Integrering

Integrasjon er et grunnleggende konsept for kalkulus og matematisk analyse . I utgangspunktet er et integral en generalisering av summen av uendelig mange , uendelig små addender: en kontinuerlig sum. Integralet er den inverse operasjonen til differensialen til en funksjon .

Integralregning , innrammet i infinitesimalregning , er en gren av matematikk i prosessen med integrasjon eller antidifferensiering . Det er veldig vanlig innen ingeniørfag og vitenskap; det brukes hovedsakelig til beregning av arealer og volumer av regioner og revolusjonsfaststoffer.

Den ble først brukt av forskere som René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Leibniz og Isaac Barrow . Arbeidene til sistnevnte og bidragene til Leibniz og Newton genererte det grunnleggende teoremet om integralregning , som foreslår at differensiering og integrasjon er inverse prosesser.

Hovedmål for integralregning

Hovedmålene for studien er:

Fradrag av hastighetsformler
Område av en flat region
endring av variabel
Ubestemte integraler
bestemte integraler
upassende integraler
linjeintegral
Homogene integraler
Flere integraler (doble eller trippel)
Trigonometriske , logaritmiske og eksponentielle integraler
Integrasjonsmetoder
Grunnleggende teorem for kalkulus
Volum av et revolusjonslegeme

Teori

Gitt en funksjon av en reell variabel og et intervall av den reelle linjen , er integralet lik arealet av området til planet avgrenset mellom grafen til , aksen og de vertikale linjene og , hvor områdene under aksene er negative . $f(x)$ $x$ $[a,b]$ $xy$ $F$ $x$ $x=a$ $x=b$ $x$

$\int a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x$

Begrepet "integral" kan også referere til forestillingen om en primitiv : en funksjon F , hvis deriverte er den gitte funksjonen . I dette tilfellet kalles det det ubestemte integralet , mens integralene som diskuteres i denne artikkelen er de bestemte integralene . Noen forfattere opprettholder et skille mellom primitive og ubestemte integraler. $F$

Integrasjonsprinsippene ble formulert av Newton og Leibniz på slutten av 1600- tallet . Gjennom den grunnleggende teoremet til kalkulus , som de to utviklet uavhengig, kobles integrasjon med differensiering , og det definitive integralet til en funksjon kan enkelt beregnes når en antiderivert er kjent. Integraler og derivater ble grunnleggende verktøy for kalkulering , med mange anvendelser innen vitenskap og ingeniørfag.

Bernhard Riemann ga en streng definisjon av integralet. Den er basert på en grense som tilnærmer arealet til et krumlinjet område ved å dele det i små vertikale stykker. På begynnelsen av 1800 -tallet begynte mer sofistikerte forestillinger om integralet å dukke opp, hvor typene funksjoner og domenene som integrasjonen er gjort over har blitt generalisert. Det krumlinjede integralet er definert for vektorfunksjoner til én variabel, og integrasjonsintervallet [ a , b ] erstattes av det for parameteriseringen av kurven som det integreres over, som forbinder to punkter i planet eller i rommet. I et overflateintegral erstattes kurven med et stykke av en overflate i tredimensjonalt rom.

Integralene til differensialformer spiller en grunnleggende rolle i moderne differensialgeometri . Disse generaliseringene av integralet oppsto først fra fysikkens behov , og har en viktig rolle i formuleringen av mange fysiske lover, for eksempel elektromagnetisme . Moderne konsepter for integrasjon er basert på den abstrakte matematiske teorien kjent som Lebesgue-integralet , som ble utviklet av Henri Lebesgue .

Historikk

Integrasjon før beregning

Integrasjon kan spores tilbake til det gamle Egypt , rundt 1800 f.Kr. C., med papyrusen fra Moskva , hvor det er vist at en formel allerede var kjent for å beregne volumet av en pyramideformet frustum . Den første dokumenterte systematiske teknikken som er i stand til å bestemme integraler er utmattelsesmetoden til Eudoxus ( ca. 370 f.Kr.), som prøvde å finne områder og volumer ved å dele dem inn i et uendelig antall måter som arealet eller volumet for. Denne metoden ble senere utviklet og brukt av Archimedes , som brukte den til å beregne arealer av parabler og en tilnærming til arealet av en sirkel. Lignende metoder ble utviklet uavhengig i Kina rundt 1400-tallet. III e.Kr av Liu Hui , som brukte dem til å finne området til sirkelen. Senere brukte Zu Chongzhi denne metoden for å finne volumet til en kule . Noen ideer om integralregning finnes i Siddhanta Shiromani , en astronomibok fra 1100-tallet av den indiske matematikeren Bhaskara II .

Betydelige fremskritt i metoden for utmattelse begynte ikke å vises før på 1500 -tallet . På denne tiden, på den ene siden, med arbeidet til Cavalieri med hans metode for udelelige og, på den annen side, med verkene til Fermat , begynte grunnlaget for moderne kalkulus å bli utviklet. På begynnelsen av 1600 -tallet ble det gjort ytterligere fremskritt med bidragene fra Barrow og Torricelli , som presenterte de første indikasjonene på en sammenheng mellom integrasjon og avledning .

Newton og Leibniz

De viktigste fremskrittene innen integrasjon kom på 1600 -tallet med formuleringen av den grunnleggende teorem for kalkulering , gjort uavhengig av Newton og Leibniz . Teoremet demonstrerer en sammenheng mellom integrasjon og differensiering. Denne forbindelsen, kombinert med det relativt enkle å beregne derivater, kan brukes til å beregne integraler. Spesielt lar den grunnleggende teoremet til kalkulus en løse en bredere klasse av problemer. Det er også verdt å merke seg hele det strukturelle rammeverket rundt matematikk som Newton og Leibniz også utviklet. Den såkalte infinitesimalregningen gjorde det mulig å nøyaktig analysere funksjoner med kontinuerlige domener. Deretter har dette rammeverket utviklet seg til den moderne kalkulusen , hvis notasjon for integraler kommer direkte fra arbeidet til Leibniz.

Formalisering av integraler

Selv om Newton og Leibniz ga en systematisk tilnærming til integrering, manglet arbeidet deres en viss grad av strenghet. Biskop Berkeleys uttrykk som tolker infinitesimals som "spøkelsene av forsvinnende mengder" er minneverdig.

Calculus fikk et fastere fotfeste med utviklingen av limits og fikk i første halvdel av 1800 -tallet et skikkelig grunnlag fra Cauchy . Integrasjon ble først strengt formalisert av Riemann , ved å bruke grenser. Selv om alle kontinuerlige avgrensede fragmentariske funksjoner er integrerbare på et avgrenset intervall, ble senere mer generelle funksjoner vurdert som den riemannske definisjonen ikke gjaldt og dermed ikke var integrerbare i riemannsk forstand. Senere ga Lebesgue en annen definisjon av integralet [ 1 ] basert på målteori som generaliserte Riemanns definisjon, og dermed er hver funksjon som er integrerbar i Riemann-forstand også integrerbar i Lebesgue-forstand, selv om det er noen integrerbare funksjoner i Lebesgue-forstand som de er ikke i Riemann-forstand. Nylig har andre enda mer generelle definisjoner av integral blitt foreslått, som utvider Riemann- og Lebesgue-definisjonene.

Notasjon

Isaac Newton brukte en liten vertikal strek over en variabel for å indikere integrasjon, eller satte variabelen i en boks. Den vertikale linjen ble lett forvekslet med eller , som Newton brukte for å indikere avledning, og dessuten var 'boks'-notasjonen vanskelig å gjengi for skrivere; derfor ble ikke disse notasjonene tatt i bruk i stor grad. ${\dot{x}}$ $x'\,\!$

Den moderne notasjonen for ubestemte integraler ble introdusert av Gottfried Leibniz i 1675 . [ 2 ] [ 3 ] For å indikere summa ( ſumma ; latin for 'sum' eller 'total'), tilpasset han integralsymbolet, "∫", fra en langstrakt bokstav S fordi han anså integralet for å være en uendelig sum av infinitesimale addenda ('legger til'). Den moderne bestemte integralnotasjonen, med grensene over og under integraltegnet, ble først brukt av Joseph Fourier i Mémoires de la Académie française, rundt 1819-20, gjengitt i hans bok fra 1822. [ 4 ] [ 5 ]

Det er små forskjeller i notasjonen til det integrerte symbolet i litteraturen til de forskjellige språkene: det engelske symbolet er skråstilt til høyre, tysk har tradisjonelt blitt skrevet rett (ingen skråstilling) mens den tradisjonelle russiske varianten er skråstilt til venstre.

I moderne arabisk matematisk notasjon , som er skrevet fra høyre til venstre, brukes et invertert integrert tegn . [ 6 ]

Moderne generaliseringer

Etter opprettelsen av integralregningen på 1600 -tallet , og dens mer eller mindre intuitive utvikling i et par århundrer, ble begrepet integrasjon analysert grundigere i løpet av 1800 -tallet . Dermed er den første strenge forestillingen om integrasjon konseptet med Riemann-integralet , så vel som dets generalisering kjent som Riemann-Stieltjes-integralet . På begynnelsen av 1900- tallet førte utviklingen av målteori til det mer generelle og kvalitativt mer avanserte konseptet Lebesgue-integralet . Senere førte utviklingen av forestillingen om en stokastisk prosess innen sannsynlighetsteori til formuleringen av Itō-integralet mot slutten av første halvdel av 1900 -tallet , og senere til generaliseringen kjent som Skorohod-integralet (1975). Også siden 1960-tallet har det vært søkt etter en matematisk streng definisjon av kvantebaneintegral .

Terminologi og notasjon

Hvis en funksjon har et integral, sies det å være integrerbar . Funksjonen som integralet beregnes for sies å være integranden . Regionen som funksjonen er integrert over kalles integrasjonsdomenet . Hvis integralet ikke har et integrasjonsdomene, anses det som ubestemt (den med et domene anses som definert). Generelt kan integranden være en funksjon av mer enn én variabel, og integrasjonsdomenet kan være et område, et volum, et høyere dimensjonalt område, eller til og med et abstrakt rom som ikke har noen geometrisk struktur i noen vanlig forstand.

Det enkleste tilfellet, integralet av en reell funksjon f av en reell variabel x over intervallet [ a , b ], skrives

$\int{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x.$

∫-tegnet, en langstrakt 'S', representerer integrasjon; a og b er den nedre grensen og den øvre grensen for integrasjon og definerer integrasjonsdomenet; f er integranden, som må evalueres ved å variere x over intervallet [ a , b ]; og dx kan ha forskjellige tolkninger avhengig av teorien som brukes. For eksempel kan det bare sees på som en indikasjon på at x er variabelen for integrasjon, som en representasjon av trinn i Riemann-summen, et mål (i Lebesgue-integrasjon og dens utvidelser), en infinitesimal (i ikke- standardanalyse ) eller som en uavhengig matematisk størrelse: en differensialform . Mer kompliserte tilfeller kan variere notasjonen litt.

Konsepter og applikasjoner

Integraler dukker opp i mange praktiske situasjoner. Vurder et svømmebasseng. Hvis det er rektangulært og med jevn dybde, kan du ut fra lengden, bredden og dybden enkelt bestemme vannvolumet det kan holde (for å fylle det), overflatearealet (for å dekke det) og lengden på det. kant (hvis måling er nødvendig). Men hvis det er ovalt med en avrundet bunn, er beløpene ovenfor ikke enkle å beregne. En mulighet er å beregne dem ved hjelp av integraler.

For den integrerte beregningen av arealer følges følgende resonnement:

La oss for eksempel vurdere kurven vist i figuren ovenfor, grafen for funksjonen , avgrenset mellom og . $y=f(x)={\sqrt {x}}\,$ $x=0\,$ $x=1\,$
Svaret på spørsmålet Hva er arealet under funksjonskurven , i intervallet fra til ? er: at arealet vil falle sammen med integralet av . Notasjonen for dette integralet vil være $F\,$ $0\,$ $1\,$ $F\,$

\int{0}^{1}{\sqrt {x}}\,{\text{d}}x\,\!

En første tilnærming, selv om den ikke er veldig presis, for å oppnå dette arealet, består i å bestemme arealet av enhetskvadraten hvis side er gitt av avstanden fra x =0 til x =1 eller også lengden mellom y = f (0 )=0 og y = f (1)=1. Arealet er nøyaktig 1x1 = 1. Som det kan utledes, må den sanne verdien av integralet være mindre. Ved å dele overflaten som studeres, med vertikale linjer, på en slik måte at vi får små rektangler, og reduserer mer og mer bredden på rektanglene som brukes til å gjøre tilnærmingen, vil et bedre resultat oppnås. La oss for eksempel dele intervallet i fem deler ved å bruke punktene 0, 1 ⁄ 5 , 2 ⁄ 5 , 3 ⁄ 5 , 4 ⁄ 5 og til slutt abscissen 1. Fem rektangler oppnås hvis høyder bestemmes ved å bruke funksjonen med abscissene som er beskrevet tidligere (på høyre side av hver del av kurven), altså , , ... og så videre til . Ved å legge til arealene til disse rektanglene, oppnås en andre tilnærming av integralet som søkes, ${\sqrt {{}^{{1}}/_{5}}}$ ${\sqrt {{}^{{2}}/_{5}}}$ ${\sqrt {{}^{{3}}/_{5}}}$ ${\sqrt {1}}=1\,$

{\sqrt {{\frac {1}{5}}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {{\frac {2}{5}}} }\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\ldots +{\sqrt {{\frac {5}{5}}}}\venstre ({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\ca. 0,7497\,\!

Merk at vi legger til et begrenset antall verdier av funksjonen f multiplisert med forskjellen mellom to påfølgende tilnærmingspunkter. Det er lett å se at de kontinuerlige tilnærmingene fortsetter å gi en større verdi enn integralet. Å bruke flere trinn gir en strammere tilnærming, men det vil aldri være nøyaktig. Hvis det i stedet for 5 delintervaller tas tolv og nå tar vi abscissen fra venstre, som vist på tegningen, oppnås et estimat for arealet på 0,6203, som i dette tilfellet er av lavere verdi enn den forrige sikkert. Nøkkelideen er overgangen fra å legge til et begrenset antall tilnærmingspunktforskjeller multiplisert med de respektive verdiene til funksjonen, til å bruke uendelig fine, eller uendelig små, trinn . notasjonen

\int f(x)\,{\text{d}}x\,\!

han tenker på integralet som en vektet sum (angitt med den langstrakte "S"), av verdiene til funksjonen multiplisert med trinn med uendelig bredde, de såkalte differensialene (angitt med dx ).

Når det gjelder den virkelige kalkulen for integraler , er den grunnleggende teoremet til kalkulus , på grunn av Newton og Leibniz, den grunnleggende koblingen mellom operasjonene for differensiering og integrasjon. Ved å bruke den på kvadratrotkurven, må vi se på den relaterte funksjonen og ganske enkelt ta , hvor og er grensene til intervallet [0,1]. Dette er et eksempel på en generell regel, som sier at for , med q ≠ −1, er den relaterte funksjonen, den såkalte primitive , . Dermed blir den nøyaktige verdien av arealet under kurven formelt beregnet som: $F(x)={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}$ $F(1)-F(0)\,$ $0\,$ $1\,$ $f(x)=x^{q}$ $F(x)={\frac {x^{q+1}}{q+1}}$

$\int{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,{\ text{ d}}x=\venstre.({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}})\right|_{0}^{1}={\frac { 2} {3}}1^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}0^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3 }} .$

Som man kan se, ga den andre tilnærmingen på 0,7 (med fem små rektangler) en verdi større enn den eksakte verdien; På den annen side er tilnærmingen med 12 små rektangler på 0,6203 et estimat godt under den eksakte verdien (som er 0,666...).

Historisk sett, etter at tidlige forsøk på å strengt definere infinitesimals mislyktes, definerte Riemann formelt integraler som grensen for vektede summer, slik at dx antyder grensen for en forskjell (bredden på intervallet). Avhengigheten av Riemanns definisjon av intervaller og kontinuitet motiverte fremveksten av nye definisjoner, spesielt Lebesgue-integralet, som er basert på evnen til å utvide ideen om "måle" på mye mer fleksible måter. Så notasjonen

$\int{A}f(x)\,{\text{d}}\mu \,\!$

refererer til en vektet sum av verdier som funksjonen er delt inn i, der μ måler vekten som skal tildeles hver verdi. (Her indikerer A området for integrasjon.) Differensialgeometri , med sin " manifoldkalkulus ", gir en annen tolkning av denne kjente notasjonen. Nå blir f ( x ) og dx differensialform , ω = f ( x ) dx , en ny differensialoperator d dukker opp , kjent som den ytre deriverte , og fundamentalsetningen blir (mer generelle) Stokes-teoremet ,

$\intA}\mathbf {d} \omega =\int\partial A}\omega ,\,\!$

som Greens teorem , divergenssetningen og grunnsetningen til kalkulus er avledet fra.

Nylig har infinitesimals gjort et strengt comeback, gjennom moderne innovasjoner som ikke-standard parsing . Disse metodene rettferdiggjør ikke bare pionerenes intuisjon, de fører også til ny matematikk, og gjør arbeidet med infinitesimalregning mer intuitivt og forståelig.

Selv om det er forskjeller mellom alle disse forestillingene om integralet, er det betydelig overlapping. Dermed kan området til det ovale bassenget bli funnet som en geometrisk ellipse, som en sum av infinitesimals, som en Riemann-integral, som en Lebesgue-integral, eller som en manifold med en differensialform. Resultatet oppnådd med beregningen vil være det samme i alle tilfeller.

Formelle definisjoner

Det er mange måter å formelt definere en integral på, og ikke alle er likeverdige. Det etableres forskjeller for å adressere spesielle tilfeller som ikke kan integreres med andre definisjoner, men også noen ganger av pedagogiske årsaker. De mest brukte definisjonene av integralet er Riemann-integralene og Lebesgue-integralene.

Riemann integral

Riemann-integralet er definert i form av Riemann-summer av funksjoner over merkede partisjoner av et intervall. La [ a , b ] være et lukket intervall av den reelle linjen; da er en merket partisjon av [ a , b ] en endelig sekvens

a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n }\leq x_{n}=b.\,\!

og vi betegner partisjonen som

{\mathit {P}}=\{x_{i}|i=0,1,...,n\}\,\!

Dette deler intervallet inn i delintervaller , som hver er "merket" med et spesifisert punkt t i av . La Δ i = x i − x i −1 være bredden av delintervallet i ; trinnet til denne merkede partisjonen er bredden på det største delintervallet oppnådd av partisjonen, max i =1 … n Δi . En Riemann-sum av en funksjon f med hensyn til denne merkede partisjonen er definert som $[a,b]$ $n$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $[x_{i-1},x_{i}]$

?i=1} nf(ti) ?i;

Dermed er hvert ledd i summeringen arealet av rektangelet med høyde lik verdien av funksjonen på det angitte punktet i det gitte delintervallet, og med samme bredde som bredden til delintervallet. Riemann-integralet til en funksjon over intervallet er lik S hvis: $F$ $[a,b]$

For alt finnes det slik at vi har for enhver merket partisjon med trinn mindre enn δ

\varepsilon >0

\delta >0

[a,b]

\left|S-\sum{i=1}}^{{n}}f(t_{i})\Delta i}\right|<\varepsilon

, hvor

S=\int{a}}^{{b}}f=\lim{\|{\Delta i}}\|\to 0}}\sum{i=1}} n f(t i )\Delta i

Når de valgte etikettene gir maksimal (eller minimum) verdi for hvert intervall, blir Riemann-summen en øvre (eller nedre) Darboux-sum , noe som antyder den nære forbindelsen mellom Riemann-integralet og integralet til Darboux .

Darboux integral

Darboux-integralet er definert i form av summer av følgende typer:

$L({\mathit {f}},P)=\sum{i}}^{{n}}m_{i}(x_{i}-x_{{i-1}}),\qquad U ({ \mathit {f}},P)=\sum{i}}^{{n}}M_{i}(x_{i}-x_{{i-1}})$

Kalt henholdsvis nedre og øvre sum, hvor:

$M_{i}=\sup\{f(x)|x\in [x_{{i-1}},x_{i}]\},\qquad m_{i}=\inf\{f(x) |x\in [x_{{i-1}},x_{i}]\}$

er høydene til rektanglene, og x i -x i-1 lengden på rektanglenes basis. Darboux-integralet er definert som det eneste avgrensede tallet mellom de nedre og øvre summene, det vil si,

$L(f,P) ≤ \int{a}}^{{b}}f ≤ U(f,P)$

Den geometriske tolkningen av Darboux-integralet vil være beregningen av området til regionen i [ a,b ] ved den uttømmende metoden . Darboux -integralet til en funksjon f på [ a,b ] eksisterer hvis og bare hvis

$\sup \left\lbrace L(f,P)\right\rbrace =\inf \left\lbrace U(f,P)\right\rbrace$

Fra karakteriseringsteoremet som sier at hvis det er integrerbart i [ a,b ] så ∀ε>0 ∃ P partisjon av [ a,b ] : 0≤U( f,P )-L( f,P )≤ε, beviser ekvivalensen mellom definisjonene av Riemman Integral og Darboux Integral som det følger at [ 7 ] $F$

$\int {a}}^{{b}}f-\sum{i=1}}^{{n}}f(t_{i})\Delta i}\leq U(f ,P)-L( f,P)≤ ε$ .

Lebesgue integral

Riemann-integralet er ikke definert for et bredt spekter av funksjoner og situasjoner av praktisk betydning (og av teoretisk interesse). For eksempel kan Riemann-integralet enkelt integrere tetthet for å oppnå massen til en stålbjelke, men den kan ikke tilpasses en stålkule som hviler på den. Dette motiverer til å lage andre definisjoner, der et bredere utvalg av funksjoner kan integreres. [ 8 ] Spesielt Lebesgue-integralet oppnår stor fleksibilitet ved å fokusere på vektene til den vektede summen.

Dermed begynner definisjonen av Lebesgue-integralet med et mål , μ. I det enkleste tilfellet er Lebesgue-målet μ( A ) av et intervall A = [ a , b ] dens bredde, b − a , så Lebesgue-integralet faller sammen med Riemann-integralet når begge eksisterer. I mer kompliserte tilfeller kan settene som skal måles være svært fragmenterte, uten kontinuitet og uten noen likhet med intervaller.

For å utnytte denne fleksibiliteten, reverserer Lebesgue-integralen den vektede sum-tilnærmingen. Som Folland uttrykker: [ 9 ] "For å beregne Riemann-integralet av , er domenet [ a , b ] partisjonert i delintervaller", mens i Lebesgue-integralet, "faktisk er det som blir partisjonert rekkevidden av ». $F$ $F$

En vanlig tilnærming definerer først integralet av den karakteristiske funksjonen til et målbart sett A ved:

\int 1_{A}d\mu =\mu (A)

Dette utvides ved linearitet til enkle trinnfunksjoner , som bare har et endelig antall n , med forskjellige ikke-negative verdier:

{\begin{aligned}\int s\,d\mu &{}=\int \left(\sum{i=1}}^{{n}}a_{i}1_{{A_{i} }} \right)d\mu \\&{}=\sum{i=1}}^{{n}}a_{i}\int 1_{{A_{i}}}\,d\mu \\&{ }=\sum{i=1}}^{{n}}a_{i}\,\mu (A_{i})\end{aligned}}

(hvor bildet av A i når trinnfunksjonen s brukes på den er den konstante verdien a i ). Derfor, hvis E er et målbart sett, definerer vi

\int E s\,d\mu =\sum{i=1}}^{{n}}a_{i}\,\mu (A_{i}\cap E).

Deretter definerer vi for enhver ikke-negativ målbar funksjon f

\int​​E}f\,d\mu =\sup \left\{\int​​E}s\,d\mu \,\colon 0\leq s\leq f{\text{ y }}s{\text{er en funksjon}}{\acute {eller}}{\text{n step}}\right\};

Det vil si at integralet av er oppgitt å være det øverste av alle integraler av trinnfunksjoner som er mindre enn eller lik f . Enhver målbar funksjon er delt inn i positive og negative verdier ved å definere $F$ $F$

{\begin{aligned}f^{+}(x)&{}={\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0\\0,&{\ tekst{ellers}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&{}={\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)< 0\\0,&{\text{ellers}}\end{cases}}\end{aligned}}

Til slutt er f Lebesgue-integrerbar if

\intÉ}|f|\,d\mu <\infty ,\,\!

og deretter er integralet definert av

\int E f\,d\mu =\int E f^{+}\,d\mu -\int E f^{-}\,d\mu .\,\ !

Når det metriske rommet som funksjonene er definert på også er et lokalt kompakt topologisk rom (som tilfellet er for de reelle tallene R ), er målene kompatible med topologien i egentlig forstand ( Radonmål , som er et eksempel på Lebesgue måle) en integral med hensyn til dem kan defineres på en annen måte, med utgangspunkt i integralene til de kontinuerlige funksjonene med kompakt støtte . Mer presist danner de kompakt støttede funksjonene et vektorrom som involverer en naturlig topologi , og et (Radon) mål kan defineres som en hvilken som helst kontinuerlig lineær funksjon av dette rommet; da er verdien av et mål i en kompakt støttet funksjon også per definisjon integralet av funksjonen. Vi fortsetter deretter å utvide målet (integralet) til mer generelle funksjoner ved kontinuitet, og definerer målet til et sett som integralet av dens karakteristiske funksjon. Dette er tilnærmingen til Bourbaki [ 10 ] og en rekke andre forfattere. For mer detaljer, se Radontiltak .

Andre integraler

Selv om Riemann- og Lebesgue-integralene er de viktigste definisjonene av et integral, er det noen flere, for eksempel:

Riemann–Stieltjes-integralet , en forlengelse av Riemann-integralet .
Lebesgue –Stieltjes-integralen , utviklet av Johann Radon , som generaliserer Riemann–Stieltjes- og Lebesgue -integralene .
Daniell - integralet , som inkluderer Lebesgue -integralet og Lebesgue – Stieltjes-integralet uten å måtte stole på noen tiltak .
Henstock -Kurzweil-integralen, forskjellig definert av Arnaud Denjoy , Oskar Perron og Jaroslav Kurzweil , og utviklet av Ralph Henstock .
Haar - integralet , som er Lebesgue-integralet med Haar-målet .
McShane- integralet .
Bochner -integralet .
Itō - integralet, et integral som utvider Riemann-Stieltjes-integralet, tillater integrasjon med hensyn til stokastiske prosesser som kanskje ikke er av begrenset variasjon, for eksempel Brownsk bevegelse.

Integreringsegenskaper

Linearitet

Settet med integrerbare Riemann-funksjoner på et lukket intervall [ a , b ] danner et vektorrom med addisjonsoperasjonene (sumfunksjonen til de to andre er funksjonen som tilsvarer hvert punkt summen av bildene av dette punktet for hver av de to andre) og multiplikasjon med en skalar. Integrasjonsoperasjonen

f\mapsto \int a}^{b}f\;dx

er en lineær funksjon av dette vektorrommet. For det første er settet med integrerbare funksjoner lukket med den lineære kombinasjonen , og for det andre er integralet til en lineær kombinasjon den lineære kombinasjonen av integralene,

?a?^{b}(?f+?g)(x)\,dx=??a}^{b}f(x)\,dx+?? a}^{b}g(x)\,dx .\,

På samme måte er settet med integrerbare reelle Lebesgue-funksjoner i et gitt metrisk rom E , med mål μ lukket med hensyn til lineære kombinasjoner og danner derfor et vektorrom, og Lebesgue-integralet

f\mapsto\intE}fd\mu

er en lineær funksjonell av dette vektorrommet, slik at

?E(?f+?g)\,d\mu = ?alfa ?f\,d\mu + ?beta?g\,d\mu.

Mer generelt, hvis man tar vektorrommet til alle målbare funksjoner på et metrisk rom ( E , μ ), som tar verdier i et lokalt kompakt komplett topologisk vektorrom V over et lokalt kompakt topologisk felt K , f : E → V . _ Deretter kan et abstrakt integrasjonskart defineres som tilordner hver funksjon f et element av V eller symbolet ∞ ,

f\mapsto \int E fd\mu ,\,

som er kompatibel med lineære kombinasjoner. I denne situasjonen gjelder linearitet for underrommet til funksjoner, hvis integral er et element av V (det vil si de endelige integralene ). De viktigste tilfellene oppstår når K er R , C , eller en endelig utvidelse av feltet Q p av p-adiske tall , og V er et endelig-dimensjonalt vektorrom over K , og når K = C og V er et Hilbert-rom kompleks.

Linearitet, sammen med noen naturlige egenskaper for kontinuitet og normalisering for visse klasser av enkle funksjoner , kan brukes til å gi en alternativ definisjon av et integral. Dette er Daniells tilnærming til tilfellet med reelle funksjoner på et sett X , generalisert av Bourbaki til funksjoner som tar verdier i et topologisk kompakt vektorrom. Se Hildebrandt (1953) [ 11 ] for en aksiomatisk karakterisering av integralet.

Ulikheter med integraler

Flere generelle ulikheter er verifisert for integrerbare Riemann- funksjoner definert på et lukket og avgrenset intervall [ a , b ] og kan generaliseres til andre forestillinger om integral (Lebesgue og Daniell).

Øvre og nedre nivå. En integrerbar funksjon på , er nødvendigvis avgrenset på intervallet. Derfor er det to reelle tall m og M slik at m ≤ f ( x ) ≤ M for alle x av . Siden øvre og nedre summering av konvolutt også er avgrenset for henholdsvis m ( b − a ) og M ( b − a ), følger det at $F$ $[a,b]$ $[a,b]$ $F$ $[a,b]$

m(ba) ?

Ulikheter mellom funksjoner. Hvis f ( x ) ≤ g ( x ) for alle x , er hver av de øvre og nedre summeringene av f avgrenset nedre og øvre av henholdsvis den øvre og nedre summeringen av g . Så $[a,b]$

α ^ {b }f(x)\,dx ≤ α ^{b}g(x)\,dx.

Dette er en generalisering av de tidligere ulikhetene, siden M '( b − a ) er integralet av konstantfunksjonen med verdi M på intervallet [ a , b ].

Delintervaller. Hvis [ c , d ] er et delintervall av og f ( x ) er ikke-negativ for alle x , så $[a,b]$

c d f(x)\,dx ≤ a ^ {b ) f(x)\,dx.

Produkter og absolutte verdier av funksjoner. Hvis og er to funksjoner, kan vi bruke deres produkt, potenser og absolutte verdier: $F$ $g$

(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f( x)|.\,

Hvis Riemann er integrerbar i , gjelder det samme for | f |, og

F

[a,b]

\left|\int a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int a}^{b}|f(x)|\,dx.

Videre, hvis og begge er Riemann-integrerbare, så er f 2 , g 2 og fg også Riemann-integrerbare, og

F

g

\left(\int a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int a}^{b}f(x)^{2}\, dx\right)\left(\int a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).

Denne ulikheten er kjent som Cauchy-Schwarz-ulikheten , og den spiller en grunnleggende rolle i teorien om Hilbert -rom, der høyresiden tolkes som prikkproduktet av to integrerbare funksjoner og g på intervallet [ a , b ] .

F

Hölders ulikhet. Hvis p og q er to reelle tall, er 1 ≤ p , q ≤ ∞ med 1/ p + 1/ q = 1, og f og g to integrerbare Riemann-funksjoner. Deretter funksjonene | f | p og | g | q er også integrerbare og Hölders ulikhet gjelder :

\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{{1 /p}}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{{1/q}}.

For tilfellet med p = q = 2, blir Hölders ulikhet Cauchy-Schwarz-ulikheten.

Minkowski ulikhet . Hvis p ≥ 1 er et reelt tall og og g er Riemann integrerbare funksjoner. Så | f | p , | g | p og | f + g | p er også Riemann-integrerbare og Minkowski-ulikheten gjelder : $F$

\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{{1/p}}\leq \left(\int \left|f( x)\right|^{p}\,dx\right)^{{1/p}}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^ {{1 p}}.

En ulikhet analog med denne for Lebesgue-integralet brukes i konstruksjonen av mellomrommene L p .

Konvensjoner

I denne delen er en ekte Riemann integrerbar funksjon. integralet $F$

\int a ^ {b}f(x)\,dx

over et intervall er definert hvis a < b . Dette betyr at de øvre og nedre summeringene av funksjonen evalueres over en partisjon a = x 0 ≤ x 1 ≤. . . ≤ x n = b hvis verdier x i øker. Geometrisk betyr det at integrasjonen skjer "fra venstre til høyre", og evalueres innenfor intervaller [ x i , x i +1 ] der intervallet med større indeks ligger til høyre for intervallet med mindre indeks. Verdiene a og b , intervallets ekstreme punkter , kalles grensene for integrering av . Integraler kan også defineres hvis a > b : $[a,b]$ $F$ $F$ $F$

Inversjon av grensene for integrering. hvis a > b så definer

int a ^ {b }f(x)\,dx=-\int b ^{a}f(x)\,dx.

Dette, med a = b , innebærer:

Integraler over intervaller med lengde null. hvis a er et reelt tall da

∆a ∆f(x)\,dx=0.

Den første konvensjonen er nødvendig når man beregner integraler over delintervaller av [ a , b ]; den andre sier at et integral over et degenerert intervall, eller et punkt , må være null . En grunn til den første konvensjonen er at integrerbarheten til f over et intervall [ a , b ] innebærer at f er integrerbar over et hvilket som helst delintervall [ c , d ], men spesielt integraler har egenskapen at:

Additivitet av integrasjon over intervaller. hvis c er et element av [ a , b ], så

\int a ^ {b}f(x)\,dx=\int a ^{c}f(x)\,dx+\int c}^{b}f(x)\ ,dx.

Med den første konvensjonen den resulterende relasjonen

{\begin{aligned}\int a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int a}^{b}f(x)\,dx-\int c} b f(x)\, dx\\&{}=\int a}^{b}f(x)\,dx+\int b^{c}f(x)\, dx\end{aligned}}

er godt definert for enhver syklisk permutasjon av a , b og c .

I stedet for å se det ovennevnte som konvensjoner, kan man også ta det syn at integrasjon kun gjøres på orienterte manifolder . Hvis M er en slik orientert m -dimensjonal form, og M' er den samme formen med motsatt orientering og ω er en m - form, så har vi (se integrasjon av differensialformer nedenfor):

?M?=-?M'???.

Grunnleggende teorem for kalkulus

Den grunnleggende teoremet til kalkulus er påstanden om at differensiering og integrasjon er inverse operasjoner: hvis en kontinuerlig funksjon først integreres og deretter differensieres, gjenvinnes den opprinnelige funksjonen. En viktig konsekvens, noen ganger kalt den andre grunnleggende teoremet til kalkulus , gjør at integraler kan beregnes ved å bruke en primitiv av funksjonen som skal integreres.

Uttalelse av teoremer

Grunnleggende teorem for kalkulus. La være en ekte integrerbar funksjon definert på et lukket intervall . Hvis F er definert for hver x ved $F$ $[a,b]$ $[a,b]$

F(x)=\int a}^{x}f(x)\,dx.

da er F kontinuerlig på . Hvis er kontinuerlig ved x av , så er F differensierbar ved x , og F ′( x ) = f ( x ).

[a,b]

F

[a,b]

Andre grunnleggende teorem i kalkulus . La være en ekte, integrerbar funksjon definert på et lukket intervall . Hvis F er en funksjon slik at F ′( x ) = f ( x ) for alle x av (det vil si F er en primitiv av ), så $F$ $[a,b]$ $[a,b]$ $F$

\int{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Konsekvens . Hvis er en kontinuerlig funksjon på , så er den integrerbar på , og , definert av $F$ $[a,b]$ $F$ $[a,b]$ $F$

F(x)=\int a}^{b}f(x)\,dx

er en primitiv av i . Også,

F

[a,b]

\int_a^bf(x) \, dx = F(b) - F(a).

Utvidelser

Uriktige integraler

Et riktig Riemann-integral antar at integranden er bestemt og endelig på et lukket, avgrenset intervall hvis endepunkter er grensene for integrasjon. En upassende integral vises når en eller flere av disse betingelsene ikke er oppfylt. I noen tilfeller kan disse integralene defineres ved å ta grensen for en sekvens av riktige Riemann-integraler over suksessivt lengre intervaller.

Hvis intervallet ikke er avgrenset, for eksempel ved dets øvre grense, er det upassende integralet grensen når endepunktet nærmer seg uendelig.

\int{a}}^{{\infty }}f(x)dx=\lim{b\to \infty }}\int{a}}^{{b}}f(x)dx

Hvis integranden bare er definert på et begrenset halvåpent intervall, si ( a , b ), så igjen kan grensen gi et endelig resultat.

\int{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim{{\epsilon \to 0}}\int{a+\epsilon }}^{{b}}f( x)dx

Det vil si at det upassende integralet er grensen for riktige integraler når ett av endepunktene til integrasjonsintervallet nærmer seg enten et spesifisert reelt tall , eller ∞ eller −∞. I mer kompliserte tilfeller er det nødvendig med grenser ved de to ytterpunktene eller ved indre punkter.

For eksempel den integrerte funksjonen fra 0 til ∞ (høyre bilde). Ved den nedre grensen, når x nærmer seg 0, nærmer funksjonen seg ∞, og den øvre grensen er seg selv ∞, selv om funksjonen nærmer seg 0. Dermed er dette et dobbelt upassende integral. Integrert, for eksempel fra 1 til 3, med en Riemann-summering er nok til å få et resultat på . For å integrere fra 1 til ∞ er en Riemann-summering ikke mulig. Nå gir enhver begrenset øvre grense, si t (med t > 1), et veldefinert resultat, . Dette resultatet har en begrenset grense når t nærmer seg uendelig, som er . På samme måte innrømmer integralet fra 1 ⁄ 3 til en 1 også en Riemann-summering, som igjen tilfeldigvis gir . Å erstatte 1 ⁄ 3 med en vilkårlig positiv verdi s (med s < 1) resulterer også i et bestemt resultat og gir . Dette har også en begrenset grense når s nærmer seg null, som er . Ved å kombinere grensene for de to fragmentene, er resultatet av denne upassende integralen ${\tfrac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$ ${\tfrac {\pi }{6}}$ ${\tfrac {\pi }{2}}-2\arctan {\tfrac {1}{{\sqrt {t}}}}$ ${\tfrac {\pi }{2}}$ ${\tfrac {\pi }{6}}$ $-{\tfrac {\pi }{2}}+2\arctan {\tfrac {1}{{\sqrt {s}}}}$ ${\tfrac {\pi }{2}}$

{\begin{aligned}\int{0}}^{{\infty }}{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}&{}=\lim​​ {s \to 0}}\int{s}}^{{1}}{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}+\lim{t\ til \infty }}\ int{1}}^{{t}}{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim {s\to 0}}\venstre( -{\frac {\pi }{2}}+2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {s}}}}\right)+\lim​​ {t\to \infty }}\venstre ({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {t}}}}\right)\\&{} ={\frac {\pi }{2 }}+{\frac {\pi }{2}}\\&{}=\pi .\end{aligned}}

Denne prosessen er ikke garantert vellykket; en grense finnes kanskje ikke, eller den kan være uendelig. For eksempel, over det lukkede intervallet fra 0 til 1 konvergerer ikke integralet av; og over det åpne intervallet fra 1 til ∞ konvergerer ikke integralet av. ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ ${\tfrac {1}{{\sqrt {x}}}}$

Det kan også skje at en integrand ikke er avgrenset ved et indre punkt, i dette tilfellet må integralet deles på dette punktet, og grensen for integralene til de to sidene må eksistere og må være avgrenset. Så

{\begin{aligned}\int{-1}}^{{1}}{\frac {dx}{{\sqrt[ {3}]{x^{2}}}}}&{}= \lim {s\to 0}}\int{-1}}^{{-s}}{\frac {dx}{{\sqrt[ {3}]{x^{2}}} }}+\lim{ t\to 0}}\int{t}}^{{1}}{\frac {dx}{{\sqrt[ {3}]{x^{2}} }}}\\&{}=\ lim{s\to 0}}3(1-{\sqrt[ {3}]{s}})+\lim{t\to 0}}3 (1-{\sqrt[ {3}]{t} })\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{justert}}

Til lignende integral

\int{-1}}^{{1}}{\frac {dx}{x}}\,\!

den kan ikke tildeles en verdi på denne måten, siden integralene over og under null ikke konvergerer uavhengig (se i stedet Cauchy hovedverdi .)

Multippel integrasjon

Integraler kan beregnes over forskjellige områder av intervallene. Generelt er et integral over et sett E av en funksjon f skrevet:

E f(x)\,dx.

Her trenger ikke x nødvendigvis være et reelt tall, men kan være en hvilken som helst annen passende størrelse, for eksempel en vektor av R 3. Fubinis teorem viser at disse integralene kan skrives om som et iterert integral . Med andre ord kan integralet beregnes ved å integrere koordinatene en etter en.

På samme måte som det bestemte integralet til en positiv funksjon representerer arealet av området som er innelukket mellom grafen til funksjonen og x -aksen , representerer det doble integralet av en positiv funksjon av to variabler volumet av området mellom overflaten definert av funksjonen og planet som inneholder dens domene . (Det samme volumet kan oppnås gjennom et trippelintegral – integralet av funksjonen til tre variabler – [relatert referanse] av konstantfunksjonen f ( x , y , z ) = 1 over området nevnt ovenfor mellom overflaten og planet , det samme kan gjøres med en dobbel integral for å beregne en overflate.) Hvis antallet variabler er større, representerer integralet et hypervolum , volumet til et solid med mer enn tre dimensjoner som ikke kan representeres grafisk.

For eksempel kan volumet til parallellepipedet med flater 4 × 6 × 5 oppnås på to måter:

Med den doble integralen

\int D 5\ dx\,dy

av funksjonen f ( x , y ) = 5 beregnet i området D av xy - planet som er bunnen av parallellepipedet.

Med trippelintegralet

\iiint{\mathrm {parallelepiped}}}1\,dx\,dy\,dz

av konstantfunksjonen 1 beregnet på det samme parallellepipedet (selv om denne andre metoden også kan tolkes som hypervolumet til et firedimensjonalt hyperparallelepiped som har som base det aktuelle parallellepipedet og en konstant høyde på 1, siden høyden er 1, faller volumet sammen med arealet av basen).

Siden det er umulig å beregne antideriverten til en funksjon av mer enn én variabel, er det ingen ubestemte multiple integraler: slike integraler er alle bestemte.

Linjeintegraler

Konseptet med integralet kan utvides til mer generelle integrasjonsdomener, som buede linjer og overflater. Disse integralene er kjent som henholdsvis linjeintegraler og overflateintegraler. De har viktige bruksområder i fysikk når de arbeider med vektorfelt .

En linjeintegral er et integral der funksjonen som skal integreres evalueres langs en kurve . Det brukes flere forskjellige krumlinjede integraler. I tilfellet med en lukket kurve kalles det også en konturintegral .

Funksjonen for å integrere kan være et skalarfelt eller et vektorfelt . Verdien av kurveintegralet er summen av feltverdiene ved punktene på linjen, vektet av en eller annen skalarfunksjon av kurven (vanligvis buelengden eller, i tilfelle av et vektorfelt, punktproduktet av feltvektor med en differensialvektor av kurven). Denne vektingen skiller krumlinjede integraler fra enklere integraler definert over intervaller .

Mange enkle formler i fysikk har naturlig nok kontinuerlige analoger når det gjelder linjeintegraler; for eksempel kan det faktum at arbeid er lik kraft multiplisert med avstand uttrykkes (i form av vektormengder) som:

W={\times F}\cdot {\times d}

som har sin parallellitet i linjeintegralen

W=\intC{\times F}\cdot d{\times s}

som akkumulerer vektorkomponentene langs en kontinuerlig bane, og dermed beregner arbeidet utført av et objekt som beveger seg gjennom et felt, for eksempel et elektrisk felt eller et gravitasjonsfelt.

Overflateintegraler

Et overflateintegral er et bestemt integral beregnet over en overflate (som kan være et sett buet i rommet ; det kan forstås som det doble integralet analogt med linjeintegralet . Funksjonen som skal integreres kan være et skalarfelt eller et vektorfelt . Verdien av overflateintegralet er den vektede summen av feltverdiene på alle punkter på overflaten. Dette kan oppnås ved å dele overflaten inn i overflateelementer, som utgjør partisjonen for Riemann-summene.

Som et eksempel på bruken av overflateintegraler, betrakt et vektorfelt v over en overflate S ; det vil si at for hvert punkt x i S er v ( x ) en vektor. Tenk deg at vi har en væske som går gjennom S , slik at v ( x ) bestemmer væskens hastighet i punkt x . Strømningshastigheten er definert som mengden væske som strømmer gjennom S i tidsenhet. For å finne strømmen må vi beregne skalarproduktet av v ganger enhetsvektoren normal til overflaten S i hvert punkt, noe som vil gi oss et skalarfelt, som vi integrerer over overflaten:

\int{S}{{\mathbf v}}\cdot \,d{{\mathbf {S}}}

Væskestrømmen i dette eksemplet kan være en fysisk væske som vann eller luft, eller en elektrisk eller magnetisk fluks . Dermed har overflateintegraler anvendelser i fysikk , spesielt i den klassiske teorien om elektromagnetisme .

Integraler av differensialformer

En differensialform er et matematisk konsept innen feltene multivariabel kalkulus , differensialtopologi og tensorer . Den moderne notasjonen av differensialformer, så vel som ideen om differensialformer som det ytre produktet av ytre derivater som danner en ytre algebra , ble introdusert av Élie Cartan .

Vi starter med å jobbe med et åpent sett med R n . En 0-form er definert som en uendelig differensierbar funksjon f . Når en funksjon f er integrert over et m - dimensjonalt delrom S av Rn , skrives den som

int S f\,dx 1 dx m .

(Overskrift er ikke eksponenter.) dx 1 til og med dx n kan tenkes på som formelle objekter i seg selv, snarere enn etiketter som er lagt til for å få integralet til å ligne Riemann -summeringer . Alternativt kan de sees på som kovektorer , og dermed som et mål på "tetthet" (integrerbar i generell forstand). dx 1 , …, dx n kalles grunnleggende 1 -former .

Settet med alle disse produktene er definert som 2- base - formene , og på samme måte er settet med produkter av formen dx a ∧ dx b ∧ dx c definert som 3- base - formene . En generell k -form er altså en vektet sum av k - grunnformer, hvor vektene er de uendelig differensierbare funksjonene f . Alle sammen danner de et vektorrom , med basisk -formene som basisvektorene, og 0-formene (uendelig differensierbare funksjoner) er feltet til skalarer. Det ytre produktet strekker seg til k -formene til den naturlige formen. Over R n kan maksimalt n kovektorer være lineært uavhengige, og derfor vil en k- form med k > n alltid være null med den alternerende egenskapen.

I tillegg til det ytre produktet er det også den ytre derivative operatoren d . Denne operatoren kartlegger til k -formene ( k +1)-formene. For en k -form ω = f dx a på Rn , er handlingen til d definert av:

{\mathbf {d} }{\omega }=\sum​​i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx^{i}\ kile dx^{a}.

med utvidelse til de generelle k -formene som forekommer lineært.

Denne mer generelle tilnærmingen tillater en koordinatfri tilnærming til integrasjon over manifolder . Det tillater også en naturlig generalisering av grunnsetningen til kalkulus , kalt Stokes' teorem , som kan angis som

\int​​\Omega }{\mathbf {d} }\omega =\int​​\partial \Omega }\omega \,\!

hvor ω er en generell k -form, og ∂Ω angir grensen til området Ω. Med antagelsen om at ω er en 0-form og Ω er et lukket intervall av den reelle linjen, reduseres Stokes' teorem til grunnsetningen til kalkulus . I tilfellet der ω er en 1-form og Ω er et 2-dimensjonalt område i planet, reduseres teoremet til Greens teorem . På samme måte kan man komme frem til ved å bruke 2-former, 3-former og Hodges dualitet , Stokes' teorem og divergensteoremet . På denne måten kan man se at differensialformene gir en kraftfull samlende visjon om integrasjon.

Metoder og applikasjoner

Beregning av integraler

Den mest grunnleggende teknikken for å beregne integraler av en reell variabel er basert på den grunnleggende teoremet til kalkulering . Det fortsetter som følger:

En funksjon f ( x ) og et intervall [ a , b ] velges.
En antiderivert av f finnes , det vil si en funksjon F slik at F' = f .
Den grunnleggende teoremet til kalkulus brukes, forutsatt at verken integranden eller integralet har singulariteter i integrasjonens vei, $int a ^ {b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$
Derfor er verdien av integralet F ( b ) − F ( a ).

Legg merke til at integralet egentlig ikke er antideriverten, men at Fundamental Theorem tillater oss å bruke antiderivater for å evaluere bestemte integraler.

Ofte er det vanskelige trinnet i denne prosessen å finne en primitiv for f . I sjeldne tilfeller er det mulig å ta en titt på en funksjon og skrive dens primitive direkte. Svært ofte er det nødvendig å bruke en av de mange teknikkene som er utviklet for å evaluere integraler. De fleste av dem forvandler en integral til en annen som forventes å være mer håndterlig. Disse teknikkene inkluderer:

Selv om disse teknikkene mislykkes, kan det fortsatt være mulig å evaluere et gitt integral. Den nest vanligste teknikken er beregningen av resten , mens Taylor-serien noen ganger kan brukes til å finne primitivet til ikke-elementære integraler i det som er kjent som metoden for integrering etter serie . Det er også mange mindre vanlige måter å beregne bestemte integraler på; for eksempel kan Parsevals identitet brukes til å transformere et integral over et rektangulært område til en uendelig sum. Noen ganger kan en integral evalueres ved hjelp av et triks; et slikt eksempel kan sees i det gaussiske integralet .

Beregninger av volum av revolusjon av faste stoffer kan vanligvis gjøres med diskintegrasjon eller skallintegrasjon .

De spesifikke resultatene som er funnet ved bruk av de forskjellige teknikkene er samlet i tabellen over integraler .

Symbolske algoritmer

I mange matematiske, fysiske og tekniske problemer som involverer integrasjon, er det ønskelig å ha en eksplisitt formel for integralet. For dette formål har omfattende tabeller over integraler blitt publisert gjennom årene . Med utviklingen av datamaskiner har mange fagfolk, lærere og studenter vendt seg til algebraiske databehandlingssystemer , som er spesielt designet for å utføre kjedelige eller vanskelige oppgaver, inkludert integrering. Symbolsk integrasjon gir en spesiell utfordring i utviklingen av denne typen systemer.

En viktig matematisk vanskelighet med symbolsk integrasjon er at det i mange tilfeller ikke finnes noen lukket formel for primitivet til en tilsynelatende uskyldig funksjon. For eksempel er det kjent at primitivene til funksjonene exp ( x 2 ), x x og sin x / x ikke kan uttrykkes med en lukket formel som bare involverer rasjonelle , eksponentielle , logaritmiske , trigonometriske , inverse funksjoner til funksjonene trigonometrisk , og operasjonene addisjon, multiplikasjon og komposisjon. Med andre ord, ingen av disse tre gitte funksjonene er integrerbare med elementære funksjoner . Differensial Galois teori gir generelle kriterier for å bestemme når primitivet til en elementær funksjon i seg selv er elementær. Dessverre viser det seg at funksjoner med lukkede uttrykk for sine primitiver er unntaket snarere enn regelen. Følgelig kan dataalgebraiske beregningssystemer ikke være sikre på å kunne finne en primitiv for noen tilfeldig konstruert elementær funksjon. På den positive siden, hvis "byggesteinene" til primitivene er faste på forhånd, er det fortsatt mulig å bestemme om man kan uttrykke primitivet til en gitt funksjon ved å bruke disse blokkene og operasjonene multiplikasjon og komposisjon, og finne det symbolske svar i tilfelle at det eksisterer. Rischs algoritme , implementert i Mathematica og andre algebraiske databeregningssystemer , gjør nettopp dette for funksjoner og primitiver bygget fra rasjonelle brøker, radikaler , logaritmer og eksponentialfunksjoner.

Noen integrander vises ofte nok til å rettferdiggjøre spesielle studier. Spesielt kan det være nyttig å ha, i settet av primitiver, fysikkens spesielle funksjoner (som Legendre -funksjonene , den hypergeometriske funksjonen , gammafunksjonen , etc.). Det er mulig å utvide Risch-Norman-algoritmen til å dekke disse funksjonene, men det er litt av en utfordring.

De fleste mennesker er ikke i stand til å integrere disse generelle formlene, så på en måte er datamaskiner flinkere til å integrere svært kompliserte formler. Svært komplekse formler har neppe primitiver i lukket form, så i hvilken grad dette er en fordel er et åpent filosofisk spørsmål.

Numerisk kvadratur

Integralene som finnes i grunnleggende kalkuluskurs er bevisst valgt for sin enkelhet, men de som finnes i virkelige applikasjoner er ikke alltid like rimelige. Noen integraler kan ikke finnes nøyaktig, andre krever spesielle funksjoner som er svært kompliserte å beregne, og andre er så komplekse at det går for sakte å finne det eksakte svaret. Dette motiverer studiet og anvendelsen av numeriske metoder for å tilnærme integraler. I dag brukes de i flytekomma-aritmetikk , i elektroniske datamaskiner . For håndberegninger oppsto mange ideer mye tidligere; men hastigheten til generelle datamaskiner som ENIAC skapte et behov for forbedringer.

Målene for numerisk integrasjon er nøyaktighet, pålitelighet, effektivitet og generalitet. For eksempel integralet

\int{-2}}^{{2}}{\tfrac 15}\left({\tfrac {1}{100}}(322+3x(98+x(37+x)))-24 {\ frac {x}{1+x^{2}}}\right)dx

som har den omtrentlige verdien 6,826 (I vanlig praksis er ikke svaret kjent på forhånd, så en viktig oppgave - som ikke er utforsket her - er å bestemme når en tilnærming allerede er god nok.) En tilnærming av "kalkulusbok" deler intervallet på integrering i for eksempel 16 like deler, og beregner funksjonens verdier.

Funksjonsverdier på punkter

x	−2.00		−1,50		−1.00		−0,50		0,00		0,50		1.00		1,50		2.00
f ( x )	2,22800		2,45663		2,67200		2,32475		0,64400		−0,92575		−0,94000		−0,16963		0,83600
x		−1,75		−1,25		−0,75		−0,25		0,25		0,75		1,25		1,75
f ( x )		2,33041		2,58562		2,62934		1,64019		−0,32444		−1,09159		−0,60387		0,31734

Noen applikasjoner

Gjennomsnittlig verdi av en funksjon

For å beregne middelverdien m av en funksjon f på et intervall [ a , b ] brukes følgende formel:

m={\frac {1}{ba}}\int a}^{b}f(x){\mathrm {d}}x.

Merk at hvis funksjonen f er en trinnfunksjon med trinn av lik bredde, stemmer denne definisjonen med det aritmetiske gjennomsnittet av funksjonens verdier. Hvis trinnene har forskjellig bredde, samsvarer det med det vektede aritmetiske gjennomsnittet der verdien av funksjonen i hvert trinn er vektet med trinnets bredde. Derfor kan denne definisjonen forstås som den naturlige utvidelsen av gjennomsnittet.

Applikasjoner i fysikk

Mange fysikklover uttrykkes i form av differensialligninger . I det enkleste tilfellet løses disse differensialligningene med beregning av en primitiv og mange ganger finner man det endelige resultatet som søkes med beregning av et integral.

For eksempel brukes integralet for å løse problemet med fritt fall av en kropp utsatt for jordens tyngdekraft . På jorden er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften omtrent g = 9,81 m/s². Derfor har et legeme som faller fritt og starter fallet med null hastighet en hastighet som er gitt av følgende funksjon:

v=-g\cdot t

Det negative tegnet er fordi tyngdekraften er mot jordens sentrum og referanserammer er normalt valgt slik at den positive retningen er opp.

Hvis du vil vite avstanden kroppen har tilbakelagt i løpet av en gitt tid T , kan du resonnere (ved hjelp av ikke-standardanalyse ) at rundt hvert øyeblikk t er hastigheten konstant bortsett fra uendelige små variasjoner, derfor er plassen dekket på dette tidspunktet i løpet av en uendelig liten tidsperiode d t er v ( t )d t , summen av alle rommene som er tilbakelagt i løpet av alle øyeblikkene fra t = 0 til t = T (øyeblikket vi ønsker å vite tilbakelagt avstand) og beregnes med helheten:

\ell =\int 0}^{T}\left(-g\cdot t\;{\mathrm {d}}t\,\right)

Resultatet av denne integralen er:

\ell =\,-({\frac g2}\cdot T^{2})

Andre eksempler på fysikkfelt der integraler brukes:

Energien som forbrukes i en periode er integralen av kraften over tid.
Endringen i elektrisk ladning på en kondensator over en tidsperiode er integralet av den elektriske strømmen som strømmer inn i kondensatoren i løpet av denne tiden.
Integreringen av strømningshastigheten (kubikkmeter per sekund) som strømmer gjennom en ledning gir volumet av væske som har passert gjennom ledningen i løpet av integrasjonsperioden.

Se også

integrert bord
numerisk integrasjon
derivat
Integrert tegn
Portal: Matematikk . Innhold relatert til matematikk .
summering
matematisk grense
Uendelig
linjeintegral
endring av variabel
bestemte integraler
Ubestemte integraler

Referanser og notater

↑ For funksjoner som Riemanns definisjon gjelder for, stemmer resultatene overens.
^ Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6. utgave), McGraw-Hill, s. 359, ISBN 978-0-07-105189-5
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, red.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern . Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, s. 154
↑ Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations , Vol. II, Open Court Publishing, s. 247-252, ISBN 978-0-486-67766-8
^ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur , Chez Firmin Didot, père et fils, s. §231, [1]
↑ W3C (2006). Arabisk matematisk notasjon [2]
^ Haaser, Norman B., LaSalle, Joseph, P., Sullivan, Joseph, A. (1970). Matematisk analyse 1: Introduksjonskurs s. 546 . Mexico, DF: Tresking. ISBN 968-24-0132-1 .
^ Rudin, Walter (1987). "Kapittel 1: Abstrakt integrasjon", Real and Complex Analysis (International ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9
^ Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1. ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
^ Bourbaki, Nicholas (2004). Integration I , Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . Spesielt kapittel III og IV.
^ Hildebrandt, T.H. (1953). "Integrasjon i abstrakte rom", Bulletin of the American Mathematical Society 59(2): 111–139, ISSN 0273-0979 [3]

Bibliografi

Apostel, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: En-variabel Calculus med en introduksjon til lineær algebra (2. utgave). John Wiley og sønner. ISBN 978-0-471-00005-1 .
Bourbaki, Nicolas (2004). Integrasjon I. Springer. ISBN 3-540-41129-1 . . Spesielt kapittel III og IV.
Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6. utgave). McGraw-Hill. s. 359. ISBN 978-0-07-105189-5 .
Cajori, Florian (1929). En historie om matematiske notasjoner bind II . Open Court Publishing. s. 247-252 . ISBN 978-0-486-67766-8 .
Dahlquist, Germund ; Björck, Åke (kommer). "Kapittel 5: Numerisk integrasjon" . Numeriske metoder i vitenskapelig databehandling . Philadelphia: SIAM. Arkivert fra originalen 15. juni 2007.
Folland, Gerald B. (1984). Real Analyse: Moderne teknikker og deres anvendelser (1. utgave). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-80958-6 .
Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1822). Theorie analytique de la chaeur . Chez Firmin Didot, père et fils. s. §231. Tilgjengelig på engelsk som Fourier, Joseph (1878). Den analytiske teorien om varme . Freeman, Alexander (overs.). Cambridge University Press . s. 200-201.
Heath, TL , red. (2002). Arkimedes' verk . Dover. ISBN 978-0-486-42084-4 . (Opprinnelig utgitt av Cambridge University Press, 1897, basert på JL Heibergs greske versjon.)
Hildebrandt, T.H. (1953). «Integrasjon i abstrakte rom» . Bulletin of the American Mathematical Society 59 (2). s. 111-139. ISSN 0273-0979 .
Kahaner, David; Grind, Cleve ; Nash, Stephen (1989). "Kapittel 5: Numerisk kvadratur" . Numeriske metoder og programvare . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8 .
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel, red. Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band . Berlin: Mayer & Müller.
Miller, Jeff. Tidligste bruk av symboler i kalkulus . Arkivert fra originalen 5. desember 1998 . Hentet 2. juni 2007 .
O'Connor, JJ; Robertson, E.F. (1996). En historie med kalkulus . Hentet 9. juli 2007 .
Rudin, Walter (1987). «Kapittel 1: Abstrakt integrasjon». Real and Complex Analysis (Internasjonal utgave). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9 .
Saks, Stanislaw (1964). Theory of the integral (engelsk oversettelse av LC Young. Med to tilleggsnotater av Stefan Banach. Andre reviderte utgave). New York: Dover.
Stoer, Joseph; Bulirsch, Roland (2002). "Kapittel 3: Temaer i integrering". Introduksjon til numerisk analyse (3. utgave). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95452-3 . .
W3C (2006). Arabisk matematisk notasjon .

Bøker på internett

Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals , University of Wisconsin
Stroyan, K.D., En kort introduksjon til Infinitesimal Calculus , University of Iowa
Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book , CIT, en nettbasert lærebok som inkluderer en komplett introduksjon til kalkulus
Crowell, Benjamin, Calculus , Fullerton College, en nettbasert lærebok
Garrett, Paul, Notater om førsteårsregning
Hussain, Faraz, Understanding Calculus , en nettbasert lærebok
Kowalk, WP, Integration Theory , University of Oldenburg. Et nytt konsept til et gammelt problem. Lærebok på nett
Sloughter, Dan, Differanseligninger til differensialligninger , en introduksjon til kalkulus
Numeriske metoder for integrasjon ved Holistic Numerical Methods Institute

Eksterne lenker

Wikibooks er vert for en bok eller manual om Calculus . (på engelsk)
Det bestemte integralet og arealet fungerer, i Descartes.
The Integrator av Wolfram Research
ONLINE Integral Kalkulator . Du kan trene med alle operasjonene og se resultatet umiddelbart
Beregn integrasjonen trinn for trinn .
WIMS funksjonskalkulator _
Wang, P.S. Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - en kokebok med bestemte integralteknikker