Haars mål

I matematisk analyse er Haar-målet en måte å tilordne et " invariant volum " til undergrupper av lokalt kompakte topologiske grupper , og deretter definere et integral for funksjoner over disse gruppene . Denne målingen ble introdusert av Alfred Haar , en ungarsk matematiker , rundt år 1932 . Se også Pontryagin-dualitet . Haarmål brukes i mange deler av analyse og tallteori.

Prelims

La G være en lokalt kompakt topologisk gruppe . I denne artikkelen kalles σ-algebraen X generert av alle kompakte delmengder av G Borel-algebraen . Et element i Borel-algebraen kalles et Borel-sett (borelisk) .

Hvis a er et element av G og S er en delmengde av G , definerer vi venstre og høyre oversettelser av S som følger:

Den venstre oversettelsen:

aS=\{a\cdot s:s\in S\}.

Riktig oversettelse:

Sa=\{s\cdot a:s\in S\}.

Venstre og høyre oversettelser oversetter Borel-sett til Borel-sett.

Et mål μ på Borel-delmengdene til G kalles venstre translasjonsinvariant hvis og bare hvis vi for alle Borel-delmengdene S av G og for alle a i G har

\mu (aS)=\mu (S).\quad

En lignende definisjon er laget for rett oversettelsesinvarians .

Eksistensen av venstre Haar-mål

Det er verifisert at det, unntatt en multiplikativ konstant, bare er ett venstre translasjonsinvariant regulært mål på X som er endelig på alle Borel-sett av G slik at μ( U ) > 0 for en gitt ikke-tom Borel åpen U. Her sies μ å være regulær iff

μ( K ) er endelig for hvert kompakt sett K .

Hvert sett med Borel E er vanlig utenfor:

\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open and Borel}}\}.

Hvis E er Borel, så er E en indre vanlig:

\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact }}\}.

Observasjon . Merk at i noen patologiske tilfeller kan et sett være åpent uten å være Borel. Av denne grunn, i egenskapen eksteriør regularitet, er rangeringen av infimum angitt spesifikt på sett som er åpne og Borel. Disse patologiene oppstår aldri hvis G er en lokalt kompakt gruppe hvis underliggende topologi er separerbar metriserbar; merk at i dette tilfellet er Borel-strukturen den som genereres av alle åpne sett.

Haars rette mål

Det kan også bevises at det eksisterer et i hovedsak unikt høyre translasjonsinvariant regulært mål ν, men det trenger ikke falle sammen med det venstre translasjonsinvariante regulære målet μ. Disse målingene er de samme bare for de såkalte unimodulære gruppene (se nedenfor). Det er imidlertid lett å finne en sammenheng mellom μ og ν.

Faktisk, for en gitt Borel S , betegner S − 1 settet med inverser av elementer av S. Merk at hvis vi definerer

\mu−1}(S)=\mu (S^{-1})\quad

da er dette et riktig Haar-mål. For å bevise riktig invarians, bruk definisjonen:

{\displaystyle \mu−1}(Sa)=\mu ((Sa)^{-1})=\mu (a^{-1}S^{-1})=\mu (S^{ -1) ) = u-1 (S).

Fordi det riktige målet er unikt, følger det at μ -1 er et multiplum av ν og så

\mu (S^{-1})=k\nu (S)\,

for alle faste Borel S , hvor k er en positiv konstant.

Haar-integralet

Ved å bruke den generelle teorien om Lebesgue-integrasjon , kan man deretter definere et integral for alle Borel målbare funksjoner f på G. Dette integralet kalles Haar-integralet . Hvis μ er et venstre Haar-mål, da

\int G}f(sx)\ d\mu (x)=\int G}f(x)\ d\mu (x)

for enhver integrerbar funksjon f . Dette er umiddelbart for trinnfunksjoner som i hovedsak gir definisjonen av venstre invarians.

Applikasjoner

Haar-mål brukes i harmonisk analyse på vilkårlige lokalt kompakte grupper, tenk på Pontryagin-dualitet . En ofte brukt teknikk for å bevise eksistensen av et Haar-mål på en lokalt kompakt gruppe G er ved å bevise eksistensen av et venstreinvariant Radon-mål på G .

Legg merke til at med mindre G er en diskret gruppe, er det umulig å definere et tellelig additivt høyre-invariant mål over alle delmengder av G , forutsatt valgaksiom . Se ikke-målbare sett .

Eksempler

Haar-målet på den topologiske gruppen ( R , +) som tar verdien 1 på intervallet [0, 1] er lik restriksjonen til Lebesgue-målet til Borel-delmengdene av R. Dette kan generaliseres til ( R n , +).

Hvis G er gruppen av positive reelle tall med multiplikasjon som operasjon, så er Haar-målet μ( S ) gitt ved

\mu (S)=\ints}{\frac {1}{t}}\,dt

for enhver Borel-delmengde S på de positive realene.

Dette generaliserer til følgende:

For G = GL (n, R ) er venstre og høyre Haar-mål proporsjonale og

\mu (S)=\ints}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX

der dX angir Lebesgue-målet på R , settet av alle n × n matriser . Dette følger av formelen for endring av variabler .

n^{2}

Mer generelt, i enhver d - dimensjonal Lie-gruppe kan et venstre Haar-mål assosieres med en hvilken som helst ikke-null venstre-invariant d -form ω, slik som Lebesgue-målet |ω|; og tilsvarende for de rette Haar-tiltakene. Dette betyr også at den modulære funksjonen kan beregnes, som den absolutte verdien av determinanten til den tilstøtende representasjonen .

Den modulære funksjonen

Merk at den venstre oversettelsen av et høyre Haar-mål er et høyre Haar-mål. Mer nøyaktig, hvis ν er et riktig Haar-mål, da

A\mapsto \mu (t^{-1}A)\quad

er også rett invariant. Dermed eksisterer det en unik funksjon slik at for hvert Borel-sett A

\mu (t^{-1}A)=\Delta (t)\mu (A).\quad

En gruppe er unimodulær hvis den modulære funksjonen er identisk 1. Eksempler på unimodulære grupper er kompakte grupper og abelske grupper. Et eksempel på en ikke-unimodulær gruppe er gruppen av transformasjoner av formen

x\mapsto ax+b\quad

på den virkelige linjen.

Referanser

P. Halmos, Measure Theory , D. van Nostrand og Co., 1950.