Ligning

En ligning er en matematisk likhet mellom to uttrykk , kalt medlemmer og atskilt med likhetstegnet , der kjente elementer og ukjente eller ukjente data vises , relatert ved matematiske operasjoner . Kjente verdier kan være tall , koeffisienter eller konstanter ; også variabler eller til og med komplekse objekter som funksjoner eller vektorer, de ukjente elementene kan etableres ved hjelp av andre ligninger i et system, eller en annen ligningsløsningsprosedyre. [ note 1 ] De ukjente, vanligvis representert med bokstaver, utgjør verdiene som skal finnes (i komplekse ligninger, i stedet for numeriske verdier, kan de være elementer i et visst abstrakt sett, som i differensialligninger ). For eksempel i følgende algebraiske ligning :

variabelen representerer det ukjente, mens koeffisienten 3 og tallene 1 og 9 er kjente konstanter. Likheten som fremkommer av en ligning vil være sann eller usann avhengig av de numeriske verdiene som de ukjente tar; det kan da sies at en ligning er en betinget likhet , der bare visse verdier av variablene (ukjente) gjør den sann.

Enhver individuell verdi av disse variablene som tilfredsstiller den kalles en løsning av en ligning. For det gitte tilfellet er løsningen:

I tilfelle at enhver mulig verdi av det ukjente fremtvinger likhet, kalles uttrykket en identitet . Hvis det i stedet for en likhet er en ulikhet mellom to matematiske uttrykk, vil det kalles en ulikhet .

Symbolet "=", som vises i hver ligning, ble oppfunnet i 1557 av Robert Recorde , som mente at det ikke var noe mer likt enn to parallelle rette linjer med lik lengde. [ 1 ]

En ligning skrives som to uttrykk , forbundet med et likhetstegn ("="). [ 2 ]​ [ 3 ]​ [ 4 ]​ Uttrykkene på de to sidene av likhetstegnet kalles "venstre side" og "høyre side" av ligningen. Svært ofte antas høyre side av en ligning å være null. Forutsatt at dette ikke reduserer generaliteten, siden dette kan gjøres ved å trekke fra høyre side fra begge sider.

Den vanligste typen ligning er en polynomligning (ofte også kalt en algebraisk ligning) der begge sider er polynomer. Sidene av en polynomligning inneholder ett eller flere ledd. For eksempel ligningen

har venstre side , som har fire ledd, og høyre side , som består av et enkelt ledd. Variabelnavnene antyder at x og y er ukjente, og at A , B og C er parametere , men dette er normalt fastsatt av konteksten (i noen sammenhenger kan y være en parameter, eller A , B og C kan være ordinære variabler).

En ligning er analog med en skala som vekter plasseres på. Når like vekter av noe (for eksempel korn) plasseres på de to pannene, balanserer de to vektene balansen og sies å være like. Hvis en mengde korn fjernes fra den ene pannen av vekten, må en lik mengde korn fjernes fra den andre pannen for at balansen skal forbli i likevekt. Mer generelt forblir en likning i likevekt hvis den samme operasjonen utføres på begge sider.

I kartesisk geometri brukes likninger for å beskrive geometriske figurer . Siden likningene som oppstår, som de implisitte likningene eller de parametriske likningene , har uendelige løsninger, er målet nå et annet: i stedet for å gi løsningene eksplisitt eller telle dem, noe som er umulig, brukes likningene til å studere egenskapene til figurene . Dette er startideen til algebraisk geometri , et viktig område innen matematikk.

Algebra studerer to store familier av ligninger: polynomligninger og blant dem det spesielle tilfellet med lineære ligninger . Når det bare er én variabel, har polynomlikninger formen P ( x ) = 0, hvor P er et polynom , og lineære ligninger har formen ax  +  b  = 0, hvor a og b er parametere . For å løse ligninger for en av de to familiene, brukes algoritmiske eller geometriske teknikker som kommer fra lineær algebra eller matematisk analyse . Algebra studerer også diofantiske ligninger der koeffisientene og løsningene er heltall . Teknikkene som brukes er forskjellige og kommer fra tallteori . Disse ligningene er generelt vanskelige; ofte søker man bare å finne eksistensen eller fraværet av en løsning og, hvis en eller flere finnes, å finne antall løsninger.

Differensialligninger er ligninger som involverer en eller flere funksjoner og deres deriverte. De løses ved å finne et uttrykk for funksjonen som ikke involverer deriverte. Differensialligninger brukes til å modellere prosesser som involverer endringshastigheter for variabelen, og brukes innen områder som fysikk, kjemi, biologi og økonomi.

Introduksjon

Analoge illustrasjoner

Hver side av ligningen tilsvarer én side av en skala. Forskjellige mengder kan plasseres på hver side: hvis vektene til de to sidene er like, er skalaen balansert, og analogt, likestillingen representert av skalaen er også balansert (hvis ikke, tilsvarer mangelen på balanse en ulikhet representert for en ulikhet ).

I illustrasjonen er x , y og z forskjellige størrelser (i dette tilfellet reelle tall ) representert som sirkulære vekter, og x , y og z har hver forskjellig vekt. Addisjon tilsvarer å legge til vekt, mens subtraksjon tilsvarer å fjerne vekt fra det som allerede er der. Når likestilling gjelder, er den totale vekten på hver side den samme.

Parametre og ukjente

Ligninger inneholder ofte andre ledd enn ukjente. Disse andre begrepene, som antas å være kjent , kalles vanligvis konstanter , koeffisienter eller parametere .

Et eksempel på en ligning som involverer x og y som ukjente og parameteren R er

Når R er valgt til å ha verdien av 2 ( R = 2), vil denne ligningen bli gjenkjent i kartesiske koordinater som ligningen for sirkelen med radius 2 om origo. Derfor er ligningen med R uspesifisert den generelle ligningen for sirkelen.

Vanligvis er ukjente angitt med bokstaver fra slutten av alfabetet, x , y , z , w , ..., [ 2 ]​ mens koeffisienter (parametere) er angitt med bokstaver fra begynnelsen, a , b , c , d , ... . For eksempel skrives den generelle andregradsligningen ofte ax 2  +  bx  +  c  = 0.

Prosessen med å finne løsningene eller, når det gjelder parametere, å uttrykke de ukjente i form av parametere, kalles å løse ligningen . Slike uttrykk for løsningene når det gjelder parametere kalles også løsninger .

Et ligningssystem er et sett med samtidige ligninger , vanligvis i flere ukjente, som det søkes etter vanlige løsninger for. Dermed er en løsning av systemet et sett med verdier for hver av de ukjente som sammen danner en løsning for hver ligning i systemet. For eksempel systemet

har som unik løsning x = -1, y = 1.

Bruk av ligninger

Vitenskapen bruker ligninger til å angi lover nøyaktig; Disse ligningene uttrykker sammenhenger mellom variabler. I fysikk relaterer Newtons dynamikkligning derfor variablene kraft F , akselerasjon a og masse m : F = ma . Verdiene som er løsninger av den forrige ligningen tilfredsstiller Newtons første lov om mekanikk. For eksempel, hvis en masse m = 1 kg og en akselerasjon a = 1 m/s^2 vurderes, er den eneste løsningen av ligningen F = 1 kg m/s^2 = 1 newton , som er den eneste verdien til kraften som er tillatt i denne loven.

Eksempler:

Anvendelsesfeltet for ligningene er enormt, og av denne grunn er det et stort antall forskere dedikert til deres studie.

I følge forfattere som Ian Stewart , "ligger kraften til ligninger (...) i den filosofisk vanskelige samsvar mellom matematikk - en kollektiv skapelse av menneskelige sinn - og en ytre fysisk virkelighet." [ 5 ]

Identiteter

En identitet er et matematisk uttrykk som er sant for alle mulige verdier av variabelen(e) den inneholder. Mange identiteter er kjent i algebra og kalkulus. I prosessen med å løse en ligning, brukes ofte en identitet for å forenkle en ligning, noe som gjør den lettere å løse.

I algebra er et eksempel på en identitet forskjellen på to kvadrater :

som er sant for alle x og y .

Trigonometri er et område hvor det finnes mange identiteter; disse er nyttige for å manipulere eller løse trigonometriske ligninger . To av de mange som involverer sinus- og cosinusfunksjonene er:

Y

som begge er sanne for alle verdier av θ .

For å løse for eksempel verdien av θ som tilfredsstiller ligningen:

der θ er begrenset til mellom 0 og 45 grader, kan identiteten ovenfor for produktet brukes til å gi:

gir følgende løsning for ' θ:

Siden sinusfunksjonen er en periodisk funksjon , finnes det uendelig mange løsninger dersom det ikke er begrensninger på θ . I dette eksemplet vil det å begrense θ til å være mellom 0 og 45 grader begrense løsningen til et enkelt tall.

Historikk

Antikken

Allerede på [[1500  -tallet  f.Kr. C., egypterne løste daglige problemer som hadde å gjøre med fordeling av mat, avlinger og materialer som tilsvarte å løse enkle algebraiske ligninger av første grad; Siden algebraisk notasjon ikke eksisterte, brukte de en omtrentlig iterativ metode, kalt "falsk posisjonsmetode ".

Kinesiske matematikere i begynnelsen av vår tidsregning skrev boken The Nine Chapters on the Mathematical Art , der de skisserte ulike metoder for å løse algebraiske ligninger av første og andre grad, samt systemer av to ligninger med to ukjente.

Den greske matematikeren Diophantus av Alexandria publiserte sin Arithmetica i det 3. århundre  som omhandlet ligninger av første og andre grad ; han var en av de første som brukte symboler for å representere ligninger. Han satte også ligninger med heltallsløsninger, kalt diofantiske ligninger til hans ære . [ 6 ]

15. – 16. århundre

I moderne tid opplevde studiet av algebraiske ligninger et stort løft. I det femtende  århundre var offentlige matematiske utfordringer dagens orden, med premier til vinneren; dermed en berømt utfordring konfrontert to matematikere for å løse ligninger av tredje grad, vinneren var Niccolò Fontana Tartaglia , en ekspert algebraist .

Mot midten av 1500  -tallet oppdaget de italienske matematikerne Girolamo Cardano og Rafael Bombelli at for å kunne løse alle ligningene i andre, tredje og fjerde grad, var bruken av imaginære tall avgjørende. Cardano, en solid fiende av Tartaglia, fant også metoder for å løse andregradsligninger.

I samme århundre populariserte den franske matematikeren René Descartes moderne algebraisk notasjon , der konstanter er representert av de første bokstavene i alfabetet, a , b , c , ... og variabler eller ukjente med de siste, x , y , z .

På dette tidspunktet er det oppgitt problemer med ligninger som bare er løst for øyeblikket, noen nylig; blant dem Fermats siste teorem , en av de mest kjente teoremene i matematikk, som ikke ble bevist før i 1995 av Andrew Wiles og Richard Taylor .

17. – 18. århundre

På 1600  -tallet publiserte Isaac Newton og Gottfried Leibniz de første metodene for å løse differensialligningene som dukker opp i dynamikkproblemer . Sannsynligvis den første boken om disse ligningene var On the Constructions of Differential Equations of the First Degree , av Gabriele Manfredi (1707). I løpet av 1700  -tallet ble resultater om vanlige differensialligninger og partielle differensialligninger publisert av berømte matematikere som Leonhard Euler , Daniel Bernoulli , Joseph-Louis Lagrange og Pierre Simon Laplace .

Moderne tider

Til tross for alle anstrengelser fra tidligere tider, motsto de algebraiske ligningene av femte grad og overordnede å bli løst; det ble bare oppnådd i spesielle tilfeller, men ingen generell løsning ble funnet. På begynnelsen av 1800-  tallet viste Niels Henrik Abel at det finnes uløselige ligninger; spesielt viste han at det ikke er noen generell formel for å løse den kvadratiske ligningen ; umiddelbart etterpå demonstrerte Évariste Galois , ved å bruke sin teori om grupper , at det samme kan bekreftes for enhver gradslikning lik eller større enn fem.

I løpet av 1800  -tallet brukte de fysiske vitenskapene, i sin formulering, differensialligninger i partielle derivater og/eller integralligninger , som tilfellet er med James Clerk Maxwells elektrodynamikk , Hamilton-mekanikk eller fluidmekanikk . Den vanlige bruken av disse ligningene og løsningsmetodene førte til etableringen av en ny spesialitet, matematisk fysikk .

Allerede på 1900  -tallet fortsatte matematisk fysikk å utvide sitt virkefelt; Erwin Schrödinger , Wolfgang Ernst Pauli og Paul Dirac formulerte differensialligninger med komplekse funksjoner for kvantemekanikk . Albert Einstein brukte tensorligninger for sin generelle relativitetsteori . Differensialligninger har også et bredt anvendelsesområde i økonomisk teori .

Fordi de fleste ligninger man møter i praksis er svært vanskelige eller til og med umulige å løse analytisk, er det vanlig å bruke numeriske metoder for å finne omtrentlige røtter. Utviklingen av informatikk gjør det nå mulig å løse ligninger med tusenvis og til og med millioner av variabler på rimelig tid ved hjelp av numeriske algoritmer .

Generell definisjon

Gitt en funksjon f  :  A  →  B og a b i B , det vil si et element av codomene til f .

likestilling _

er en ligning .

Et eksempel på en ligning er følgende, tar

vi har ligningen med naturlig variabel

Studiet av ligningene avhenger av egenskapene til settene og applikasjonen; for eksempel, når det gjelder differensialligninger, er elementene i settet A funksjoner og kartet f må inkludere noen av de deriverte av argumentet. I matriseligninger er det ukjente en matrise.

Den gitte definisjonen inkluderer likheter av formen g ( x ) = h ( x ) . Hvis " + " angir summen av funksjoner, så er (B, +) en gruppe . Det er tilstrekkelig å definere kartet f ( x ) = g ( x ) + ( – h ( x ) ) , med – h inversen av h med hensyn til summen, for å transformere likheten til en ligning f ( x ) = 0 med b  = 0.

Løsningssett

Gitt likningen f ( x ) = b , er løsningssettet til likningen gitt ved S = f –1 ( b ) , der f –1 er det inverse bildet av f . Hvis S er den tomme mengden, er ikke ligningen løsbar; hvis den bare har ett element, vil ligningen ha en unik løsning; og hvis S har mer enn ett element, vil alle være løsninger av ligningen.

I teorien om differensialligninger handler det ikke bare om å finne ut det eksplisitte uttrykket til løsningene, men om å avgjøre om en gitt ligning har en løsning og om den er unik. En av de vanligste metodene for å bevise at en løsning eksisterer, er å utnytte det faktum at settet A har en viss topologi . Han er ikke den eneste: I virkelige ligningssystemer brukes algebraiske teknikker for å finne ut om disse systemene har en løsning. Imidlertid mangler algebra ressursene for å sikre eksistensen av løsninger i algebraiske ligninger: for å sikre at enhver algebraisk ligning med komplekse koeffisienter har en løsning, må man ty til kompleks analyse [ 7 ] og derfor til topologien.

Et annet tilfelle der eksistensen og unikheten til løsninger undersøkes er i systemer med lineære ligninger , hvor det er mulig å karakterisere løsningssettet gjennom Rouché-Frobenius-teoremet .

Typer av ligninger

Ligninger er vanligvis klassifisert i henhold til typen operasjoner som er nødvendige for å definere dem og i henhold til settet med tall som løsningen søkes på. Blant de vanligste typene er og presise er

En diofantligning er en hvis løsning bare kan være et heltall, det vil si i dette tilfellet A ⊆ ℤ .

En funksjonell ligning er en der noen av konstantene og variablene som er involvert egentlig ikke er tall, men funksjoner; og hvis en differensialoperator vises i ligningen, kalles den en differensialligning .

Når A er et felt og f et polynom, har vi en polynomalgebraisk ligning .

I et system med lineære ligninger er mengden A et sett med reelle vektorer, og funksjonen f er en lineær operator .

Egenskaper

To ligninger eller ligningssystemer er ekvivalente hvis de har samme sett med løsninger. Følgende operasjoner transformerer en ligning eller et system av ligninger til et ekvivalent, forutsatt at operasjonene gir mening for uttrykkene de brukes på:

Hvis en funksjon brukes på begge sider av en ligning, har den resulterende ligningen løsningene til den opprinnelige ligningen blant løsningene, men den kan ha flere løsninger kalt en ekstern løsning . For eksempel har ligningen løsningen Hvis du hever begge sider til eksponenten 2 (som betyr å bruke funksjonen på begge sider av ligningen), endres ligningen til , som ikke bare har den forrige løsningen, men også introduserer den fremmede løsningen Dessuten , hvis funksjonen ikke er definert ved noen verdier (som 1/ x , som ikke er definert for x = 0), kan eksisterende løsninger for disse verdiene gå tapt. Derfor må man være forsiktig når man anvender en slik transformasjon på en ligning.

Transformasjonene ovenfor er grunnlaget for de fleste elementære metoder for ligningsløsning , så vel som noen mindre elementære, for eksempel Gaussisk eliminering .

Det grunnleggende aksiomet til ligningene er:

Hver ligning omdannes til en ekvivalent når like elementære operasjoner utføres på begge medlemmene.

Elementære operasjoner er de som bevarer en matematisk likhet . Enkle eksempler på elementære operasjoner er addisjon, multiplikasjon og deres respektive invers, subtraksjon og divisjon. Dette innebærer:

To andre operasjoner respekterer likestilling, men kan endre løsningssettet:

Generelt, hvis injeksjonsfunksjoner brukes på begge medlemmene, gjelder likhet.

I tillegg er en likhet en ekvivalensrelasjon , [ 8 ]​ som følgende egenskaper er oppfylt.

Eksempler: 14 = 14 , x + 8 = x + 8

Eksempler: Hvis x = 5 , så er 5 = x . Hvis y = 2 + x , så er 2 + x = y .

Eksempler: Hvis x = a , og a = 8 b , så er x = 8 b . Hvis xy = 8z , og 8z = 32 , så er xy = 32 .

Løse ligninger

Å løse en ligning er å finne løsningsdomenet , som er settet med verdier av de ukjente som likhet gjelder.

Matematiske problemer kan vanligvis uttrykkes i form av en eller flere ligninger; [ referanse nødvendig ] men ikke alle ligninger har en løsning, siden det er mulig at det ikke er noen verdi av det ukjente som gjør en gitt likhet sann. I så fall vil løsningssettet til ligningen være tomt og ligningen sies å være uløselig. På samme måte kan den ha en enkelt verdi, eller flere, eller til og med uendelige verdier, hver av dem er en spesiell løsning av ligningen.

Hvis en verdi av det ukjente fremtvinger likheten (det vil si at det ikke er noen verdi som den ikke gjelder), er ligningen faktisk en identitet . [ note 2 ]

Algebraiske ligninger

En algebraisk ligning er en som bare inneholder algebraiske uttrykk , for eksempel polynomer , rasjonelle uttrykk , radikaler og andre. For eksempel:

Definisjon

En algebraisk ligning med en ukjent kalles ligningen som reduserer til følgende:

hvor n er et positivt heltall; α 0 , α 1 , α 2 , ..., α n – 1 , α n kalles koeffisienter eller parametere for ligningen og tas som gitt; x er navngitt ukjent og verdien søkes etter. Det positive tallet n kalles graden av ligningen [ 9 ]​ For å definere et algebraisk tall, betraktes rasjonelle tall som koeffisienter.

Kanonisk form

Ved å utføre samme serie transformasjoner på begge sider av en ligning, kan en av dem reduseres til null. Hvis leddene i tillegg er ordnet etter eksponentene som de ukjente er hevet til, fra høyeste til laveste, får man et uttrykk som kalles den kanoniske formen til ligningen. Polynomlikninger studeres ofte fra deres kanoniske form, det vil si den hvis første medlem er et polynom og hvis andre medlem er null.

I det gitte eksemplet, legger vi til 2 xy og trekker fra 5 på begge sider, og deretter omorganiserer, får vi:

Grad

Graden av en polynomligning er den høyeste eksponenten som de ukjente heves til. For eksempel

Det er en tredjegradsligning fordi variabelen x er kubert i de største tilfellene.

Polynomligninger av grad n av en enkelt variabel over reelle eller komplekse tall kan løses ved metoden for radikaler når n < 5 (siden i de tilfellene Galois-gruppen assosiert med røttene til ligningen er løsbar ). Løsningen av andregradsligningen har vært kjent siden antikken; tredje og fjerde grads ligninger har vært kjent siden 1400- og 1500-tallet , og bruker metoden til radikaler. Løsningen av den kvadratiske ligningen kan ikke oppnås ved metoden til radikaler, selv om den kan skrives i form av Jacobi theta-funksjonen .

Førstegradsligning

En algebraisk ligning sies å være av første grad når det ukjente (her representert ved bokstaven x ) heves til potensen 1 (grad = 1), det vil si at eksponenten er 1.

Førstegradsligningene har den kanoniske formen:

hvor a og b er i et numerisk sett ( ℚ , ℝ ) med en ikke- null.

Løsningen hans er enkel: . Det krever oppløsning, eksistensen av multiplikative inverser .

Andregradsligning

Andregrads polynomlikninger har den kanoniske formen:

Der a er koeffisienten til kvadratleddet (den der det ukjente er hevet til potensen 2), er b koeffisienten til det lineære leddet (den med det ukjente uten eksponenter, det vil si at den heves til potensen 1) og c er det uavhengige leddet (den som ikke er avhengig av variabelen, det vil si at den bare er sammensatt av konstanter eller tall).

Når denne ligningen heves over ℂ , er det alltid to løsninger, beregnet med Eulers metode :

Det er klart at betingelsen for at ligningen skal ha en løsning over de reelle tallene ℝ krever at b 2 ≥ 4 ac og at den har løsninger over de rasjonelle tallene ℚ b 2 – 4 ac må være kvadratet av et heltall.

Polynomligninger

Generelt er en algebraisk ligning eller polynomligning en ligning av formen:

, enten [ 10 ]

hvor P og Q er polynomer med koeffisienter i et eller annet felt (f.eks . rasjonelle tall , reelle tall , komplekse tall ). En algebraisk ligning er univariat hvis den bare involverer én variabel . På den annen side kan en polynomligning involvere flere variabler, i så fall kalles den multivariat (flere variabler, x, y, z osv.). Begrepet polynomligning er vanligvis foretrukket fremfor algebraisk ligning .

er en univariat (polynomisk) algebraisk ligning med heltallskoeffisienter og

er en multivariat polynomligning over de rasjonelle tallene.

Noen (men ikke alle) polynomligninger med rasjonelle koeffisienter har en løsning som er et algebraisk uttrykk , med et begrenset antall operasjoner som bare involverer disse koeffisientene (det vil si at det kan løses algebraisk ). Dette kan gjøres for alle ligningene av grad én, to, tre eller fire; men for ligninger av grad fem eller mer, kan det løses for noen ligninger, men som Abel-Ruffini-teoremet viser , ikke for alle.

Mye forskning har blitt viet til effektivt å beregne nøyaktige tilnærminger av de reelle eller komplekse løsningene til en univariat algebraisk ligning (se Numerisk løsning av ikke-lineære ligninger ) og av de vanlige løsningene til flere multivariate polynomlikninger (se System of algebraic equations ).

Differensial- og integralligninger

En differensialligning er en matematisk ligning som relaterer en funksjon til dens deriverte . I applikasjoner representerer funksjoner ofte fysiske mengder, derivater representerer deres endringshastigheter, og ligningen definerer et forhold mellom de to. Fordi slike forhold er ekstremt vanlige, spiller differensialligninger en fremtredende rolle i mange disipliner, inkludert fysikk , ingeniørfag , økonomi og biologi .

I ren matematikk studeres differensialligninger fra forskjellige synsvinkler, for det meste i forhold til deres løsninger, settet med funksjoner som tilfredsstiller ligningen. Bare de enkleste differensialligningene kan løses med eksplisitte formler; noen egenskaper til løsningene til en gitt differensialligning kan imidlertid bestemmes uten å finne dens eksakte form.

Hvis en selvstendig formel for løsningen ikke er tilgjengelig, kan den beregnes numerisk ved hjelp av datamaskiner. Dynamisk systemteori legger vekt på kvalitativ analyse av systemer beskrevet av differensialligninger, mens det er utviklet mange numeriske metoder for å bestemme løsningene med en viss grad av presisjon.

Både i matematikk og i fysikk og andre anvendte vitenskaper brukes ofte ikke-algebraiske ligninger, der de ukjente ikke bare er numeriske verdier, men funksjoner. For eksempel kan banen til en lett partikkel i gravitasjonsfeltet til en stjerne finnes omtrentlig ved å se etter løsningen av en differensialligning av typen:

hvor er posisjonsvektoren til partikkelen som tar opprinnelsen til koordinatene i stjernen, M er massen til solen og G konstanten for universell gravitasjon .

I ligninger danner settet med løsninger et visst rom med funksjoner , slik at alle tilfredsstiller ligningen. Hvis løsningssettet kan spesifiseres av et begrenset antall startbetingelser, så er det rommet lokalt en endelig dimensjonal differensierbar manifold, noe som ofte er tilfellet med vanlige differensialligninger. I partielle differensialligninger kan ofte settet med mulige løsninger med forskjellige grensebetingelser danne et ikke-endelig dimensjonalt rom.

Vanlige differensialligninger

En vanlig differensialligning eller ODE' er en ligning som inneholder en funksjon av en uavhengig variabel og dens deriverte. Begrepet ordinær brukes i motsetning til begrepet partiell differensialligning , som kan være med hensyn til mer enn én uavhengig variabel.

Lineære differensialligninger, som har løsninger som kan adderes og multipliseres med koeffisienter, er godt definert og forstått, og eksakte løsninger oppnås i lukket form. Tvert imot er ODE-er som mangler additive løsninger ikke-lineære, og oppløsningen deres er mye mer komplisert, siden de sjelden kan representeres av elementære funksjoner i lukket form: I stedet er de eksakte og analytiske løsningene til ODE-er i serie- eller integralform. Grafiske og numeriske metoder , brukt for hånd eller med datamaskin, kan tilnærme løsningene til ODE-ene og kanskje gi nyttig informasjon, ofte tilstrekkelig i fravær av eksakte og analytiske løsninger.

Partielle differensialligninger

En partiell differensialligning ( PDE ) er en differensialligning som inneholder multivariable ukjente funksjoner og deres partielle deriverte . (Dette er i motsetning til vanlige differensialligninger , som omhandler funksjoner til en enkelt variabel og deres deriverte.) PDE-er brukes til å formulere problemer som involverer funksjoner til flere variabler, og løses enten for hånd eller brukes til å lage en relevant datamodell .

PDE-er kan brukes til å beskrive et bredt spekter av fenomener som lyd , varme , elektrostatikk , elektrodynamikk , væskestrøm , elastisitet eller kvantemekanikk . Disse tilsynelatende distinkte fysiske fenomenene kan formaliseres på samme måte når det gjelder PDE-er. Akkurat som vanlige differensialligninger typisk modellerer endimensjonale dynamiske systemer , modellerer partielle differensialligninger typisk flerdimensjonale systemer . PDE-er finner sin generalisering i stokastiske partielle differensialligninger .

Ligninger i geometri

Analytisk geometri

I euklidisk geometri er det mulig å knytte et sett med koordinater til hvert punkt i rommet, for eksempel ved hjelp av et ortogonalt rutenett. Denne metoden gjør det mulig å karakterisere de geometriske figurene ved hjelp av ligninger. Et plan i tredimensjonalt rom kan uttrykkes som et sett med løsninger av en ligning av formen , hvor og er reelle tall og er de ukjente som tilsvarer koordinatene til et punkt i systemet gitt av det ortogonale gitteret. Verdiene er koordinatene til en vektor vinkelrett på planet definert av ligningen. En linje uttrykkes som skjæringspunktet mellom to plan, det vil si som løsningssettet til en enkelt lineær ligning med verdier i eller som løsningssettet av to lineære ligninger med verdier i

Et kjeglesnitt er skjæringspunktet mellom en kjegle med ligning og et plan. Med andre ord, i rommet er alle kjegler definert som løsningssettet av en likning av et plan og av likningen til en nettopp gitt kjegle. Denne formalismen lar oss bestemme posisjonene og egenskapene til fociene til en kjegle.

Bruken av ligningene gjør det mulig å ty til et bredt felt av matematikk for å løse geometriske spørsmål. Det kartesiske koordinatsystemet transformerer et geometrisk problem til et analyseproblem, når figurene er transformert til ligninger; derav navnet analytisk geometri . Dette synspunktet, skissert av Descartes , beriker og modifiserer typen geometri unnfanget av de gamle greske matematikerne.

Foreløpig betegner analytisk geometri en aktiv gren av matematikk. Selv om han fortsatt bruker ligninger for å karakterisere figurer, bruker han også andre sofistikerte teknikker som funksjonell analyse og lineær algebra .

Kartesiske ligninger

Et kartesisk koordinatsystem er et koordinatsystem som spesifiserer hvert unikt formet punkt i et plan med et par numeriske eller koordinater , som er avstandene fra punktet til to rettede vinkelrette faste linjer, som er plottet med samme lengdeenhet .

Det samme prinsippet kan brukes til å spesifisere posisjonen til ethvert punkt i tredimensjonalt rom ved å bruke tre kartesiske koordinater, som er de signerte avstandene til tre innbyrdes vinkelrette plan (eller tilsvarende ved deres vinkelrette projeksjon på tre linjer). ).

Oppfinnelsen av kartesiske koordinater på 1600  -tallet av René Descartes ( latinisert navn : Cartesius ) revolusjonerte matematikken ved å gi den første systematiske koblingen mellom euklidisk geometri og algebra . Ved å bruke det kartesiske koordinatsystemet kan geometriske former (som kurver ) beskrives med kartesiske ligninger: algebraiske ligninger som involverer koordinatene til punkter som ligger på formen. For eksempel kan en sirkel med radius 2 i et plan, sentrert ved et bestemt punkt kalt origo, beskrives som settet av alle punkter hvis x- og y -koordinater tilfredsstiller ligningen x 2 + y 2 = 4 .

Parametriske ligninger

En parametrisk ligning for en kurve uttrykker koordinatene til punktene på kurven som funksjoner av én variabel , kalt en parameter . [ 11 ]​ [ 12 ]

er parametriske ligninger for enhetssirkelen , der t er parameteren. Samlet kalles disse ligningene en parametrisk representasjon av kurven.

Forestillingen om en parametrisk ligning har blitt generalisert til overflater , manifolder og høyere dimensjonale algebraiske manifolder , hvor antall parametere er lik dimensjonen til manifolden eller manifolden, og antall ligninger lik dimensjonen til rommet der det regnes som manifolden eller manifolden (for kurver er dimensjonen én og én parameter brukes, for flater er dimensjonen to og to parametere osv.).

Eksempler på ligninger

Se også

Notater

  1. ↑ Noen ganger kan det hende at noen av dataene i ligningen ikke har en unik verdi, og likevel fortsetter å være kjent , enten fordi de er en del av et begrenset sett med verdier (for eksempel en tabell) eller fordi det er en inngang data til valg. Nevnte verdi, som selv om den er variabel ikke er en ukjent størrelse, men et datum, kan til slutt vises som en del av løsningen. Så da, akkurat som x = 3π kan være en mulig løsning på en ligning (der π er et tall), så kan x = 3h hvor h er variabeldata.
  2. ↑ Identitetene regnes ikke som ligninger, siden løsningsbegrepet ikke passer inn i dem.
  3. ↑ Eksempler hentet fra: Stewart, I. (2015). 17 ligninger som forandret verden . 432 sider Mexico: Paidós Cultural Editions. ISBN 9786078406708

Referanser

  1. ^ a b Recorde, Robert (1557). The Whetstone of Witte . 
  2. ^ a b "Kompendium av matematiske symboler" . Math Vault (på amerikansk engelsk) . 1. mars 2020 . Hentet 1. september 2020 . 
  3. ^ "Equation - Math Open Reference" . www.mathopenref.com . Hentet 1. september 2020 . 
  4. ^ "Ligninger og formler" . www.mathsisfun.com . Hentet 1. september 2020 . 
  5. ^ Valek, G. (2016, januar). Gjennomgang av 17 ligninger som forandret verden , av Ian Stewart, utgitt av Ediciones Culturales Paidós, Mexico, 2015. I delen "Hva skal du lese?", Hvordan ser du? , vitenskapelig formidlingsmagasin ved National Autonomous University of Mexico. År 18, nr. 206, s. 38. Mexico: Generaldirektoratet for formidling av vitenskap. ISSN 1870-3186
  6. ↑ Litt av historien til algebra , Red Escolar, Mexico, 2008.
  7. ↑ Derrick, William. (1984). Kompleks variabel med applikasjoner (2. utgave). Colombia: Latin-Amerika. s. 88 . ISBN  968-7270-35-7 . Hentet 23. juli 2015 . 
  8. ↑ Selzer, Samuel (15. september 1970). Algebra og analytisk geometri (2. utgave). Buenos Aires: Nigar. s. to. 
  9. ↑ Manual of mathematics (1985). Tsipkin, Mir Publishing House, Moskva; Shapovalova oversettelse; s. 150.
  10. ↑ Siden en slik ligning kan skrives om P - Q = 0 , vurderer mange forfattere ikke denne saken eksplisitt.
  11. ↑ Thomas, George B. og Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry , Addison Wesley Publishing Co., femte utgave, 1979, s. 91.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. "Parametriske ligninger." Fra MathWorld - En Wolfram-nettressurs. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

Eksterne lenker