Matematisk inndeling)

I matematikk er divisjon en delvis definert operasjon på settet av naturlige tall og heltall ; på den annen side, i tilfelle av rasjonelle , reelle og komplekse tall er det alltid mulig å utføre divisjonen, og krever at divisoren er forskjellig fra null, uansett arten av tallene som skal deles. I tilfelle det er mulig å gjennomføre delingen, består dette i å finne ut hvor mange ganger et tall ( divider ) er "inneholdt" i et annet tall ( dividende ). Resultatet av en divisjon kalles en " kvotient ". Generelt kan det sies at divisjon er den inverse operasjonen av multiplikasjon , så lenge den utføres på et felt. [ 1 ]

Den «eksakte» inndelingen (hovedemnet i denne artikkelen) må skilles fra «inndelingen med rest» eller rest (den euklidiske inndelingen ). I motsetning til addisjon , subtraksjon eller multiplikasjon , er ikke divisjon med heltall alltid definert; i kraft: 4 delt på 2 er lik 2 (et helt tall), men 2 delt på 4 er lik ½ (en halv), som ikke lenger er et helt tall. Den formelle definisjonen av "divisjon", " delebarhet " og " commensurabilitet ", vil da avhenge av definisjonssettet.

Som enhver operasjon må resultatet av en divisjon være unikt, det er derfor det er en definisjon for kvotient og rest.

Definisjon

Konseptuelt beskriver divisjon en av to beslektede, men forskjellige forestillinger, den om "separat" og den av "distribuere." [ 2 ] [ 3 ] Formelt sett er divisjon en binær operasjon som assosierer to tall med produktet av det første med inversen av det andre. For et tall som ikke er null, er funksjonen "dele med det tallet" den gjensidige av "multipliser med det tallet". Dermed tolkes den delte kvotienten som produktet av . $en\$ $b\$ $\a$ ${\tfrac {1}{b}}$

Hvis divisjonen ikke er nøyaktig, det vil si at divisor ikke er inneholdt et eksakt antall ganger i utbyttet, vil operasjonen ha en rest , hvor :

{\rm {dividend=divisor\ ganger kvotient+rest.}}

Etymologi: ordet stammer fra det latinske dividere: splitt, skille.

Notasjon

I algebra og vitenskap er divisjon vanligvis betegnet som en brøk , med utbyttet skrevet over divisoren. For eksempel står det: tre delt på fire . En skråstrek kan også brukes: ; dette er den vanligste modusen i dataprogrammeringsspråk , siden den lett kan skrives som en enkel sekvens av ASCII -kode . ${\tfrac {3}{4}}$ $3/4\,$

En annen måte å indikere en divisjon på er ved hjelp av oblus -symbolet ( ) (også kalt "divisjonstegnet"). Dette symbolet brukes også til å representere selve divisjonsoperasjonen, som ofte brukes på kalkulatorer . Andre varianter er kolon ( : ) eller semikolon ( ; ). $\div$

Egenskaper

Divisjon er ikke riktig sett en "operasjon" (dvs. en lov om intern sammensetning definert overalt), dens "egenskaper" har ingen strukturelle implikasjoner på settet med tall, og må forstås innenfor konteksten av brøktall .

ikke -kommutativ , moteksempel: ; $5\div 3\neq 3\div 5$
ikke- assosiativ , vs.
nøytralt pseudoelement til høyre: 1

{\dfrac a1}=a

;

absorberende pseudoelement til venstre: 0

{\mbox{ if }}b\neq 0,{\dfrac 0b}=0

;

ekvivalente brøker :

{\dfrac ab}={\dfrac cd}\iff ad=bc\

Algoritmer for divisjon

Fram til 1500 -tallet var byssedivisjonsalgoritmen veldig vanlig , veldig lik langdeling og til slutt (erstattet av den som den foretrukne divisjonsmetoden). Den vanlige divisjonsprosessen ( lang divisjon ) er vanligvis representert under diagrammet:

		${\rm {Quotient\,}}$
${\rm {Divisor\,}}$		${\rm {Dividende\,}}$
		${\rm {Rest\,}}$

Et ekvivalent diagram med linjen under utbyttet brukes også

${\rm {Divisor\,}}$		${\rm {Dividende\,}}$
${\rm {\,_{{(operasjoner)}}\,}}$		${\rm {Quotient\,}}$
${\rm {Rest\,}}$

Og et annet tilsvarende diagram brukes også

${\rm {Dividende\,}}$		${\rm {Divisor\,}}$
${\rm {\,_{{(operasjoner)}}\,}}$		${\rm {Quotient\,}}$
${\rm {Rest\,}}$

En annen metode er bruken av en "elementær tabell", lik multiplikasjonstabeller , med forhåndsetablerte resultater.

Inndeling av tall

Divisjon av naturlige tall

La oss vurdere mengden ℕ = {0, 1, 2, ... n , ...} av naturlige tall og la a , b ikke null, c være naturlige tall, vi vil si at

a\div b=c

a=b\cdot c

I så fall vil det sies at a er utbyttet; b , deleren; og c , kvotienten hvis den eksisterer. [ 4 ]

Men gitt to naturlige tall a og b ≠ 0, er det bare to naturlige tall q og r slik at relasjonene holder . $a=b\cdot q+r,0\leq r<b$

Algoritmen som gjør det mulig å finne q og r , kjenne a og b , kalles blant annet heltallsdivisjon . [ 5 ]

Heltallsdivisjon

Divisjon er ikke en lukket operasjon , noe som betyr at resultatet av å dele to hele tall generelt ikke vil være et annet heltall , med mindre utbyttet er et heltallsmultiplum av divisoren.

Det er delebarhetskriterier for heltall (for eksempel vil ethvert tall som slutter på 0,2,4,6 eller 8 være delelig med 2), spesielt brukt for å dekomponere heltall i primfaktorer , som brukes i beregninger som det minste felles multiplum eller den største felles divisor .

Divisjon av rasjonelle tall

Divisjon i ℚ er alltid mulig, så lenge divisor ikke er null. For kvotienten er ingenting annet enn produktet $x\div y$ $x\cdot y^{-1}$

I rasjonalene kan resultatet av å dele to rasjonelle tall (forutsatt at divisor ikke er 0) beregnes med hvilken som helst av de representative brøkene. Det kan defineres som følger: [ 6 ] gitt p / q og r / s ,

{p \over q}\div {r \over s}={p \over q}\cdot {s \over r}={p\cdot s \over q\cdot r}

Denne definisjonen viser at divisjon fungerer som den inverse operasjonen av multiplikasjon.

Divisjon av reelle tall

Resultatet av å dele to reelle tall er et annet reelt tall (så lenge divisor ikke er 0). Det er definert som a / b = c hvis og bare hvis a = cb og b ≠ 0.

Inndeling av kvadratiske binomiale former

(a+b{\sqrt {2}})\div (c+d{\sqrt {2}})=(a+b{\sqrt {2}})\ ganger (c+d{\ sqrt{2}})^{-1}

[ 7 ]

Divisjon med null

Delingen av et hvilket som helst tall med null er en "ubestemthet". Dette skyldes det faktum at null multiplisert med en hvilken som helst endelig mengde igjen er null, det vil si at null ikke har en multiplikativ invers .

Divisjon av komplekse tall

Resultatet av å dele to komplekse tall er et annet komplekst tall (så lenge divisor ikke er 0). er definert som

{p+iq \over r+is}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}

hvor r og s ikke begge er lik 0.

I trigonometrisk form [ 8 ] $r(\cos a+i\sin a)\div s(\cos b+i\sin b)=(r\div s)(\cos(ab)+i\sin(ab))$

I eksponentiell form:

{pe^{iq}\div d^{is}}=(p\div r)e^{i(qs)}.

Se også

Notater og referanser

↑ Adler "Ny matematikk"
↑ Royal Spanish Academy og Association of Academies of the Spanish Language. "dele " Ordbok for det spanske språket (23. utgave).
↑ Fosnot og Dolk 2001. Young Mathematicians at Work: Constructing Multiplication and Division . Portsmouth, NH: Heinemann.
↑ José Vicente Ampuero. "Teoretisk aritmetikk", utgaver av UNMSM, Lima (1960)
↑ Sigler."algebra"
↑ Ved å bruke kriteriet om at divisjonen er en forekomst av produktet.
↑ Zuckermann. «Innføring i tallteorien»
↑ Alfhors "Variabelt kompleks"

Bibliografi

Weisstein, Eric W. «divisjon» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
José Manuel Serrano González, et al (1997). Bedriftslæring i matematikk . Universitetet i Murcia. s. 75. ISBN 84-7684-805-6 .
Mexican Legal Dictionary , Mexico, Institute of Legal Research, 2011, Redaksjonell Porrúa, s. 1382.

Eksterne lenker

Divisjonseksempler (algebra)