Differensial ligning

En differensialligning er en matematisk ligning som relaterer en funksjon til dens deriverte . I anvendt matematikk representerer funksjoner vanligvis fysiske mengder, derivater representerer endringshastighetene deres, og ligningen definerer forholdet mellom dem. Fordi disse forholdene er så vanlige, spiller differensialligninger en stor rolle i mange disipliner, inkludert ingeniørfag , fysikk , kjemi , økonomi og biologi .

Ved anvendelser av matematikk oppstår det ofte problemer der avhengigheten av en parameter av en annen er ukjent, men det er mulig å skrive et uttrykk for endringshastigheten til en parameter i forhold til en annen (derivert). I dette tilfellet er problemet redusert til å finne en funksjon ved dens deriverte relatert til noen andre uttrykk.

I ren matematikk studeres differensialligninger fra forskjellige perspektiver, de fleste av dem gjelder settet med løsninger av funksjonene som tilfredsstiller ligningen. Bare de enkleste differensialligningene kan løses ved bruk av eksplisitte formler; noen egenskaper til løsningene til en viss differensialligning kan imidlertid bestemmes uten å finne dens eksakte form.

Hvis den nøyaktige løsningen ikke kan finnes, kan den oppnås numerisk, ved tilnærming ved hjelp av datamaskiner . Dynamisk systemteori legger vekt på kvalitativ analyse av systemer beskrevet av differensialligninger, mens mange numeriske metoder er utviklet for å bestemme løsninger med en viss grad av nøyaktighet.

Historikk

Differensialligninger dukket først opp i kalkulasjonsarbeidene til Newton og Leibniz . I 1671 , i kapittel 2 av sitt arbeid Method of fluksjoner og uendelige serier , [ 1 ] listet Isaac Newton opp tre klasser av differensialligninger:

{\frac {dy}{dx}}=f(x)

{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)

x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y

Han løste disse likningene og andre ved å bruke uendelige rekker og diskuterte løsningenes ikke-unikehet.

Jakob Bernoulli foreslo Bernoullis differensialligning i 1695 . [ 2 ] Dette er en vanlig differensialligning av formen

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

som Leibniz senere, i årene etter, skaffet sine løsninger gjennom forenklinger. [ 3 ]

Historisk sett ble problemet med en vibrerende streng , slik som et musikkinstrument , studert av Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli og Joseph-Louis Lagrange . I 1746 oppdaget d' Alembert den endimensjonale bølgeligningen , og etter ti år oppdaget Euler den tredimensjonale bølgeligningen . [ 9 ]

Euler-Lagrange-likningene ble utviklet på 1750 -tallet av Euler og Lagrange i forbindelse med deres studier av tautochrone- problemet . Dette er problemet med å bestemme en kurve der en vektet partikkel vil lande på et fast punkt i løpet av en bestemt tidsperiode, uavhengig av utgangspunktet.

Lagrange løste dette problemet i 1755 og sendte løsningen til Euler. De utviklet begge Lagranges metode og brukte den på mekanikk , noe som førte til Lagrangiansk mekanikk .

I 1822 publiserte Fourier sitt arbeid om varmeoverføring i Théorie analytique de la chaleur (Analytical Theory of Heat), [ 10 ] der han baserte sitt resonnement på Newtons lov om kjøling , det vil si at varmeoverføring mellom to tilstøtende molekyler er proporsjonal med ekstremt små forskjeller i deres temperaturer. I denne boken avslører Fourier varmeligningen for den ledende diffusjonen av varme. Denne ligningen i partielle derivater er for tiden gjenstand for studier i matematisk fysikk.

Stokastiske differensialligninger , som utvider både differensialligningsteori og sannsynlighetsteori, ble introdusert med streng behandling av Kiyoshi Itō og Ruslán Stratónovich i løpet av 1940- og 1950 -årene .

Typer

Differensialligninger kan deles inn i flere typer. Bortsett fra å beskrive egenskapene til selve ligningen, kan klassene av differensialligninger hjelpe deg med å finne valget av tilnærming til en løsning. Det er veldig vanlig at disse distinksjonene inkluderer om ligningen er: ordinær/partiell derivert, lineær/ikke-lineær og homogen/ikke-homogen. Denne listen er for stor; det er mange andre egenskaper og underklasser av differensialligninger som kan være svært nyttige i spesifikke sammenhenger.

Vanlige differensialligninger

En ordinær differensialligning ( ODE ) er en ligning som inneholder en funksjon av én uavhengig variabel og dens deriverte. Begrepet ordinær brukes i motsetning til den partielle differensialligningen , som kan være med hensyn til mer enn én uavhengig variabel.

Lineære differensialligninger, som har løsninger som kan adderes og multipliseres med koeffisienter, er godt definert og forstått, og har eksakte løsninger som kan finnes. Derimot er ODE-er hvis løsninger ikke kan legges til ikke-lineære, og løsningen deres er mer intrikat, og de kan sjelden finnes i eksakt elementær funksjonsform : løsninger oppnås vanligvis i serie- eller integralform. Numeriske og grafiske metoder for ODE-er kan gjøres manuelt eller av datamaskiner, løsningene til ODE-ene kan tilnærmes og resultatene deres kan være svært nyttige, mange ganger nok til å avstå fra den nøyaktige og analytiske løsningen.

Partiell differensialligning

En partiell derivert ligning ( PDE ) er en differensialligning som inneholder en multivariabel funksjon og dens partielle deriverte . Disse ligningene brukes til å formulere problemer som involverer funksjoner til flere variabler, og kan løses manuelt for å lage en datasimulering .

PDE-er kan brukes til å beskrive et bredt spekter av fenomener som lyd , varme , elektrostatikk , elektrodynamikk , fluiddynamikk , elastisitet eller kvantemekanikk . Disse forskjellige fysiske fenomenene kan formaliseres i form av EDP-er. Med vanlige differensialligninger er det veldig vanlig å lage endimensjonale modeller av dynamiske systemer , og partielle differensialligninger kan brukes for modeller av flerdimensjonale systemer . PDE-er har en generalisering i stokastiske partielle differensialligninger .

Lineære differensialligninger

En differensialligning er lineær når løsningene kan oppnås fra lineære kombinasjoner av andre løsninger. Hvis den er lineær, har differensialligningen sine deriverte med maksimal potens på 1 og det er ingen termer der det er produkter mellom den ukjente funksjonen og/eller dens deriverte. Den karakteristiske egenskapen til lineære ligninger er at deres løsninger har form av et affint underrom av et rom med passende løsninger, hvis resultat er utviklet i teorien om lineære differensialligninger.

Homogene lineære differensialligninger er en underklasse av lineære differensialligninger der løsningsrommet er et lineært underrom, det vil si at summen av ethvert sett med løsninger, eller multipler av løsninger, også er en løsning. Koeffisientene til den ukjente funksjonen, og dens deriverte i en lineær differensialligning kan være funksjoner av variabelen eller uavhengige variabler, hvis disse koeffisientene er konstante, snakker vi om lineære differensialligninger med konstante koeffisienter .

En ligning sies å være lineær hvis den har formen:

$\,a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y '+a_{0}(x)y=g(x)$

Nemlig:

Verken funksjonen eller dens deriverte heves til noen annen potens enn én eller null.
I hver koeffisient som vises ved å multiplisere dem, griper bare den uavhengige variabelen inn.
En lineær kombinasjon av løsningene er også en løsning av ligningen.

Eksempler:

$\,y'-y=0$ er en lineær ordinær differensialligning av første orden, den har som løsninger , med k et hvilket som helst reelt tall. $y=f(x)=k\cdot e^{x}$
$\,y''+y=0$ er en lineær ordinær differensialligning av andre orden, har som løsninger , med a og b reelle. $y=f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)\,$
$\,y''-y=0$ er en lineær ordinær differensialligning av andre orden, har som løsninger , med a og b reelle. $\,a\cdot e^{x}+b\cdot 1/(e^{x})$

Ikke- lineære differensialligninger

Det er svært få metoder for å løse ikke-lineære differensialligninger nøyaktig; de som er kjent er det veldig vanlig at de er avhengige av at ligningen har spesielle symmetrier. Ikke-lineære differensialligninger kan vise veldig komplisert oppførsel over store tidsintervaller, karakteristisk for kaos . Hvert av de grunnleggende spørsmålene om eksistens, unikhet og utvidbarhet av løsninger for ikke-lineære differensialligninger, og det veldefinerte problemet med start- og grensebetingelsesproblemer for ikke-lineære PDE-er er vanskelige problemer og deres løsning i spesielle tilfeller. Det anses å være en betydelig fremskritt innen matematisk teori (for eksempel eksistensen og jevnheten til Navier–Stokes ). Imidlertid, hvis differensialligningen er en korrekt formulert representasjon av en betydelig fysisk prosess, forventes den å ha en løsning. [ 11 ]

Ikke-lineære differensialligninger oppstår vanligvis gjennom tilnærminger til lineære ligninger. Disse tilnærmingene er kun gyldige under begrensede forhold. For eksempel er den harmoniske oscillatorligningen en tilnærming av den ikke-lineære ligningen til en pendel som er gyldig for små oscillasjonsamplituder (se nedenfor).

Semilineære og kvasilineære ligninger

Det er ingen generell prosedyre for å løse ikke-lineære differensialligninger . Noen spesielle tilfeller av ikke-linearitet kan imidlertid løses. Av interesse er det semilineære tilfellet og det kvasilineære tilfellet.

En ordinær differensialligning av orden n kalles kvasilineær hvis den er "lineær" i den deriverte av orden n . Mer spesifikt, hvis den ordinære differensialligningen for funksjonen kan skrives i formen: $\scriptstyle y(x)$

$f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0,\qquad \qquad f_{1}(z ):=f(z,α n-1, prikker, α 2 , α 1, α 0, β 0 )$

En slik ligning sies å være kvasilineær hvis det er en affin funksjon , det vil si . $\scriptstyle f_{1}(\cdot )$ $\scriptstyle f_{1}(z)=az+b$

En vanlig differensialligning av orden n kalles semilineær hvis den kan skrives som summen av en "lineær" funksjon av den deriverte av orden n pluss en hvilken som helst funksjon av resten av de deriverte. Formelt, hvis den ordinære differensialligningen for funksjonen kan skrives på formen: $\scriptstyle y(x)$

$f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)={\hat {f}}(y^{( n)},x)+g(y^{(n-1)},\dots ,y',y,x)\qquad \qquad f_{2}(z):={\hat {f}}( z,β0)$

En slik ligning sies å være semilineær hvis det er en lineær funksjon . $\scriptstyle f_{2}(\cdot )$

Ligningsrekkefølge

Differensialligninger er beskrevet etter rekkefølgen, bestemt av begrepet med den høyeste ordensderiverte. En ligning som bare inneholder enkle deriverte er en førsteordens differensialligning , en ligning som inneholder opptil andreordens deriverte er en andreordens differensialligning , og så videre. [ 12 ] [ 13 ]

Eksempler på rekkefølge i ligninger:

Første ordens differensialligning: $y'+y(x)=f(x)$
Andre ordens differensialligning: $y''+4y=0$
Tredje ordens differensialligning: $xy'''-2xy''+4y'=0$
Variabel koeffisient andre ordens ligning:

$y''+2xy'+4y=0$

Grad av ligningen

Det er potensen til den høyeste ordensderiverte som vises i ligningen, så lenge ligningen er i polynomform , ellers anses den å ha ingen grad.

Nøyaktige differensialligninger

Gjennom denne delen vil du møte differensialligninger skrevet som: og uten å bruke noe skille mellom den første og andre ligningen. $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ $y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}$

Det vil antas at P og Q er funksjoner definert på et åpent rektangel i ikke null på samme tid. $R$ $\mathbb{R} 2$

Ligningen sies å være eksakt differensial hvis det er en differensierbar funksjon R slik at og $\høyre pil$ $\R$ $F_{x}(x,y)=P(x,y)$ $F_{y}(x,y)=Q(x,y)$ $\for alle (x,y)\i R$

Betydningen av nøyaktighet ligger i det faktum at det er en familie av integralkurver utledet ved implisitt differensiering med hensyn til x: tilfredsstiller derfor . $F(x,y)=c$ $F_{x}+F_{y}y'=0$ $F(x,y)=c$ $y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}$

Et kriterium som kan brukes for å vite nøyaktig når en likning er eksakt differensial er å anta at P og Q er kontinuerlige funksjoner og har kontinuerlige første partielle deriverte i R. Hvis likningen er eksakt differensial, så er det vist at i R. $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ $P_{y}=Q_{x}$

Forutsatt at i R og vi ser etter F slik at P og . Integrering av ligningen P med hensyn til x: hvor C(y) er integrasjonskonstanten avhengig av y. $P_{y}=Q_{x}$ $F_{x}=$ $F_{y}=Q$ $F_{x}=$ $F(x,y)=\int P(x,y)dx+C(y)$

Ved å pålegge betingelsen får vi: hvor, ved å bruke , høyre del av likheten er en funksjon av variabelen y uavhengig av x. $F_{y}=Q$ $C'(y)=Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx$ $P_{y}=Q_{x}$

Til slutt:

$F(x,y)=\int P(x,y)dx+\int (Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx)dy$

På denne måten har man oppnådd en metode etter å ha beregnet integralkurvene til en eksakt differensialligning som beviser teoremet nevnt ovenfor. $F(x,y)=c$

Eksempler

I det første settet med eksempler, la u være en ukjent funksjon som avhenger av x , og c og ω er kjente konstanter. Merk at både ordinære og partielle differensialligninger kan klassifiseres som lineære og ikke-lineære .

Lineær ordinær differensialligning til førsteordens konstante koeffisienter:

{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

Lineær homogen ordinær differensialligning av andre orden:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

En løsning er gitt av $y=f(x)=AX$

Andreordens homogen konstant-koeffisient lineær ordinær differensialligning som beskriver en harmonisk oscillator :

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega 2}u=0.

Førsteordens inhomogen ikke-lineær ordinær differensialligning:

{\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.

Ikke-lineær (på grunn av sinusfunksjonen) vanlig differensialligning av andre orden, som beskriver bevegelsen til en pendel av lengden L :

L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

I det neste settet med eksempler er den ukjente funksjonen u avhengig av to variabler x og t eller x og y .

Homogen lineær partiell differensialligning av første orden, deretter:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

Lineær homogen partiell derivert ligning til andreordens konstante koeffisienter av elliptisk type, Laplace-ligningen :

{\frac {\partial 2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial 2}u}{\partial y^{2}}}=0 .

Tredjeordens ikke-lineær partiell differensialligning, Korteweg–de Vries-ligningen :

{\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial 3}u}{\partial x 3} }}.

Eksakt differensialligningseksempel

La være førsteordens differensialligning der P og Q er to kontinuerlige funksjoner på den åpne . $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ $\for alle (x,y)\i B$ $B\subset \mathbb {R} 2}$

Ligningen sies å være en eksakt differensialligning hvis det er en potensiell funksjon definert på B slik at: $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ $F(x,y)$

${\partial F \over \partial x}(x,y)=P(x,y)$ $,$ ${\partial F \over \partial y}(x,y)=Q(x,y)$ $,$ $\for alle (x,y)\i B$

La det også være en åpen eksakt differensialligning og en potensiell funksjon av den, da tilfredsstiller hver løsning av ligningen hvis graf er i B ligningen $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ $\forall (x,y)\in B\subset \mathbb {R} 2}$ $F(x,y)$ $y=\phi (x)$

Løsning av en differensialligning

Eksistens av løsninger

Trinn 1: Å løse differensialligninger er ikke som å løse algebraiske ligninger . Siden selv om løsningene deres noen ganger er uklare, kan det også være av interesse om de er unike eller eksisterer.

For førsteordens begynnelsesverdiproblemer gir Peanos eksistensteorem oss et sett med forhold der løsningen eksisterer. For et gitt punkt i xy - planet definerer y et rektangulært område , slik at y er innenfor . Hvis vi har en differensialligning og betingelsen at når , så er det en lokal løsning på dette problemet hvis og er begge kontinuerlige på . Løsningen eksisterer på et eller annet intervall med sentrum ved . Løsningen er kanskje ikke unik. (Se ordinær differensialligning for andre resultater.) $(a,b)$ $Z$ $Z=[l,m]\ ganger [n,p]$ $(a,b)$ $Z$ ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)$ $y=b$ $x=a$ $g(x,y)$ ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ $Z$ $en$

Dette hjelper oss imidlertid bare med første-ordens problemer med startforhold. Anta at vi har et lineært problem med startbetingelser av n-te orden:

f_{n}(x){\frac {\mathrm {d}{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){ \ frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)

slik at

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0}, \cdots

For enhver ikke-null, hvis og er kontinuerlig på et eller annet intervall som inneholder , er unik og eksisterer. [ 14 ] $f_{n}(x)$ $\{f_{0},f_{1},\cdots \}$ $g$ $x_{0}$ $Y$

Typer løsninger

En løsning av en differensialligning er en funksjon som ved å erstatte den ukjente funksjonen, i hvert tilfelle med de tilsvarende avledningene, verifiserer ligningen, det vil si konverterer den til en identitet. Det er tre typer løsninger:

Generell løsning

Den generelle løsningen er en generisk type løsning, uttrykt med en eller flere konstanter. Det er en bunt med kurver. Den har en uendelig rekkefølge i henhold til antallet konstanter (en konstant tilsvarer en ganske enkelt uendelig familie, to konstanter til en dobbelt uendelig familie, etc). I tilfelle ligningen er lineær, oppnås den generelle løsningen som en lineær kombinasjon av løsningene (like mange som rekkefølgen av ligningen) av den homogene ligningen (som er resultatet av at termen ikke er avhengig av eller dens deriverte lik 0 ) pluss en spesiell løsning av hele ligningen $y(x)$

Spesiell løsning

Hvis du fikser et punkt som løsningen av differensialligningen nødvendigvis må passere, er det bare én verdi av C, og derfor av integralkurven som tilfredsstiller ligningen, vil denne motta navnet på den spesielle løsningen av ligningen ved punktet , som kalles starttilstanden. $P(X_{0},Y_{0})$ $P(X_{0},Y_{0})$

Det er et spesielt tilfelle av den generelle løsningen, hvor konstanten (eller konstantene) mottar en bestemt verdi.

Entall løsning

Entallsløsningen er en funksjon som verifiserer ligningen, men som ikke oppnås ved å spesifisere den generelle løsningen. Det er en løsning av ligningen som ikke består av en spesiell av den generelle, med andre ord, denne løsningen tilhører ikke den generelle løsningen, men den bekrefter fortsatt differensialligningen.

Merknader til løsninger

La være den ordinære differensialligningen av orden n , det er lett å verifisere at funksjonen y= f(x) er dens løsning. Det er nok å beregne deres deriverte av f(x), deretter koble dem inn i ligningen , sammen med f(x) og bevise at en identitet ved x oppnås. $f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0$

ODE-løsninger kommer i form av funksjoner som er implisitt definert, og noen ganger umulig å uttrykke eksplisitt. For eksempel [ 15 ]

$xy=\ln y+c$ , som er en løsning av: ${\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}={\frac {y^{2}}{1-xy}}$

Den enkleste formen av alle differensialligninger er hvis løsning er. I noen tilfeller er det mulig å løse den ved hjelp av elementære kalkuleringsmetoder. I andre tilfeller krever imidlertid den analytiske løsningen komplekse variable eller mer sofistikerte teknikker, for eksempel med integraler: ${\text{d}}y/{\text{d}}x=f(x)$ $y=\int {f(x)\ {\text{d}}x}+c$

$y=\int {\exp(x^{2})\ {\text{d}}x}$ og i det hele $y=\int {{\frac {\sin x}{x}}\ {\text{d}}x}$

den kan ikke struktureres av et begrenset antall elementære funksjoner. [ 15 ]

Applikasjoner

Studiet av differensialligninger er et omfattende felt innen ren og anvendt matematikk , i fysikk og i ingeniørfag . Alle disse disiplinene er interessert i egenskapene til differensialligninger av ulike slag. Ren matematikk fokuserer på eksistensen og det unike ved løsninger, mens anvendt matematikk legger vekt på den strenge begrunnelsen av metoder for å tilnærme løsninger. Differensialligninger spiller en svært viktig rolle i den virtuelle modelleringen av enhver fysisk, teknisk eller biologisk prosess, for eksempel himmelbevegelse, utformingen av en bro eller samspillet mellom nevroner. Differensialligningene som oppstår for å løse problemer i det virkelige liv er ikke nødvendigvis direkte løsbare, det vil si at løsningene deres ikke har et lukket formuttrykk . Når dette skjer, kan løsningene tilnærmes ved hjelp av numeriske metoder .

Mange lover i fysikk og kjemi er formalisert med differensialligninger. I biologi og økonomi brukes differensialligninger for å modellere oppførselen til komplekse systemer. Den matematiske teorien om differensialligninger utviklet seg opprinnelig med vitenskapene der likningene oppsto og hvor resultater for anvendelser ble funnet. Noen ganger oppsto imidlertid forskjellige problemer i forskjellige vitenskapelige felt, noe som resulterte i identiske differensialligninger. Dette skjedde fordi bak den matematiske likningsteorien kan man se et enhetlig prinsipp bak fenomenene. For eksempel med tanke på forplantningen av lys og lyd i atmosfæren, og av bølger på overflaten av en dam. Alle disse fenomenene kan beskrives med den samme andreordens partielle deriverte ligning , bølgeligningen , som lar oss tenke på lys og lyd som bølgeformer, lik bølger i vann. Varmeledning, teorien som ble utviklet av Joseph Fourier , styres av en annen annenordens partiell differensialligning, varmeligningen . Det viser seg at mange diffusjonsprosesser , selv om de ser ut til å være forskjellige, er beskrevet av samme ligning. Black-Scholes-ligningen i finans er for eksempel relatert til varmeligningen .

Fysikk

Euler-Lagrange-ligninger i klassisk mekanikk
Hamilton-ligninger i klassisk mekanikk
Radioaktivitet i kjernefysikk
Newtons lov om avkjøling i termodynamikk
bølgeligning
Varmeligning i termodynamikk
Laplaces ligning , som definerer de harmoniske funksjonene
Poissons ligning
geodesisk ligning
Navier-Stokes-ligninger i væskedynamikk
Diffusjonsligning i stokastiske prosesser
Konveksjon-diffusjonsligning i væskedynamikk
Cauchy-Riemann-ligninger i kompleks analyse
Poisson-Boltzmann-ligningen i molekylær dynamikk
Saint-Venant-ligninger
Universell differensialligning
Lorenz-ligninger hvis løsninger viser kaotisk flyt.

Klassisk mekanikk Se også: Newtons lover

Så lenge kraften som virker på en partikkel er kjent, er Newtons andre lov tilstrekkelig til å beskrive bevegelsen til en partikkel. Når de uavhengige relasjonene for hver kraft som virker på en partikkel er tilgjengelig, kan de erstattes med Newtons andre lov for å oppnå en vanlig differensialligning , som kalles bevegelsesligningen .

Elektrodynamikk Se også: Elektrodynamikk

Maxwells ligninger er et sett med partielle deriverte ligninger som sammen med Lorentz kraftloven danner grunnlaget for klassisk elektrodynamikk , klassisk optikk og teorien om elektriske kretser . Disse feltene ble grunnleggende innen elektriske, elektroniske og kommunikasjonsteknologier. Maxwells ligninger beskriver hvordan elektriske og magnetiske felt genereres ved å endre hverandre av elektriske ladninger og strømmer . Disse ligningene er oppkalt etter den skotske matematiske fysikeren James Clerk Maxwell , som publiserte sine arbeider om disse ligningene mellom 1861 og 1862.

Generell relativitetsteori Se også: Generell relativitetsteori

Einstein-feltligningene ( også kjent som "Einstein-ligninger") er et sett med ti partielle deriverte ligninger av generell relativitetsteori der den grunnleggende interaksjonen av gravitasjon er beskrevet som et resultat av rom-tid den er buet av materie og energi . [ 16 ] Først publisert av Einstein i 1915 [ 17 ] som en tensorligning , sidestiller ligningene en lokal romtidskurvatur (uttrykt av Einstein-tensoren ) med den lokale energien og momentumet i romtiden (uttrykt ved energimomentumtensoren ). [ 18 ]

Kvantemekanikk

I kvantemekanikk er analogen til Newtons lov Schrödingers ligning (en ligning i partielle derivater) for et kvantisert system (vanligvis atomer, molekyler og subatomære partikler som kan være frie, bundne eller lokaliserte). Det er ikke en enkel algebraisk ligning, men er generelt sett en lineær og partiell differensialligning , som beskriver tidsutviklingen til en bølgefunksjon (også kalt en "tilstandsfunksjon"). [ 19 ]

Biologi

Verhulst-ligning – for biologisk befolkningsvekst.
von Bertalanffy modell – for biologisk individuell vekst.
Replikasjonsdynamikk – i biologisk teori.
Hodgkin og Huxley-modellen - neuronale handlingspotensialer.

Predator-byttedyr-ligninger

Lotka –Volterra-ligningene , også kjent som rovdyr-byttedyr-ligningene, er et par førsteordens ikke-lineære differensialligninger som ofte brukes for å beskrive dynamikken til biologiske systemer der to arter samhandler, den ene rovdyret og den andre byttet. .

Befolkningsvekst

Rundt 1700-tallet ønsket de å vite hvordan folketallet varierte for å kunne forutsi mulige endringer. Derfor foreslår økonomen T. Malthus følgende:

Fødsler og dødsfall, i et lite tidsintervall, er proporsjonale med størrelsen på befolkningen og tidsintervallet.

Det pålegges at y med populasjonsstørrelse på tidspunkt t. $births=\alpha \Delta tN(t)$ $deaths=\beta \Delta tN(t)$ $N(t)=$

Variasjonen av populasjonen i et tidsintervall er med . ${\ce {\Delta t}}$ $\Delta N(t)=\gamma N(t)\Delta t$ $\gamma =\alpha -\beta$

Bruke grensen når du skaffer den matematiske modellen: $\Delta t\rightarrow 0$ ${dN \over dt}=\gamma N$

Ved å løse den forrige ligningen av separerte variabler, med tanke på at størrelsen på populasjonen er , får man at populasjonen på tidspunktet t er gitt av . Denne ekvivalensen informerer om at hvis befolkningen er i ferd med å dø ut, hvis bestanden forblir konstant og hvis bestanden vokser eksponentielt. $t=0$ $N_{0}$ $N(t)=N_{0}e^{\gamma t}$ $\gamma <0$ $γ=0$ $\gamma >0$

Verdiene og beregnes for hver populasjon ved å ta to målinger på to forskjellige tidspunkter. Det er viktig å merke seg at en liten feil i tellingen av dataene fører til forskjellige verdier av konstantene eller at de kan være signifikante og betydelig endre resultatene av modellen for store tider. ${\ce {N_0}}$ $\gamma$ $\gamma$ $N_{0}$

Tar et ekte eksempel. for befolkningen i USA får vi:

År	USAs befolkning
1790	$N(t)=3,9\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1800	$N(t)=5,3\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1810	$N(t)=7,2\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1820	$N(t)=9,6\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1830	$N(t)=12,9\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1840	$N(t)=17.1\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$
1850	$N(t)=23.2\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$
1860	$N(t)=31,4\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1870	$N(t)=38,6\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1880	$N(t)=50.2\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$
1890	$N(t)=62,9\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1900	$N(t)=76\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$
1910	$N(t)=92\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$
1920	$N(t)=106,5\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$
1930	$N(t)=123.2\ ganger 10^{6}e^{0.307t}$

$N(t)=$ Verhulst foreslår noen modifikasjoner av den malthusianske modellen:

Befolkningen kan ikke vokse ubegrenset, men har en tendens til å stabilisere seg ved en grense og populasjonsvariasjonen er proporsjonal med populasjonen N og faktoren . $N_{\infty }$ $1-{N \over N_{\infty }}$

Derfor har den matematiske modellen en tendens til å være: og etter å ha utført en integrasjon av denne modellen, oppnås populasjonsstørrelsen, som er: ${dN \over dt}=\gamma N(1-{N \over N_{\infty }})$

$N(t)=$ $N_{0}N_{\infty } \over {N_{0}+(N_{\infty }-N_{0})e^{-\gamma t}}$

For befolkningen i USA er Verhulst-verdiene beregnet omtrentlig:

$N(t)=3,9\ ganger 10^{6}e^{0,307t}$ , og . $N_{\infty }=197\ ganger 10^{6}$ $\gamma =0,3134$

Etter å ha sammenlignet verdiene oppnådd med Verhulst-modellen med den reelle populasjonen, kan det ses at dette noe overstiger mengden forutsagt av modellen, og derfor er det mulighet for å måtte gjøre noen modifikasjoner i nevnte modell for å tilstrekkelig forutsi størrelsen på befolkningen i fremtiden.

Programvare

ExpressionsinBar : [ 20 ] solve(y'=k*y,y)
Lønn : [ 21 ] løses opp
SageMath: [ 22 ] desolve()
Xcas : [ 23 ] desolve(y'=k*y,y)

Se også

Referanser

^ Newton, Isaac (1736) [1671]. Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (metoden for fluksjoner og uendelige serier ) I. Opuscula. s. 66.
^ Bernoulli, Jacob (1695). «Forklaringer, merknader og tillegg ad ea, quae i Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis." Acta Eruditorum (på latin) .
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Waner, Gerhard (1993). Løse vanlige differensialligninger I : Ikke-stive problemer . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56670-0 .
↑ Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). Evolusjonen av dynamikk, vibrasjonsteori fra 1687 til 1742 . Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (på engelsk) 6 . New York: Springer-Verlag. s. ix + 184 s. ISBN 0-3879-0626-6 .
^ Gray, JW (juli 1983). «Bokanmeldelser». Bulletin of The American Mathematical Society (New Series) 9 (1).
↑ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "Den vibrerende strengkontroversen". Am. J. Phys. 55 ( 1): 33-37. Bibcode : 1987AmJPh..55...33W . doi : 10.1119/1.15311 .
^ "Herman HJ Lynge & Søn A/S (internasjonale antikvariske bokhandlere siden 1821) " . Arkivert fra originalen 9. februar 2020 . Hentet 4. april 2016 .
^ For Lagranges bidrag til de akustiske bølgeligningene, se Pierce, Allan D. (1989). Akustikk: en introduksjon til dens fysiske prinsipper og anvendelser . Acoustical Soc. of America. s. 18.
^ Speiser, David (2008). Oppdag prinsippene for mekanikk 1600-1800 . Basel : Birkhauser. s. 191.
^ Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (på fransk) . Paris: Firmin Didot Pere et Fils. OCLC 2688081 .
^ Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementære differensialligninger og grenseverdiproblemer ( 4. utgave). John Wiley og sønner. s. 3.
↑ Weisstein, Eric W. "Ordinær differensialligningsrekkefølge" . MathWorld (på engelsk) .
^ "Rekkefølge og grad av en differensialligning " . Arkivert fra originalen 1. april 2016 . Hentet 4. april 2016 .
^ Zill, Dennis G. (2001). Et første kurs i differensialligninger ( 5. utgave). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7 .
^ ab Simmons , G. (1993). Differensialligninger (2. utgave). McGraw-Hill.
^ Einstein, Albert (1916). " Grunnlaget for den generelle relativitetsteorien ". Annalen der Physik ( Wikisource ) 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP...354..769E . doi : 10.1002/andp.19163540702 .
^ Einstein, Albert (25. november 1915). Die Feldgleichungen der Gravitation . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (på tysk) : 844-847. Engelsk oversettelse: The Field Equations of Gravitation ( Wikisource )
↑ Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). "3. 4". Gravitasjon (på engelsk) . San Francisco: W.H. Freeman. s. 916 . ISBN 978-0-7167-0344-0 .
↑ Griffiths, David J. (2004). Introduksjon til kvantemekanikk (2. utgave). Prentice Hall. s. 1-2 . ISBN 0-13-111892-7 .
^ "ExpressionsinBar" . www.alelvisoftware.com . Hentet 17. mai 2020 .
^ "dsolve - Maple-programmeringshjelp" . www.maplesoft.com . Hentet 12. mai 2020 .
^ "Grunnleggende algebra og kalkulus - Sage Tutorial v9.0" . doc.sagemath.org . Hentet 17. mai 2020 .
^ "Symbolisk algebra og matematikk med Xcas" .

Bibliografi

Zill, Dennis G. (2009). Differensialligninger med modelleringsapplikasjoner (9. utgave). Mexico: Cengage Learning Publishers. ISBN 9708300551 . Informativt sammendrag .
Aranda Iriarte, Jose Ignacio (2009). Merknader om differensialligninger I. Complutense Universitetet i Madrid .
Aranda Iriarte, Jose Ignacio (2011). Merknader om differensialligninger II (DPE) . Complutense Universitetet i Madrid .
Varona Malumbres, Juan Luis (1996). Klassiske metoder for å løse vanlige differensialligninger . Universitetet i La Rioja , Spania .
Teschl, Gerald (2012). Vanlige differensialligninger og dynamiske systemer . Graduate Studies in Mathematics (på engelsk) 140 . AMS . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons er vert for en mediekategori på Differensial Equation .
Nøyaktige løsninger av vanlige differensialligninger
Nøyaktige løsninger av lineære differensialligninger i partielle derivater
Program for å løse vanlige differensialligninger skrevet i Matlab