Grensen for en funksjon

Grensen for en funksjon er et grunnleggende konsept for matematisk analyse brukt på funksjoner . [ 1 ] Spesielt refererer konseptet i reell analyse til studiet av grenser, kontinuitet og deriverbarhet for reelle funksjoner.

Intuitivt betyr det faktum at en funksjon f når en grense L i et punkt c at, ved å ta punkter nær nok c , kan verdien av f være så nær L som ønsket. Nærheten til verdiene til f og L avhenger ikke av verdien som f oppnår ved nevnte punkt c .

Historikk

Selv om det var implisitt i utviklingen av kalkulus på 1600- og 1700-tallet , dateres den moderne notasjonen av grensen for en funksjon tilbake til Bolzano , som i 1817 introduserte grunnlaget for epsilon - delta -teknikken . [ 2 ] Imidlertid så han ikke anerkjennelse for sitt arbeid i løpet av livet. Cauchy avslørte grenser i sin Cours d'analyse (1821) og ser ut til å ha uttrykt essensen av ideen, men ikke på en systematisk måte. [ 3 ] Den første strenge offentlige presentasjonen av teknikken ble gitt av Weierstrass på 1850- og 1860-tallet, [ 4 ] og den har siden blitt standardmetoden for å jobbe med grenser.

Skrivenotasjonen som bruker forkortelsen lim med pilen under, skyldes Hardy i sin bok A Course of Pure Mathematics, i 1908. [ 3 ]

Formell definisjon

Ekte variabelfunksjoner

Hvis funksjonen har en grense på kan vi si uformelt at funksjonen nærmer seg grensen nær hvis den kan gjøres så nær som vi ønsker ved å være nær nok til å være forskjellig fra . $F$ $L$ $c$ $F$ $L$ $c$ $f(x)$ $L$ $x$ $c$ $x$ $c$

Begrepene nært og nært nok er matematisk upresise. Av denne grunn er det gitt en formell definisjon av grense som spesifiserer disse begrepene. Da sies det:

Grensen for en funksjon f( x ), når x nærmer seg c er L hvis og bare hvis for alle , det eksisterer en slik at for hvert reelt tall x i domenet til funksjonen, hvis da . $\epsilon >0\;$ $δ>0\;$ $0<|xc|<\delta$ $|f(x)-L|<\varepsilon$

Dette, skrevet i formell notasjon:

\lim​​x\to c}\,\,f(x)=L

\iff \forall \varepsilon >0,\,\,\,\eksisterer \delta >0\,|\,\forall x\i \operatørnavn {Dom} (f),\,\,0<| xc|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Dette er en streng formulering av konseptet med grensen for en reell funksjon ved et akkumuleringspunkt (eller grensepunkt) for funksjonens domene og skyldes den franske matematikeren Luis Cauchy. [ 5 ]

Det viktige er å forstå at formalismen ikke er laget av matematiske symboler, men av presisjonen som grensebegrepet defineres med. Denne notasjonen er enormt kraftig, siden den forteller oss at hvis grensen eksisterer, så kan du være så nær den du vil. Hvis du ikke kan komme nærme nok, så var valget av den ikke passende. $\delta$

La oss se et eksempel. Anta at vi ønsker å vise at Beregningen av denne grensen oppstår ved enkel substitusjon, dette er fordi den affine funksjonen er kontinuerlig . $?{x\to 2}}(3x-5)=1.$

Demonstrasjon
La oss da bruke definisjonen, vi må vise at vi for enhver gitt kan finne en som den er oppfylt for $\varepsilon$ $\delta$ ( * ) $0<\|x-2\|<\delta \Rightarrow \|(3x-5)-1\|<\varepsilon$ Å ta det er mulig å bevise dette. Det er gyldig siden det lar oss få en verdi for en gitt, som er nøyaktig hva definisjonen sier. $\tekststil \delta ={\frac {1}{3}}\varepsilon$ $\varepsilon$ Vi vil da bevise oppgaven, med hypotese . $\textstyle 0<\|x-2\|<{\frac {1}{3}}\varepsilon$ La oss se at , så ved hypotese og det er bevist ( * ). $\|(3x-5)-1\|=\|3x-6\|=3\|x-2\|$ $\textstyle 3\|x-2\|<3{\frac {1}{3}}\varepsilon =\varepsilon$ Merk at vi godt kunne ha valgt eller , for eksempel. I mellomtiden kan vi alltid bevise ( * ). $\delta ={\frac {1}{6}}\varepsilon$ $\delta ={\frac {1}{15}}\varepsilon$ $\delta \leq {\frac {1}{3}}\varepsilon$

Det er tilfeller som Dirichlet-funksjonen definert som: $D:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$

$D(x)={\begin{cases}c&{\mathrm {for\ }}x\ {\mathrm {rasjonell}}\\d&{\mathrm {for\ }}x\ {\mathrm {irrasjonell}}\ \\end{saker}}$

der det ikke er et tall a i domenet som eksisterer For å bevise utsagnet ovenfor, er det nødvendig å bruke det faktum at hvert intervall inneholder både rasjonelle og irrasjonelle tall . $\limx\to a}f(x).$

Sekvensiell grense

Den består av å definere grensen for en funksjon i form av verdiene den tar for sekvenser som finnes i dens domene.

En reell funksjon f har en grense L i et punkt x = c i domenet sitt hvis for hver sekvens xn som konvergerer til dette punktet c , konvergerer sekvensen f ( xn ) til L.

I formelle termer, hvis x n er en sekvens slik at

$\forall \varepsilon{0}>0,\eksisterer N_{0}\i \mathbb {N} /n\geq N_{0}\Longrightarrow |x_{n}-c|<\varepsilon{ 0}$

da har f grense L ved x = c hvis og bare hvis

$\forall \varepsilon >0,\eksisterer N\i \mathbb {N} /\forall x_{n},\,n>N\Longrightarrow |f\left(x_{n}\right)-L| <\varepsilon$

som er symbolisert slik:

$\limn\to \infty }f\left(x_{n}\right)=L$

Denne definisjonen når det gjelder sekvenser er ekvivalent med Cauchy epsilon-delta-definisjonen.

Demonstrasjon
Siden vi ønsker å bevise en ekvivalens, må vi bevise to implikasjoner. På den ene siden: ${\displaystyle \limx\to c}f(x)=L\Longrightarrow \limn\to \infty }f\left(x_{n}\right)=L,\forall x_{n} /\limn\to\infty }x_{n}=c$ Ved hypotese $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0/0<\|xc\|<\delta \Longrightarrow \|f(x)-L\|<\varepsilon$ så hvis x n konvergerer til c , eksisterer det et naturlig tall N 0 slik at $\|x_{n}-c\|<\delta ,\ \forall n\geq N_{0}$ det vil være tilstrekkelig å velge N 0 som en funksjon av δ . Betingelsen ovenfor innebærer at punktene x = x n tilfredsstiller den første delen av implikasjonen $0<\|xc\|<\delta$ hvis x = x n blir det automatisk oppfylt av hypotesen at $\|f(x_{n})-L\|<\varepsilon$ Det har vi nettopp vist $\forall x_{n},n\geq N=N_{0}\Longrightarrow \|f(x_{n})-L\|<\varepsilon$ som er nettopp definisjonen av sekvensiell grense. For den gjensidige implikasjonen går man frem ved reductio ad absurdum . ${\displaystyle \limn\to \infty }f\left(x_{n}\right)=L,\forall x_{n}/\limn\to \infty }x_{n}=c ?Langhøyrepil ?x\til c ?f(x)=L ?$ Forutsatt at det ikke er noen grense $\limx\to c}f(x)=L$ vi har, som benekter dens definisjon, at det eksisterer en ε slik at for hver δ eksisterer det minst én sekvens x δ som den er oppfylt for $0<\left\|x_{\delta}-c\right\|<\delta \land \|f(x)-L\|\geq \varepsilon$ Spesielt er det verdt å ta $\delta ={\frac {1}{n}},\ n\in \mathbb {N}$ Derfor er det for disse δ minst én sekvens t n = x δ som tilfredsstiller $0<\left\|t_{n}-c\right\|<{\frac {1}{n}}\land \|f\left(t_{n}\right)-L\|\geq \varepsilon$ Dette viser at selv om t n konvergerer til c , konvergerer ikke funksjonen f til L for disse sekvensene. Dette motsier hypotesen, og motsigelsen kom fra å anta at derfor grensen for f ( x ) når x nærmer seg c må være L. $\limx\to c}f(x)\neq L$

Den sekvensielle grensen gir en enkel måte å bevise at visse grenser ikke eksisterer, for eksempel den som allerede er nevnt

$\limx\to a}D(x)$

for dem er det nok å ta to forskjellige sekvenser som konvergerer til punktet a :

en som bare inneholder rasjonelle tall og
en annen som bare inneholder irrasjonelle

på denne måten tvinges funksjonen til å ta to forskjellige verdier på sekvenser som har en tendens til samme punkt i domenet. Så grensen finnes ikke.

Funksjoner til to reelle variabler

gitt en funksjon

$f:D\subseteq \mathbb {R} 2}\longrightarrow \mathbb {R}$

Siden hvert par ( x , y ) av reelle tall som finnes i settet D er tildelt et reelt tall z , er det mulig å utvide definisjonen av grense til denne typen funksjoner. La ( a , b ) være et akkumuleringspunkt for mengden D , grensen L for f på dette punktet kan defineres som følger.

Grensen for en funksjon f ( x , y ) når x nærmer seg a og y nærmer seg b er L hvis og bare hvis det for hver ε > 0 finnes en δ > 0 slik at for hvert par reelle tall ( x , y ) i D implikasjonen holder $0<\|(xa,yb)\|<\delta \Longrightarrow |f(x,y)-L|<\varepsilon$

${\textrm {med}}\ \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Vi vil ta følgende funksjon som eksempel

$f:\mathbb {R} 2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ f(x,y)={\frac {x^{2} y^ {2}}{x^{4}+y^{2}}}$

Punktet (0,0) er et akkumuleringspunkt for domenet til f , siden ethvert nabolag med sentrum på dette punktet inneholder andre, forskjellige fra det første, som også tilhører funksjonens domene.

For denne funksjonen holder den

$\lim\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=0$

som kan bevises per definisjon.

Demonstrasjon
Ta δ = 2 ε i definisjonen. På denne måten er det for hver ε en δ , siden den siste er definert fra den første. Vi foreslår definisjonen, for alle ( x , y ) som tilhører domenet til funksjonen f , det vil si ( x , y ) ≠ (0,0), må implikasjonen være oppfylt $0<\\|(x-0,y-0)\\|<2\varepsilon \Longrightarrow \|f(x,y)-0\|<\varepsilon$ Vi vil søke å binde funksjonen ved hjelp av hypotesen. For å gjøre dette vil vi bruke egenskapen at hvert tall i annen er større enn eller lik null, spesielt $\left(x^{2}-\|y\|\right)^{2}\geq 0$ der det er utledet ${\frac {x^{2}\|y\|}{x^{4}+y^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}\iff \left\|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right\|\leq {\frac {1}{2}}$ Med hvilken $\|f(x,y)-0\|=\left\|{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{2}}}\right\|= \left\|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right\|\|y\|\leq {\frac {1}{2}}\|y\|\ leq {\frac {1}{2}}\\|(x,y)\\|$ Vi bruker nå hypotesen for å oppnå $\|f(x,y)-0\|\leq {\frac {1}{2}}\\|(x-0,y-0)\\|<{\frac {1}{2}}\ cdot 2\varepsilon =\varepsilon$ QED.

Hvis vi i stedet for en skalarfunksjon tar vektorfeltet

$\mathbf {f} :D\subseteq \mathbb {R} 2}\longrightarrow \mathbb {R} 2}$

definisjonen av grense er analog.

Grensen for vektorfeltet f ( x , y ) når x nærmer seg a og y nærmer seg b er vektoren L hvis og bare hvis det for hver ε > 0 eksisterer en δ > 0 slik at for hvert par reelle tall ( x , og ) i D gjelder følgende implikasjon $0<\|(xa,yb)\|<\delta \Longrightarrow \|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \|<\varepsilon$

Et viktig teorem som relaterer de to foregående definisjonene er følgende.

Gitt et vektorfelt f og to skalarfunksjoner P og Q , relatert som følger

$\mathbf {f} (x,y)={\Big (}P(x,y),Q(x,y){\Big )}$

og la L = ( A , B ) være en vektor i R 2 , under disse betingelsene er det sant at

$\lim\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}\mathbf {f} (x,y)=\mathbf {L} \iff \lim \begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}P(x,y)=A\land \lim\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b \end{smallmatrix}}Q(x,y)=B$

Demonstrasjon
Utsagnet består av en dobbel implikasjon . For å demonstrere det, er det nødvendig å individuelt adressere implikasjonene som utgjør den. $\Longrightarrow )$ grensen for vektorfeltet f antas å være lik L . Per definisjon, for hvert vilkårlig positivt reelt tall ε, eksisterer det en flat skive med radius δ, slik at implikasjonen gjelder $0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta \Longrightarrow \\|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \\|<\varepsilon$ for hvert punkt ( x , y ) i domenet til f . Men ${\begin{aligned}\varepsilon &>\\|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \\|=\left\\|{\Big (}P(x,y), Q(x,y){\Big )}-(A,B)\høyre\\|=\venstre\\|{\Big (}P(x,y)-A,Q(x,y)-B{\ Big )}\right\\|\geq \\&\geq \|P(x,y)-A\|\end{aligned}}$ seinere $0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta \Longrightarrow \|P(x,y)-A\|<\varepsilon$ dette beviser at hvis grensen for f er L , så er grensen for P A. Beviset for Q er analogt. $\Longleftarrow )$ vi antar nå at grensen for P er A , og grensen for Q er B. I et slikt tilfelle, gitt positiv og vilkårlig reell ε 1 , ε 2 , er det to flate skiver med radier δ 1 , δ 2 henholdsvis, på en slik måte at implikasjonene ${\begin{aligned}0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta{1}&\Longrightarrow \|P(x,y)-A\|<\varepsilon _ { 1}\\0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta 2}&\Longrightarrow \|Q(x,y)-B\|<\varepsilon 2}\ end{aligned}}$ være $\delta =\min \left\{\delta{1},\delta{2}\right\},\quad \varepsilon =\\|(\varepsilon{1},\varepsilon{2})\\|$ da følger det av hypotesen at $0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta$ som igjen innebærer $\\|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \\|=\left\\|{\Big (}P(x,y)-A,Q(x,y)-B {\Big )}\right\\|<\\|(\varepsilon 1 ,\varepsilon 2 )\\|=\varepsilon$ Siden ε 1 og ε 2 er vilkårlige, så er ε også vilkårlig, og videre for hver av dem er det δ 1 , δ 2 , som garanterer eksistensen av minimum δ . Så, for hver ε , eksisterer det en δ , slik at $0<\\|(x,y)-(a,b)\\|<\delta \Longrightarrow \\|\mathbf {f} (x,y)-\mathbf {L} \\|<\varepsilon .$ som faller sammen med definisjonen av grensen for f på ( a , b ) ∎

Dette resultatet kan generaliseres til vektorfunksjoner av skjemaet

$\mathbf {f} :X\subseteq \mathbb {R}<n}\longrightarrow \mathbb {R}<m}$

det vil si av n variabler og m komponenter. [ 6 ]

Funksjoner på metriske mellomrom

Grensedefinisjonen kan generaliseres til enhver funksjon definert mellom to metriske rom . Anta gitt to sett M og N , med deres respektive metrikker dM og dN . La være funksjonen f definert mellom de to metriske mellomrommene dannet av hvert sett-metriske par,

$f:\left(M,d_{M}\right)\longrightarrow \left(N,d_{N}\right)$

og la c være et grensepunkt for M , og L ∈ N.

Det sies at "grensen for f ved c er L " og er skrevet:

$?{x\to c}}f(x)=L$

hvis og bare hvis det for alle ε > 0 eksisterer en δ > 0 slik at for alle x ∈ M ved 0 < d M ( x , c ) < δ , har vi d N ( f ( x ), L ) < ε .

Fra ulikheten 0 < d M ( x , c ) < δ får vi følgende:

x tilhører et nabolag av c .
x er ikke lik c , siden 0 < 0 < d M tilsier at x er forskjellig fra c .

Unikheten til grensen

Definisjonen av grense lar oss bevise følgende

Teorem

Hvis grensen for en funksjon eksisterer, er den unik.

Denne teoremet er gyldig på Hausdorff topologiske rom . [ 7 ]

Anta at det og også at det er L og L' forskjellige; det må verifiseres at det ikke kan være det å verifisere definisjonen av grense. For å gjøre dette tar vi et nabolag E av L og et nabolag E 'av L ' som ikke krysser hverandre. Per definisjon av grense for alle x i et eller annet utett nabolag av c , så det kan ikke være i E ', noe som hindrer grensen fra å være L '. $\tekststil \lim{x\rightarrow c}}f(x)=L$ $\tekststil \lim{x\rightarrow c}}f(x)=L'$ $L'\neq L$ $f(x)\i E$

Unikitetsteoremet gir et verdifullt verktøy for å tilbakevise eksistensen av grenser.

Sidegrenser

La oss nå ta en funksjon av én variabel

$f:D\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

og et punkt x i domenet D til denne funksjonen, nærmer seg c , men tar bare verdier som er større enn det. Formelt sett ville vi tatt x -en som bekrefter , helt sikkert . Hvis funksjonen tenderer til en verdi , sies det at "grensen til høyre eksisterer" og betegnes slik $0<xc<\delta$ $\delta$ $L^{+}$

?{x\to c^{+}}}f(x)=L^{+}

Ved å ta mindre verdier, det vil si x slik at , kan grensen skrives som: $0<-(xc)<\delta$

?{x\to c^{-}}}f(x)=L^{-}

Hvis de to foregående grensene er like:

\lim{x\to c^{-}}}f(x)=\lim{x\to c^{+}}}f(x)=L

da kan L refereres til som grensen for f ( x ) ved c . Med andre ord, hvis de ensidige grensene ikke er like, så eksisterer ikke grensen. Det faktum at grensen ikke er den samme i alle nabolag i punkt c innebærer at den ikke er unik, av denne grunn eksisterer den ikke.

Ensidige grenser gjør det mulig å definere kontinuiteten og differensierbarheten til en funksjon på et punkt.

Uendelige grenser

Det er flere tilfeller av grenser for funksjoner som involverer forestillingen om uendelighet, vi vil definere hver av dem i de følgende avsnittene.

Variabel som har en tendens til uendelig

Når en variabel går til uendelig, si x , vil vi bruke symbolet for uendelig på denne måten . Dette betyr at variabelen x får vilkårlig store verdier, i størrelsesorden. Analytisk vil vi si at gitt et visst reelt tall R , vil x overskride det i absolutt verdi, uansett R tatt. $x\til \infty$

x\til \infty \iff \forall R>0,|x|>R

For denne definisjonen vil vi ta, som et spesielt tilfelle, to «uendelighetstegn».

Hvis er , sier vi at x nærmer seg pluss uendelig eller "positiv" uendelig. Vi vil betegne det slik, . $x>0$ $x\til +\infty$
If betyr at x har en tendens til minus uendelig . $x<0,\ x\til -\infty$

Av spesiell interesse er oppførselen til visse funksjoner i det uendelige. Når disse grensene eksisterer, og de er reelle tall, kan vi konstruere ligningen for funksjonens horisontale eller skrå asymptoter . Vi vil da definere grensen for en funksjon, når den uavhengige variabelen har en tendens til uendelig, for et hvilket som helst tegn.

Grensen for en funksjon f ( x ) når x nærmer seg uendelig er L hvis og bare hvis for alle , slik at implikasjonen gjelder for alle x i domenet til f . $\varepsilon >0$ $\eksisterer R>0$ $|x|>R\Høyrepil |f(x)-L|<\varepsilon$

Hvis bare ett av tilfellene blir tatt, legger du bare til den tilsvarende begrensningen. For eksempel, hvis vi ønsker å beregne grensen på , vil vi vurdere den forrige definisjonen med forbehold om at . $x\til -\infty$ $x<0$

Ta som et eksempel , definert . Ettersom vi gir veldig store verdier til x i absolutt verdi, synker f og nærmer seg null. Dette kan vises med den gitte definisjonen. $f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$ $\forall x\in {\mathbb R}$

Demonstrasjon
$\limx\to \infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0\iff \forall \varepsilon >0,\eksisterer R>0/\ \|x\| >R\Rightarrow \left\|{\frac {1}{x^{2}+1}}\right\|<\varepsilon$ Siden R er vilkårlig per definisjon, er det praktisk å ta det som en funksjon av på denne måten $\varepsilon$ $R=\max \left\{1,{\sqrt {{\frac {1}{\varepsilon }}-1}}\right\}.$ Det er derfor to tilfeller å vurdere: $\varepsilon \geq 1$ i så fall vil enhver R gjøre , siden f er avgrenset av 1. Spesielt R = 1 ble valgt vilkårlig. $0<\varepsilon <1$ R er valgt som en funksjon av ε . Det første tilfellet bevises automatisk ved definisjonen av en avgrenset funksjon, siden det er tilstrekkelig for å utlede det spesielle tilfellet. $\forall x\in \mathbb {R} ,\|f(x)\|\leq 1\leq \varepsilon \Longrightarrow \forall x\in \mathbb {R} ,\|x\|>1\Longrightarrow \|f( x)\|<\varepsilon$ For det andre tilfellet må vi bevise implikasjonen ( ). ( ) $\|x\|>{\sqrt {{\frac {1}{\varepsilon }}-1}}\Rightarrow \left\|{\frac {1}{x^{2}+1}}\right\|<\varepsilon$ forutsatt at , siden ellers tas R = 1. Vi starter fra . $\varepsilon <1$ $\|x\|>{\sqrt {{\frac {1}{\varepsilon }}-1}}\Høyrepil x^{2}>{\frac {1}{\varepsilon }}-1\Høyrepil x^{2 }+1>{\frac {1}{\varepsilon }}\Rightarrow {\frac {1}{x^{2}+1}}<\varepsilon$ Siden f er en strengt positiv funksjon , er det sant at , derfor er det bevist ( ** ). $\for alle x$ $f(x)=\|f(x)\|$

Siden , bestemmer ligningen den horisontale asymptoten til funksjonen. $\lim{x\to \infty }}{\frac {1}{x^{2}+1}}=0$ $y=0$

Funksjon som tenderer mot uendelig

Gitt en viss funksjon f , vil vi si at den har en tendens til uendelig når den vokser i det uendelige, når vi nærmer oss et bestemt punkt c i domenet. Dette tilsvarer å si at f er ubegrenset , for verdier for domenet "nær nok" til c . Dette er betegnet som , eller også, det er skrevet . $?{x\to c}}f(x)=\infty$ $f(x)\til \infty$

Hvis vi tar funksjonen f som en variabel, for eksempel, og , kan vi bruke definisjonen av en variabel som har en tendens til uendelig , og kombinere den med definisjonen av en grense, som følger.

Grensen for en funksjon f ( x ), når x nærmer seg c , er uendelig hvis og bare hvis det for alt eksisterer en slik som for hvert punkt x i domenet til f , gjelder . $R>0$ $δ >0$ $0<|xc|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R$

i symboler,

\lim{x\to c}}f(x)=\infty \iff \forall R>0,\exists \delta >0/\forall x\in {\mathrm {Dom}}(f),0 <| xc|<\delta \Høyrepil |f(x)|>R

Som et eksempel, la oss ta den rasjonelle funksjonen , hvis graf i planet er en likesidet hyperbel sentrert ved opprinnelsen til koordinatene. Ved å ta x veldig nær null, tar funksjonen f ( x ) veldig store verdier, det er derfor det sies at f ( x ) har en tendens til uendelig når x har en tendens til null. Dette kan vises med definisjonen. $f(x)={\frac {1}{x}}$

Demonstrasjon
$\lim{x\to 0}}{\frac {1}{x}}=\infty \iff \forall R>0,\exists \delta >0/0<\|x-0\|<\delta \ Rightarrow \ venstre\|{\frac {1}{x}}\right\|>R$ Ta , i dette tilfellet er beviset umiddelbart siden . $\delta ={\frac {1}{R}}$ $0<\|x-0\|<{\frac {1}{R}}\Rightarrow \|x\|<{\frac {1}{R}}\Rightarrow \left\|{\frac {1}{x}}\ høyre\|>R$

Når en funksjon har en tendens til uendelig ved et gitt punkt c i domenet, kalles linjen som bestemmer ligningen , det vil si hvert punkt i formen , den vertikale asymptoten til funksjonen. For det gitte eksemplet er det den vertikale asymptoten. $x=c$ $(c,t)\forall t\in {\mathbb R}$ $x=0$

Det faktum som ikke innebærer at deling med null er mulig . I henhold til definisjonen av denne grensen, , med hvilken, . Kort sagt, det vil si at dette uttrykket er ubestemt. $\lim{x\to 0}}{\frac {1}{x}}=\infty$ $0<|x|<\delta \Høyrepil x\neq 0$ ${\frac {1}{0}}\neq \infty$ $\ikke \eksisterer {\frac {1}{0}}$

La oss ta et annet eksempel, den naturlige logaritmefunksjonen .

?{x\til 0^{+}}}\ln(x)=-\infty

Vi tyr til den ensidige grensen siden logaritmen kun er definert for reelle. $x>0$

Demonstrasjon
Ta derfor og grensen er bevist, siden det å være betyr at gitt en R kan vi ta funksjonen mindre enn dette tallet. $\delta =e^{{-R}}$ $0<x<e^{{-R}}\Høyrepil \ln(x)<-R$ $R>0,\ln(x)<-R$

Denne funksjonen har en vertikal asymptote , akkurat som den forrige. $x=0$

Begge tilfeller

Begge tilfellene kan oppstå samtidig, for eksempel har en hvilken som helst polynomfunksjon av x en tendens til uendelig, når x har en tendens til uendelig. I denne typen tilfeller vil vi definere grensen som følger.

Grensen for en funksjon f ( x ) er uendelig, når x har en tendens til uendelig, hvis og bare hvis det for alle finnes en som er tilfredsstilt , forutsatt at . $M>0$ $R>0$ $|x|>R\Rightarrow |f(x)|>M$ $x\in {\mathrm {søn}}(f)$

La oss ta den affine funksjonen som et eksempel , som er et spesielt tilfelle av en polynomfunksjon. Siden grafen er en rett linje, kan vi intuitivt forestille oss at å ta poeng på x "veldig stor" eller "veldig liten" verdiene til f ( x ), det vil si "høyden", blir veldig stor eller liten med respekt for x . $f(x)=3x-5$

Demonstrasjon
Vi viser at Skriv definisjonen $?{x\to ?}}(3x-5)=?.$ $?{x\to ?}}(3x-5)=\infty \iff ?forall M>0,\exists R>0/\|x\|>R\Rightarrow \|3x-5\|>M.$ For dette beviset tar vi $\textstyle R={\frac {1}{3}}(M+5).$ $\textstyle \|3x-5\|\geq 3\|x\|-5>3\cdot {\frac {1}{3}}(M+5)-5=M$ Q.E.D. _

Beregning av grenser

De definerte konseptene gjør det mulig å introdusere verktøy for beregning av grenser. Fra definisjonene kan algebraiske egenskaper bevises, listet i detalj nedenfor.

Generelle egenskaper

Hvis f( x ) og g( x ) er funksjoner av reelle variabler og k er en skalar , gjelder følgende egenskaper:

grense på	Uttrykk
En konstant	$\lim{x\to c}}k=\,k,\,{\textrm {hvor}}\ k\in \mathbb{R} \,$
Identitetsfunksjonen	$?{x\to c}}x=\,c\,$
Produktet av en funksjon og en konstant	$?{x\to c}}kf(x)=\,k\lim{x\to c}}f(x)\,$
En sum	$?{x\to c}}(f(x)+g(x))=\,\lim{x\to c}}f(x)+\lim{x\to c }}g(x)\ ,$
en subtraksjon	$?{x\to c}}(f(x)-g(x))=\,\lim{x\to c}}f(x)-\lim{x\to c }}g(x)\ ,$
Et produkt	$?{x\to c}}(f(x)g(x))=\,\lim{x\to c}}f(x)\cdot ?x\to c }}g(x)\,$
en kvotient	$\lim{x\to c}}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim{x\to c}}{f(x)}} \over {\ lim{x\to c}}{g(x)}}\,\ {\mbox{if }}\lim{x\to c}}g(x)\neq 0 ,$
en makt	${\lim{x\to c}}f(x)^{{g(x)}}}=\,{\lim{x\to c}}f(x)^{{\lim {x\to c}}g(x)}}}\,\ {\mbox{if }}f(x)>0$
en logaritme	${\lim{x\to c}}\log f(x)}=\,\log {\lim{x\to c}}f(x)}$
nummeret og	${\lim{x\to 0}}\left(1+x\right)^{{1 \over x}}}=\,{\lim{x\to \infty }}\left( 1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
Funksjon f(x) avgrenset og g(x) uendelig	${\lim{x\to c}}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0$ .

Ubestemmelser

Se også: Ubestemt form

De generelle egenskapene tillater, sammen med definisjonen, å beregne ubestemte grenser ved hjelp av algebraiske transformasjoner. Det finnes flere typer ubestemtheter, inkludert de som vises i tabellen nedenfor. Betrakt som grensen som har en tendens til uendelig og grensen for en funksjon som har en tendens til henholdsvis 0 eller 1. $\infty \,\!$ $0,\,1\,\!$

Operasjon	ubestemthet
Subtraksjon	$\infty -\infty$
Multiplikasjon	$\infty \cdot 0$
Inndeling	${\cfrac {\infty }{\infty }},{\cfrac {0}{0}}$
kraftløft	$1^{\infty },\infty 0 ,0^{0}$

Eksempel.

0/0 er en ubestemthet, det vil si at det ikke er mulig, a priori, å vite verdien av en grense som har en tendens til null over en annen som også har en tendens til null, siden resultatet ikke alltid er det samme. For eksempel:

\lim{t\rightarrow 0}}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty

?{t\rightarrow 0}}{\frac {t}{t}}=1

?{t\rightarrow 0}}{\frac {t^{2}}{t}}=0

Merk at det ville ha vært umulig å "eliminere" ubestemthetene i de tidligere eksemplene ikke hadde blitt antatt , en ulikhet som følger av definisjonen. $t\neq 0$

Regelen for l'Hôpital

Denne regelen gjør bruk av derivatet og har en betinget bruk. Dette kan bare brukes direkte på grenser som er "lik" med 0/0 eller ±∞/±∞. Andre ubestemte former krever litt algebraisk manipulasjon, vanligvis setter grensen lik og , tar den naturlige logaritmen på begge sider, og bruker deretter l'Hôpitals regel .

$\lim{x\to c}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim{x\to c}}{\frac {f'(x)}{ g'(x )}}$

For eksempel: $\lim{x\to 0}}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim{x\to 0}}{\frac {2\cos(2x)}{3 \cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Trigonometriske grenser

${\lim{x\to \infty }}x\;\sin \left({\frac {2\pi}{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{ x} }\right)}=\,2\pi$
${\lim{x\to 0}}{{\sin x} \over x}}={\lim{x\to 0}}{{x \over \sin x}}}=\, 1\,$
${\lim{x\to 0}}{\tan x \over x}}={\lim{x\to 0}}{x \over \tan x}}=\,1\,$
${\lim{x\to 0}}{\sin x \over \tan x}}\,={\lim{x\to 0}}{\tan x \over \sin x}}= \,1$
${\limx\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,{\dfrac {1}{2}}\,$
${\limx\to \infty }x\;\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}=\,1$ [ 8 ]

Noen bevis, for eksempel den andre av disse trigonometriske grensene, krever bruk av ulikheten sin( x ) < x < tan( x ) på intervallet (0,π/2), som relaterer x til sinus- og tan -funksjonene .

Demonstrasjon
Ta og del med , få: $\scriptstyle \sin x<x<\tan x$ $\scriptstyle \sin x$ $1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}$ Reversere ulikhetsvilkårene og endre ulikhetstegnene: $\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$ Å beregne grensen som x har en tendens til 0: $\lim{x\to 0}}\cos x<\lim{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}<\lim{x\to 0}} 1$ Som er lik: $1<\lim{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}<1$ Ved å bruke sandwich -teoremet eller strikturteoremet er grensen nødvendigvis lik 1: $\lim{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Den tredje av grensene kan demonstreres ved hjelp av egenskapene til grensene og verdien oppnådd i forrige grense. Nemlig:

{\lim{x\to 0}}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}={\lim{x\to 0}}\left({\frac {\sin x }{x}}\right)}\cdot \lim{x\to 0}}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1

Se også

Grense
øvre grense og nedre grense
Grense for et topologisk nettverk , en generalisering av konseptet om en grense.
Sandwich-teorem .

Referanser

^ Piskunov, N. (1977). Differensial- og integralregning (3. utgave). se. s. 28 . Hentet 9. juli 2016 . «Konseptet med grensen for variabelen vil spille en grunnleggende rolle, siden de grunnleggende begrepene for matematisk analyse er relatert til det: derivert, integral, etc. »
↑ MacTutor History of Bolzano
↑ a b Jeff Millers nettsted for matematikkhistorie.
↑ MacTutor History of Weierstrass.
↑ VF Butuzov. Matematisk analyse i spørsmål og oppgaver . Mir forlag, Moskva (1989)
↑ Frank, Manuel; Martinez, Francisco; Molina, Roque (1995). Forelesninger om Infinitesimal Calculus II . REDIGERE. s. 9-10. ISBN 9788476846063 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
^ Kolmogorov, Andrei (1978). "Metriske og topologiske rom". Elements of Function Theory and Functional Analysis (3. utgave). Moskva: Mir. |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ Berman et al. Problemer med matematisk analyse . Mir forlag, Moskva.

Eksterne lenker

Begrensninger og kontinuitet for funksjoner .
Weisstein, Eric W. «Grense» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .