Nummer π

π ( pi ) er forholdet mellom lengden av en omkrets og dens diameter i euklidisk geometri . [ 1 ] er et irrasjonelt tall [ 2 ] og en av de viktigste matematiske konstantene. Det brukes ofte i matematikk , fysikk og ingeniørfag . Den numeriske verdien av π, avkortet til de første sifrene, er som følger: [ 3 ]

\pi =3.141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\dots \,

(sekvens A000796 i OEIS )

Verdien av π har blitt oppnådd med forskjellige tilnærminger gjennom historien, og er en av de matematiske konstantene som vises mest i fysikkens ligninger, sammen med tallet e . Det skal bemerkes at forholdet mellom lengden av en hvilken som helst sirkel og dens diameter ikke er konstant i ikke-euklidiske geometrier. [ 4 ]

Liste over tall – Irrasjonelle tall ζ(3) – √ 2 – √ 3 – √ 5 – φ – α – e – π – δ
Binær	11.00100100001111110110 …
Desimal	3.14159265358979323846 …
heksadesimal	3.243F6A8885A308D31319…
fortsatt fraksjon	$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ddots }}}}}}}}$ Merk at den fortsatte brøken ikke er periodisk.

Navnet π

Notasjonen med den greske bokstaven π kommer fra forbokstaven til ordene med gresk opprinnelse περιφέρεια "periferi" og περίμετρον "perimeter" av en sirkel , [ 5 ] en notasjon som først ble brukt av William Oughtred og (16507) og William Oughtred som det ble foreslått av den walisiske matematikeren William Jones [ 6 ] (1675-1749); selv om det var matematikeren Leonhard Euler , med sitt arbeid fra 1748 An Introduction to Infinitesimal Calculus , som populariserte det. Det var tidligere kjent som Ludolphs konstant (etter matematikeren Ludolph van Ceulen ) eller som arkimedesk konstant (ikke å forveksle med arkimedesk tall ). Jones foreslår navnet og symbolet på dette tallet i 1706 og Euler begynner å spre det i 1736. [ 7 ]

Arkimedes beregnet det med tilnærmingen til , som han uttalte i sitt arbeid Måling av sirkelen , sikkert med en annen notasjon. [ 7 ] $3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}$

Historie for beregningen av π-verdien

Søket etter det største antallet desimaler av tallet har vært en konstant innsats av mange forskere gjennom historien. [ 8 ] Noen historiske tilnærminger av er følgende. $\pi$ $\pi$

Mesopotamia

Rundt 1900-1600 f.Kr. C. , noen mesopotamiske matematikere brukte, i beregningen av segmenter, verdier lik 3, og nådde i noen tilfeller mer omtrentlige verdier, for eksempel: $\pi$

\pi \approx 3+{\frac {1}{7}}=3.142857

Det gamle Egypt

Den omtrentlige verdien av i gamle kulturer dateres tilbake til tiden til den egyptiske skriftlærde Ahmes i 1800 f.Kr. C. , beskrevet i Rhind-papyrusen , [ 9 ] der en omtrentlig verdi av brukes som sier at arealet av en sirkel er lik arealet til en firkant hvis side er lik diameteren til sirkelen redusert med 1/9 ; det vil si lik 8/9 av diameteren. I moderne notasjon: $\pi$ $\pi$

S=\pi r^{2}\simeq \left({\frac {8}{9}}\cdot d\right)^{2}={\frac {64}{81}}d^{2} ={\frac {64}{81}}\left(4r^{2}\right)

\pi \simeq {\frac {256}{81}}=3{.}16049\ldots

Blant de åtte matematiske dokumentene som er funnet fra gammel egyptisk kultur , snakker to om sirkler . Den ene er Rhind-papyrusen og den andre er Moskva-papyrusen . Bare i den første snakker man om den omtrentlige verdien av tallet . Forskeren Otto Neugebauer beskriver i et vedlegg til sin bok The Exact Sciences in Antiquity [ 10 ] en metode inspirert av Ahmes-papyrusens problemer for å finne verdien av π, ved å tilnærme arealet av kvadratet på side 8 , til en sirkel med diameter 9. $\pi$

I Bibelen

En av de eldste indirekte referansene til den omtrentlige verdien av π finnes i et bibelvers :

Han laget havet av smeltet metall som var ti alen fra kant til kant; det var helt rundt og fem alen høyt; en snor på tretti alen målte dens omkrets. Under kanten var det gresskar rundt omkring; tretti alen gikk de rundt havet; det var to rader med kalebasser støpt i ett stykke. I Kings (Jerusalem Bible)

Et lignende sitat finnes i den andre krønikeboken . Det vises i en liste over krav til byggingen av Salomos store tempel , bygget rundt 950 f.Kr. C.:

Han laget havet av smeltet metall, ti alen fra kant til kant. Den var helt rund og fem alen høy. En snor på tretti alen målte dens omkrets. II Chronicles (Jerusalem Bible)

Begge sitatene gir 3 som verdien av π, som er et betydelig tap av presisjon fra tidligere egyptiske og mesopotamiske estimater. I denne forbindelse påpeker kristne apologeter at mangelen på presisjon kan tilskrives avrundingen av dimensjonene som er rapportert av teksten. [ 11 ]

Klassisk antikken

Den greske matematikeren Archimedes ( 3. århundre f.Kr. ) var i stand til å bestemme verdien av π mellom intervallet bestående av 3 10/71, som minimumsverdi, og 3 1/7, som maksimumsverdi. Med denne arkimediske tilnærmingen oppnås en verdi med en feil som varierer mellom 0,024 % og 0,040 % av den virkelige verdien. Metoden som ble brukt av Arkimedes [ 12 ] var veldig enkel og bestod i å omskrive og skrive inn vanlige n-sidede polygoner i sirkler og beregne omkretsen til nevnte polygoner. Arkimedes startet med omskrevne og innskrevne sekskanter , og doblet antall sider til han nådde 96-sidede polygoner.

Rundt år 20 e.Kr. C., den romerske arkitekten og ingeniøren Vitruvius beregner π som brøkverdien 25/8 ved å måle avstanden tilbakelagt i én omdreining av et hjul med kjent diameter.

I det andre århundre gir Claudius Ptolemaios en brøkverdi ved tilnærminger:

\pi \approx {\frac {377}{120}}=3{.}1416\ldots

Tallet π ("pi") i det vigesimale systemet

Tallet π er en koeffisient som multiplisert med diameteren indikerer lengden på omkretsen. Det vil si at tre ganger diameteren nærmer seg lengden på omkretsen, men kommer til kort. Faktisk må du multiplisere diameteren med 3,14159... Vi uttrykker det som tre enheter og en kvotient av desimalsystemet.

Desimalsystem:

π = 3,14159...

Vigesimal system :

π = 03.02.16.08.18.04...

Forklaring på oppnåelsen:

TRINN 1.

desimalkvotient	Multiplikator	tjuesimalt forhold
0,1 (tiende)	×2	00.02 (tjueårene)
0,01 (hundredel)	× 4	00.00 04 (fire hundredeler)
0,001 (tusendel)	× 8	00.00 00 08 (åtte tusendeler)
0,0001 (ti tusendel)	×16	00.00 00 00 16
0,00001 (ett hundre tusendel)	×32	00.00 00 01 02
…	…	…

STEG 2.

Vi må ta hensyn til den gjennomførte.

3.	1	4	1	5	9	…
03.	02	16	08	04	04	…
				14		…
03.	02	16	08	18	04	…

Kinesisk matematikk

Beregningen av pi var en attraksjon for ekspert matematikere fra alle kulturer. Rundt 120 var den kinesiske astronomen Zhang Heng (78-139) en av de første som brukte √10- tilnærmingen, som han utledet fra forholdet mellom volumet til en terning og den respektive innskrevne sfæren. Et århundre senere estimerte astronomen Wang Fang det til 142/45 (3.155555), selv om metoden som ble brukt er ukjent. [ 13 ] Noen år senere, rundt 263, var matematikeren Liu Hui den første som antydet [ 14 ] at 3.14 var en god tilnærming, ved å bruke en polygon på 96 [ 15 ] eller 192 [ 13 ] sider. Han estimerte senere π som 3,14159 ved å bruke en 3072-sidig polygon. [ 15 ] [ 16 ]

På slutten av 500 -tallet beregnet den kinesiske matematikeren og astronomen Zu Chongzhi verdien til å være 3,1415926, som han kalte "standardverdien", og 3,1415927, "oververdien", og ga to rasjonelle tilnærminger av , 22/ 7 og 355/113, begge velkjente, [ 17 ] er den siste tilnærmingen så god og presis at den ikke ble matchet før mer enn ni århundrer senere, på det femtende århundre . [ 15 ] $\pi$ $\pi$

Indisk matematikk

Ved å bruke en 384-sidig påskrevet regulær polygon estimerte den indiske matematikeren Aryabhata på slutten av 500 -tallet verdien til 3,1416. På midten av 700 - tallet , da han fant Aryabhatas tilnærming feil, beregner Brahmagupta som √10 , en mye mindre nøyaktig beregning enn forgjengerens. Rundt 1400 oppnår Madhava en nøyaktig tilnærming opp til 11 sifre (3.14159265359), og er den første som brukte serier for å gjøre estimatet. [ 13 ] $\pi$

Islamsk matematikk

På 900 - tallet bemerker Al-Jwarizmi i sin Algebra ( Hisab al yabr ua al muqabala ), at den praktiske mannen bruker 22/7 som verdien av , geometeret bruker 3 og astronomen 3.1416. På det femtende århundre var den persiske matematikeren Ghiyath al-Kashi i stand til å beregne den omtrentlige verdien av med ni sifre, ved å bruke en seksagesimal tallbase , som tilsvarer en tilnærming på 16 desimalsiffer: 2 = 6.2831853071795865_ $\pi$ $\pi$ $\pi$

Europeisk renessanse

Fra det tolvte århundre , med bruk av arabiske tall i beregninger, ble muligheten for å få bedre beregninger for π mye lettere. Matematikeren Fibonacci (1170-1250), i sin Practica Geometriae , forsterker Archimedes' metode, og gir et smalere intervall. Noen matematikere fra 1600-tallet , som Viète , brukte polygoner på opptil 393216 sider for å tilnærme 3,141592653 med god presisjon. I 1593 oppnådde den flamske Adriaan van Roomen ( Adrianus Romanus ) en presisjon på 16 desimaler ved å bruke den arkimedeiske metoden.

Moderne tid (forberegning)

I 1610 beregnet matematikeren Ludolph van Ceulen de første 35 desimalene til π. Det sies at han var så stolt av denne bragden at han fikk den gravert på gravsteinen sin. Tyske lærebøker i matematikk i mange år omtalte π som det ludolfske tallet . I 1665 utvikler Isaac Newton serien [ 18 ]

\arcsin {x}=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}} \cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7} }{7}}+\ldots

Med har en serie for: $x={\frac {1}{2}}$

\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{6}}

Den engelske matematikeren John Wallis utviklet i 1655 den velkjente Wallis Product - serien :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots ={ \frac {\pi }{2}}

I 1699 , etter forslag fra Edmond Halley , beregnet den engelske matematikeren Abraham Sharp (1651–1742) pi til nærmeste 71 desimaler ved å bruke Gregorys serie :

\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\ldots

Med gir en serie for: $x={\frac {1}{{\sqrt {3}}}}$

\arctan \left({\frac {1}{{\sqrt {3}}}}\right)={\frac {\pi }{6}}

For å oppnå den oppnådde presisjonen, må han ha brukt rundt tre hundre termer i serien. I 1720 brukte franskmannen Thomas de Lagny samme metode for å oppnå en tilnærming på 127 sifre (bare de første 112 var korrekte).

Leibniz beregnet på en mer komplisert måte i 1682 følgende matematiske serie som bærer navnet hans:

\sum{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+ {\ frac {1}{5}}-\dots ={\frac {\pi }{4}}

Engelskmannen William Oughtred var den første som brukte den greske bokstaven π som et symbol for forholdet mellom lengdene på en omkrets og dens diameter . Det var i år 1706 da waliseren William Jones uttalte: «3.14159 ogc. = π» og foreslo å alltid bruke symbolet π, og det var Leonhard Euler som vedtok det i 1737 og gjorde det til den vanlige notasjonen som brukes til i dag.

Den japanske matematikeren Takebe begynte å beregne tallet π i år 1722 , med samme metode som ble eksponert av Archimedes , og utvidet antall sider for omskrevne og innskrevne polygoner til de nådde 1024 sider. Dette enorme arbeidet klarte å bestemme π med 41 desimaler.

I 1789 var den slovenskfødte matematikeren Jurij Vega , ved å bruke John Machins formel , oppdaget i 1706 , den første som fant ut de første 140 desimalstedene av π, hvorav 126 var riktige; denne rekorden sto i 52 år, inntil William Rutherford i 1841 beregnet 208 desimaler, hvorav 152 var riktige.

Den engelskfødte amatørmatematikeren William Shanks jobbet i 20 år for å finne desimalsifrene til π, etter å ha oppnådd 707 desimaler i 1873 . I år 1944 fant DF Ferguson en feil i det fem hundre og tjueåttende desimalsifferet (528.) i Shanks-serien, hvoretter alle påfølgende sifre var feil. [ 19 ] I 1948 omkalkulerte Ferguson π til 808 desimaler ved hjelp av en elektronisk kalkulator. [ 20 ]

Noen historiske tilnærminger av verdier av π, før beregningstiden, er vist i følgende tabell:

År	Matematisk eller dokument	Kultur	Nærme seg	Feil (i deler per million)
~1900 f.Kr c.	Ahmes Papyrus	egyptisk	2 8/3 4 ~ 3,1605	6016 spm
~1600 f.Kr c.	Susa nettbrett	babylonsk	25/8 = 3.125	5282 ppm
~600 f.Kr c.	Bibelen ( 1. Kongebok, 7:23)	Bønne	3	45 070 ppm
~500 f.Kr c.	Bandhayana	India	3.09	16 422 ppm
~250 f.Kr c.	Archimedes fra Syracuse	gresk	mellom 3 10/71 og 3 1/7 brukt 211875/67441 ~ 3,14163	<402 ppm 13.45 ppm
~150	Claudius Ptolemaios	gresk-egyptisk	377/120 = 3,141666 …	23,56 ppm
263	Liu Hui	Kina	3,14159	0,84 ppm
263	wang fan	Kina	157/50 = 3,14	507 spm
~300	Chang Hong	Kina	10 1/2 ~ 3,1623	6584 spm
~500	Zu Chongzhi	Kina	mellom 3.1415926 og 3.1415929 brukte 355/113 ~ 3.1415929	<0,078 ppm 0,085 ppm
~500	Aryabhata	India	3,1416	2,34 ppm
~600	Brahmagupta	India	10 1/2 ~ 3,1623	6584 spm
~800	Al-Khuarismi	persisk	3,1416	2,34 ppm
1220	Fibonacci	italiensk	3,141818	72,73 ppm
1400	madhava	India	3.14159265359	0,085 ppm
1424	Al-Kashi	persisk	2π = 6,2831853071795865	0,1 ppm

Moderne (beregnings)æra

Siden utformingen av den første datamaskinen begynte det å utvikles programmer for å beregne tallet π med så mange sifre som mulig. På denne måten kunne en ENIAC i 1949 slå rekorden og oppnå 2037 desimaler på 70 timer. Litt etter litt dukket det opp rekordstore datamaskiner, og på denne måten nådde en NORAC noen år senere ( 1954 ) 3092 tall. I løpet av nesten hele tiåret av 1960 -tallet slo IBM-ene rekorder, inntil en IBM 7030 var i stand til å nå 250 000 desimaler i 1966 (på 8 timer og 23 minutter). I løpet av denne tiden de nye datamaskinene med algoritmer for generering av serier med tall fra . $\pi$

På 2000 -tallet er datamaskiner i stand til å få tall som har et stort antall desimaler. I 2009 ble det funnet mer enn to og en halv trillion desimaler med pi ved å bruke en T2K Tsukuba System- superdatamaskin , som består av 640 høyytelsesdatamaskiner, og til sammen oppnådde prosesseringshastigheter på 95 teraflops . De fikk det på 73 timer og 36 minutter.

År	Oppdager	datamaskin brukt	Antall desimaler
1949	G. W. Reitwiesner og andre [ 21 ]	ENIAC	2037
1954		NORAC	3092
1959	Guilloud	IBM 704	16 167
1967		CDC 6600	500 000
1973	Guillord og Bouyer [ 21 ]	CDC 7600	1 001 250
1981	Miyoshi og Kanada [ 21 ]	FACOM M-200	2 000 036
1982	Guilloud		2 000 050
1986	Bailey	CRAY-2	29 360 111
1986	Canada og Tamura [ 21 ]	HITAC S-810/20	67 108 839
1987	Kanada, Tamura, Kobo og andre	NEC SX-2	134 217 700
1988	Canada og Tamura	Hitachi S-820	201 326 000
1989	Chudnovsky brødre	CRAY-2 og IBM-3090/VF	480 000 000
1989	Chudnovsky brødre	IBM 3090	1 011 196 691
1991	Chudnovsky brødre		2 260 000 000
1994	Chudnovsky brødre		4 044 000 000
nitten nitti fem	Kanada og Takahashi	HITAC S-3800/480	6 442 450 000
1997	Kanada og Takahashi	Hitachi SR2201	51 539 600 000
1999	Kanada og Takahashi	Hitachi SR8000	68 719 470 000
1999	Kanada og Takahashi	Hitachi SR8000	206 158 430 000
2002	Canada og andre [ 21 ] [ 22 ]	Hitachi SR8000/MP	1 241 100 000 000
2004		Hitachi	1 351 100 000 000
2009	Daisuke Takahashi [ 23 ]	T2K Tsukuba-system	2 576 980 370 000
2009	Fabrice Bellard [ 24 ]	Core i7 CPU, 2,93 GHz; RAM: 6GiB	2 699 999 990 000
2010	Shigeru Kondou	2x Intel Xeon X5680, 3,33 GHz	5 000 000 000 000
2011	Shigeru Kondou		10 000 000 000 000
2019	Emma Haruka Iwao [ 25 ]	google cloud cruncher	31 000 000 000 000
2020	Timothy Mullican [ 26 ]		50 000 000 000 000
2021	Team DAViS fra University of Applied Sciences of the Grisons [ 27 ]		62 831 853 071 796

I beregningsalderen for å beregne π har tallene skutt i været, ikke bare på grunn av datakraften som disse maskinene er i stand til å generere, men også på grunn av prestisjen som følger med maskinbyggeren når merket deres vises på listen over rekorder, og for muligheten til å bruke avansert databehandling for å kjede millioner av maskiner om ønskelig og dermed øke datakraften, som i de tidligere tilfellene kun kommer fra en enkelt maskin, det siste eksempelet er bruken av en kombinasjon av prosessorkraft og bruk av beregningsprogrammer og/eller maskinassistert interleaving. [ 25 ]

Matematiske funksjoner

Definisjoner og karakteriseringer

Euklid var den første som viste at forholdet mellom en omkrets og dens diameter er en konstant størrelse. [ 28 ] Det finnes imidlertid ulike definisjoner av tallet , men den vanligste er: $\pi$

$\pi$ er forholdet mellom lengden av en omkrets og diameteren .

I tillegg er det: $\pi$

Arealet av en enhetssirkel (med radius med lengde 1, i det vanlige geometriske planet eller euklidisk plan).
Det minste positive reelle tallet slik at . $x$ $\sin(x)=0$

Det er også mulig å definere analytisk ; to definisjoner er mulig: $\pi$

Ligningen over de komplekse tallene innrømmer en uendelighet av positive reelle løsninger, den minste av disse er nettopp (se Eulers identitet ). $e^{ix}+1=0$ $\pi$
Differensialligningen med grensebetingelsene som det er en unik løsning for, garantert av Picard-Lindelöf-teoremet , er en analytisk funksjon (den trigonometriske funksjonen ) hvis minste positive rot er nøyaktig . $S''(x)+S(x)=0$ $S(0)=0,S'(0)=1$ $\sin(x)$ $\pi$

Gjennom et bestemt integral oppnås verdien av /4. Integrer funksjonen f(x) = 1/ ( 1 + x 2 ) fra 0 til 1. [ 29 ] $\pi$

Alle de statistiske testene utført på rekkefølgen av desimalsifrene til pi har bekreftet dens tilfeldige karakter. Det er ingen orden eller regelmessighet, det er flere serier av 7777 og sjokkerende 999999, det er hendelser som forvirrer eller gleder intuisjonister. [ 30 ]

Irrasjonelt og transcendentalt tall

Det er et irrasjonelt tall , som betyr at det ikke kan uttrykkes som en brøkdel av to hele tall, slik Johann Heinrich Lambert beviste i 1761 (eller 1767). Det er også et transcendentalt tall , det vil si at det ikke er roten til noe polynom med heltallskoeffisienter . På 1800 -tallet demonstrerte den tyske matematikeren Ferdinand Lindemann dette faktum, og avsluttet definitivt den permanente og vanskelige etterforskningen av problemet med å kvadrere sirkelen, og indikerte at den ikke har noen løsning.

Det er også kjent at π heller ikke er et Liouville-tall (Mahler, [ 31 ] 1953 ), det vil si at det ikke bare er transcendentalt, men det kan ikke tilnærmes ved en "raskt konvergerende" sekvens av rasjonaler (Stoneham 1970 [ sitat nødvendig ] ).

Første femti desimaler

Til tross for at det er et irrasjonelt tall, fortsetter det maksimalt mulige antallet desimaler å bli funnet . De femti beste er:

\pi \approx 3.1415926535\;8979323846\;2643383279\;5028841971\;6939937510

For å se sekvenser større enn dette tallet, se referansene (5 10 12 desimaler), [ 32 ] samt De første ti tusen desimalene A00796 og OEIS .

I naturvitenskap og ingeniørfag kan denne konstanten brukes, mesteparten av tiden, med en presisjon på bare et dusin desimaler. Førti desimaler kunne nøyaktig beskrive krumningen til Melkeveien til en feil som er mindre enn størrelsen på et proton . [ 33 ]

Formler som inneholder tallet π

I geometri

Lengde på omkretsen av radius r : C = 2 π r

Områder med kjeglesnitt :

Arealet av sirkelen med radius r : A = π r ²
Det indre området av ellipsen med halvaksene a og b : A = π ab

Områder av revolusjonskropper:

Sylinderareal : 2 π r ( r + h )
Kjegleareal : π r ² + π r g
Areal av sfæren : 4 π r ²

Volumer av revolusjonskropper:

Volum av sfæren med radius r : V = (4/3) π r ³
Volum av en høyre sylinder med radius r og høyde h : V = π r ² h
Volum av en høyre kjegle med radius r og høyde h : V = π r ² h / 3

Ligninger uttrykt i radianer :

Vinkler : 180 grader tilsvarer π radianer.
Volumet av torusen innebærer π i annen [ 34 ]

I kalkulus

Område avgrenset av astroid : (3/8) π a 2 [ 35 ]
Arealet av området mellom X - aksen og en bue av sykloiden : 3 π a 2
Område omsluttet av kardioiden : (3/2) π a 2
Arealet av området mellom polaraksen og de to første svingene i den arkimedeiske spiralen r = aα [ 36 ] er 8π 3 a 2
Arealet mellom Agnesi-kurven og asymptoten er S = πa 2 . [ 37 ]
Cysoid
strophoid
Pascals snegl. Området som bruker denne kurven og hvilken som helst av de foregående, tar i formelen verdien av pi [ 38 ]

Med sannsynlighet

Sannsynligheten for at to tilfeldig valgte positive heltall er prime til hverandre er: 6/π²
Hvis to positive tall mindre enn 1 velges tilfeldig, er sannsynligheten for at de sammen med tallet 1 kan være sidene i en stump trekant : (π-2)/4
Gjennomsnittlig antall måter å skrive et positivt heltall på som summen av to perfekte kvadrater er π/4 (rekkefølgen betyr noe).
Buffons nål : hvis vi tilfeldig kaster en nål med lengde L på en overflate hvor parallelle linjer er tegnet med en avstand D fra hverandre, er sannsynligheten for at nålen vil kutte en linje: 2L/Dπ

I matematisk analyse

Leibniz sin formel : [ 39 ] $\sum{n=0}}^{{\infty }}{{{\left(-1\right)^{{n}}} \over {2\,n+1}}}={\ brøk { 1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9 }} -\cdots ={\frac {\pi }{4}}$
Wallis produkt : $\prod{n=1}}^{{\infty }}\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)= {\ frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac { 6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\ pi }{2}}$
Euler : $\sum{n=0}}^{{\infty }}{\cfrac {2^{n}n!^{2}}{(2n+1)!}}=1+{\frac {1 }{ 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots ={ \frac {\pi }{2}}$
Eulers identitet $e^{{\pi i}}+1=0\;$
Område under Gauss-klokken : $\int{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-x^{2}}}dx={\sqrt {\pi }}$
Stirlings formel : $n!\ca {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$
Resulterende formel for grensen når k nærmer seg uendelig av Riemann-funksjonen for 2k: [ 40 ]

2\pi =\lim​​k\to \infty }\left({\frac {2(2k)!}{B(2k)}}\right)^{\frac {1}{2k} }

Hvor B(2k) er det 2k. Bernoulli-tallet.

Basel-problemet , løst av Euler i 1735: $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}} +{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi 2}}{6}}$
Euler : $\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}} +{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi 4}}{90}}$
Nilakantha formel : $\pi =3+4\sumn=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over (2n)(2n+1)(2n+2)}$
Ramanujans formel : ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sumn=0}^{\infty }{(4n)! (26390n+1103) \over (n!)^{4}(396)^{4n}}$
Chudnovsky-formel : (14 desimaler oppnås med hver iterasjon) ${\frac {1}{\pi }}=12\sumn=0}^{\infty }{(-1)^{n}(6n)!(545140134n+13591409) \over ( n!)^{3}(3n)!(640320)^{3n+3/2}}$
Videre har π flere representasjoner som fortsatte brøker : [ 41 ]

\frac{\pi}{4} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{49}{\ddots}}}}}}}}

{\frac {4}{\pi }}={1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^ {2}}{2+\cdots }}}}}}}={1+{\cfrac {\frac {1}{3}}{{\frac {2}{3}}+{\cfrac {\ frac {3}{5}}{{\frac {2}{5}}+{\cfrac {\frac {5}{7}}{{\frac {2}{7}}+\cdots }}} }}}}

[ 42 ]

Også som serieutvikling: $\pi =\sum{k=0}}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{{\frac {1}{2}}-k} }} {2k+1}}$
Omtrentlig representasjonsformer a [ 43 ] $\pi$ ${\frac {355}{113}}\approx 3.141592...$ ${\sqrt[ {29}]{261424513284461}}\approx \pi$
Monte Carlo-metoden I en sirkel med radius r innskrevet i et kvadrat med siden 2r (2 ganger radius), er arealet av sirkelen π r ² og kvadratet (2 r )². Av dette følger det at arealforholdet mellom kvadratet og sirkelen er π/4. [ 44 ]
Srinivāsa Rāmānujans formel bevist i 1985 av Jonathan og Peter Borwein , oppdaget i 1910. Den er veldig effektiv fordi den gir 8 desimaler til hver iterasjon : ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum{k=0}}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{{4k}}}}$

Beregninger av π

π og primtall

Ved å bruke inversen til Euler-produktet for Riemann zeta-funksjonen og for verdien av argumentet lik 2, får vi:

{\frac {1}{\zeta (2)}}=\lim{n\to \infty \atop p_{n}\in {\mathbf {P}}}}\left(1-{\frac {1 }{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^ {2 }}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\ høyre) ...\left(1-{\frac {1}{p_{{n}}^{2}}}\right)={\frac {6}{\pi 2}}}

hvor p n er det n -te primtallet. Euler var den første som fant denne verdien av zeta-funksjonen (ved å bruke summeringsuttrykket) og dermed løste det berømte Basel-problemet .

Machins formel

En nøyaktig måte å kunne beregne π i form av inverse tangenter av enhetsbrøker er Machins formel , oppdaget i 1706 :

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

Mange matematikere brukte denne formelen for å finne sifre over hundre (for eksempel de nevnte Shanks, som med denne formelen beregnet 707 desimaler av π).

Effektive metoder

De første få millioner sifrene i π og 1/ π finnes på Project Gutenberg (se eksterne lenker ). En av de siste rekordene ble satt i desember 2002 av Yasumasa Kanada ved University of Tokyo , og satte tallet pi til 1.241.100.000.000 sifre; Det tok rundt 602 timer med en 64-nodes Hitachi SR8000 superdatamaskin med en terabyte minne som var i stand til å utføre to billioner operasjoner per sekund, mer enn seks ganger den forrige rekorden (206 milliarder sifre). For dette ble følgende modifiserte Machin-formler brukt:

K. Takano ( 1982 ).

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{ 239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

F. C. W. Stormer ( 1986 ).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{ 682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

Disse tilnærmingene ga et så enormt antall sifre at det kan sies at det ikke lenger er nyttig bortsett fra å kontrollere driften av superdatamaskiner. Begrensningen ligger ikke i beregningen, men i minnet som trengs for å lagre en streng med et så stort antall tall.

Geometriske tilnærminger til π

Det er mulig å oppnå en tilnærming til verdien av π geometrisk. Faktisk prøvde grekerne allerede uten hell å få en nøyaktig løsning på problemet med verdien av π ved å bruke en linjal og kompass . Det greske problemet kjent som kvadratur av sirkelen eller, hva som er det samme, å oppnå et kvadrat med et areal lik arealet til en hvilken som helst sirkel, innebærer beregning av den nøyaktige verdien av π.

Når det ble vist at det var umulig å oppnå π ved å bruke linjal og kompass, ble det utviklet forskjellige omtrentlige metoder. To av de mest elegante omtrentlige løsningene er de som skyldes Kochanski (ved hjelp av linjal og kompass) og Mascheroni (bruker bare et kompass).

Kochanskis metode

Det tegnes en sirkel med radius R. Den likesidede trekanten OEG er innskrevet. Tegn en linje parallelt med segmentet EG som går gjennom A, forleng det til det skjærer segmentet OE, og oppnå D. Fra punkt D og på det segmentet transporteres 3 ganger radiusen til omkretsen og punkt C oppnås. BC er omtrent halvparten av lengden av omkretsen.

Bevis (forutsatt at R = 1)

$BC^{2}=AB^{2}+(3-DA)^{2}\,\!$

$OF={\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$

${\frac {DA}{EF}}={\frac {OA}{OF}}\høyrepil {\frac {DA}{1/2}}={\frac {1}{{\sqrt {3}} /2}}\rightarrow DA={\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$

Erstatter i den første formelen:

$BC^{2}=2^{2}+\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}\rightarrow BC={\sqrt {40 -6{\sqrt {3}} \over 3}}=3.141533...$

Mascheronis metode

Metode utviklet av Lorenzo Mascheroni : en omkrets med radius R tegnes og en vanlig sekskant er innskrevet. Punkt D er skjæringspunktet mellom to sirkelbuer: BD med sentrum ved A', og CD med sentrum ved A. Vi får punktet E som skjæringspunktet mellom buen DE, med sentrum ved B, og omkretsen. Segmentet AE er en fjerdedel av lengden på omkretsen, ca.

Bevis (forutsatt at R = 1)

$AD=AC={\sqrt {3}}$ $OD={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$

$BE=BD={\sqrt {(OD-MB)^{2}+MO^{2}}}$ $BE=BD={\sqrt {\left({\sqrt {2}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{ 4}}}}={\sqrt {3-{\sqrt {6}}}}$

Ved Ptolemaios' teorem, i firkanten ABEB'

$BB'\cdot AE=AB\cdot EB'+BE\cdot AB'$

$2\cdot AE={\sqrt {1+{\sqrt {6}}}}+{\sqrt {9-3\cdot {\sqrt {6}}}}=3.142399...$

Bruk i matematikk og naturfag

π er allestedsnærværende i matematikk; det vises selv på steder som mangler en direkte forbindelse med sirkler av euklidisk geometri. [ 45 ]

Geometri og trigonometri

For enhver sirkel med radius r og diameter d = 2 r , er lengden på omkretsen π d og arealet av sirkelen er π r 2 . I tillegg vises π i formler for områder og volumer av mange andre geometriske figurer relatert til omkretsen, for eksempel ellipser , kuler , kjegler og toruser . [ 46 ] π vises i bestemte integraler som beskriver omkretsen, arealet eller volumet til figurer generert av omkretser og sirkler. I det grunnleggende tilfellet er halve arealet av en enhetssirkel : [ 47 ]

\int{-1}}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}

og halve lengden av enhetssirkelen er: [ 48 ]

\int{-1}}^{1}{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\,dx=\pi

Mer komplekse former kan integreres som revolusjonskropper . [ 49 ]

Fra definisjonen av de trigonometriske funksjonene fra enhetssirkelen følger det at sinus og cosinus har periode 2π. Som betyr, for alle x og n heltall , sin( x ) = sin( x + 2π n ) og cos( x ) = cos( x + 2π n ). Fordi sin(0) = 0, sin(2π n ) = 0 for alle heltall n . Dessuten er vinkelen 180° lik π radianer. Med andre ord 1° = (π/180) radianer.

I moderne matematikk er π ofte definert ved å bruke trigonometriske funksjoner, for eksempel som det minste positive heltall x som sin x = 0 for, for å unngå unødvendige avhengigheter av finessene i euklidisk geometri og integrasjon. Tilsvarende kan π defineres ved å bruke inverse trigonometriske funksjoner, for eksempel som π = 2 arccos(0) eller π = 4 arctan(1). Å utvide inverse trigonometriske funksjoner som potensserier er den enkleste måten å oppnå uendelige rekker for π.

Kompleks variabel

Den hyppige forekomsten av π i kompleks analyse kan være relatert til oppførselen til eksponentialfunksjonen til en kompleks variabel, beskrevet av Eulers formel [ 50 ]

e^{{i\varphi }}=\cos \varphi +i\sin \varphi \!

der i er den imaginære enheten som tilfredsstiller ligningen og e ≈ 2,71828 er Euler-tallet . Denne formelen innebærer at de imaginære potensene til e beskriver rotasjoner en enhetssirkel i det komplekse planet; disse rotasjonene har en periode på 360º = 2π. Spesielt resulterer 180º-rotasjonen φ = π i den bemerkelsesverdige Euler-identiteten $i^{2}=-1$

e^{{i\pi }}+1=0.\!

Det er n forskjellige nte røtter til enhet

e^{{2\pi ik/n}}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).

Høyere kalkulus

Gaussisk integral

\int{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-x^{2}}}dx={\sqrt {\pi }}.

[ 51 ]

En konsekvens er at resultatet av delingen mellom gammafunksjonen til et halvt heltall (halvparten av et oddetall) og √π er et rasjonelt tall.

Fysikk

Selv om det ikke er en fysisk konstant , vises π rutinemessig i ligninger som beskriver universets grunnleggende prinsipper, ikke nødvendigvis relatert til de geometriske egenskapene til sirkelen, men brukes for eksempel til å beskrive periodiske fenomener som bølger og sykluser. I stor grad på grunn av forholdet til sirkelens natur og tilsvarende med det sfæriske koordinatsystemet (et system som er mye brukt i fysikk på grunn av egenskapene til radiell symmetri ). Bruk av enheter som Planck-enheter kan noen ganger eliminere π fra formler.

Den kosmologiske konstanten : [ 52 ] $\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$
Heisenberg usikkerhetsprinsipp : [ 53 ] $\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

Bruken av pi i dette grunnleggende forholdet til kvantemekanikk er relatert til periodisiteten til bølgefunksjonen , og beskriver en minimumsverdi der en bølgefunksjon kan plasseres riktig samtidig i koordinatrom ( ) og i frekvensrom ( ), sammenkoblet med Fourier - transformasjonen . Frekvensen er direkte relatert til impulsen til bølgefunksjonen. For eksempel: for fotonet , hvor y er frekvensen ). $x$ $s$ $p=\hbar \omega$ $\omega =2\pi f$ $F$

Einsteins feltligning for generell relativitet : [ 54 ] $R_{{ik}}-{g_{{ik}}R \over 2}+\Lambda g_{{ik}}={8\pi G \over c^{4}}T_{{ik}}$
Coulombs lov for elektrisk kraft : [ 55 ] $F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon 0}r^{2}}}$
Vakuum magnetisk permeabilitet : [ 56 ] $µ0=4\pi \cdot 10^{{-7}}\,{\mathrm {N/A^{2}}}\,$
Keplers tredje lov : ${\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}$

Sannsynlighet og statistikk

I sannsynlighet og statistikk er det mange fordelinger hvis formler inneholder π , inkludert:

sannsynlighetstetthetsfunksjonen for normalfordelingen med gjennomsnittlig μ og standardavvik σ , som avhenger av Gauss-integralet : [ 57 ]

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/2\sigma^2}

sannsynlighetstetthetsfunksjonen for (standard) Cauchy-fordelingen : [ 58 ]

f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.

Merk at for alle sannsynlighetstetthetsfunksjoner kan formlene ovenfor brukes til å produsere andre integralformler for π . [ 59 ] $\int{-\infty }}^{{\infty }}f(x)\,dx=1$

Buffon-nålproblemet kalles noen ganger en empirisk tilnærming av π . Det innebærer å skyte ut en nål med lengde l gjentatte ganger på en overflate hvor det er tegnet parallelle linjer, fordelt t enheter fra hverandre, jevnt (med t > l slik at nålen ikke kan berøre to linjer). Hvis nålen kastes n ganger og x av disse faller over en linje, kan π tilnærmes ved å bruke Monte Carlo-metoden , og kaste den et stort antall ganger: [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]

\pi \approx {\frac {2nl}{xt}}.

Selv om dette resultatet er matematisk feilfritt, kan det ikke brukes for mer enn noen få sifre av π eksperimentelt . For å få bare tre riktige sifre (inkludert den innledende "3") kreves millioner av kast, [ 60 ] og antall kast vokser eksponentielt med ønsket antall sifre. Dessuten overføres enhver feil i målingen av lengdene l og t direkte som en feil i tilnærmingen til π . For eksempel kan en forskjell på et enkelt atom på en 10-centimeter nål føre til feil i det niende sifferet i resultatet. I praksis presser usikkerheten for å avgjøre om nålen faktisk krysser en linje som ser ut til å bare berøre den grensen for oppnåelig presisjon til mye mindre enn 9 sifre.

Mnemoniske regler

Det er veldig vanlig å bruke dikt som en mnemonikk for å kunne huske de første sifrene i tallet pi.

En måte å huske de første 20 sifrene på er med dette diktet, du trenger bare å telle bokstavene i hvert ord:

Jeg er og vil være definerbar for alt
mitt navn Jeg må gi deg en
diametral kvotient alltid umåtelig
Jeg er en av de runde ringene

En annen versjon, som gjør det mulig å liste opp de første 27 sifrene, er som følger:
"Hva? Og hvordan samler π uendelige tall? Det må være gjentatte perioder! Jeg forstår heller ikke at noe slikt, så vågalt, bekreftes fra et lite kjent beløp!» Merk at for den andre 1 (3.14 1 59...) brukes den greske bokstaven π .
Et tredje dikt:

Jeg kommer til å elske alene, deprimert
vil de aldri vite at jeg drømmer om å finne deg,
vanskelig omkrets, skjult
som slår i nevronene mine... Jeg
formørker veien for å se
hemmelighetene du skjuler
, vil jeg kunne finne dem ?...

En annen regel, som lar deg huske de første 32 figurene:
«Jeg er π, motto og genial fornuft til en vis mann, for en verdifull serie som verdsetter, sa han mesterlig. Ved sin enestående lov, godt målt, ble den store kulen endelig redusert til det vanlige ordinære systemet.» (av forfatteren Rafael Nieto Paris [ 64 ] ) Her brukes også den greske bokstaven π for den første 1.
En annen måte, som lar deg huske de første 14 figurene:

"Hvordan jeg vil ha en drink, alkoholisk selvfølgelig, etter de tunge forelesningene som involverer kvantemekanikk!" [ 65 ]

Det er lange historier som er i stand til å huske et stort antall sifre, for eksempel den med tittelen « Cadaeic Cadenza », skrevet i 1996 av matematikeren Michael Keith og som gir muligheten til å huske de første 3834 sifrene. Ved å ta "A" til å være 1, "B" til å være 2, "C" til å være 3 osv., tar navnet på historien sifrene ut av π, ettersom "kadaisk" er det første 7-sifrede ordet av π :

Cadaeic
3.1 4 1 5 9 3

Det er bemerkelsesverdig at på hvert språk er det forskjellige mnemoniske regler (det anbefales å besøke hver Wikipedia for å oppdage kunsten som brukes på hvert språk).

Populærkultur

Medieopptreden

I 1998 dukket det opp en film av regissør Darren Aronofsky kalt Pi om en matematiker som mener at verden er representert med tall.
Alfred Hitchcock får i sin film Torn Curtain symbolet π til å fremstå som en spionasjeorganisasjon.
I filmen The Net dukker han opp nederst til høyre på en konsert- og musikkside, fra et show kalt The Mozart Ghost . Tilsynelatende er det bare en dekorasjon, men når du trykker CRTL+ALT+Klikk på π, får du tilgang til Gatekeepers datagrensesnitt, et Praetorian-program som ba om brukernavn og passord.
I tegneserieserien The Simpsons , i episoden «Bye Bye Nerdie», roper professor Frink , på toppen av stemmen, at «π er nøyaktig tre!», for å tiltrekke seg oppmerksomheten til et publikum som består av forskere. Mens alle snur seg for å se på ham, ber han om unnskyldning for å ha blitt tvunget til slike helligbrøde .
Ulike referanser til π vises i Futurama -serien , for eksempel "olje π i 1", og "kjøp på πkea".
Carl Sagans roman Kontakt – som den homonyme filmen senere ble filmet på – tar π (men ikke i desimalform) som et tall som skjuler selve essensen av universet.

Singulariteter

Arkimedes metode ble ikke overgått på nesten to tusen år til tross for de store fremskritt som ble gjort i dens numeriske evaluering. [ 66 ]
Verdien av Pi brukt av Posidonius (135-51 f.Kr.) må ha vært korrekt med flere desimaler. Verdien han utledet for jordens omkrets ble adoptert tre århundrer senere av den aleksandrinske astronomen Claudius Ptolemaios og mye senere av Christopher Columbus , blant mange andre. [ 65 ]
14. mars (3/14 i amerikansk datoformat) er også markert som pi-dag der fans av dette nummeret feirer med forskjellige opptredener. Merkelig nok er det bursdagen til Albert Einstein og årsdagen for Stephen Hawkings død . [ 67 ]
355/113 (~3.1415929) er noen ganger nevnt som en nesten perfekt simulering!
Nobelprisvinner for litteratur Wisława Szymborska skrev et dikt med tittelen "The Number Pi" (Liczba Pi) der hun bruker, i rekkefølge, de første 25 sifrene i π.
John Squire (fra bandet The Stone Roses ) nevner π i en sang skrevet for hans andre band The Seahorses kalt "Something Tells Me". Sangen avsluttes med tekster som: "Hva er livets hemmelighet? Det er 3.14159265, yeah yeah!!».
De første million sifrene i π og dens inverse 1/π finner du på Project Gutenberg eller på denne lenken .
Donald Knuths TeX - tekstbehandlingsprogram er nummerert i henhold til sifrene til π. 2002-versjonen ble merket med 3.141592.
Dette tallet brukes i rekken av signaler som sendes av jorden for å bli identifisert av en intelligent utenomjordisk sivilisasjon.
Sannsynligheten for at to tilfeldig valgte positive heltall er primtall for hverandre er . $6/\pi 2$
Det finnes programmer på internett som ser etter telefonnummeret ditt i de første 50 000 000 sifrene i π.
I noen programmeringsspråk kan du finne ut så mange sifre du vil ved ganske enkelt å bruke uttrykk som: RealDigits[ N[ Pi, 105]] i " Mathematica ".
I 2002 brøt japanske Akira Haraguchi verdensrekorden ved å resitere 83 431 sifre med pi nonstop i 13 timer, en dobling av den forrige rekorden som ble holdt av andre japanske Hiroyuki Goto. Den 4. oktober 2006 , klokken 01:30, og etter 16 og en halv time, slo Haraguchi igjen sin egen rekord ved å resitere 100 000 sifre i tallet pi, og stoppet annenhver time i 10 minutter for å få litt luft. .
Maksimalt antall sifre i π som trengs for å slå opp en firesifret dag-måned-år-sekvens i desimalutvidelsen av pi er 60 872.
Det er en Kate Bush -sang kalt "Pi" der mer enn tjue desimaler av tallet er resitert.
I Argentina er mobiltelefonnummeret for nødsituasjoner på tog- og t-banestasjoner ∗31416. [ 68 ]
Hovedverdien til uttrykket er et reelt tall og er gitt av : [ 69 ] $i^{i}$ $i^{i}=\venstre(e^{{i\pi /2}}\høyre)^{i}=e^{{i^{2}\pi /2}}=e^{{-\ pi /2}}=0,207879...$
Srinivasa Ramanujan publiserte en omtrentlig kompass- og linjalløsning for å kvadrere sirkelen i 1913 der han oppnådde et segment omtrent lik : [ 70 ] $r{\sqrt {\pi }}$

{\mbox{segment}}={\frac {d}{2}}{\sqrt {{\frac {355}{113}}}}\ca r{\sqrt {\pi }}

Hebreerne anser tallet pi som "Guds tall". I filmen Pi: Faith in Chaos vurderer Torah-studenter de første 216 (6x6x6) desimalene for å representere Guds sanne navn. I Bibelen (jødisk og kristen) står Guds navn i kapittel 3 og vers 14 i 2. Mosebok ( 2. Mosebok 3:14 ).

Dager med tilnærming til π

I følge visse numeriske tilfeldigheter er tilnærmingsdagene til Pi:

14. mars (14/3 i engelsk datoformat). [ 71 ]
26. april .
22. juli (22.7 som er en tilnærming av pi).
10. november (det er den 314. dagen i den gregorianske kalenderen).
21. desember (det er dag 355, med henvisning til 355/113-tilnærmingen).

Åpne spørsmål om π

Har hvert av desimalsifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 en uendelig forekomst i desimalene til π?
Det såkalte Brouwer-spørsmålet : i desimalutvidelsen av π, er det noen posisjon der det er en rekkefølge av tusen påfølgende nuller?
Er π bare normal til grunntallet 10? Det vil si, har hvert av de ti sifrene i desimalsystemet samme sannsynlighet for å vises i en desimalutvidelse?
Det er ikke kjent om π+e, π/e, ln(π) er irrasjonelle . Det er kjent at de ikke er røtter til polynomer med grad mindre enn ni og med heltallskoeffisienter av orden 10 9 . [ 72 ] [ 73 ]

Se også

Referanser

↑ MATEMATIKK 6: Matematisk reform Costa Rica . F Premium Consulting Group. ISBN 9789930513101 . Hentet 27. februar 2018 .
↑ Incorporated, InterLingua com.google.es/books?id=tqgmdatAt0oC&pg=PA283&dq=%CF%80+(pi)+n%C3%BAmero+irrational&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjs_9DhxMbQKHUFTA=page%BQKHUFTA%8BQZA%80%80%8AeVIL 20(pi)%20n%C3%BAmer%20irrasjonell&f=falsk (2009). InterLingua Publishing. ISBN 9781884730023 . ( hjelpen ) mangler ; |título=|fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ Flames, Edmund (2013). Boken med lamaspørsmål . Lulu.com. ISBN 9780557073979 . Hentet 27. februar 2018 .
^ "Pi er ikke alltid lik 3,14159 ..." . Hentet 29. juli 2018 .
↑ GL Cohen og AG Shannon, John Wards metode for beregning av pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144.
↑ Ny introduksjon til matematikk, William Jones, 1706, London
↑ a b Beskin. Fantastiske brøker . Mir Moskva, (1987).
↑ "Pi-dagen: Hvem oppdaget verdien av Pi?" . Avisen . 14. mars 2018 . Hentet 24. mai 2018 .
↑ Gay Robins og Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an old Egyptian text , British Museum Publications, London, 1987, se "Squaring the Circle", side 44-46.
↑ "The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York, (ny utgave 1969).
^ Morris, John D. (1. mai 2003). «Inneholder Bibelen en matematisk feil verdi for «Pi»?» (nettsted) (på engelsk) . Hentet 22. februar 2018 .
^ Beckmann, Petr: A History of Pi , først utgitt av The Golem Press, 1971, Barnes and Books, New York, konsultert utgave fra 1993.
↑ a b c Bailey, DH, Borwein, JM, Borwein, PB og Plouffle, S. "Søken etter Pi." The Mathematical Intelligencer 19 (1997), s. 50-57.
^ A. Volkov, "Beregning av π i det gamle Kina: fra Liu Hui til Zu Chongzhi." Sci historie . (2) 4 (2) (1994), 139-157.
↑ abc Boyer Carl (1999). Matematikkens historie . Madrid: Publishing Alliance. 84-206-8186-5 .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., " Liu Hui " , MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of Saint Andrews , http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Liu_Hui.html .
↑ C. Jami, Une histoire chinoise du 'name π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50
↑ Arndt J., Haenel C. Pi sluppet løs (overs. C. og D. Lischka). Berlin, New York: Springer, 2001, s. 188 og 228. ISBN 978-3-540-66572-4
↑ Gardner: New Mathematical Pastimes ISBN 84-206-1391-6
^ "Utviklingen av Pi over tid" . Hentet 29. juli 2018 .
↑ a b c d e Bailey. David H. "Noen bakgrunn om Kanadas siste Pi-beregning" (2003). Tilgjengelig på denne linken . Åpnet: 22. april 2008
↑ [1]
↑ "Yomiuri Online, 17. august 2009, "円周率計算で世界一…筑波大がギネス申請"" (på japansk) . Arkivert fra originalen 19. august 2009.
^ " Pi Computation Record , av Fabrice Bellard " .
↑ a b https://www.eltiempo.com/vida/ciencia/nuevo-record-mundial-para-el-numero-pi-en-el-dia-mundial-337710
↑ Mullican, Timothy (26. juni 2019). "Beregne Pi: Mitt forsøk på å bryte Pi-verdensrekorden" . Bits og bytes (på amerikansk engelsk) . Hentet 23. mars 2021 .
^ "Pi-Challenge - verdensrekordforsøk av UAS Grisons - University of Applied Sciences of the Grisons" . www.fhgr.ch. _ Hentet 29. september 2021 .
↑ Euklid, elementer. Bok V
↑ Apostel: Kalkulus
↑ Gardner: verk nevnt, i The Transcendent Number Pi .
↑ Mahler, K. "On the Approximation of." Nederl. Akad. Wetensch. proc. Ser. A. 56/Forespørsler Math. 15, 30-42, 1953.
↑ http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html , 133-144
^ Bailey, David H., Borwein, Peter B. & Borwein, Jonathan M. (januar 1997). "Jakten etter Pi." Matematisk intelligens (1): 50-57.
^ Schaumm: Higher Calculus , McGraw Hill, USA.
↑ Ligningen finnes i Granville Calculus
↑ Maynard Kong: Integralregning
^ Bronshtein-Semendiaev: Mathematics Manual for Engineers and Students , Mir Publishing House, Moskva (1987).
↑ Bonstein. Semediaev: Op. cit, s. 116.
↑ BitCuco (2020). "Kode i c for å beregne tallet Pi ved Madhava-Leibniz-metoden" . :
^ Oscar Delgado Fort (2002) (2020). "Pi som en grense når k nærmer seg uendeligheten av Riemann-funksjonen". mangler |url=( hjelp )
^ Johann Heinrich Lambert (1728-1777) (1770). "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung II" (på tysk) . s. 106 . Hentet 28. august 2017 .
↑ Iago Rodríguez-Quintana Sández. "En vakker fortsatt brøk for π" . I The American Mathematical Monthly, red. Vol. 125, 2018, utgave 5 . doi : 10.1080/00029890.2018.1436838 . :
↑ Tolv andre representasjoner av π finnes på http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/
↑ Beregning av Pi ved hjelp av Monte Carlo-metoden
^ "Japansk slår rekord for å huske pi-sifre" . BBCNews . 2. februar 2005 . Hentet 30. oktober 2007 .
^ "Areal og omkrets av en arkimedeisk sirkel" . PennState . Arkivert fra originalen 24. november 2007 . Hentet 8. november 2007 .
↑ Weisstein, Eric W. ( 28. januar 2006 ) . "Unit Disk Comprehensive" . MathWorld . Hentet 8. november 2007 .
^ "Areal og omkrets av en sirkel av Archimedes" . PennState . Arkivert fra originalen 24. november 2007 . Hentet 8. november 2007 .
↑ Weisstein, Eric W. ( 4. mai 2006 ). Solid of Revolution . MathWorld . Hentet 8. november 2007 .
↑ Granville og andre: Differensial- og integralregning, Uteha, Mexico City s. 538.
↑ Schaumm: Høyere kalkulus. McGraw Hill, USA:
↑ Miller, Cole. "Den kosmologiske konstanten" ( PDF ) . University of Maryland . Hentet 8. november 2007 .
↑ Imamura , James M ( 2005-08-17 ) . "Heisenberg usikkerhetsprinsipp" . University of Oregon . Arkivert fra originalen 11. november 2007 . Hentet 9. november 2007 .
^ Einstein, Albert (1916). "Grunnlaget for den generelle relativitetsteorien" ( PDF ) . Annalen der Physik . Arkivert fra originalen 3. november 2007 . Hentet 9. november 2007 .
↑ Ship, C. Rod ( 28. juni 2005 ) . Coulombs konstante . Hyperfysikk . Georgia State University . Hentet 9. november 2007 .
^ "Magnetisk konstant" . NIST . 2006 CODATA anbefalte verdier . Hentet 9. november 2007 .
↑ Weisstein, Eric W. "Gaussisk integral" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch . Hentet 8. november 2007 .
↑ Weisstein, Eric W. Cauchy distribusjon . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch . Hentet 8. november 2007 .
↑ Weisstein, Eric W. «Sannsynlighetsfunksjon» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch . Hentet 8. november 2007 .
↑ a b Weisstein, Eric W. "Buffons nålproblem" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch . Hentet 10. november 2007 .
↑ Bogomolny, Alexander. "Matematiske overraskelser: et eksempel" . Interaktiv matematikk diverse og gåter . Hentet 28. oktober 2007 .
^ Ramaley, JF (okt 1969). "Buffons nudelproblem" . The American Mathematical Monthly 76 (8): 916-918.
^ "Monte Carlo-algoritmen/metoden" . datastrukturer . 9. januar 2007 . Arkivert fra originalen 11. oktober 2007 . Hentet 7. november 2007 .
^ "http://www.matematicasdivertidas.com/Poesia%20Matematica/poesiamatematica.html" .
^ a b Beckmann, Petr (2006). Historien til Pi . KONTAKT. s. 167.
↑ Beckmann, Petr (2006). Historien til Pi . Conaculta. s. 101.
↑ EC, Redaksjon (14. mars 2018). "Stephen Hawking, Albert Einstein og Galileo Galilei: Tilfeldighetene til disse tre geniene" . Handelen . Hentet 24. mai 2018 .
^ "Sikkerhetsplan for T-banen." Clarin .
↑ Imaginær enhet i Mathworld [2] (på engelsk). høring: 21. april 2008
↑ Ramanujan, Srinivasa (1913). "Squaring the circle" ( djvu ) . Journal of the Indian Mathematical Society . Hentet 25. april 2008 .
↑ Haruka Iwao, Emma (14. mars 2019). "Pi in the sky: Beregning av rekordstore 31,4 billioner sifre av Arkimedes konstant på Google Cloud" (html) . Google Cloud (på engelsk) . Arkivert fra originalen 14. mars 2019 . Hentet 12. mars 2019 . "Til ære for Pi-dagen, i dag 14. mars (representert som 3/14 i mange deler av verden), er vi glade for å kunngjøre at vi har regnet ut π til 31,4 billioner desimaler – 31 415 926 535 897 for å være nøyaktig, eller π * 10 13 . »
↑ Bailey, DH "Numeriske resultater på transcendens av konstanter som involverer π, e og Eulers konstant." Matte. Comput . 50, 275-281, 1988a.
↑ Pi in Mathworld [3] (på engelsk). høring: 21. april 2008

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på Number π .
Wikiquote har kjente sitater fra eller om nummer π .
Pi-tall med 10 000 desimaler.
Historie om beregningen av Pi og algoritmer brukt.
Rodríguez del Río, Roberto (2008) Tallet Pi: fra geometri til numerisk kalkulus.
History of Pi, på astroseti.org
Venner av Pi Club
For å finne et hvilket som helst tall mellom de første 200 000 000 sifrene i Pi
Program for beregning av π og et stort antall andre konstanter (på engelsk)
Liste med beregnede verdier med forfattere og verdier (på engelsk)