Algebra

Algebra (fra arabisk : الجبر al-ŷabr ' reintegrasjon, rekomposisjon' [ 1 ]​ og datainnsamling [ 2 ] ​) er grenen av matematikk som studerer kombinasjonen av elementer av abstrakte strukturer i henhold til visse regler. [ 3 ] Opprinnelig kunne disse elementene tolkes som tall eller mengder, så algebra var på en måte opprinnelig en generalisering og utvidelse av aritmetikk . [ 4 ] ​[ 5 ]​ I moderne algebra er det områder av algebra som på ingen måte kan betraktes som utvidelser av aritmetikk ( abstrakt algebra , homologisk algebra , eksteriør algebra , etc.).

Elementær algebra skiller seg fra aritmetikk i bruken av abstraksjoner, for eksempel bruken av bokstaver for å representere tall som er ukjente eller kan ta på seg mange verdier. For eksempel, i brevet er det en ukjent, men å bruke det motsatte kan verdien avsløres: . I , bokstavene og er variabler, og bokstaven er en konstant , lysets hastighet i et vakuum. Algebra gir metoder for å skrive formler og løse ligninger som er mye klarere og enklere enn den gamle metoden for å skrive alt med ord.

Ordet algebra brukes også på visse spesialiserte måter. En spesiell type matematisk objekt i abstrakt algebra kalles en algebra , og ordet brukes for eksempel i setningene lineær algebra og algebraisk topologi .

Etymologi

Ordet algebra kommer fra arabisk الجبر [ 3 ]​ og databeregning [ 2 ]​ fra tittelen på boken Ilm al-jabr wa l-muqābala fra begynnelsen av 900 - tallet  , The Science of Restoration and Equilibrium av Mathematician and Astronomer Persian Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī . I sitt arbeid refererte begrepet al-jabr til operasjonen med å flytte et begrep fra den ene siden av en ligning til den andre, المقابلة al-muqābala "balansering" refererte til å legge til like vilkår på begge sider. Forkortet til ganske enkelt algeber eller algebra på latin, kom ordet til slutt inn i det engelske språket i løpet av 1400  -tallet , enten fra spansk, italiensk eller middelalderlatin . Det refererte opprinnelig til den kirurgiske prosedyren for å fikse ødelagte eller forskjøvede bein. Den matematiske betydningen ble først registrert (på engelsk) på 1500  -tallet . [ 6 ]

Introduksjon

I motsetning til elementær aritmetikk, som omhandler tall og grunnleggende operasjoner , introduseres symboler (vanligvis bokstaver ) i algebra - for å oppnå generalisering - også for å representere parametere ( variabler eller koeffisienter ), eller ukjente størrelser ( ukjente ); uttrykkene som dannes på denne måten kalles " algebraiske formler ", og uttrykker en generell regel eller prinsipp. [ 7 ] Algebra utgjør et av de store områdene innen matematikk , sammen med tallteori , geometri og analyse .

Ordet «algebra» kommer fra det arabiske ordet الجبر al-ŷabar (på dialektalarabisk ved progressiv assimilering ble det uttalt [alŷɛbɾ] som begrepene for europeiske språk stammer fra), som oversettes som 'restaurering' eller 'påfylling, reintegrering '. Den stammer fra traktaten skrevet rundt år 820 e.Kr. av den persiske matematikeren og astronomen Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (kjent som Al Juarismi), med tittelen Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala ( Compendium of Calculus by Reintegration and Comparison symbol) systematisk løsning av lineære og andregradslikninger . Mange av metodene hans stammer fra utviklingen av matematikk i middelalderens islam , og fremhever uavhengigheten til algebra som en matematisk disiplin uavhengig av geometri og aritmetikk . [ 8 ] Algebra kan betraktes som kunsten å gjøre beregninger på samme måte som i aritmetikk , men med ikke-numeriske matematiske objekter . [ 9 ]

Adjektivet " algebraisk " betegner vanligvis en relasjon til algebra, som for eksempel i algebraisk struktur . Av historiske grunner kan det også indikere et forhold til løsningene av polynomlikninger , algebraiske tall , algebraisk utvidelse eller algebraisk uttrykk . Det er praktisk å skille mellom:

Algebra er vanligvis basert på å studere kombinasjonene av endelige kjeder av tegn, og mens matematisk analyse krever å studere grenser og sekvenser av et uendelig antall elementer.

algebras historie

Se også: Matematikkens historie

algebra i antikken

Røttene til algebra kan spores tilbake til gammel babylonsk matematikk , [ 10 ] som hadde utviklet et avansert aritmetisk system som de var i stand til å gjøre beregninger med på en algoritmisk måte . Ved bruk av dette systemet var de i stand til å finne formler og løsninger for å løse problemer som i dag vanligvis løses ved hjelp av lineære ligninger , andregradsligninger og ubestemte ligninger . Derimot løste de fleste egyptere på denne tiden, og de fleste greske og kinesiske matematikere i det første årtusen f.Kr., slike ligninger ved geometriske metoder, slik som de som er beskrevet i Rhind Papyrus , Euclid 's Elements og The Nine Chapters on the Mathematical Art. .

Se også: Hellensk matematikk

Gamle greske matematikere introduserte en viktig transformasjon ved å lage en algebra av geometrisk type, der "termer" ble representert av "sidene av geometriske objekter", vanligvis linjer som de assosierte bokstaver til. [ 9 ] De hellenske matematikerne Heron of Alexandria og Diophantus [ 11 ] samt indiske matematikere som Brahmagupta fulgte tradisjonene i Egypt og Babylon, selv om Diophantus sin Arithmetica og Brahmaguptas Brahmasphutasiddhanta er på et nivå med mye høyere utvikling. [ 12 ] For eksempel ble den første komplette aritmetiske løsningen (inkludert null og negative løsninger) for kvadratiske ligninger beskrevet av Brahmagupta i sin bok Brahmasphutasiddhanta . Senere ville arabiske og muslimske matematikere utvikle algebraiske metoder til en mye høyere grad av raffinement.

Diophantus (3. århundre e.Kr.), noen ganger kalt "algebraens far", var en alexandrinsk matematiker , forfatter av en serie bøker med tittelen Arithmetica . Disse tekstene omhandler løsninger på algebraiske ligninger . [ 13 ]

Arabisk innflytelse

Se også: Matematikk i middelalderens islam

Babylonerne og Diophantus brukte stort sett spesielle ad hoc -metoder for å løse ligninger, Al-Khwarizmis bidrag var grunnleggende; løser lineære og andregradslikninger uten algebraisk symbolikk, negative tall eller null, så du må skille mellom ulike typer >jab. [ 14 ]

Den persiske matematikeren Omar Khayyam utviklet algebraisk geometri og fant den geometriske løsningen av den kubiske ligningen. En annen persisk matematiker, Sharaf Al-Din al-Tusi, fant den numeriske og algebraiske løsningen på forskjellige tilfeller av kubiske ligninger; han utviklet også funksjonsbegrepet . De indiske matematikerne Mahavira og Bhaskara II , den persiske matematikeren Al-Karaji , og den kinesiske matematikeren Zhu Shijie , løste forskjellige tilfeller av ligninger av grader tre, fire og fem, samt høyere ordens polynomelikninger ved hjelp av numeriske metoder.

Moderne tid

I løpet av den europeiske moderne tidsalder finner mange innovasjoner sted, og resultater oppnås som klart overgår resultatene oppnådd av arabiske, persiske, indiske eller greske matematikere. En del av denne oppmuntringen kommer fra studiet av tredje og fjerde grads polynomlikninger. Løsningene for polynomligninger av andre grad var allerede kjent av de babylonske matematikerne hvis resultater spredte seg over hele den antikke verden.

Oppdagelsen av prosedyren for å finne algebraiske løsninger av tredje og fjerde orden skjedde i Italia på 1500  -tallet . Det er også bemerkelsesverdig at begrepet determinant ble oppdaget av den japanske matematikeren Kowa Seki fra 1600  -tallet , etterfulgt av Gottfried Leibniz ti år senere, for å løse systemer med simultane lineære ligninger ved hjelp av matriser. Mellom 1500- og 1600-tallet ble forestillingen om komplekst tall konsolidert , som begrepet algebra begynte å bevege seg bort fra målbare størrelser med. Gabriel Cramer arbeidet også med matriser og determinanter på 1700  -tallet . Også Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange , Adrien-Marie Legendre og en rekke matematikere fra 1700  -tallet gjorde bemerkelsesverdige fremskritt innen algebra.

1800  -tallet

Abstrakt algebra utviklet seg på 1800  -tallet , først fokusert på det som nå er kjent som Galois-teori og på spørsmål om konstruerbarhet . [ 15 ] Gauss sine arbeider generaliserte mange algebraiske strukturer. Jakten på et strengt matematisk grunnlag og en klassifisering av de forskjellige typene matematiske konstruksjoner førte til opprettelsen av områder med abstrakt algebra i løpet av 1800  -tallet som var fullstendig uavhengige av aritmetiske eller geometriske forestillinger (noe som ikke hadde skjedd med algebraen til tidligere århundrer).

Matematikkområder med ordet algebra i navnet

Noen områder av matematikken som faller inn under den abstrakte algebraklassifiseringen har ordet algebra i navnet; lineær algebra er et eksempel. Andre gjør det ikke: Gruppeteori , ringteori og feltteori er eksempler. I denne delen viser vi noen områder av matematikken med ordet "algebra" i navnet.

Mange matematiske strukturer kalles algebraer :

algebraisk notasjon

Det er at tall brukes til å representere kjente og bestemte mengder. Bokstaver brukes til å representere alle slags mengder, enten kjent eller ukjent. Kjente mengder uttrykkes med de første bokstavene i alfabetet: a , b , c , d , ... Ukjente mengder er representert med de siste bokstavene i alfabetet : u , v , w , x , y , z . [ 16 ]

Tegnene som brukes i algebra er tre typer: operasjonstegn, relasjonstegn og grupperingstegn. [ 16 ]

tegn på operasjon

I algebra verifiseres de samme operasjonene med mengder som i aritmetikk : addisjon , subtraksjon , multiplikasjon , heving til potenser og ekstraksjon av røtter, som er angitt med hovedtegnet for aritmetikk bortsett fra multiplikasjonstegnet . I stedet for ×-tegnet brukes vanligvis en periode mellom faktorene og multiplikasjon angis også ved å sette faktorene i parentes. Så a ⋅ b og ( a )( b ) er lik a × b .

forholdstegn

Disse tegnene brukes til å indikere forholdet mellom to mengder. De viktigste er:

gruppering av skilt

Grupperingstegnene er: parenteser eller vanlige parenteser ( ), parenteser eller vinkelparenteser eller rektangulære parenteser [ ], klammeparenteser { }, og streken eller lenken | |. Disse tegnene indikerer at operasjonen plassert mellom dem må utføres først. Dermed indikerer ( a + b ) c at resultatet av summen a og b må multipliseres med c ; [ a – b ] m indikerer at forskjellen mellom a og b skal multipliseres med m , { a + b } ÷ { c – d } indikerer at summen av a og b skal divideres med differansen av c og d . Rekkefølgen på disse skiltene er som følger | { [ ( ) ] } |, for eksempel: | { [ ( a + b ) – c ] × d } ÷ e | indikerer at resultatet av addisjonen av a + b må trekkes fra c , så må resultatet av subtraksjonen multipliseres med d , og på slutten må resultatet av multiplikasjonen deles på e .

De vanligste tegnene og symbolene

Tegn og symboler brukes i algebra — og generelt i mengdlære og mengdalgebra — som ligninger , matriser , serier osv. er bygd opp med. Bokstavene kalles variabler , siden den samme bokstaven brukes i andre problemer og verdien varierer.

Her noen eksempler:

tegn og symboler
Uttrykk Bruk
+ I tillegg til å uttrykke tillegg, brukes det også til å uttrykke binære operasjoner.
c eller k De uttrykker konstante termer
De første bokstavene i alfabetet
a, b, c, … 		De brukes til å uttrykke kjente mengder.
De siste bokstavene i alfabetet
…, x, y, z 		De brukes til å uttrykke ukjente.
n Uttrykk et hvilket som helst tall (1, 2, 3, 4, …, n )
Eksponenter og abonnenter
 Uttrykk mengder av samme type, av ulik størrelse.


Symbologi av sett [ 17 ]
Symbol Beskrivelse
{} Sett
∈ Det er et element i settet eller tilhører settet.
∉ Det er ikke et element i settet eller tilhører ikke settet.
⎜ slik at
n(C) Kardinalitet av sett C
ELLER Universsett _
Φ tomt sett
⊆ undergruppe av
⊂ riktig delmengde av
⊄ er ikke en riktig undergruppe av
> Større enn
< Mindre enn
≥ Større enn eller lik
≤ mindre enn eller lik
∩ Kryss av sett
∪ Union av sett
EN' Komplement av sett A
= likhetssymbol
≠ er ikke lik
… Settet fortsetter
⇔ Hvis og bare hvis
¬ (noen ganger ∼) Nei, logisk fornektelse (det er usant det)
∧ Y
∨ ENTEN

Algebraisk språk

Algebraisk språk [ 17 ]
Felles språk Algebraisk språk
hvilket som helst tall _ m
Et hvilket som helst antall økte med syv m + 7
Forskjellen mellom to tall f - q
To ganger et tall overskredet med fem 2x + 5 _
Delingen av et heltall etter forgjengeren x /( x -1)
halvparten av et tall d /2
Kvadraten til et tall og ^2
Gjennomsnittet av summen av to tall ( b + c )/2
To tredjedeler av et tall redusert med fem tilsvarer 12. 2/3 ( x -5) = 12
Tre påfølgende naturlige tall. x , x + 1, x + 2.
Den største delen av 1200, hvis den minste er w 1200- w
Kvadraten til et tall økte med syv b2 + 7
Tre femtedeler av et tall pluss halvparten av det påfølgende er lik tre. 3/ 5p + 1/2 ( p +1 ) = 3
Produktet av et tall med forgjengeren er lik 30. x ( x -1) = 30
Terningen av et tall pluss tre ganger kvadratet av det tallet 3x + 3x2 _ _

algebraisk struktur

I matematikk er en algebraisk struktur et sett med elementer med visse operasjonelle egenskaper ; det vil si at det som definerer strukturen til settet er operasjonene som kan utføres med elementene i settet og de matematiske egenskapene som disse operasjonene besitter. Et matematisk objekt som består av et ikke-tomt sett og noen interne komposisjonslover definert i det er en algebraisk struktur. De viktigste algebraiske strukturene er:

Struktur intern lov Assosiativitet Nøytral Omvendt kommutativitet
Magma
semigruppe
monoid
abelsk monoid
Klynge
abelsk gruppe
Struktur (A,+, ) (A,+) (EN,·)
halv ring abelsk monoid monoid
Ringe abelsk gruppe semigruppe
Kropp abelsk gruppe abelsk gruppe

Se også

Referanser

  1. ↑ Federico Corriente (1991): Arabic-Spanish Dictionary , Ed. Herder, ISBN 84-254-1763-5
  2. ↑ a b Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (22. november 2017). Abstrakt algebra: en omfattende behandling . CRC Trykk. ISBN  978-1-4822-5817-2 . Arkivert fra originalen 21. februar 2021 . Hentet 15. oktober 2020 . 
  3. ^ a b "algebra" . Oxford English Dictionary . Oxford University Press. Arkivert fra originalen 31. desember 2013 . Hentet 20. november 2013 . 
  4. ↑ The 1911 Classic Encyclopedia, Algebra , (på engelsk).
  5. ↑ Ordbok for Royal Spanish Academy, algebra .
  6. ↑ TF Hoad, red. (2003). «Algebra» . The Concise Oxford Dictionary of English Etymology (Oxford: Oxford University Press). ISBN  978-0-19-283098-2 . doi : 10.1093/acref/9780192830982.001.0001 . 
  7. ↑ Aurelio Baldor, Algebra , s. 5-6.
  8. ↑ Roshdi Rashed (november 2009). Saqi Books , red. Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra . ISBN  0-86356-430-5 . 
  9. ↑ a b C.B. Boyer , 1991, Europa i middelalderen , s. 258.
  10. ↑ Struik, Dirk J. (1987). En kortfattet matematikkhistorie . New York: Dover Publications. ISBN  0486602559 . 
  11. ↑ Diophantus, far til algebra arkivert 2013-07-27 på Wayback Machine
  12. ↑ Algebras historie
  13. ↑ Cajori, Florian (2010). En historie om elementær matematikk – med tips om metoder for undervisning . s. 34. ISBN  1-4460-2221-8 . 
  14. ↑ Josef W. Meri (2004). Middelalder sivilisasjon . Psykologipresse. s. 31. ISBN  978-0-415-96690-0 . Hentet 2012-11-25 . 
  15. ↑ Opprinnelsen til abstrakt algebra . University of Hawaii Mathematics Department.
  16. ↑ a b Algebra Aurelio Baldor (2003)
  17. ↑ a b Algebra Arturo Aguilar (2009)

Bibliografi

Siterte verk

Andre publikasjoner

Eksterne linker