Nummereringssystem

Et tallsystem er et sett med symboler og genereringsregler som lar alle gyldige tall konstrueres. Et nummereringssystem kan fås som:

$\mathcal{N} = (S, \mathcal{R})$

hvor:

$\mathcal{N}$ er nummereringssystemet vurdert (f.eks . desimal , binær , heksadesimal , etc.).
$Ja\,$ er settet med symboler som er tillatt i systemet. I tilfellet med desimalsystemet er de {0,1,2...9}; i binær er de {0,1}; i oktal er de {0,1,...7}; i heksadesimal er de {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
$\mathcal{R}$ de er reglene som forteller oss hvilke tall og hvilke operasjoner som er gyldige i systemet, og hvilke som ikke er det. I et posisjonstallsystem er reglene ganske enkle, mens romertall krever noe mer forseggjorte regler.

Disse reglene er forskjellige for hvert nummereringssystem som vurderes, men en regel felles for alle er at bare symbolene som er tillatt i det systemet kan brukes til å konstruere gyldige tall i et gitt nummereringssystem.

For å indikere i hvilket nummereringssystem det er representert med en bokstav som legges til som et underskrift til høyre for antall symboler som kan representeres i det systemet.

Definisjon

Et begrenset sett med symboler som brukes med en eller annen metode for å tilordne tall, eller numeriske symboler, til tall er kjent som et tallsystem . Det er ulike systemer som har vært, eller brukes i dag. Det som betyr noe er prinsippene og konseptene som er involvert enn de systemiske særtrekkene. Antall symboler er begrenset, og varierer fra to til tretti eller mer i andre. [ 1 ]

Klassifisering

Tallsystemer kan klassifiseres i to store grupper: posisjonelle og ikke-posisjonelle:

I ikke-posisjonelle systemer har sifrene verdien av symbolet som brukes, som ikke er avhengig av posisjonen (kolonnen) de opptar i tallet.
I vektede eller posisjonelle nummereringssystemer avhenger verdien av et siffer både av symbolet som brukes og av posisjonen som symbolet har i tallet.

For eksempel er det egyptiske tallsystemet ikke-posisjonelt, mens det babylonske er posisjonelt. Naturlige språk har posisjonelle tallsystemer basert på base 10 eller 20, noen ganger med fem-element subsystemer. På noen få språk har de grunnleggende tallene fra fire navn basert på mindre tall.

Ikke-posisjonelle oppregningssystemer

Disse er de eldste, for eksempel ble fingrene på hånden brukt til å representere kvantumet fem og så ble det snakket om hvor mange hender man hadde. Det er også kjent at knyttet tau ble brukt for å representere kvantitet. Det har mye å gjøre med koordineringen mellom settene. Blant dem er systemene i det gamle Egypt, det romerske tallsystemet og de som ble brukt i Meso -Amerika av mayaene , aztekerne og andre folkeslag.

Som andre mesoamerikanske sivilisasjoner brukte mayaene et blandet rotnummereringssystem med base 20 (vigesimal). De førklassiske mayaene utviklet også uavhengig konseptet om null (det er inskripsjoner datert rundt 36 f.Kr. som vitner om dette).

Posisjonsnummersystemer

Antallet symboler som er tillatt i et posisjonelt tallsystem er kjent som basisen til tallsystemet. Hvis et posisjoneltallsystem har grunntallet b , betyr det at vi har b forskjellige symboler for å skrive tallene, og at b -enheter danner en høyere ordensenhet.

Eksempel i desimaltallsystemet

Hvis vi teller fra 0, øker en enhet hver gang, når vi når 9 enheter , har vi brukt opp de tilgjengelige symbolene, og hvis vi vil fortsette å telle, har vi ikke et nytt symbol som representerer mengden vi har telt. Så vi legger til en ny kolonne til venstre for tallet, gjenbruker symbolene vi har, sier at vi har en førsteordens enhet (ti), nullstiller enhetene og fortsetter å telle.

På samme måte, når vi teller til 99, har vi brukt opp de tilgjengelige symbolene for begge kolonnene; derfor, hvis vi teller (legger til) en enhet til, må vi nullstille kolonnen til høyre og legge til 1 til den til venstre (tiere). Men venstre kolonne har allerede brukt opp de tilgjengelige symbolene, så vi setter den til null, og legger til 1 til neste kolonne (hundrevis). Som et resultat sitter vi igjen med 99+1=100.

Den mekaniske kilometertelleren, når du bruker desimalposisjonsnummereringssystemet, viser oss det ovennevnte: det legger til 1 til kolonnen til høyre, og når hjulet i den kolonnen har fullført en omdreining ( symbolene er tomme ), tilbakestilles det til null . og en enhet legges til i neste kolonne fra venstre.

Men vi er så vant til å telle med desimalsystemet at vi ikke er klar over denne oppførselen, og vi tar for gitt at 99+1=100, uten å tenke på meningen bak det uttrykket.

Slik er skikken med å regne med desimal at flertallet av befolkningen ikke en gang ser for seg at det kan finnes andre nummersystemer enn grunntallet 10, og like gyldige og nyttige som dette. Blant disse systemene er det base 2 binære systemet , det base 8 oktale systemet og det base 16 heksadesimale systemet .

De gamle mayaene hadde også posisjonsnummerering som ikke lenger brukes.

Grunnleggende teorem for nummerering

Denne teoremet etablerer den generelle måten å konstruere tall på i et posisjonelt tallsystem. Først vil vi etablere noen grunnleggende definisjoner:

N\,

, gyldig nummer i nummereringssystemet.

b\,

, base av nummereringssystemet. Antall symboler tillatt i systemet.

ga\,

, et hvilket som helst symbol på de som er tillatt i nummereringssystemet.

n\,

,: antall sifre i heltallsdelen.

,\,

, brøkkomma. Symbol som brukes til å skille heltallsdelen av et tall fra brøkdelen.

k\,

,: antall sifre i desimaldelen.

Den generelle formelen for å konstruere et tall N , med et begrenset antall desimaler, i et base b posisjonelt tallsystem er som følger:

$N= \begin{cases} \langle d_{(n-1)} \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k} \rangle = \sum_{i=-k}^{n-1 } d_i b^i \\ N = d_{n-1} b^{n-1} + \ldots + d_1 b^1 + d_0 b^0+d_{-1} b^{-1} + \ldots + d_{-k} b^{-k} \end{cases}$

Den totale verdien av tallet vil være summen av hvert siffer multiplisert med kraften til grunntallet som tilsvarer posisjonen det opptar i tallet.

Denne representasjonen gjør det mulig å utføre enkle algoritmer for utførelse av aritmetiske operasjoner .

Eksempel i desimalsystemet

I desimalsystemet er de gyldige symbolene for å bygge tall {0,1,...9} (0 til 9, begge inkludert), derfor er grunntallet (antall gyldige symboler i systemet) ti

I figuren nedenfor kan vi se den grunnleggende teoremet for nummerering brukt på desimalsystemet .

${\begin{matrix}\!\!\!\!\!\!N=d_{n-1}\ldots d_{1}d_{0},d_{-1}\ldots d_{- k}&=&\\&\\d_{n-1}\cdot 10^{n-1}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{ 0}la+d_{-1}\cdot 10^{-1}+\ldots +d_{-k}\cdot 10^{-k}&=&\end{matrise}}$

$N=\sum_{i=-k}^{n-1} d_i\cdot 10^i$

Sifrene til venstre for brøkpunktet representert ved d n-1 ... d 2 d 1 d 0 , tar verdien som tilsvarer de positive potensene til grunntallet (10 i desimalsystemet), avhengig av posisjonen som opptar i tallet, og representerer henholdsvis sifferet til n-enhetene (10 n ), hundretallet (10²=100), tiere (10¹=10) og enhetene (10 0 =1), siden som vist i grafen er de plassert ved posisjonene n-1 ..., tredje, andre og første til venstre for brøkpunktet.

Merk at posisjonene er nummerert fra 0, fra høyre til venstre, så den siste posisjonen for et antall av n heltall er n-1 og ikke n , siden det i så fall ville være n+1 heltall . Bruken av denne nummereringen fra 0 er nyttig, fordi 0. potens av et tall er definert som 1.

Sifrene til høyre for brøkpunktet d -1 , d -2 , d -3 ... d -n representerer henholdsvis tiendedelssifferet (10 -1 =0,1), hundredeler (10 -2 =0 ,01), tusendeler (10 -3 =0,001) og n-deler (10 -n ) .

For eksempel kan tallet 1492.36 i desimal uttrykkes som:

1492.36=1\cdot 10^{3}+4\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+3\cdot 10^{- 1} +6\cdot 10^{-2}

Eksempel i det binære systemet

Se nå det binære eller base 2-systemet. I dette systemet er de gyldige sifrene {0,1}, og to enheter danner en enhet av høyere orden.

I figuren nedenfor kan du se det grunnleggende teoremet om nummerering brukt på det binære systemet .

$\begin{matrise} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot 2^ n+\ldots+d_1\cdot 2^1+d_0\cdot 2^0 , +d_{-1}\cdot 2^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot 2^{-k}& =& \end{matrise}$

$N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot 2^i$

Fortsetter med eksemplet med kilometertelleren sett ovenfor, i dette tilfellet har ikke hjulene 10 symboler (0 til 9) som i tilfellet med desimalsystemet. I det binære systemet er grunntallet 2, som betyr at det bare er 2 symboler {0,1} for å bygge alle de binære tallene .

I det binære systemet, for å representere tall større enn 1, kombineres de 2 symbolene {0,1} og en andre kolonne av høyere orden legges til.

Her dreier kilometertellerhjulene en gang annenhver enhet. Så snart to er talt (lagt til), er de tilgjengelige symbolene for den kolonnen oppbrukt , og kolonnen må nullstilles og en annen kolonne til venstre brukes.

Altså, telling i binær, etter tallet kommer , men hvis en enhet til telles, må en annen kolonne brukes, noe som resulterer i . $0_{(2 }$ $1_{(2 }$ $10_{(2 }$

Det fortsetter å telle , , , . Ved å legge til en enhet i enhetskolonnen, har den kolonnen snudd (den har brukt opp de tilgjengelige symbolene), og en annenordens enhet må dannes, men siden det allerede er en, er de tilgjengelige symbolene for den kolonnen også oppbrukt. , og må danne en tredjeordens enhet eller . Altså i det binære systemet . $0_{(2 }$ $1_{(2 }$ $10_{(2 }$ $11_{(2 }$ $100_{(2 }$ $11_{(2} + 1_{(2} = 100_{(2}$

Eksempler:

Tallet består av et enkelt symbol som gjentas tre ganger. Imidlertid har hvert av disse symbolene en annen verdi, som avhenger av posisjonen den inntar i tallet. Dermed representerer den første 1 (starter fra venstre) en verdi på , den andre av og den tredje av , noe som resulterer i verdien av tallet: . $111_{(2}\,$ $1_{2}\, (2^2)$ $1_{2}\,(2^1)$ $1_{2}\,(2^0)$ $111_{2}=1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=4+2+1= 7_{10 }$

Se også

Referanser

↑ fatima milena hoyer kilder

Bibliografi

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3 .
D.Knuth . Kunsten å programmere . Bind 2, 3. utgave Addison–Wesley . s. 194–213, "Posisjonelle nummersystemer."
AL Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 fra Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
JP Mallory og DQ Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture , Fitzroy Dearborn Publishers, London og Chicago, 1997.
Hans J. Nissen, P. Damerow, R. Englund, Archaic Bookkeeping , University of Chicago Press , 1993, ISBN 0-226-58659-6 .
Denise Schmandt-Besserat, How Writing Came About , University of Texas , 1992, ISBN 0-292-77704-3 .