Stokastisk prosess

Se også: Stokastisk system

I sannsynlighetsteori er en stokastisk prosess et matematisk konsept som brukes til å representere tilfeldige mengder som varierer over tid eller for å karakterisere en rekke tilfeldige ( stokastiske ) variabler som utvikler seg som en funksjon av en annen variabel, vanligvis tid. [ 1 ] Hver av de tilfeldige variablene i prosessen har sin egen sannsynlighetsfordelingsfunksjon og kan eller kan ikke være korrelert med hverandre.

Hver variabel eller sett med variabler utsatt for tilfeldige påvirkninger eller effekter utgjør en stokastisk prosess. En stokastisk prosess kan forstås som en én-parameter familie av tilfeldige variabler indeksert med tiden t . Stokastiske prosesser gjør det mulig å håndtere dynamiske prosesser der det er en viss tilfeldighet. $X_{t}$

Begrepet prosess

Mange felt bruker observasjoner som en funksjon av tid (eller, mer sjelden, av en romlig variabel). I de enkleste tilfellene gir disse observasjonene opphav til en veldefinert kurve. I virkeligheten, fra geovitenskap til humaniora, har observasjoner en tendens til å skje mer eller mindre uberegnelig. Derfor er tolkningen av disse observasjonene underlagt en viss usikkerhet, noe som kan gjenspeiles i bruken av sannsynligheter for å representere dem.

En tilfeldig prosess generaliserer forestillingen om en tilfeldig variabel brukt i sannsynlighet. Det er definert som en familie av tilfeldige variabler X(t) assosiert med alle verdier t ∈ T (ofte tid).

Fra et statistisk synspunkt anser vi alle tilgjengelige observasjoner x(t) som en realisering av prosessen, noe som gir opphav til visse vanskeligheter. Et første problem refererer til det faktum at varigheten som prosessen er bygget på generelt er uendelig, mens en realisering dekker en begrenset varighet. Derfor er det umulig å representere virkeligheten perfekt. En annen og mye mer alvorlig vanskelighet er at, i motsetning til problemet med tilfeldige variabler, er informasjonen som er tilgjengelig om en prosess generelt redusert til en enkelt realisering.

Typer prosesser

Det er vanlig å skille mellom diskrete og kontinuerlige tidsprosesser, med diskrete og kontinuerlige verdier.

Hvis settet T er tellbart, kalles det en diskret prosess eller tidsserie, hvis settet er utellelig kalles det en kontinuerlig prosess. Forskjellen er ikke grunnleggende: spesielt er stasjonaritet, konstanten til statistiske egenskaper som funksjon av tid, definert på samme måte. Dette er ikke engang en praktisk forskjell, siden beregninger på en kontinuerlig prosess gjøres ved å prøve én kjøring av prosessen. Forskjellen ligger snarere i holdningen til bruken av en enkelt utførelsesform.

Det er en noe mer markant forskjell mellom kontinuerlige verdiprosesser og diskrete verditellingsprosesser. Sistnevnte erstatter integralene som brukes av førstnevnte med algebraiske summer.

Eksempler

Følgende er eksempler innenfor den brede gruppen av tidsserier :

telekommunikasjonssignaler;
biomedisinske signaler ( elektrokardiogram , encefalogram , etc.);
seismiske signaler ;
antall solflekker år etter år;
andre- for -sekund børsindeks ;
utviklingen av befolkningen i en kommune år etter år;
ventetiden i køen for hver av brukerne som ankommer et vindu;
klima , et gigantisk sett med sammenhengende stokastiske prosesser (vindhastighet, luftfuktighet, etc.) som utvikler seg i rom og tid;
stokastiske prosesser av orden større enn én, som i tilfellet med en tidsserie med orden 2 og en korrelasjon på null med de andre observasjonene.

Spesielle tilfeller

Stasjonær prosess: En prosess er strengt tatt stasjonær hvis den felles distribusjonsfunksjonen til en hvilken som helst delmengde av variabler er konstant med hensyn til et skift i tid. En prosess sies å være stasjonær i vid forstand (eller svakt stasjonær) når det er bekreftet at:

Det teoretiske gjennomsnittet er uavhengig av tid, og
Autokovariansene til ordre s påvirkes kun av tiden som har gått mellom de to periodene og er ikke avhengig av tid.

Homogen prosess : uavhengige og identisk distribuerte tilfeldige variabler. De er prosesser der domenet har en viss symmetri og de endeligdimensjonale sannsynlighetsfordelingene har samme symmetri. Et spesielt tilfelle inkluderer stasjonære prosesser, også kalt tidshomogene prosesser.
Markov-prosessen : de diskrete prosessene der evolusjonen bare avhenger av den nåværende tilstanden og ikke av de forrige.
diskrete tidsprosesser
- Bernoulli-prosess : Dette er diskrete prosesser der antall hendelser er gitt av en binomialfordeling .
- Galton-Watson- prosess - er en type Markov-prosess med forgrening.
Kontinuerlige tidsprosesser :
- Gaussisk prosess: kontinuerlig prosess der hver lineær kombinasjon av variabler er en normalfordelt variabel .
- Kontinuerlig Markov-prosess
  - Gauss-Markov- prosessen: de er Gauss- og Markov-prosesser på samme tid.
  - Feller-prosess : de er stokastiske prosesser som tar verdier på operatørrom i et funksjonelt rom .
  - Lévy-prosess : de er "kontinuerlig tid" homogene Markov-prosesser som generaliserer den tilfeldige vandringen som vanligvis defineres som "diskret tid".
    - Poisson-prosess : det er et spesielt tilfelle av Lévy-prosessen hvor tiden mellom hopp følger en eksponentiell fordeling, og derfor er antall hendelser i et intervall gitt av en Poisson-fordeling .
    - Wiener-prosess : økningen av variabelen mellom to øyeblikk har en Gauss-fordeling, og derfor, i tillegg til en Lévy- prosess, er det samtidig en Gauss-prosess .
  - Dobbelt stokastisk prosess : det er en type stokastisk modell som brukes til å modellere bestemte tidsserier, der parametrene som gir distribusjonene også varierer tilfeldig (derav begrepet dobbelt stokastisk).
    - Cox -prosess – er en dobbelt stokastisk prosess som generaliserer Poisson-prosessen, hvor intensitetsparameteren varierer tilfeldig.
- Kontinuerlig stokastisk prosess : det er en type kontinuerlig-tids stokastisk prosess der banene også er kontinuerlige baner.

Matematisk definisjon

En stokastisk prosess kan defineres tilsvarende på to forskjellige måter:

Som et sett med midlertidige realisasjoner og en tilfeldig indeks som velger en av dem.
Som et sett med tilfeldige variabler indeksert av en indeks , gitt at , med . $X_{t}\,$ $du\,$ $t\in T\,$ $T\subseteq \mathbb {R} \,$

En prosess kalles «kontinuerlig tid» hvis det er et intervall (vanligvis tas dette intervallet som ) eller «diskret tid» hvis det er et tellbart sett (det kan bare anta visse verdier, vanligvis tas det ). Tilfeldige variabler tar verdier i et sett som kalles et sannsynlighetsrom . være et sannsynlighetsrom . I et tilfeldig utvalg av størrelse observeres en sammensatt hendelse som består av elementære hendelser : $T\,$ $[0,\infty )$ $T\,$ $T\subseteq \mathbb {N}$ $X_{t}\,$ $(\Omega ,{\mathcal {B}},P)$ $n$ $OG$ $\omega$

$E=\{\omega{1},\omega{2},...,\omega{n}\}\subset \Omega \,$ , slik at . $E\in B\,$

Den sammensatte hendelsen er en delmengde i prøverommet og er en boolsk algebra . Hver hendelse tilsvarer en verdi av en tilfeldig variabel , slik at den er en funksjon av : $B.$ $\omega$ $v$ $v$ $\omega$

$V=V(\omega );\qquad \omega \in \Omega ,\,-\infty <V<\infty$

Domenet til denne funksjonen, det vil si variasjonsfeltet til den elementære hendelsen, er prøverommet, og banen , det vil si den til den tilfeldige variabelen, er feltet til reelle tall . Verdien i til et element kalles en tilfeldig prosess , hvor for alt er en tilfeldig variabel av verdien i . $(A,{\mathcal {A}})$ $X=(\Omega ,{\mathcal {B}},(X_{t})_{t\geq 0},P)$ $t\in \mathbb {R} ,X_{t}\,$ $(A,{\mathcal {A}})$

Hvis hendelsen observeres på et tidspunkt: $\omega$ $du$

V=V(\omega ,t),\qquad \omega \in \Omega ,t\in T,-\infty <V<\infty

$v$ definerer dermed en stokastisk prosess. [ 2 ]

Hvis det er en filtrering , [ 3 ] kalles verdien i , av et element , hvor er en målbar tilfeldig variabel av verdien i , en tilpasset tilfeldig prosess . Funksjonen kalles banen knyttet til hendelsen . $({\mathcal {B}}_{t})_{t}\,$ $(A,{\mathcal {A}})$ $X=(\omega ,{\mathcal {B}},{\mathcal {B}}_{t},(X_{t})_{t},P)$ $X_{t}\,$ ${\mathcal {B}}_{t}$ $(A,{\mathcal {A}})$ $\mathbb {R} \rightarrow A\ :\ t\mapsto X_{t}(\omega )$ $\omega \,$

Se også

Referanser

↑ Introduksjon til tidsserier. Parametriske metoder . Universitetet i Medellín. 1. januar 2007. ISBN 9789589801079 . Hentet 6. februar 2017 .
↑ Dagum, Camilo og Estela M. Bee de Dagum (1971) Introduction to Econometrics : 79-83. Mexico: Siglo XXI forlag, syvende utgave, 1980.
↑ En sekvens {B(t), t∈T} av sub-σ-algebraer slik at B(t) er inkludert i B(r) hvis r < t kalles en "filtrering".