Elementær algebra

Elementær algebra inkluderer de grunnleggende begrepene i algebra , som er en av hovedgrenene i matematikken . Mens det i aritmetikk bare forekommer tall og deres elementære aritmetiske operasjoner (som +, –, ×, ÷), brukes symboler også i algebra for å betegne tall (som "x", "y", "a", "b » ). Disse kalles variabler , ukjente , koeffisienter , indekser eller rot , alt ettersom. Begrepet elementær algebra brukes for å skille dette feltet fra abstrakt algebra , den delen av matematikken som studerer algebraiske strukturer .

Ovennevnte er nyttig fordi:

lar generaliseringen av aritmetiske ligninger (og av ulikheter ) angis som lover (for eksempel for alle og ), og er dermed det første skrittet mot en systematisk studie av egenskapene til det reelle tallsystemet ; $\,a+b=b+a$ $\,a$ $\b$
tillater referanse til tall som ikke er kjent; i sammenheng med et problem, kan en variabel representere en verdi som ennå ikke er kjent, men som kan finnes ved å formulere og manipulere ligningene; og
tillater utforskning av matematiske sammenhenger mellom mengder (f.eks. "hvis du selger x billetter, vil fortjenesten din være 3x - $10").

Disse tre er hovedtrådene i elementær algebra, for å skilles fra abstrakt algebra , et mer avansert fag som vanligvis undervises til studenter.

I elementær algebra kan et uttrykk inneholde tall, variabler og aritmetiske operasjoner. Etter konvensjon er disse vanligvis skrevet med begrepene med høyere eksponenter til venstre (se polynom ); noen eksempler er:

x+3\,

y^{2}+2x-3\,

z^{7}+a\cdot (b+x^{3})+{\frac {42}{y}}-\pi .\,

I mer avansert algebra kan et uttrykk også inkludere elementære funksjoner .

En ligning er påstanden om at to uttrykk er like. Noen ligninger er sanne for alle verdier av de involverte variablene (for eksempel ); slike ligninger kalles identiteter . Betingede ligninger er sanne for bare noen verdier av de involverte variablene: . Verdiene til variablene som gjør ligningen sann kalles løsningene til ligningen. $\,a+b=b+a$ $\,x^{2}-1=3$

Algebraiske tegn

Tegn på operasjon

Som i aritmetikk bruker algebra operasjonene addisjon , subtraksjon , multiplikasjon og divisjon . I tillegg er det operasjoner for empowerment , arkivering og logaritmer .

Tegn på operasjon er:

tillegg: + :

a+b\;

subtraksjon: – :

ab\;

multiplikasjon: × :

a\times b\;;\quad a\cdot b\;;\quad a\;b

divisjon: ÷ :

a/b\;;\quad a:b\;;\quad a\div b\;\quad {\cfrac {a}{b}}

potens: er et lite tall eller bokstav som vises over og til høyre for en mengde:

a^{b}\;;\quad e^{a}=\exp a

innlevering:

{\sqrt {a}}\;;\quad {\sqrt[{b}]{a}}

logaritmer:

\ln a\;;\quad \lg a\;;\quad \log a\;;\quad \log​b}a

datamaskinskriving

Windows	–	Alt + 0 1 5 0 (fra tallblokken)
Windows	×	Alt + 1 5 8 (fra tallblokken)
Windows	÷	Alt + 2 4 6 (fra tallblokken)

Relasjonstegn

De indikerer forholdet mellom to uttrykk. Tegnene på forholdet er:

mindre enn: <
større enn: >
lik: =
forskjellig fra: ≠
mindre enn eller lik: ≤
større enn eller lik: ≥

Gruppering av tegn

Grupperingsskilt brukes til å endre prioritert rekkefølge for operasjoner. Operasjonene som er angitt i dem, må utføres først og må ivareta operasjonsrekkefølgen, så vel som de som er angitt utenfor dem .

Grupperingsskiltene er:

( ) → parenteser eller vanlige parenteser
[ ] → parenteser eller vinkelparenteser eller rektangelparenteser
{ } → klammeparenteser
| | → lenker eller søyler

Grupperingsskiltene har sin hierarkiske rekkefølge for å utføre operasjonen. Rekkefølgen på operasjonene er som følger:

Hvis det ikke er noe grupperingsskilt, beholder operasjonene sin operasjonsrekkefølge .
Hvis det er parenteser, må operasjonene innenfor parentes utføres først, og deretter operasjonene uten parentes.
Hvis det er parentes, må operasjonene innenfor parentes utføres først, deretter operasjonene innenfor parentes, og deretter operasjonene uten parentes og uten parentes.
Hvis det er klammeparenteser må operasjonene inne i klammeparentesene utføres først, deretter operasjonene innenfor klammeparentesene, deretter operasjonene innenfor parentesen, og deretter operasjonene som er uten klammeparenteser og uten klammeparenteser og uten parentes.
Hvis det er skråstreker, må operasjonene innenfor skråstrekene utføres først, deretter operasjonene innenfor klammeparentesene, deretter operasjonene innenfor parentesen, deretter operasjonene innenfor parentesen, og deretter operasjonene som er uten skråstreker og uten klammeparenteser og ingen parentes og ingen parentes.

Grupperingstegn kan også gå innenfor andre grupperingstegn, og i dette tilfellet respekteres også den hierarkiske rekkefølgen: parenteser går innenfor parentes, parentes går innenfor klammeparenteser, og klammeparenteser går innenfor skråstreker.

( )
[ ( ) ]
{ [ ( ) ] }
{ [ ( ) ] }

datamaskinskriving

Windows	[	Alt + 9 1 (fra tallblokken)
Windows	]	Alt + 9 3 (fra tallblokken)
Windows	{	Alt + 1 2 3 (fra tallblokken)
Windows	}	Alt + 1 2 5 (fra tallblokken)
Windows	\|	Alt + 1 2 4 (fra tallblokken)

Hvis et tall følger etter et tall innenfor et grupperingstegn, forstås det at det er en multiplikasjon.

3 (5) = 3 × 5
6 [9] = 6 × 9
7 {4} = 7 × 4
8 |2| = 8 × 2

Multiplikasjonen kan også skje hvis det er et punkt (ikke å forveksle med desimaltegnet, som i likhet med desimaltegnet er et desimaltegn ). Det brukes mest til å multiplisere monomer med en variabel.

4 3 = 4 × 3
4 3 ≠ 4.3
4,3 = 4,3
x x² = x³

datamaskinskriving

Windows	·	Alt + 2 5 0 (fra tallblokken)

Multiplikasjonssammendrag:

3 × 2 = 3 (2) = 3 [2] = 3 {2} = 3 |2| = 3 2

Algebraiske uttrykk

Term

Et begrep er et elementært algebraisk uttrykk der bare multiplikasjons- og divisjonsoperasjoner av tall og bokstaver finnes. Tallet kalles koeffisienten og bokstavene utgjør den bokstavelige delen. Både tallet og hver bokstav kan heves til en potens . I et algebraisk uttrykk med flere ledd er disse atskilt med addisjons- og subtraksjonstegn.

Uavhengig term

Den uavhengige termen er den som kun består av en tallverdi og ikke har noen bokstavelig del.

Lik vilkår

Lignende termer er de som har nøyaktig den samme bokstavelige delen (med de samme bokstavene hevet til de samme eksponentene), og varierer bare i koeffisienten. Du kan bare legge til og trekke fra lignende termer. Du kan ikke legge til og trekke fra termer som ikke er like; du kan imidlertid multiplisere og dividere alle slags ledd. Hvis det er flere like termer i et algebraisk uttrykk, kan de forenkles ved å legge til eller trekke dem fra.

Et polynom er et algebraisk uttrykk der bare operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon er involvert, samt positive heltallseksponenter. [ 1 ] Når polynomet består av ett, to eller tre ledd, kalles det henholdsvis et monomial , binomial eller trinomial . Generelt uttrykkes et polynom P i variabelen x som:

P(x)_{}^{}=

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.

Numerisk verdi av et polynom

Det er verdien som oppnås ved å erstatte bokstavene med numeriske verdier og deretter utføre operasjonene til polynomet.

Lover for elementær algebra

Operasjonsegenskaper

Addisjonsoperasjonen ( +)
- er skrevet $\,a+b$
- er kommutativ : $\,a+b=b+a$
- er assosiativ : $\,(a+b)+c=a+(b+c)$
- har en invers operasjon kalt subtraksjon : , som er lik å legge til et negativt tall , $\,(a+b)-b=a$ $\,ab=a+(-b)$
- har et nøytralt element 0 som ikke endrer summen: $\,a+0=a$

Operasjonen av multiplikasjon (×)
- er skrevet eller $\,(a\ ganger b)$ $\,(a\cdot b)$
- er kommutativ: = $\,(a\cdot b)$ $\,(b\cdot a)$
- er assosiativ: $\,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
- er forkortet ved sidestilling: $a\cdot b\equiv ab$
- har en invers operasjon , for andre tall enn null , kalt divisjon : , som er lik å multiplisere med det resiproke , ${\frac {(ab)}{b}}=a$ ${\frac {a}{b}}=a\left({\frac {1}{b}}\right)$
- har et nøytralt element 1 som ikke endrer multiplikasjon: $a\times 1=a$
- er distributiv med hensyn til tillegg: $\,(a+b)\cdot c=ac+bc$

Boost- operasjonen
- er skrevet $\,a^{b}$
- er en gjentatt multiplikasjon: (
n ganger) $a^{n}=a\times a\times \ldots \times a$
har en invers operasjon, kalt logaritme : $\,a^{log_{a}b}=b=log_{a}a^{b}$
kan skrives i form av den n-te roten: og derfor eksisterer ikke selv røtter av negative tall i systemet med reelle tall. (Se: komplekst tallsystem ) $\ a^{m/n}\equiv ({\sqrt[{n}]{a^{m}}})$
er distributiv med hensyn til multiplikasjon: $\,(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}$
har eiendommen: $\ {a^{b}}\cdot {a^{c}}=a^{b+c}$
har egenskapen: [ 2 ] $\,(a^{b})^{c}=a^{bc}$
er verken kommutativ eller assosiativ: generelt og $\,a^{b}\neq b^{a}$ $\,(a^{b})^{c}\neq a^{(b^{c})}$

Rekkefølge for operasjoner

For å fullføre verdien av et uttrykk, er det nødvendig å beregne deler av det i en bestemt rekkefølge, kjent som rekkefølgen av prioritet eller prioritetsrekkefølgen for operasjoner. Verdiene av uttrykk innesluttet i grupperingstegn (parenteser, parenteser, klammeparenteser) beregnes først, deretter multiplikasjoner og divisjoner, og til slutt addisjoner og subtraksjoner.

Lover om likhet

Likhetsrelasjonen ( =) har følgende egenskaper:

ja og da og $\, a = b$ $\, c = d$ $\, a + c = b + d$ $\, ac = bd$
ja da $\,a = b$ $\, a + c = b + c$
hvis to symboler er like, kan det ene erstattes med det andre.
regularitet av addisjon: arbeider med reelle eller komplekse tall hender det at hvis da . $\, a + c = b + c$ $\, a = b$
betinget regularitet av multiplikasjon: hvis y ikke er null, så . $\, a \cdot c = b \cdot c$ $\,c$ $\, a = b$

Lover om ulikhet

Ulikhetsrelasjonen ( < ) har følgende egenskaper:

transitivitet: hvis og da $\,a<b$ $\,b<c$ $\,a<c$
ja og da $\,a<b$ $\,c<d$ $\,a+c<b+d$
ja og da $\,a<b$ $\,c>0$ $\,ac<bc$
ja og da $\,a<b$ $\,c<0$ $\,bc<ac$

Tegnregel

I produktet og i kvotienten av positive (+) og negative (-) tall er følgende regler oppfylt:

${\begin{cases}+\cdot -=-\\+\cdot +=+\\-\cdot -=+\\-\cdot +=-\end{cases}}$

Se også

nummer linje

Referanser

↑ Polynomial , "Mathwords"-side (på engelsk).
↑ Mirsky, Lawrence, 1990, s.72-3

Bibliografi

Leonhard Euler , Elements of Algebra , 1770. Engelsk oversettelse Tarquin Press , 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , også online digitaliserte utgaver [1] 2006, [2] 1822.
Mirsky, Lawrence (1990): An Introduction to Linear Algebra , Library of Congress. s.72-3. ISBN 0-486-66434-1 .
Charles Smith, A Treatise on Algebra , i Cornell University Library Historical Math Monographs .