Babylonsk matematikk

Babylonsk matematikk (også kjent som assyro-babylonsk matematikk ) [ 1 ]​ [ 2 ]​ [ 3 ]​ [ 4 ]​ [ 5 ]​ [ 6 ]​ er settet med matematisk kunnskap utviklet av folket i Mesopotamia , nåværende Irak , fra den tidlige sumeriske sivilisasjonen til Babylons fall i 539 f.Kr. c.De kalles babylonsk matematikk på grunn av Babylons sentrale rolle som studiested, som opphørte å eksistere under den hellenistiske perioden. Fra dette tidspunktet fusjonerte babylonsk matematikk med gresk og egyptisk matematikk for å gi opphav til hellenistisk matematikk . Senere, under det arabiske imperiet , ble Mesopotamia, spesielt Bagdad , igjen et stort studiesenter for islamsk matematikk .

Babylonske matematikktekster er rikelig og godt redigert; [ 7 ] De kan klassifiseres i to tidsperioder: den som refererer til det gamle Babylon (1830-1531 f.Kr.) og den som tilsvarer seleukiden fra de siste tre eller fire århundrene f.Kr. C. Innholdsmessig er det knapt noen forskjeller mellom de to tekstgruppene. Babylonsk matematikk forble konstant, i karakter og innhold, i omtrent to årtusener. [ 7 ] I motsetning til de knappe kildene for egyptisk matematikk , er vår kunnskap om babylonsk matematikk hentet fra rundt 400 leirtavler, gravd fram i 1850. Tegnet med kileskrift , ble tavlene gravert mens leiren var våt, og deretter ble de herdet. i en ovn eller ved å varme dem i solen.

De tidligste bevisene for skriftlig matematikk stammer fra de gamle sumererne , som utgjorde den opprinnelige sivilisasjonen i Mesopotamia. Sumererne utviklet et komplekst system for metrologi fra 3000 f.Kr. C. Fra ca. 2500 e.Kr. Fremover skrev sumererne gangetabeller på leirtavler og tok for seg geometriske øvelser og divisjonsoppgaver . De tidligste tegnene på babylonske tall stammer også fra denne perioden. [ 8 ]

De fleste av de gjenvunnede leirtavlene er fra 1800 til 1600 f.Kr. C. og dekke emner inkludert brøker, algebra, kvadratiske og kubiske ligninger, og beregningen av gjensidige regulære tvillingprimtall ( se Plimpton 322 ). [ 9 ] Tablettene inkluderer også multiplikasjonstabeller og metoder for å løse lineære ligninger og kvadratiske ligninger . Det babylonske nettbrettet YBC 7289 gir en tilnærming på √2 med en nøyaktighet på fem desimaler. Matematikk dekker også mange grener som starter med klassifisering av tall. Babylonsk matematikk ble skrevet ved hjelp av et sexagesimalt (base 60) nummereringssystem. Fra dette stammer delingen av et minutt i 60 sekunder og en time i 60 minutter, så vel som en sirkel i 360 (60 × 6) grader og de seksagesimale underavdelingene av denne vinkelmåleenheten i minutter og sekunder. Babylonske fremskritt innen matematikk ble forenklet av det faktum at tallet 60 har mange divisorer . Dessuten, i motsetning til egypterne, grekerne og romerne, hadde babylonerne et ekte posisjoneltallsystem, der sifre skrevet til venstre representerte høyere ordensverdier, som i vårt nåværende desimaltallsystem . De manglet imidlertid en ekvivalent til desimaltegnet, og derfor måtte den sanne verdien av et symbol utledes fra konteksten.

Babylonske tall

Det babylonske tallsystemet var det sexagesimale tallsystemet (base-60). Fra dette kommer den moderne bruken av 60 sekunder i et minutt, 60 minutter i en time, 360 grader i en sirkel. Babylonerne var i stand til å gjøre store fremskritt i matematikk av to grunner: For det første er tallet 60 et sammensatt tall , med mange divisorer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60 , som gjør beregninger med brøker enklere ; I tillegg, i motsetning til egypterne og romerne, hadde babylonerne, indianerne og mayaene et ekte posisjonsnotasjonssystem , der sifrene skrevet i venstre kolonne representerer større verdier (akkurat som i vårt base ti-system: 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). Sumererne og babylonerne var pionerer i denne forbindelse.

Det sexagesimale nummereringssystemet har blitt etablert, muligens fra sammensmeltingen av to andre eldgamle: en strengt desimal (semittisk) av tegn for mynter, vekt og mål og en annen, duodesimal. I astronomiske tekster er det en sammenligning mellom positive tall og negative tall; alle faktoriseringspar lik 60 eller potensene er samlet i tabeller. [ 10 ]

Sumerisk matematikk (3000 til 2300 f.Kr.)

De gamle sumererne i Mesopotamia utviklet et komplekst system for metrologi fra 3000 f.Kr. C. Fra år 2600 f.Kr. Senere skrev sumererne multiplikasjonstabeller på leirtavler og utførte geometriske øvelser og divisjonsoppgaver . De eldste sporene etter babylonske tall dateres også tilbake til denne perioden. [ 11 ]

Matematikk i det gamle Babylon (2000–1600 f.Kr.)

Den antikke babylonske perioden er perioden som de fleste leirtavlene tilhører, og det er derfor mesopotamisk matematikk er kjent som babylonsk matematikk. Noen leirtavler inneholder lister og tabeller, andre inneholder problemer og utviklede løsninger.

Det som er kjent om babylonsk matematikk er basert på oversettelsen av inskripsjoner med kileskrifttegn på leirtavler, funnet i stort antall. Noen av disse inskripsjonene vitner om eksistensen i en tid som går tilbake til 2000 år. C., av en bemerkelsesverdig vitenskap om beregning refererte til problemer med geometri og astronomi . Babylonerne utviklet for eksempel beregningsprosedyrer tilsvarende oppløsningen av ligninger av andre grad og til og med noen av tredje grad. Noen forfattere mener imidlertid at denne matematiske kulturen hadde falt i åpenhjertig tilbakegang da grekerne fant den. Imidlertid hadde babylonerne inntil da vært i stand til å beregne datoene for formørkelsene ved å bruke et seksagesimalt nummereringssystem sammen med desimalen . Assyrerne nådde en grad av matematisk vitenskap som var analog med babylonerne. Det samme kan sies om fønikerne , fra hvem grekerne erkjente å ha tatt sitt eget nummereringssystem.

Ulike grener og andre emner

Aritmetikk

Babylonerne gjorde utstrakt bruk av forhåndsberegnet tabeller for å hjelpe dem med aritmetikk . For eksempel to tabletter funnet ved Senkerah ved Eufrat i 1854, datert til 200 f.Kr. C., gir de lister med de perfekte kvadrattall opp til 59 og med kubikktallene opp til 32. Babylonerne brukte listene over kvadratene sammen med formlene

for å utføre multiplikasjonen.

Babylonerne hadde ikke en algoritme for lang divisjon , i stedet baserte metoden sin på det faktum

sammen med en tabell over gjensidige . Tall hvis eneste primfaktorer er 2, 3 eller 5 (kjent som vanlige eller 5-glatte tall ) har endelige gjensidige i sexagesimal notasjon, og tabeller med omfattende lister over disse gjensidige er funnet.

Gjensidige som 1/7, 1/11, 1/13, etc. de har ingen endelig representasjon i sexagesimal notasjon. For å beregne 1/13 eller å dele et tall med 13 ville babylonerne bruke en tilnærming som f.eks.

Algebra

I tillegg til aritmetiske beregninger, utviklet babylonske matematikere også algebraiske metoder for å løse ligninger . Igjen var disse basert på forhåndsberegnet tabeller.

For å løse en kvadratisk ligning brukte babylonerne i hovedsak den kvadratiske formelen . De vurderte kvadratiske ligninger av formen

hvor her b og c ikke nødvendigvis var heltall, men c var alltid positive. De visste at en løsning på denne formen av ligningen er

og de ville bruke rutetabellene i revers for å finne kvadratrøtter. De brukte alltid den positive roten da dette var fornuftig når de løste "ekte" problemer. Problemer av denne typen inkluderte å finne dimensjonene til et rektangel gitt arealet og hvor mye lengden overskred bredden.

Tabeller med verdier av n 3  +  n 2 ble brukt til å løse visse kubikklikninger . For eksempel gitt ligningen

multiplisere ligningen med a 2 og dele på b 3 gir

;

erstatte y = ax / b får vi

som kan løses ved å søke i tabellen n 3  +  n 2 for verdien nærmest høyre side. Babylonerne gjorde dette uten algebraisk notasjon, og demonstrerte en bemerkelsesverdig dybde av forståelse. Imidlertid hadde de ikke en metode for å løse den generelle likningen av tredje grad.

Vekstmodeller

Babylonerne modellerte eksponentiell vekst, begrenset vekst (via en form for sigmoide funksjoner ) og dobbel tid , sistnevnte i sammenheng med renter på lån.

Leirtavlene fra 2000 f.Kr. C. inkludere øvelsen "gitt en rente på 1/60 per måned (ikke sammensatt), beregn dobbelttiden." Dette gir en årlig rente på 12/60=20 %, og en dobbel tid på 100 % vekst/20 % vekst per år = 5 år. [ 15 ]​ [ 16 ]

Plimpton 322

Plimpton 322- nettbrettet beskriver en metode for å løse det som nå beskrives som kvadratiske funksjoner av formen

,

ved trinn (beskrevet i geometriske termer) som sekvenser av mellomverdier v 1 = c /2, v 2 = v 1 2 , v 3 = 1 + v 2 og v 4 = v 3 1/2 beregnes , fra hvor vi kan beregne x = v 4 + v 1 og 1/ x = v 4 - v 1 . Forskning av Robson (2001, 2002), utgitt av Mathematical Association of America , [ 17 ] bemerker at Plimpton 322 kan tolkes som følgende verdier, for vanlige numeriske verdier av x og 1/x i numerisk rekkefølge:

v 3 i den første kolonnen, v 1 = ( x - 1/ x )/2 i den andre kolonnen og v 4 = ( x + 1/ x )/2 i den tredje kolonnen.

I denne tolkningen ville x og 1/x dukket opp på nettbrettet i den løsrevne delen, til venstre for den første kolonnen. For eksempel kan rad 11 av Plimpton 322 genereres på denne måten for x = 2.

Robson bemerker at Plimpton 322 avslører "[matematiske] metoder - gjensidige par , kopier-og-lim geometri, fullføring av kvadratet , dividert med vanlige fellesfaktorer - [som alle var enkle teknikker som ble undervist på skribentskoler " av det været. [ 18 ]

Tabellen hadde blitt tolket av ekspert matematikere som en liste over pythagoras trippel og trigonometriske funksjoner; i 2002 publiserte Mathematical Association of America [ 17 ] Robsons forskning og (i 2003) tildelte ham Lester R. Ford-prisen for moderne tolkning som avviste tidligere feil.

Geometri

Babylonerne kjente til de vanlige reglene for å måle volumer og arealer. De målte omkretsen til en sirkel som tre ganger diameteren og arealet som en tolvtedel av kvadratet av omkretsen, som er riktig for et estimat på π til 3. Volumet til en sylinder ble beregnet som produktet av basen ganger høyden, men volumet av en avkortet kjegle eller firkantet pyramide ble feilaktig beregnet som produktet av høyden og halve summen av basene. Pythagoras teorem var også kjent for dem . Nyere funn indikerer at i en tablett ble π brukt som 3 og 1/8. Fra babylonerne stammer den babylonske milen , et mål på avstand som tilsvarer omtrent syv nåværende mil. Dette avstandsmålet ble mil-tidsenheten, brukt til å måle solens bane, som en representasjon av tid. [ 19 ]

De gamle babylonerne kjente til teoremene om sidene og forholdet til lignende trekanter i mange århundrer, men de kjente ikke til begrepet vinkelmål og studerte følgelig sidene til trekanter i stedet. [ 20 ]

Babylonske astronomer førte detaljerte registreringer av stjerners oppgang og nedgang, planetenes bevegelser , sol- og måneformørkelser ; som alle krever kjennskap til vinkelavstander målt på himmelsfæren . [ 21 ]

De brukte også en form for Fourier-analyse for å beregne efemerider (astronomiske posisjonstabeller), som ble oppdaget på 1950-tallet av Otto Neugebauer . [ 22 ]​ [ 23 ]​ [ 24 ]​ [ 25 ]

Påvirke

Siden gjenoppdagelsen av den babylonske sivilisasjonen har det blitt tydelig at gamle greske og hellenistiske matematikere og astronomer lånte mye fra babylonerne , spesielt Hipparchus fra Nicaea .

Franz Xaver Kugler kommenterer i sin bok Die Babylonische Mondrechnung ('den babylonske måneregning', Freiburg im Breisgau , 1900) følgende: «Ptolemaios hevdet i sin Almagest IV.2 at Hipparchus forbedret verdiene til måneperiodene kjent for å ham på grunnlag av "enda eldre astronomer", og sammenlignet dem med observasjoner av formørkelser gjort tidligere av kaldeerne, og av ham selv. Kugler finner imidlertid at periodene Ptolemaios tilskriver Hipparchus allerede hadde blitt brukt i babylonsk ephemeris , nærmere bestemt samlingen av tekster i dag kalt "System B" (noen ganger tilskrevet Kidinnu ). Tilsynelatende bekrefter Hipparchus bare gyldigheten av periodene han hadde lært av kaldeerne, med sine egne observasjoner.

Det er tydelig at Hipparchus (og senere Ptolemaios) hadde en i det vesentlige komplett liste over observasjoner av formørkelsen gjort over mange århundrer. Mest sannsynlig satt sammen fra de daglige tavlene: dette er leirtavler hvor alle relevante hendelser som kaldeerne rutinemessig utførte er nedtegnet. Eksempler fra år 652 f.Kr. er bevart. C. til 130 e.Kr C. , men muligens når opptegnelsene til den babylonske kong Nabonasars dager : Ptolemaios begynner sin kronologi med den første dagen i den egyptiske kalenderen for Nabonasars første år, det vil si 26. februar 747 f.Kr. c.

Dette råmaterialet alene må ha vært vanskelig å utnytte, og uten tvil kompilerte kaldeerne selv utdrag av observerte formørkelser (noen tavler som viser alle formørkelser registrert under en saros-periode er funnet). Dette tillot dem å gjenkjenne den periodiske samtidigheten av hendelser. De brukte blant annet i System B (jf. Almagest IV.2):

Babylonerne uttrykte alle perioder i synodiske måneder , muligens fordi de brukte en lunisolær kalender . Ulike forhold til årlige begivenheter bestemte forskjellige verdier for lengden av året.

På samme måte var forskjellige forhold mellom planetens perioder kjent. Forholdet som Ptolemaios tilskriver Hipparchus i Almagest IX.3 hadde allerede blitt brukt i spådommer funnet på babylonske leirtavler.

All denne kunnskapen ble trolig overført til grekerne kort tid etter erobringene av Alexander den store (331 f.Kr.). I følge den klassiske filosofen Simplicio (490-560), beordret Alexander oversettelsen av de historiske astronomiske arkivene under tilsyn av sin historiker Callisthenes av Olinthus (nevø og disippel av Aristoteles , som han sendte dem til). Det er verdt å nevne at selv om Simplicio er en sen kilde, er hans beretning ekstremt pålitelig. Han tilbrakte tid i eksil ved det persiske hoffet Sassanid og kan ha hatt tilgang til ukjente eller tapte kilder i Vesten. Det er påfallende at han nevnte tittelen tèresis (gr. vakt) som er et uvanlig navn på et historisk verk, men som faktisk er en treffende oversettelse av den babylonske tittelen massartu , som betyr 'vokter', men også 'iakttaker'. Uansett hvordan det måtte ha vært, introduserte Aristoteles' elev Calipus av Cyzicus sin 76-års syklus, som forbedret den da eksisterende 19-årige metoniske syklusen . Det første året av dens første syklus begynner på sommersolverv 28. juni 330 f.Kr. (ifølge den proleptiske julianske kalenderen ), men ser senere ut til å ha telt månemåneder fra den første måneden fra Alexanders avgjørende slag ved Gaugamela i 331 f.Kr. C. Callipus kan ha innhentet sine data fra babylonske kilder, og hans kalender kan ha blitt forutsett av Kidinnu. Det er også kjent at den babylonske presten Berossus skrev rundt 281 f.Kr. en bok på gresk om Babylons (ganske mytologiske) historie, det babyloniske , for den nye herskeren Antiochus I Soter ; han skal etterpå ha grunnlagt en skole for astrologi på den greske øya Cos . En annen kandidat som har lært grekerne om babylonsk astronomi / astrologi er Sudin , som var en del av hoffet til Attalus I på 300- tallet f.Kr. c.

I alle fall krevde transkripsjonen av de astronomiske registreringene en dyp kunnskap om kileskrift , språk og prosedyrer, så det ser ut til å ha vært arbeidet til ukjente kaldeere. Babylonerne daterte imidlertid observasjonene sine i deres lunisolære kalender, der månedene og årene hadde forskjellig varighet (henholdsvis 29 eller 30 dager; 12 eller 13 måneder). På den tiden brukte de ikke en vanlig kalender (for eksempel basert på den metoniske syklusen , som de gjorde senere), og startet en ny måned basert på observasjoner av nymånen . Dette gjorde det svært kjedelig å beregne tidsintervallene mellom hendelser.

Det Hipparchus kunne ha gjort er å transformere disse registreringene til den egyptiske kalenderen , som alltid bruker et fast år på 365 dager (som består av 12 måneder på 30 dager og 5 ekstra dager): dette letter i stor grad beregningen av tidsintervaller. Ptolemaios daterte alle observasjoner på denne kalenderen; han skriver også: "Alt han (=Hipparchus) gjorde, var å sammenstille planetobservasjonene og ordne dem mer riktig" ( Almagest IX.2). Plinius sier ( Naturalis Historia II.IX(53)) om formørkelsesspådommer: "Etter hans tid (= Thales of Miletus ) ble kursene til begge stjernene (=Sol og Måne) i 600 år forutsagt av Hipparchus... ». Dette ser ut til å antyde at Hipparchus spådde formørkelser i en periode på 600 år, men med tanke på den enorme mengden beregninger som kreves, virker dette usannsynlig. Snarere ville Hipparchus ha listet opp alle formørkelsene fra Nabonassars tid til hans egen.

Andre spor av babylonsk praksis i Hipparchus 'arbeid er:

Se også

Notater

  1. ↑ H. Lewy: "Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology", i Orientalia (NS) 18, 40-67; s. 137-170, 1951.
  2. ^ Lewy, H. (1951 "Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology", i Orientalia (NS) 20, s. 1-12.
  3. ^ EM Bruins: "La classification des nombre dans les mathématiques babyloniennes", i Revue d'Assyriologie , 47, s. 185-188, 1953.
  4. ^ Cazalas: "Le calcul de la table mathématique AO 6456", i Revue d'Assyriologie 29, s. 183-188, 1932.
  5. ↑ S. Langdon: "Assyriologiske notater: matematiske observasjoner på Scheil-Esagila-tavlen", i Revue d'Assyriologie 15, s. 110-112, 1918.
  6. ^ E. Robson: "Garanterte ekte originaler: Plimpton-samlingen og den tidlige historien om matematisk assyriologi", i Mining the archives: Festschrift for Chrisopher Walker i anledning hans 60-årsdag (red. C. Wunsch). ISLET, Dresden, s. 245-292, 2002.
  7. ↑ a b Asger AABOE: "The culture of Babylonia: babylonian mathematics, astrology, and astronomy", i John Boardman , I. E. S. Edwards, N. G. L. Hammond , E. Sollberger og C. B. F. Walker (red.): The assyrian and babylonian empires and other babylonian empires and delstater i det nære østen, fra det åttende til det sjette århundre f.Kr. Cambridge University Press , 1991.
  8. ↑ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology , Third Millennium Mathematics . St Lawrence University .
  9. ↑ Aaboe, Asger (1998). Episoder fra Matematikkens tidlige historie . New York: Random House. s. 30 –31. 
  10. ↑ Hoffmann. "Matematikkens historie"
  11. ↑ Duncan J. Melville: "Third millennium chronology" , i Third millennium mathematics . St Lawrence University , 2003.
  12. ↑ Hoffmann. «Historie om matematikk» Limusa Noriega Editores, Mexico, DF (2003)
  13. ↑ Hoffmann. Op cit.
  14. ↑ Boyer "History of Mathematics"
  15. ↑ Michael Hudson: "Hvorfor "miraklet med renters rente" fører til økonomiske kriser" , 2007.
  16. ↑ John H. Webb: "Har vi fanget din interesse?"
  17. ↑ a b Se artikkelen "Mathematical Association of America" ​​på engelsk Wikipedia.
  18. ↑ Robson, American Mathematical Monthly , s. 117-118, 2002.
  19. ↑ Eves, kapittel 2.
  20. ^ Boyer: "Gresk trigonometry and mensuration" (s. 158-159), 1991.
  21. ↑ Eli Maor: Trigonometriske gleder . Princeton University Press , 1998. ISBN 0691095418 .
  22. ↑ Elena Prestini: Utviklingen av anvendt harmonisk analyse: modeller av den virkelige verden (s. 62). Birkhäuser, 2004. ISBN 978 0 81764125 2 .
  23. ↑ Gian-Carlo Rota; og Fabrizio Palombi: Indiskrete tanker (s. 11). Birkhäuser, 1997. ISBN 978 0 81763866 5 .
  24. ↑ Otto Neugebauer: De eksakte vitenskapene i antikken . [1957]. Dover Publications, 2. utgave, 1969. ISBN 978-048622332-2 .
  25. ↑ Lis Brack-Bernsen og Matthias Brack: Analyse av skallstruktur fra babylonsk og moderne tid . Fysikk/0310126.

Bibliografi