål sølv; det andre må vi kalle en dyrebar juvel. Johannes Kepler i Mysterium Cosmographicum ( Det kosmiske mysteriet ).

Den første kjente bruken av adjektivet áureo, dorado eller gull for å referere til dette tallet er laget av den tyske matematikeren Martin Ohm , bror til den berømte fysikeren Georg Simon Ohm , i den andre utgaven av 1835 av hans bok Die Reine Elementar Matematik ( Den elementære rene matematikken ). Ohm skriver i en fotnote:

Man er også vant til å kalle denne inndelingen av en vilkårlig linje i to deler som dette for det gylne snitt. Martin Ohm i Die Reine Elementar Matematik ( Elementary Pure Mathematics ).

Selv om skrivemåten antyder at begrepet allerede var i vanlig bruk på den tiden, tyder det faktum at han ikke inkluderte det i sin første utgave at begrepet kan ha vunnet popularitet rundt 1830.

I matematikktekster som omhandler emnet, var det vanlige symbolet for å representere det gylne snitt τ , fra det greske τομή , som betyr "snitt eller snitt". Imidlertid ble den moderne betegnelsen Φ eller φ laget i 1900 av matematikeren Mark Barr til ære for Phidias , siden dette var den første bokstaven i navnet hans skrevet på gresk ( Φειδίας ). Denne æren ble gitt til Phidias for den maksimale estetiske verdien som ble tilskrevet skulpturene hans, en egenskap som også ble tilskrevet det gylne snitt på den tiden. Mark Barr og Schooling var ansvarlige for de matematiske vedleggene til Sir Theodore Cooks bok The Curves of Life .

Det gylne snitt i matematikk

Egenskaper og representasjoner

Silver Angle

{\frac {360^{\circ }}{\varphi +{1}}}\approx 137{.}5^{\circ }

gyldne tallforhold Aritmetiske egenskaper

$\textstyle \varphi =1.618033988749894848204586834365638117720309...$ er det eneste positive reelle tallet slik at:

φ2=φ+1\

φ har også følgende egenskaper, avledet fra den forrige:

\varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\

\varphi 3}={\frac {\varphi +1}{{\varphi -1}}}\

\varphi 2}-{\frac {1}{\varphi }}=2\

Kraftene til det gylne snitt kan uttrykkes som en funksjon av summen av potenser med lavere grader av samme tall, og etablerer en sann gjentakende rekke av makter.

Det enkleste tilfellet er: , uansett hva n er et heltall. Dette tilfellet er en tilbakevendende rekkefølge av orden k = 2, siden to tidligere potenser er brukt.

\varphi<n}=\varphi<n-1}+\varphi<n-2}\,

En rekursiv ligning av orden k har formen:

a_{1}u_{{n+k-1}}+a_{2}u_{{n+k-2}}+...+a_{k}u_{n}\,

, hvor er et hvilket som helst reelt eller komplekst tall og k er et naturlig tall mindre enn eller lik n større enn eller lik 1. I tilfellet ovenfor er det , og .

ai}\,

\scriptstyle k=2\,

\scriptstyle a_{1}=1\,

\scriptstyle a_{2}=1\,

Men vi kan "hoppe over" den umiddelbart foregående kraften og skrive:

\varphi<n}=\varphi<n-2}+2\varphi<n-3}+\varphi<n-4}\,

. Her , , og . _

\scriptstyle k=4\,

\scriptstyle a_{1}=0\,

\scriptstyle a_{2}=1\,

\scriptstyle a_{3}=2\,

\scriptstyle a_{4}=1\,

Hvis vi kansellerer de to umiddelbart foregående potensene, er det også en rekursiv formel med orden 6:

\varphi<n}=\varphi<n-3}+3\varphi<n-4}+3\varphi<n-5}+\varphi<n-6}\,

Vanligvis:

\varphiÂn}=\sum​​i=0}^{k/2}{{\frac {k}{2}} \choose i}\varphiÂ\left[\textstyle n- \left(\textstyle {\frac {k}{2}}+i\right)\right]};\qquad k=2j,\ n,\ i\in \mathbb {N}

. Oppsummert kan enhver potens av det gylne tallet betraktes som elementet i en tilbakevendende rekkefølge av ordre 2, 4, 6, 8,..., 2k ; hvor k er et naturlig tall. I den rekursive formelen er det mulig at negative potenser av vises , noe som er helt korrekt. En negativ potens av tilsvarer også en positiv potens av dens inverse, det gylne snitt.

\phi

\phi

Dette merkelige settet med egenskaper og det faktum at de signifikante koeffisientene er de for binomialet, ser ut til å indikere at det er en sammenheng mellom det gylne snitt og tallet e .

Det gylne tallet er den grunnleggende enheten «ε» i feltet med algebraiske tall, og det gyldne snitt er dets inverse, « ». I denne utvidelsen oppfyller det «emblematiske» irrasjonelle tallet følgende likheter: ${\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ ${\mathbb {Q}}\left({\sqrt {5}}\right)$ ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ $ε{-1}}$ ${\sqrt {2}}$

{\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt { 5}}-1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}

. Representasjon ved bruk av fortsatte brøker

Uttrykket som bruker fortsatte fraksjoner er:

$\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+...}}}}}}}}$

Denne iterasjonen er den eneste der addering er å multiplisere og subtrahere er å dele. Det er også den enkleste av alle fortsatte brøker og den med langsomst konvergens. Denne egenskapen gjør også at det gylne tallet blir et dårlig tilnærmet tall ved hjelp av rasjonaler, som faktisk når verst mulig grad av tilnærming ved hjelp av rasjonaler. [ 8 ]

Det er derfor det sies at det er tallet som er lengst unna det rasjonelle eller det mest irrasjonelle tallet. Dette er grunnen til at det vises i Kolmogorov-Arnold-Moser-teoremet . $\phi$

Trigonometrisk representasjon

\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }

\varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }

\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }

\varphi ={\frac {1}{2}}\sec {\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1}{2}}\sec 72^{\circ }

\varphi ={\frac {\sin(2\pi /5)}{\sin(1\pi /5)}}\,={\frac {\sin(72^{\circ })} {\sin(36^{\circ })}}

Disse tilsvarer det faktum at diagonalen til en vanlig femkant (avstand mellom to ikke-konsekutive toppunkter) er φ ganger lengden på siden, og til andre lignende forhold i pentagrammet .

Representasjon ved bruk av nestede røtter

\varphi ={\sqrt {1+\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }} }}}}}}

Denne formelen som et spesielt tilfelle av en generell identitet publisert av Nathan Altshiller-Court , ved University of Oklahoma, i American Mathematical Monthly , 1917 . Den generelle teoremet sier at uttrykket

\lim{n\to \infty }}{\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+{\sqrt {a_{3}+{\sqrt {a_{4}+{\ sqrt { \cdots +{\sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}

hvor , er lik den største av røttene til ligningen , det vil si . $a_{i}=a\,$ $x^{2}-xa=0,$ ${\tfrac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$

Relasjon til Fibonacci-sekvensen

Ved å angi det n-te Fibonacci-tallet som F n , og det neste Fibonacci-tallet som F n + 1 , finner vi at når n øker, svinger dette forholdet og er vekselvis mindre og større enn det gylne snitt. Vi kan også merke oss at den fortsatte brøken som beskriver det gylne snitt alltid produserer Fibonacci-tall ettersom antallet enere i brøken øker. For eksempel: ; ; og , som er betydelig nær det gylne snitt. Så du må: $\textstyle {\frac {3}{2}}=1.5$ $\textstyle {\frac {8}{5}}=1.6$ $\textstyle {\frac {21}{13}}=1.61538461...$

\lim​​n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi

Denne egenskapen ble oppdaget av den tyske astronomen Johannes Kepler , men det tok mer enn hundre år før den ble bevist av den skotske matematikeren Robert Simson .

Senere ble det funnet at enhver tilbakevendende additiv sekvens av orden 2 har en tendens til samme grense. For eksempel, hvis vi tar to vilkårlige naturlige tall, for eksempel 3 og 7, resulterer den rekursive sekvensen: 3, 7, 10, 17, 27, 44, 71, 115, 186, 301, … Kvotene til påfølgende ledd produserer rasjonelle tilnærminger som nærmer seg asymptotisk ved overskridelse og som standard til samme grense: 44/27 = 1,6296296…; 71/44 = 1,613636…; 301/186 = 1,6182795. [ 9 ]

På midten av 1800- tallet gjenoppdaget den franske matematikeren Jacques Philippe Marie Binet en formel som tilsynelatende allerede var kjent for Leonhard Euler og en annen fransk matematiker, Abraham de Moivre . Formelen gjør det mulig å finne det n-te Fibonacci-tallet uten å måtte produsere alle de foregående tallene. Binets formel avhenger utelukkende av det gylne tallet:

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^ {n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad ={\frac {1}{\sqrt {5} }}\venstre[\varphi n}-(1-\varphi )^{n}\right]

for n > 0 og n er et positivt heltall.

Det gylne snitt i geometri

Det gylne tallet og det gylne snittet er til stede i alle regulære eller semi-regulære geometriske objekter der det er femkantet symmetri, som er femkanter eller at kvadratroten av fem vises på en eller annen måte.

Forholdet mellom delene av femkanten.
Relasjoner mellom delene av stjernefemkanten, femkanten eller femkanten .
Forholdet mellom delene av tikantet.
Forholdet mellom delene av dodekaederet og ikosaederet.

Euklids gyldne rektangel

Rektangelet AEFD er gyldent fordi sidene AE og AD er i forhold til det gylne snitt. Euclid , i sin proposisjon 2.11 av The Elements , får sin konstruksjon:

GC={\sqrt {5}}

Med sentrum i G oppnås punktet E, og derfor:

GE=GC={\sqrt {5}}

som det er tydelig at

AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}

hvorfra, til slutt,

{\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi

På den annen side er rektanglene AEFD og BEFC like, slik at sistnevnte også er et gyllent rektangel .

Ellers:

\varphi ={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}

På staben

Det gylne snitt spiller en svært viktig rolle i vanlige femkanter og i staver . Hvert skjæringspunkt av deler av et segment skjærer et annet segment i et gyldent snitt.

Pentagrammet inkluderer ti likebenede trekanter : fem spisse og fem stumpe . I begge er forholdet mellom de større og mindre sidene φ. Disse trekantene er kjent som de gylne trekantene .

Tatt i betraktning den store symmetrien til dette symbolet, er det observert at innenfor den indre femkanten er det mulig å tegne en ny stjerne, med rekursjon til uendelig . På samme måte er det mulig å tegne en ytre femkant, som igjen vil være den indre femkanten til en større stjerne. Når man måler den totale lengden til en av de fem linjene i den indre pentaclen, er den lik lengden på hvilken som helst av armene til hovedstjernen, det vil si Φ. Derfor er antallet ganger det gylne snitt vises på staven uendelig når du legger til uendelige staver.

Ptolemaios teorem og femkanten

Claudius Ptolemaios utviklet et teorem kjent som Ptolemaios teorem , som lar en vanlig femkant tegnes av linjal og kompass . Ved å bruke denne teoremet dannes en firkant ved å fjerne en av toppunktene til femkanten. Hvis diagonalene og hovedgrunnlaget måler b , og sidene og den lille grunnflaten måler a , viser det seg at b 2 = a 2 + ab som innebærer:

{b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\,.

Stjernehimmel femkant

Nummeret på det rettferdige forholdet mellom delsegmentene av sidene til en stjernehimmel femkant vises. [ 10 ]

Trigonometri

Sinusen på 18º er halvparten av inversen av tallet på det rettferdige forholdet. [ 11 ]

fordi 36º er halve det gylne snitt. [ 12 ]

Tilsvarende 2 cos 36º - 2 sin 18º = φ - 1/φ.

Forhold til platoniske faste stoffer

Det gylne snitt er relatert til de platoniske faste stoffene, spesielt icosahedron og dodecahedron , hvis dimensjoner er gitt i form av det gylne snitt.

De 12 toppunktene til et ikosaeder med kanter av lengde 2 kan uttrykkes i kartesiske koordinater ved følgende punkter:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

De 20 toppunktene til et dodekaeder med kanter med lengde 2/φ=√5−1 kan også gis på lignende måte:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

For et dodekaeder med kanter av lengde a, kan volum og totale areal også uttrykkes i form av det gylne snitt:

A=3{\sqrt {15+20\varphi }}\cdot a^{2}

V={\frac {4+7\varphi }{2}}\cdot a^{3}

Hvis tre gyldne rektangler overlapper parallelle ved sentrene sine, faller de 12 toppunktene til de tre gylne rektanglene nøyaktig sammen med toppunktene til et ikosaeder, og med sentrene til flatene til et dodekaeder.

Punktet som rektanglene har til felles, er sentrum av både dodekaederet og ikosaederet.

Det gylne snitt i naturen

I naturen er det mange elementer relatert til det gylne snitt og/eller Fibonacci-tallene :

Leonardo av Pisa ( Fibonacci ), i sin Libro de los abacos (Liber abacci, 1202, 1228), bruker sekvensen som bærer navnet hans for å beregne antall par kaniner n måneder etter at et første par begynner å reprodusere (forutsatt at kaniner er isolert av vegger, de begynner å formere seg når de er to måneder gamle, de tar en måned fra befruktning til levering og hvert kull er to kaniner). Dette er et rent matematisk problem uavhengig av om kaniner er involvert. I virkeligheten har den vanlige europeiske kaninen kull på 4 til 12 individer og flere ganger i året, men ikke hver måned, til tross for at graviditeten varer i 32 dager. Problemet finnes på side 123 og 124 i 1228-manuskriptet, som var det som nådde oss, og det ser ut til at tilnærmingen tydde til kaniner som den kunne vært til andre vesener; det er en støtte for å gjøre et ukjent, et matematisk puslespill, forståelig. Kvotienten av to påfølgende ledd i Fibonacci-sekvensen har en tendens til det gylne snitt eller det gylne snitt hvis den resulterende brøken er henholdsvis riktig eller upassende. Det samme gjelder for enhver tilbakevendende sekvens av ordre to, som Barr og Schooling demonstrerte i The Field magazine av 14. desember 1912. [ 14 ]

Ordningen av blomsterblader (rollen til det gylne snitt i botanikk kalles Ludwigs lov ). [ 15 ] [ 16 ]
Fordelingen av blader på en stilk. Se: Fibonacci-sekvens . [ 15 ]
Forholdet mellom årer av blader av trær. [ 17 ]

Forholdet mellom tykkelsen på hovedgrenene og stammen, eller mellom hoved- og sekundærgrenene (tykkelsen på en er lik Φ tar den øvre grenen som enhet). [ 17 ]
Antallet spiraler av en ananas (åtte og tretten spiraler), blomster eller blomsterstander. Disse tallene er elementer i Fibonacci-sekvensen og forholdet mellom to påfølgende elementer har en tendens til det gylne tallet. [ 18 ] [ 19 ]
Avstanden mellom navlen og fotsålene på en person, med hensyn til deres totale høyde. [ 20 ]
Antall kronblader i blomstene. Det er blomster med 3, 5 og 8 kronblader og også med 13, 21, 34, 55, 89 og 144. [ 18 ]
Fordelingen av bladene til kassavaen og arrangementet av bladene til artisjokkene. [ 18 ]
Forholdet mellom avstanden mellom hvirlene i spiralens indre av en snegl eller blekksprut som nautilus . Det er minst tre logaritmiske spiraler som er mer eller mindre assimilerbare med gylne forhold. Den første av dem er preget av det konstante forholdet lik det gylne tallet mellom radiovektorene til punkter som ligger i to påfølgende involutter i samme retning og retning. Skjellene til blant annet Fusus antiquus , Murex, Scalaria pretiosa , Facelaria og Solarium trochleare følger denne typen vekstspiral. [ 21 ] [ 22 ] Det må forstås at i enhver naturlig betraktning, selv om det involverer vitenskapene som anses som mer matematisk utviklet, som for eksempel fysikk, kan ingen relasjon eller konstant som har et uendelig antall desimaler nå den matematiske grensen , fordi på den skalaen ville ingen fysisk gjenstand eksistere. Den minste elementærpartikkelen man kan tenke seg er uendelig mye større enn et punkt på en linje. Lovene observert og matematisk beskrevet i organismer oppfylles ved å overtre dem organisk. [ 23 ]
For at de spredte bladene til en plante (Se Phylotaxis ) eller grenene rundt stammen skal ha maksimal isolasjon med minimal interferens mellom seg, må de vokse fra hverandre i en stigende helix i henhold til en konstant vinkel og teoretisk lik 360º ( 2 - φ ) ≈ 137º 30' 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…". I naturen vil en praktisk vinkel på 137º 30' eller 137º 30' i beste fall måles 28". [ 15 ] For beregningen vurderes vertikal belysning og det matematiske kriteriet er at de horisontale projeksjonene av hverandre ikke dekker hverandre nøyaktig. Selv om solens belysning generelt ikke er vertikal og varierer med breddegrad og årstider, garanterer dette maksimal bruk av sollys . Dette faktum ble oppdaget empirisk av Church [ 15 ] og bekreftet matematisk av Weisner i 1875 . I praksis kan ikke vinkelen måles med en slik presisjon og planter gjengir den "organisk"; det vil si med et lite avvik fra den teoretiske verdien. Ikke alle planter har godt av maksimal sol- eller regneksponering, så andre konstante vinkler enn den ideelle 137. 30' blir observert. Du finner en tabell på side 26 i hele dokumentet som er tilgjengelig på referanselenken. [ 19 ]
I mengden av bestanddeler i spiralene eller doble spiraler i blomsterstandene, som i tilfellet med solsikken, og i andre organiske gjenstander som furukongler, er det tall som tilhører Fibonacci-sekvensen. Kvoten av to påfølgende tall i denne sekvensen har en tendens til det gylne snitt.
Det er femkantede dodekaedriske pyrittkrystaller ( pyritohedra ) hvis ansikter er uregelmessige femkanter. Imidlertid involverer ikke proporsjonene av nevnte uregelmessige polyeder det gylne snitt. I den uorganiske verden er det ingen vanlig femkant. Dette vises (med unntak av at med en organisk feil; vi kan ikke kreve matematisk nøyaktighet til det ytterste [ 24 ] ) utelukkende i levende organismer. [ 25 ]

Det gylne snitt i kunst og kultur

Relasjoner i form av den store pyramiden i Giza . Herodots utsagn om at kvadratet av høyden er lik overflaten til en flate er bare mulig hvis meridianhalvdelen av pyramiden er proporsjonal med den rette trekanten , der 1 proporsjonalt representerer halve grunnflaten, rotkvadraten til den gyldne forhold til høyden opp til toppunktet (foreløpig ikke-eksisterende) og det gyldne forholdet eller hypotenusen til trekanten til apotemet til den store pyramiden. Denne oppgaven er forsvart av matematikerne Jarolimek, K. Kleppisch og WA Price (se referanser ), er basert på tolkningen av et avsnitt fra Herodot ( Historiae , bok II, kap. 124) og er teoretisk meningsfylt, selv om en konstruksjon av En slik størrelse må inneholde uunngåelige feil for alt arkitektonisk arbeid og til selve naturen til menneskelig teknologi, som i praksis bare kan håndtere rasjonelle tall. $\textstyle \left(\ 1.\;{\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}},\;{\frac {{\sqrt {5}}+ 1}{2}}\right)$

Andre kjente forskere favoriserer hypotesen om at byggherrene prøvde å kvadrere sirkelen, siden kvadratroten av det gylne tallet er veldig nær forholdet 4 over π. Men en slik konstruksjon, selv om π var kjent med en stor tilnærming, ville være helt uten geometrisk interesse. [ 26 ]

Basert på målinger er det imidlertid ikke mulig å velge mellom det ene eller det andre, siden forskjellen fra det virkelige monumentet ikke er større enn 14,2 cm og denne lille variasjonen er maskert av måleusikkerhetene, konstruksjonsfeil og, hovedsakelig, fordi pyramiden mistet sin kledning i hendene på de første byggherrene i Kairo. For å gjøre dette tydeligere, tilsvarer en presisjon på 1 promille i en base på 230 meter 23 centimeter og i høyden er den i størrelsesorden den reelle forskjellen som bør eksistere mellom begge mulighetene.

Forholdet mellom delene, taket og søylene i Parthenon , i Athen ( 5. århundre f.Kr. ) I løpet av det første kvartalet av 1900 -tallet ble Jay Hambidge ved Yale University inspirert av en passasje fra Theaetetus av Platon for å studere de relative proporsjonene av overflater, noe veldig naturlig når det kommer til arkitektoniske arbeider. To ikke-lignende rektangler skilles fra hverandre ved forholdet mellom deres største side og den minste, et tall som er tilstrekkelig til å karakterisere disse figurene og som kalles rektangelets modul. En firkant har modul 1 og den doble kvadratiske modul 2. De rektanglene hvis moduler er heltall eller rasjonelle tall ble kalt "statiske" og de med irrasjonelle euklidiske moduler, det vil si uttrykkbare algebraisk som røtter av kvadratiske ligninger eller reduserbare til dem, " dynamiske ". Det doble kvadratet er både statisk og dynamisk, siden 2 er kvadratroten av 4. Et eksempel på et elementært dynamisk rektangel er et som har kvadratroten av 5 som sin større side og enhet som sin mindre side, og modulen er kvadratet. rot av 5. [ 27 ] Hambidge studerte senere greske monumenter og templer og kom til å ramme inn pedimentet til Parthenon i et modulrektangel . Ved hjelp av fire diagonaler gir den de viktigste vertikale og horisontale proporsjonene. Dette rektangelet er dekomponert i seks moduler og fire kvadrater. [ 28 ] ${\tfrac {4\varphi -2}{\varphi +1}}$ ${\sqrt {5}}$

Som tilleggsinformasjon for å indikere kompleksiteten i behandlingen av bygningen, ble optiske korreksjoner oppdaget i Parthenon i 1837. Templet har tre hovedvisninger, og hvis søylene faktisk var lodd, var alle linjene parallelle og helt rette og de rette vinklene var nøyaktige, på grunn av egenskapene til menneskesyn ville helheten se bredere ut på toppen enn ved bunnen, søyler ville bli oppfattet som å lene utover, og linjen som grunnlegger taket på søylene ville bli sett på som en slags kontaktledning , med endene av bygningen tilsynelatende høyere enn midten. Byggherrene laget konstruksjonen ved å kompensere for disse optiske illusjonseffektene ved å vippe eller reversere de involverte elementene. Dermed er de ytre søylene, på begge sider av fronten, skråstilt innover i en vinkel på 2,65 buesekunder, mens de i midten har en vinkel på 2,61 buesekunder. Linjen som ville danne overliggere mellom søylene og som utgjør bunnen av trekanten som kroner bygningen, er faktisk en vinkel på 2,64 buesekunder med toppunktet høyere enn endene. På denne måten, og med andre rettelser som ikke er nevnt her, oppnår man at enhver observatør som befinner seg i de tre hovedsynspunktene ser hele settet parallelt, enhetlig og rett. [ 29 ]

Studier som de av Dr. Fechner har vist at oppfatningen av skjønnhet ligger i det gylne snitt. Derfor vil det som matematisk er nærmest fi, bli oppfattet som vakrere og perfekt. Denne forestillingen om skjønnhet og perfeksjon gjelder arkitektoniske strukturer, malerier, partiturer, fraktaler og mennesker. [ 30 ]
I maleriet Atomic Leda , av Salvador Dalí , laget i samarbeid med den rumenske matematikeren Matila Ghyka . [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]
I strukturene og tidene til filmene " Battleship Potemkin " og "Ivan the Terrible" av Sergei Eisenstein . [ 34 ] [ 33 ]
På fioliner er plasseringen av fs eller eses ("ørene" eller hullene i toppen) relatert til det gylne snitt. [ referanse nødvendig ]
Det gylne snitt vises i høyde-til-bredde-forholdet mellom gjenstander og mennesker som vises i verkene til blant andre Michelangelo , Dürer og Leonardo Da Vinci .
Det er nødvendig å motbevise den utbredte påstanden om at det gyldne snitt forekommer i den velkjente representasjonen av Leonardo da Vincis Vitruvianske mann . I denne tegningen følger Leonardo da Vinci strengt brøkdelene av menneskekroppen som Vitruvius beskriver i sin bok De architectura ; spesielt i kapittel I i den tredje boken, "Opprinnelsen til tempelets mål".
I de formelle strukturene til sonatene til Wolfgang Amadeus Mozart , i den femte symfonien til Ludwig van Beethoven [ referanse nødvendig ] , i verk av Franz Schubert [ referanse nødvendig ] og Claude Debussy [ referanse nødvendig ] (disse komponistene komponerte sannsynligvis disse forholdene annerledes) bevisstløs, basert på gode massebalanser ). [ 35 ]
På s. 56 av Dan Browns roman The Da Vinci Code inneholder en rotete versjon av de første åtte Fibonacci - tallene (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), som fungerer som en ledetråd etterlatt av konservatoren til Louvre-museet, Jacques Saunière. På s. 121 til 123 forklarer noen av utseendet til tallet phi (1 618) i naturen og mennesket. Den nevner at avstandene mellom kroppen vår er proporsjonale med hverandre, for eksempel fra beinet til låret, armen til underarmen, etc.
I episoden «Sabotage» av TV-serien NUMB3RS (sesong én, 2005), nevner det matematiske geniet Charlie Eppes at tallet fi finnes i strukturen til krystaller, i galaksespiralen og i skallet til Nautilus.
I Criminal Minds -episoden "Masterpiece" (sesong fire, episode 8), følger professor Rothschilds forbrytelser en Fibonacci-sekvens; i det første området drepte han ett offer; i den andre, til en annen; i den tredje, til to; i den fjerde, til tre; og i den femte til fem: tolv i alt. Plasseringene er også ordnet i en gylden spiral, fra utsiden til innsiden: stedet der barna ble kidnappet var rett i midten. Han valgte til og med sine 12 første ofre etter hvor nære forholdet mellom ansiktstrekkene deres var til det gylne tallet: han ville at de skulle være de "mest perfekte eksemplarene av mennesker".
Arte Póvera var en italiensk kunstnerisk bevegelse på 1960-tallet, hvor mange av verkene sine er basert på denne rekkefølgen. [ referanse nødvendig ]
I Darren Aronofskys film Pi, Faith in Chaos/Pi, Order Out of Chaos , forklarer den sentrale karakteren, matematikeren Max Cohen, forholdet mellom Fibonacci -tallene og det gylne snitt, om enn feilaktig kaller det Theta (θ ) i stedet for Phi (Φ).
I Steel Ball Run , den syvende delen av den populære JoJo's Bizarre Adventure -mangaserien , utgjør den gyldne spiralen et avgjørende element i handlingen, og er opphavet til Spin-teknikken som ble brukt av hovedpersonene.
Tallet phi er omtalt i Disney-filmen Donald in Math Country . [ 36 ]

Se også

Referanser

↑ Miguel de Guzmán, José Colera og Adela Salvador (1987). Matematikk 1 . ANAYA. ISBN 84-207-2820-9 .
↑ Fernando Corbalan (2010). Det gylne snitt . RBA Collectables S.A. ISBN 978-84-473-6623-1 .
↑ Luca Pacioli , De Divina Proportione ( Of the Divine Proportion , skrevet mellom 1496 og 1498.
↑ Dette tallet er irrasjonelt, selv om det er algebraisk av andre grad fordi det er roten til en kvadratisk ligning og det er også en andel som kan konstrueres med linjal og kompass, og det er mange rasjonelle tilnærminger med større eller mindre feil.
↑ Golden Ratio på WolframMathWorld
↑ Vorobyov, NN: Populære matematikktimer. Fibonnacci Numbers , Mir Publishing House, Moskva (1974)
↑ Livio, Mario (2002). The Golden Ratio . Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3 . Mario Livio (2009). Det gylne snitt. Historien om phi, verdens mest overraskende tall . Redaksjonell Ariel SA ISBN 978-84-394-4495-X feil ( hjelp ) . |isbn=
↑ Dårlige omtrentlige tall i WolframMathWorld
↑ Papir presentert av Mark Barr og Shooling i The Field magazine av 14. desember 1912.
↑ Bruño: Overlegen geometri
↑ Det beregnes med utgangspunkt i sinus og cosinus på 36º.
↑ Den er funnet ved å bruke de respektive verdiene til de to dataene.
↑ Theodore Andrea Cook (1914). Livets kurver . Constable and Company Ltd, London, kapittel IV: "Flate spiraler i skjell".
^ Vorobyov, NN; oversettelse av Carlos Vega (1974). Fibonacci-tall . Mir Publisher, Moskva, pocketbok, 112 sider.
^ abcd Theodore Andrea Cook ( 1914). Livets kurver . Constable and Company Ltd, London, kapittel V: "Botany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements", side 81 og utover.
↑ http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (nettbok, Library of Congress of the United States of America)
↑ a b Artikkel publisert av Astroseti: "Fibonacci-spiraler kan være relatert til spenning" 26.04.2007 (sannsynligvis, også med prinsippet om minste handling ): "Zexian Cao og hans kolleger fra det kinesiske vitenskapsakademiet brukte stressteknikk for å lage mikrostrukturer av forskjellige former bare 12 μm i lengde med en sølvkjerne og et SiO 2 -skall. De fant ut at hvis skjellene ble satt i sfæriske former under avkjøling, dannet det trekantede spenningsmønstre i dem. På den annen side, hvis de ble satt til koniske former, spiralspenningsmønstre dukket opp. Disse spiralmønstrene var "Fibonacci-spiraler" – det vil si spiraler som har dimensjonene styrt av Fibonacci-serien." "Caos team tror de imidlertid ikke at Fibonacci-spiraler dannes ved et uhell - de tror deres årsaken kan være relatert til et vanskelig problem reist av fysikeren JJ Thomson i 1904. Thomson han spurte hvordan et sett med ladninger ville organisere seg i en ledende sfære for å minimere energien. Fysikere har allerede beregnet at ladningene vil ta på seg trekantede mønstre - lik de sfæriske mikrostrukturene til Cao. På grunn av dette mener teamet til Cao at Fibonacci-spiraler i koniske mikrostrukturer må være den ekvivalente konfigurasjonen av minimumsenergi (og dermed minimumsspenning) for en kjegle, selv om de ikke har utført beregninger selv." Biologer har lenge mistenkt at tregrener og andre forekomster av Fibonacci-serien i naturen er enkle stressminimerende reaksjoner, men til nå var det ikke funnet noen konkrete bevis. "Vårt eksperiment med rent uorganiske materialer gir bevis for dette prinsippet," sier Cao til Physics Web.
↑ a b c "[...] blomsten til en solsikke er bygd opp av små strukturer som er justert på en slik måte at de produserer rader arrangert i en spiral, noen av dem åpner armene med klokken og resten med klokken. motsatt retning ... Hvis vi teller dem vil vi se at det alltid vil være 13 spiraler som åpner seg mot høyre og 21 som åpner mot venstre (13/21). Dette faktum kan virke banalt, men det blir aktuelt når denne tellingen gjentas med solsikker av forskjellige størrelser og med andre blomster som tusenfryd og mirasole; vi finner at noen har 21/34, andre 34/55 og det er til og med 55/89. […]" Miramontes, Pedro (april-juni 1996). " " Geometrien til levende former " " . E Journal, Autonomous University of Mexico (42).
↑ a b "Fibonacci-tall i botanikk forekommer med stor regelmessighet. I 1968 brukte Brousseau 4290 kongler fra ti arter av furutrær funnet i California, hvorav bare 74 kongler (1,7%) avvek fra Fibonacci-tallene. I 1992, Jean RV i hans artikkel “ Model texting in phyllotaxis ” rapporterte at av 12 750 observasjoner på 650 arter funnet i botanikklitteraturen de siste 150 årene, dukket Fibonacci-sekvensen opp i mer enn 92 prosent av alle mulige tilfeller av planter med spiralarrangement av elementene. Blant de 12 750 tilfellene ble Lucas-sekvensen (Edouard A. Lucas, 1842-1891) funnet i to prosent. Coxeter kaller utseendet til Fibonacci-tallene: "Fascinerende trend". Andre refererer til utbredelsen av Fibonacci som: "Mysteriet av Phyllotaxis" eller "Botanikeres besettelse eller mareritt". Arrangementet av skjellene til ananas, frukter av forskjellige furuarter, er organisert i rundt to spiraler av vekter: en høyrehendt og en venstrehendt. Det er empirisk verifisert at i et veldig høyt antall av disse artene er de påfølgende tall av Fibonacci-sekvensen. Andre eksempler er solsikkekaker, tusenfrydhoder osv. Bladene til de fleste høystilkede planter er plassert rundt den og kan spores i en spiral (figur 13). Mer spesifikt, i Filotaxis er den såkalte divergensloven verifisert: "for hver planteart er vinkelen som dannes av to påfølgende blader, kalt divergensvinkelen, konstant." (Side 23 og utover) Reyes Iglesias, Encarnación ( 2009) " " Kunst og natur i en geometrisk nøkkel "" . Universitetet i Valladolid . Arkivert fra originalen 17. oktober 2012. Hentet 19. februar 2012 .
↑ DET GYLNE FORHOLD - Spanias utdanningsdepartement
↑ Matila Ghyka (1953). Estetikk av proporsjoner i naturen og i kunsten . Redaksjonell Poseidon, Buenos Aires, kapittel V: "On Harmonious Growth", side 118 til 144.
↑ D'Arcy Wentworth-Thompson (1917). "Om vekst og form" . Cambridge University Press . D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "Om vekst og form" . Dover-utgave, 1116 sider. D'Arcy Thompson (1980). "Om vekst og form . Redaksjonell Hermann Blume, Madrid. Det finnes utgaver på rundt 300 sider, en nylig fra Cambridge.
↑ Det er en parafrase av en tanke av Ruskin nevnt på side 139 i den siterte boken av Matila Ghyka.
↑ I ethvert organisk eller uorganisk vesen er dets bestanddeler (molekyler, atomer, celler) objekter som har dimensjoner; geometrisk punkt nr. Av denne grunn, når det argumenteres for at en proporsjon er verifisert, vil det aldri være et irrasjonelt tall med uendelige desimaler, siden dette ville innebære at delene som utgjør det aktuelle objektet ikke har dimensjoner som geometriske punkter. Vi vil nødvendigvis ha et usikkerhetsintervall, hvorfra vi kan indikere minst to rasjonaler som begrenser det. Forklart på en annen måte: hvis en celle er på kanten av et vesen og vi sier at en annen del ligger i det gylne snitt med den kanten, hvor må vi måle slik at det blir uendelig med eksakte desimaler? Den cellen er ikke en stiv kropp, den deformeres, kantene er ikke perfekte linjer. I praksis vil de fleste av de uendelige desimalene i det gylne tallet ikke ha noen grunn til å vises på grunn av usikkerheten i målingen.
↑ Ghyka, Matila . "Estetikk av proporsjoner i naturen og i kunsten", kapittel V: "Om harmonisk vekst"; siterte verk.
↑ "Logisk sett vil tesen om det gyldne snitt virke mer sannsynlig, fordi den kommer fra en streng, elegant og enkel konstruksjon av meridiantrekanten, mens i den andre hypotesen, selv anta at verdien av π er kjent med en veldig stor tilnærming , konstruksjonen ville være rent empirisk og blottet for sann geometrisk interesse" [Det er dessuten bemerkelsesverdig at selv om de gamle ikke visste om betydningen av π, var de fullt klar over mangelen på nøyaktighet av noen forsøk på å kvadre sirkelen ] Matila Ghyka (1953) . Estetikk av proporsjoner i naturen og i kunsten . Redaksjonell Poseidon, Buenos Aires, kapittel VIII: "Keopspyramiden", side 222.
^ Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamisk symmetri Den greske vasen" . Yale University Press , New Haven. Jay Hambidge (22. august 2007). Dynamic Symmetry Den greske vasen . Grov utkastsutskrift. ISBN 978-1-60386-037-6 .
↑ Jay Hambidge (1924). "Parthenon og andre greske templer, deres dynamiske symmetri" . Yale University Press, Newhaven. Eksemplarer av den utgaven er fortsatt tilgjengelige, både nye og brukte, og til salgs for omtrent $250.
↑ Bannister; Fletcher (1905). "En historie om arkitektur" . BT Basford, London.
↑ Det gylne snitt og estetikk , av Mario Livio.
↑ http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf , side 86.
↑ JL Ferrier, Dalí, Atomic Leda, Paris: Denöel, Gonthier, 1980.
↑ a b Complutense University of Madrid, Det filosofiske fakultet. "Estetiske aspekter ved den guddommelige proporsjonen. Minne for å velge doktorgraden", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN 84-669-1867-1 . http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf
↑ SM Eisenstein, Det nye stadiet av montasjekontrapunkt, i omvendt felt, nr. 29, år IV, april-juni 1982, side 42.
^ For eksempel deler Mozarts pianosonate nr. 1 sin første sats inn i 38 og 62 takter. Forholdet, 62/38 = 1,6315, skiller seg med mindre enn 1 % fra det gylne snitt. Det samme kan sies om dens andre sats, som med 28 og 46 mål i sine to hovedseksjoner gir et forhold på 46/28 = 1,6428, også svært nær φ. Sonate nr. 2 deler første sats inn i 56 og 88 takter, hvis forhold er 88/56 = 1,5714, også ganske nær det gylne snitt. Selv om selvfølgelig ikke all musikk er seksjonert på denne måten, er det et av de mulige prinsippene for organisering av tiden i musikken. En annen er symmetri, hvor seksjonene er like lange. Interessant nok fungerer symmetri best på kort sikt (på nivå med fraser eller motiver), mens det gylne snitt dominerer de lange viddene. Det har blitt hevdet at mennesket i betydelige tider ikke er i stand til objektivt å oppfatte varigheten, men det er mulig at det er en ubevisst oppfatning av den generelle strukturen. " The music of the sfærer: fra Pythagoras til Xenakis ... og mer her ", Notater til kollokviet ved Institutt for matematikk, Federico Miyara , side 14 og 15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf Arkivert 16. januar 2013 på Wayback Machine .
↑ [1]

Bibliografi

I kronologisk rekkefølge:

Jarolimek (Wien, 1890). Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops .

Kleppisch, K. (1921). Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis . München: Oldenburg.

Cook, Theodore Andrea (1979; originalt verk: 1914). The Curves of Live . New York: Dover. ISBN 0-486-23701-X ; ISBN 978-0-486-23701-5 .

Pacioli, Luca (1991). Den guddommelige proporsjonen . Three Songs: Akal Editions, S.A. ISBN 978-84-7600-787-7 .

Ghyka, Matila (1992). Sølvnummeret . Barcelona: Poseidon, SL ISBN 978-84-85083-11-4 .

Ghyka, Matila (2006). Sølvnummeret. I Rytmene. II Ritene . Madrid: Ediciones Apóstrofe, SL ISBN 978-84-455-0275-4 .

Corbalan, Fernando (2010). Det gylne snitt . RBA Collectables S.A. ISBN 978-84-473-6623-1 .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på Golden ratio .
Weisstein, Eric W. «Golden Ratio» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
VisualMathematics.com. "The Golden Ratio" (på spansk ) . Hentet 16. april 2015 .
Langarita Felipe, Ignacio A. "The Silver Number" (på spansk ) . Arkivert fra originalen 26. mai 2010 . Hentet 16. april 2015 .
Paniagua Sanchez, Juan Angel. "Det gylne snitt eller Phi" (på spansk ) . Castor.es . Hentet 16. april 2015 .
DeCastro P., Carlos Armando. «Gylne arvefølger: del I.» (på spansk ) . Hentet 16. april 2015 .
DeCastro P., Carlos Armando. "Gylne arvefølger: del II." (på spansk ) . Hentet 16. april 2015 .
Tomasini, Maria Cecilia. "Tallet og det hellige i kunsten" (på spansk ) . Hentet 16. april 2015 .
Knott, Ron (9. desember 2011). "The Golden section ratio : Phi " . Arkivert fra originalen 5. desember 2006 . Hentet 16. april 2015 .