Posisjonsnotasjon

Posisjonell notasjon er et tallsystem der hvert siffer har en verdi som avhenger av dens relative posisjon, som bestemmes av grunntallet , som er antall sifre som trengs for å skrive et hvilket som helst tall. Et eksempel på posisjonsnummerering er det ofte brukte desimalsystemet (grunntall 10), som krever ti forskjellige sifre, som må bestå av et symbol ( grafem ), hvis verdi i økende rekkefølge er: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. For tall skrevet i lavere basissystemer, brukes kun de laveste sifrene; for skrifter med grunner større enn 10, brukes bokstaver: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, ...

Historie

Det første posisjonelle tallsystemet er dokumentert ved begynnelsen av II årtusen f.Kr. C. og ble brukt av de lærde i Babylon . Senere, på slutten av det første årtusen f.Kr. C. , brukt av kinesiske matematikere . Astronomprestene i Maya-sivilisasjonen brukte det mellom 400- og 900-tallet av vår tidsregning: et vigesimalt system med et siffer på nullverdi , men med noen særegenheter som fratok det operasjonsmuligheter. [ 1 ]

Den indiske sivilisasjonen er vuggen til posisjonsnotasjonen som vi bruker, selv om det var araberne som fremmet den store innovasjonen, ved å bruke den hindustanske numeriske notasjonen : et desimalsystem med et siffer med nullverdi: null . Leonardo de Pisa ( Fibonacci ) introduserte dette systemet til Vesten på 1000-tallet .

Av tekniske årsaker ble det i informatikk valgt et numerisk system basert på to, med kun to sifre: 0 og 1, men med bruk av posisjonsnotasjon på grunn av dets store operasjonelle enkelhet.

Se også: sexagesimal system

Funksjoner

Ved å bruke posisjonsnotasjon får samme siffer 5 en annen verdi i tallene 5, 50 og 500. Dette er en konsekvens av å dekomponere tall i multipler av faktorer b n , der b er grunntallet og n er et hvilket som helst heltall.

Mer intuitivt er de brutt ned i enheter av forskjellige rekkefølger, slik at b enheter av en hvilken som helst rekkefølge er lik en av en umiddelbart høyere orden. Rekkefølgen som fungerer som en guide er selve enheten (b 0 )

Etter konvensjon er sifrene i denne notasjonen skrevet fra venstre til høyre (selv på språk som vanligvis skriver fra høyre til venstre), starter med de høyere ordene og slutter med selve enheten, og markerer mangelen på enheter med en 0 ( null). ). Så i desimalsystem :

$505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$

Hvis det er ordrer som er mindre enn enhet, skriv et komma (, ') eller et punktum på visse språk (.) for å skille dem fra enhetene, og fortsett å skrive fra større til mindre, og avslutter med enheter av mindre rekkefølge.

$542{.}1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}$

Negative tall er merket med et minustegn foran:

$-542{,}1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}$

Hvis det er nødvendig å spesifisere basen, skrives den som et abonnent i parentes (logisk, i desimalbase):

$10_{(5)}=5_{(10)}$

Periodiske tall (som har en gruppe tall som gjentar seg) har uendelig mindre rekkefølger hvis multipler følger et mønster. Denne figurgruppen (kalt en periode) kan skrives én gang og merkes med en bue øverst, eller ved å indikere med en ellipse at tallet fortsetter:

$5{.}0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum-2\geqslant i>-\infty }3 \ cdot 10^{i}...$

mindre strengt:

$5{.}0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3} +3\cdot 10^{-4}...$

I praksis brukes vanligvis denne siste løsningen eller direkte avrunding eller avkorting av tallet.

Konverteringstabell mellom tallgrunnlag

Binær	grunnlag 3	grunnlag 4	grunnleggende 5	grunnleggende 6	grunnleggende 7	okt	grunnleggende 9	des	rot 11	rot 12	rot 13	base 14	base 15	hex
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	to	to	to	to	to	to	to	to	to	to	to	to	to	to
elleve	10	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
100	elleve	10	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
101	12	elleve	10	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
110	tjue	12	elleve	10	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
111	tjueen	1. 3	12	elleve	10	7	7	7	7	7	7	7	7	7
1000	22	tjue	1. 3	12	elleve	10	8	8	8	8	8	8	8	8
1001	100	tjueen	14	1. 3	12	elleve	10	9	9	9	9	9	9	9
1010	101	22	tjue	14	1. 3	12	elleve	10	EN	EN	EN	EN	EN	EN
1011	102	23	tjueen	femten	14	1. 3	12	elleve	10	B.	B.	B.	B.	B.
1100	110	30	22	tjue	femten	14	1. 3	12	elleve	10	C	C	C	C
1101	111	31	23	tjueen	16	femten	14	1. 3	12	elleve	10	D	D	D
1110	112	32	24	22	tjue	16	femten	14	1. 3	12	elleve	10	OG	OG
1111	120	33	30	23	tjueen	17	16	femten	14	1. 3	12	elleve	10	F
10 000	121	100	31	24	22	tjue	17	16	femten	14	1. 3	12	elleve	10

Algoritmer for baseendring

Disse algoritmene er basert på faktoriseringen av b n nevnt ovenfor. For enkelhets skyld gjøres alle beregninger til desimalgrunnlaget, men beregningene vil fungere like bra i alle andre grunntall.

Fra heksadesimalt grunnlag til desimaltall

Bare multipliser hvert siffer med den avhengige potensen, og evaluer deretter resultatet som ved normal telling, på desimalbasis.

${\mbox{5B2,E}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0{.}875]_{(10)}=1458{.}875_{(10)}$

(husk at B (16) = 11 (10) ; E (16) = 14 (10) )

Fra desimaltall til heksadesimaltall

Del tallet med grunntallet til det ikke lenger er mulig. Ved å lese den første kvotienten og restene i omvendt rekkefølge, kan du lese tallet i den utenlandske basen.

{\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16} }\\\;&{\color {Rød}11}&\;\ {\color {Rød}5}\end{matrise}}

5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}

For desimaler trengs mer komplekse algoritmer.

Fordeler med posisjonsnotasjon

Ved hjelp av desimal posisjonsnotasjon kan enhver heltalls numerisk verdi skrives med bare ti forskjellige sifre (så mange som grunntallet indikerer), uansett hvor stort eller lite det måtte være, selv om et nullverdisiffer , null , er avgjørende for å kunne operere enkelt.

Referanser

↑ Ifrah, Geoges (1998): A Universal History of Figures . Espasa Calpe SA IVÁN 84-239-9730-8 (s. 740 og 781)