Kontinuerlig funksjon

I matematikk er en kontinuerlig funksjon en som intuitivt oppstår små variasjoner i funksjonens verdier for nærliggende punkter i domenet; Selv om strengt tatt, i et metrisk rom som i en reell variabel, betyr det at små variasjoner av funksjonen innebærer at punktene må være nærme. Hvis funksjonen ikke er kontinuerlig, sies det å være diskontinuerlig . Uformelt er en kontinuerlig funksjon fra ℝ til ℝ en hvis graf kan tegnes uten å løfte blyanten fra papiret (mer formelt er grafen et sammenkoblet sett ).

Kontinuiteten til funksjoner er et av de grunnleggende begrepene i matematisk analyse og generell topologi . Denne artikkelen beskriver hovedsakelig kontinuiteten til reelle funksjoner til en reell variabel.

Reelle funksjoner til en reell variabel

Uformelt sett er en funksjon f definert på et intervall I kontinuerlig hvis kurven som representerer det, det vil si settet med punkter ( x , f(x) ), med x i I , utgjøres av en kontinuerlig linje, dvs. et slag som ikke er brutt, og heller ikke har "hull" eller "hopp", som på figuren til høyre.

Intervallet I til x er det definerende domenet til f , definert som settet med verdier av x som f(x) eksisterer for.

Intervallet J til y er området (også kjent som bildet ) til f , settet med y-verdier, tatt som y = f(x). Vi skriver J = f(I) . Merk at det generelt sett ikke er det samme som codomenet (bare hvis den aktuelle funksjonen er surjektiv .)

Det største elementet av J kalles det absolutte maksimum av f i I , og den minste verdien av J er dets absolutte minimum i domenet I .

Kontinuitet til en funksjon på et punkt

Definisjon av kontinuitet på et punkt

En funksjon f er kontinuerlig i et punkt x 0 som tilhører funksjonens domene.

Ja:

\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\;

slik at for alle x som tilhører funksjonens domene

|x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon

Dette kan skrives i form av grenser som følger; hvis x 0 er et punkt i domenet til funksjonen som er dens akkumuleringspunkt, så er f kontinuerlig ved x 0 hvis og bare hvis . Når x 0 er et punkt i domenet som ikke er dets akkumuleringspunkt, dvs. er isolert punkt i domenet, er definisjonen trivielt oppfylt, så er hver funksjon kontinuerlig på de isolerte punktene i domenet. For eksempel er sekvenser av reelle tall et tilfelle av reell funksjon av reell variabel hvis domene er settet av naturlige tall. Siden alle punktene i domenet til en sekvens er isolerte punkter i den, følger det at hver sekvens er en kontinuerlig funksjon. På den annen side gir det ingen mening å snakke om hvorvidt en funksjon er kontinuerlig eller ikke på et punkt som ikke tilhører dens domene. For eksempel er funksjonen f(x)=1/x kontinuerlig på alle punkter i sitt domene (merk at null ikke er i domenet til funksjonen). Ved null, siden den ikke er i domenet, kan vi ikke snakke om hvorvidt den er kontinuerlig eller ikke, siden definisjonen av kontinuitet på et punkt og derfor muligheten for å bestemme om en funksjon er kontinuerlig eller ikke på det punktet, starter fra et punkt i domenet til funksjonen før kontinuitet defineres der. La oss ikke glemme at domenet til en funksjon ikke trenger å være et intervall. For eksempel er domenet til funksjonen , settet med heltall. $\limx\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ $f(x)={\sqrt {\cos(2\pi x)-1}}$ $\mathbb Z$

MERK:
Ved anvendelser av i , er det vanlig å se at en funksjon sies å være kontinuerlig i et punkt x 1 hvis det finnes f (x 1 ) , hvis grensen for f (x) eksisterer når x nærmer seg x 1 til høyre, hvis grensen for f (x) eksisterer når x nærmer seg x 1 fra venstre, og begge faller sammen med f (x 1 ) . Dette vil innebære at gitt en funksjon, hvis den ikke er definert på et punkt, er den ikke kontinuerlig på det punktet, noe som fører til en situasjon som følgende: Funksjonen definert som er ikke kontinuerlig ved 0 fordi den ikke er definert på det punkt, men ingen av dem er kontinuerlig ved 3 eller 5. Denne utilfredsstillende definisjonen av kontinuitet er utbredt, men vi må huske det vesentlige kravet for å kunne snakke om kontinuitet at punktet der kontinuitet studeres tilhører domenet. Hvis det ikke er i domenet, men det er dets akkumuleringspunkt, kan vi snakke om hvorvidt det kan utvides kontinuerlig til det punktet, men vi kan ikke si at funksjonen er diskontinuerlig på det punktet (den utvidede funksjonen kan faktisk være diskontinuerlig, siden når du inkorporerer nevnte punkt i domenet, er det fornuftig å vurdere studiet av kontinuitet i det). $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $F$ $f:(0,1)\longrightarrow \mathbb {R}$ $f(x)=x$

En funksjon f kontinuerlig i et punkt i domenet x 1 , som dessuten er akkumuleringspunktet, innebærer følgende:

{\color {Blue}(7)}\;f(x_{1})=L_{(x_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue }(5)}\;L_{(x_{1})}=L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\venstre\{{\ begynne{array}{l}{\color {Blå}(3)}\;\eksisterer \;L_{(x_{1})}^{+}\land \exists \;L_{(x_{1}) }^{-}\;\venstre\{{\begin{array}{l}{\color {Blå}(1)}\;\eksisterer \;L_{(x_{1})}^{+}= {\displaystyle \lim​​x\to {x_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blå}(2)}\;\eksisterer \;L_{(x_) {1})}^{-}={\displaystyle \lim​​x\to {x_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right.\\{\color {Blå}(4)}\;L_{(x_{1})}^{+}=L_{(x_{1})}^{-}\end{array}}\right.\\{\color {Blå}(6)}\;\eksisterer f(x_{1})\end{array}}\right.

1. Det er rett grense:

\exists \lim​​x\to x_{1}^{+}}f(x)\i \mathbb {R}

2. Det er grensen til venstre:

\exists \lim​​x\to x_{1}^{-}}f(x)\i \mathbb {R}

3. Grensen til høyre og grensen til venstre faller sammen:

\lim​​x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim​​x\to x_{1}^{+}}f(x)

4. Hvis grensen fra høyre og venstre eksisterer og verdiene deres sammenfaller, har funksjonen en grense på dette punktet:

\lim​​x\to x_{1}}f(x)=\lim​​x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim​​x\to x_{ 1}^{+}}f(x)

5. Det er f(x 1 ) :

\exists f(x_{1})

6. Grensen og verdien av funksjonen faller sammen:

\lim​​x\to x_{1}}f(x)=f(x_{1})

En funksjon sies å være kontinuerlig på et intervall hvis den er kontinuerlig på alle punkter.

Hvis f(x 1 )= y 1 , uttrykkes kontinuiteten ved x 1 som:

\lim​​x\to x_{1}}f(x)=y_{1}

parafrasering, når x nærmer seg x 1 , nærmer f(x) seg y 1 . Per definisjon av grenser betyr dette at for hvert åpent intervall J , sentrert ved y 1 , eksisterer det et åpent intervall I , sentrert ved x 1 , slik at . $f(I)\in J$

Hvis f ikke er kontinuerlig i et punkt, mislykkes teoremet. Faktisk, ikke hvert intervall I rundt x 1 har sitt bilde i et intervall J sentrert ved y 1 , med en radius mindre enn hoppet til f , uansett hvor lite dette intervallet er, er det verdier av x av intervallet I rundt x 1 som har bildet sitt i et intervall K sentrert på y 2 , der y 1 og y 2 er forskjellige verdier, det vil si: x har bilder som går ut av J .

Fordelen med denne definisjonen er at den kan generaliseres til et hvilket som helst topologisk rom .

Lateral kontinuitet

En funksjon blir stående kontinuerlig på punktet hvis venstre grense og verdien av funksjonen ved punktet er like. Nemlig: $F$ $x_{1}$

\lim​​x\to x_{1}^{-}}f(x)=f(x_{1})

som på figuren.

En funksjon er rett kontinuerlig på punktet hvis dens høyre grense og verdien av funksjonen i punktet er like. Nemlig: $F$ $x_{1}$

\lim​​x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1})

En funksjon er kontinuerlig på et punkt hvis den er kontinuerlig fra venstre og den er kontinuerlig fra høyre . Det er: $F$

\lim​​x\to x_{1}^{-}}f(x)=\lim​​x\to x_{1}^{+}}f(x)=f(x_{1 })

Kontinuitet til en funksjon på et åpent intervall: (a,b)

En verdi c , tilhører et åpent intervall I , med venstre endepunkt a og høyre endepunkt b , representert I= (a,b) hvis:

a<c<b\;

En funksjon, f er kontinuerlig på et åpent intervall I= (a,b) , hvis og bare hvis funksjonen er kontinuerlig på alle punkter i intervallet, det vil si:

\forall c\in I=(a,b):\quad \lim​​x\to c}f(x)=f(c)

Kontinuitet til en funksjon på et lukket intervall: [a,b]

En verdi c , tilhører et lukket intervall I , med venstre endepunkt a og høyre endepunkt b , representert I= [a,b] hvis:

a\leq c\leq b\;

En funksjon f er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b] hvis funksjonen er kontinuerlig på det åpne intervallet (a,b) og er kontinuerlig fra høyre for a og kontinuerlig fra venstre for b :

\forall c\in I=[a,b]:\quad \lim​​x\to c}f(x)=f(c)\quad \land \quad \lim​​x\to a +}}f(x)=f(a)\quad \land \quad ?x\to b^{-}}f(x)=f(b)

Noen viktige pågående funksjoner

Polynomfunksjonene , trigonometrisk : sinus og cosinus , eksponentialene og logaritmene er kontinuerlige i sine respektive definisjonsdomener.

Parablen , som en polynomfunksjon , er et eksempel på en kontinuerlig funksjon gjennom hele det reelle domenet.

Grafen viser sinusfunksjonen som er periodisk, avgrenset og kontinuerlig gjennom det virkelige domenet, gitt dens periodiske natur, er det nok å se bare en av syklusene for å sjekke kontinuitet, fordi resten av syklusene er nøyaktig de samme.

Intervalldefinerte funksjoner

Funksjoner definert for forskjellige intervaller av x kan være diskontinuerlige ved intervallendring, for eksempel:

Funksjonsheltallsdelen av x , E( x ), der E( x ) er det største heltall mindre enn eller lik x , slik at:

E( x ) ≤ x < E( x ) + 1.

Grafen er en rekke horisontale segmenter i forskjellige høyder. Denne funksjonen er ikke kontinuerlig på heltallene, siden venstre og høyre grense er forskjellige, men den er kontinuerlig på de åpne segmentene (n, n+1) hvor den er konstant.

Andre intervalldefinerte funksjoner er:

enhet trinn funksjon tegn funksjon

Rasjonell funksjon

Rasjonelle funksjoner er kontinuerlige i et passende intervall. Et eksempel på dette er den inverse funksjonen til x :

f(x)={\frac {1}{x}}

Denne funksjonen er en hyperbel som består av to seksjoner. x < 0 og x > 0. Som du kan se, er den kontinuerlig over hele domenet fordi den ikke er definert ved x= 0 . Hvis domenet til funksjonen utvides til R (ved å gi den en vilkårlig verdi på f(0), vil funksjonen være diskontinuerlig. $\left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$

Teoremer om kontinuerlige funksjoner

Dette er noen av de viktigste teoremene om kontinuerlige funksjoner.

Weierstrass-teorem : Hvis f er kontinuerlig på , har f minst ett maksimum og minst ett minimum på det intervallet. $[a,b]$
Bolzanos teorem : Hvis f er kontinuerlig på og eller , så eksisterer det slik at $[a,b]$ $f(a)<0<f(b)$ $f(b)<0<f(a)$ $c\in (a,b)$ $f(c)=0$
Mellomverditeorem : Hvis f er kontinuerlig ved y , så eksisterer det slik at $[a,b]$ $k:\,f(a)<k<f(b)$ $c\in (a,b)$ $f(c)=k$
Begrenset: Hvis f er en funksjon på et kompakt sett , har funksjonen et maksimum eller et minimum (på et åpent sett har vi følgende moteksempel: funksjonen er kontinuerlig på, men er ikke avgrenset). $f(x)=1/x$ $(0,1)$

Derivat og kontinuitet

Differensierbare funksjoner er kontinuerlige. Hvis en funksjon er differensierbar ved x=a , er den kontinuerlig ved x=a . Så kontinuitet er en nødvendig betingelse for deriverbarhet.

Demonstrasjon
: $f(x)-f(a)=f(x)-{{f(a)}^{}}^{}$ $f(x)-f(a)={\frac {(f(x)-f(a))(xa)}{(xa)}}$ $f(x)={\frac {(f(x)-f(a))(xa)}{(xa)}}+f(a)$ $\limx\to a}f(x)=\limx\to a}{\frac {(f(x)-f(a))}{(xa)}}\lim x\to a}(xa)+\lim x\to a}f(a)$ $f'(a)\limx\to a}(xa)+\limx\to a}f(a)=f'(a)\cdot 0+f(a)=f (en)$

Det er viktig å merke seg at det motsatte ikke er gyldig; det vil si at ingenting kan bekreftes om deriverbarheten til en kontinuerlig funksjon. Et tydelig eksempel på denne situasjonen er absoluttverdifunksjonen f(x)= |x| at selv om den er kontinuerlig gjennom hele domenet, er den ikke differensierbar ved x= 0. Det er til og med funksjoner som er kontinuerlige gjennom, men ikke differensierbare på noe tidspunkt (de Brownske bevegelsesfunksjonene bekrefter dette med sannsynlighet 1). $\mathbb{R}$

Kontinuitetsklasse

En funksjon sies å: $f:\Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

er av klasse når den er kontinuerlig over hele domenet . $C^{0}(\Omega )\,$ $\Omega$
er av klasse hvis det er definert på hele domenet sammen med dets derivater opp til rekkefølge og alle er kontinuerlige. $C^{k}(\Omega )\,$ $\Omega$ $k\geq 1$
er av klasse hvis den har kontinuerlige derivater av en hvilken som helst rekkefølge. Merk at funksjoner av denne typen ikke nødvendigvis er analytiske . $C^{\infty }(\Omega )\,$
En funksjon er av klasse hvis den er den deriverte i betydningen fordelingene til en funksjon av klasse . $C^{-1}(\Omega )\,$ $C^{0}(\Omega )\,$
En generalisert funksjon sies å være av klasse hvis den er den kth - deriverte i betydningen fordelingene til en funksjon av klasse . $C^{-k}(\Omega )\,$ $C^{0}(\Omega )\,$

Enhver polynomfunksjon av en variabel er en klassefunksjon . Den generaliserte Dirac delta-funksjonen er en klassefunksjon siden den er den andrederiverte av rampefunksjonen som er kontinuerlig, og den førstederiverte av Heaviside-trinnfunksjonen som er av klasse $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $C^{-2}(\mathbb {R} )\,$ $C^{-1}$

Eksempler kan gis som viser at det er funksjoner av klasse, men at de ikke er av klasse . Klassiske eksempler er . $C^{k}(\Omega )\,$ $C^{k+1}(\Omega )\,$ $f_{k}(x)=x^{k}\operatørnavn {sin}(1/x)$

La e være to topologiske rom . En søknad sies å være kontinuerlig hvis: $(X,T_{X})$ $(Y,T_{Y})$ $f:X\longrightarrow Y$
$f^{-1}(G)$ er en åpen av , uansett åpen av . Dette er kontinuiteten sett globalt, følgende er kontinuiteten på et punkt i domenet. $X$ $G$ $Y$
Denne definisjonen reduseres til den vanlige definisjonen av kontinuitet til en funksjon hvis over og topologien indusert av den euklidiske avstanden vurderes. $f:\mathbb {R}<n}\to \mathbb {R}<m}$ $? {R} n$ $\mathbb {R}<m}$
Med samme notasjon som ovenfor, hvis , vil vi si at det er kontinuerlig når det oppnås at det er et nabolag av , uansett nabolaget til . $x\in X$ $F$ $x$ $f^{-1}(V)$ $x$ $v$ $f(x)$
Det er da mulig å sjekke at den er kontinuerlig hvis og bare hvis den er kontinuerlig ved , hva enn dette måtte være, det vil si når den er kontinuerlig på hvert av punktene i domenet. $F$ $x\i X$

Kontinuerlige funksjoner på ordenstall

Begrepet kontinuerlig funksjon i den delen av mengdlæren som omhandler ordenstall har en annen betydning enn den som refererer til funksjoner på topologiske rom. Spesifikt er en funksjon F definert på klassen av ordenstall kontinuerlig hvis følgende egenskap gjelder for hver grenseordinal: $\mathrm {På}$

$F(\gamma )=\bigcup \{F(\sigma )|\ \sigma <\gamma ,\ \sigma \in \mathrm {På} \}$

Se også

Referanser

Bibliografi

Serge Lang (1990): An Introduction to Mathematical Analysis , Wilmington Delaware.
James R. Munkres (2002): Topology , Madrid.
Demidovich BP (1980). "5000 problemer med matematisk analyse".