Funksjon (matematikk)

I matematikk sies en størrelse å være en funksjon av en annen hvis verdien av den første avhenger av verdien av den andre. For eksempel er arealet A av en sirkel en funksjon av dens radius r (verdien av området er proporsjonal med kvadratet av radien, A = π · r 2 ). Tilsvarende avhenger varigheten T av en togtur mellom to byer atskilt med en avstand d av hastigheten v som toget kjører med (nemlig varigheten er omvendt proporsjonal med hastigheten, T = d / v ). Den første størrelsen (området, varigheten) kalles den avhengige variabelen , og størrelsen den avhenger av (radiusen og hastigheten) er den uavhengige variabelen .

I matematisk analyse refererer det generelle konseptet til en funksjon til en regel som tildeler hvert element i et første sett et unikt element i et andre sett. Funksjoner er relasjoner mellom elementene i to sett. For eksempel har hvert heltall et unikt kvadrat , som viser seg å være et naturlig tall (inkludert null ): [ 1 ]

...	−2 → +4,	−1 → +1,	0 → 0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Denne tildelingen utgjør en funksjon mellom settet med heltall Z og settet med naturlige tall N . Selv om funksjonene som manipulerer tall er de mest kjente, er de ikke det eneste eksemplet: du kan forestille deg en funksjon som tildeler startbokstaven til hvert ord på spansk :

...,

Stasjon → E,

Museum → M,

Strøm → A,

Rosa → R,

Fly → A,

...

Dette er en funksjon mellom settet med spanske ord og settet med bokstaver i det spanske alfabetet .

Den vanlige måten å betegne en funksjon f på er:

f : A → B a → f ( a ),

hvor A er domenet til funksjonen f ; dets første sett, eller startsett, og B er codomene til f ; deres andre sett, eller ankomstsett. Med f ( a ) betegnes regelen eller algoritmen for å oppnå bildet av et bestemt vilkårlig objekt a fra domenet A , det vil si det (eneste) objektet til B som tilsvarer det. Noen ganger er dette uttrykket nok til å spesifisere funksjonen fullstendig, og utlede domenet og codomenet fra konteksten. I eksemplet ovenfor vil funksjonene "kvadrat" og "initial", kalle dem og , da bli betegnet som: $F$ $g$

f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}

k\to k^{2}

, eller ganske enkelt ;

f(k)=k^{2}

g : V → A p → Initial av p ;

hvis det er avtalt V = {spanske ord} og A = {spansk alfabet}.

En funksjon kan representeres på forskjellige måter: ved hjelp av den nevnte algoritmen eller ligningene for å få bildet av hvert element, ved hjelp av en tabell med verdier som samsvarer med hver verdi av den uavhengige variabelen med bildet -som vist ovenfor - , eller som en graf som gir et bilde av funksjonen.

Historikk

Konseptet med en funksjon som et uavhengig matematisk objekt, i stand til å bli studert på egen hånd, dukket ikke opp før begynnelsen av kalkulus på 1600 -tallet . [ 2 ] René Descartes , Isaac Newton og Gottfried Leibniz etablerte ideen om en funksjon som en avhengighet mellom to variable størrelser. Spesielt Leibniz laget begrepene 'funksjon', 'variabel', 'konstant' og 'parameter'. Notasjonen f ( x ) ble først brukt av franskmannen Alexis Claude Clairaut , og av sveitseren Leonhard Euler i hans Saint Petersburg Commentarii i 1736. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Opprinnelig ble en funksjon identifisert, for praktiske formål, med et analytisk uttrykk som gjorde det mulig å beregne verdiene. Denne definisjonen hadde imidlertid noen begrensninger: forskjellige uttrykk kan gi de samme verdiene, og ikke alle "avhengigheter" mellom to størrelser kan uttrykkes på denne måten. I 1837 foreslo den tyske matematikeren Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet den moderne definisjonen av en numerisk funksjon som enhver korrespondanse mellom to sett med tall, og assosierte hvert tall i det første settet med et unikt tall i det andre.

Intuisjonen om funksjonsbegrepet utviklet seg også. Opprinnelig ble avhengigheten mellom to størrelser forestilt som en fysisk prosess , slik at dens algebraiske uttrykk fanget den fysiske loven som tilsvarte den. Trenden mot større abstraksjon ble forsterket da det ble funnet eksempler på funksjoner uten enkelt analytisk uttrykk eller geometrisk representasjon, eller uten relasjon til noe naturfenomen; og ved "patologiske" eksempler som kontinuerlige funksjoner uten derivater på noe tidspunkt .

I løpet av 1800 -tallet utviklet de tyske matematikerne Julius Wilhelm Richard Dedekind , Karl Weierstrass og Georg Cantor , med utgangspunkt i en dyp studie av reelle tall , funksjonsteorien , denne teorien var uavhengig av nummersystemet som ble brukt. Med utviklingen av settteorien , på 1800- og 1900 - tallet , oppsto den nåværende definisjonen av funksjon, som en korrespondanse mellom alle to sett med objekter, ikke nødvendigvis numeriske . [ 6 ] Det ble også assosiert med andre koblede konsepter som det binære forholdet .

Introduksjon

En funksjon er et matematisk objekt som brukes til å uttrykke avhengigheten mellom to størrelser, og kan presenteres gjennom flere komplementære aspekter. Et vanlig eksempel på en numerisk funksjon er forholdet mellom posisjon og tid i en kropps bevegelse .

En mobil som beveger seg med en akselerasjon på 0,66 m/s 2 reiser en avstand d som er en funksjon av medgått tid t . d sies å være den avhengige variabelen og t sies å være den uavhengige variabelen. Disse størrelsene, beregnet a priori eller målt i et eksperiment, kan registreres på forskjellige måter. (Kroppen antas å starte på et øyeblikk da tidspunktet er avtalt å være t = 0 s.)

Verdiene til variablene kan samles i en tabell , og noterer avstanden d på et bestemt øyeblikk t , for flere forskjellige øyeblikk:

Tid t (s)	Avstand d (m)
0,0	0,0
0,5	0,1
1.0	0,3
1.5	0,7
2.0	1.3
2.5	2.0

Grafen i bildet er en ekvivalent måte å presentere den samme informasjonen på. Hvert punkt på den røde kurven representerer et par tidsavstandsdata, ved å bruke samsvaret mellom punkter og koordinater til det kartesiske planet . En regel eller algoritme kan også brukes som dikterer hvordan d skal beregnes fra t . I dette tilfellet er avstanden et legeme reiser med denne akselerasjonen gitt av uttrykket:

d=0,33\ ganger t^{2}

hvor størrelsene er uttrykt i SI -enheter . Fra disse tre modusene reflekteres det at det er en avhengighet mellom begge størrelsene.

En funksjon kan også reflektere forholdet mellom en avhengig variabel og flere uavhengige variabler. Hvis kroppen i eksemplet beveger seg med en konstant, men ubestemt akselerasjon a , er avstanden tilbakelagt en funksjon av a og t ; spesielt ,. Funksjoner brukes også til å uttrykke avhengigheten mellom andre objekter, ikke bare tall. For eksempel er det en funksjon som tildeler sitt antall sider til hver polygon ; eller en funksjon som tilordner følgende til hver ukedag: $d={\frac {a\times t^{2}}{2}}$

Mandag → tirsdag, tirsdag → onsdag,..., søndag → mandag

Definisjon

Den generelle definisjonen av funksjon refererer til avhengigheten mellom elementene i to gitte sett.

Gitt to sett A og B , er en funksjon (også kartlegging ) mellom dem en assosiasjon [ 7 ] f som tildeler hvert element av A et unikt element av B.

Det sies da at A er domenet (også startsett eller initialsett ) til f og at B er dets codomene (også ankomstsett eller sluttsett ).

Et generisk objekt eller verdi a i domenet A kalles den uavhengige variabelen ; og et generisk objekt b fra codomain B er den avhengige variabelen . De kalles også henholdsvis input- og output- verdier . Denne definisjonen er presis, selv om det i matematikk brukes en strengere formell definisjon, som konstruerer funksjoner som et konkret objekt fra ideen om ordnede par. Det vil si at en funksjon er et sett med ordnede par der det første elementet i hvert par ikke gjentas.

Eksempler

Alle reelle tall har en kube , så det er en "kube"-funksjon som tildeler hvert tall i domenet (reelle tall) sin kube i codomenet . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
Bortsett fra 0, har alle reelle tall en unik invers . Så er det «invers»-funksjonen hvis domene er de reelle tallene som ikke er null \ {0}, og med codomain . $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
Alle kjente pattedyr er klassifisert i en slekt , som Homo , Sus eller Loxodonta . Det er altså en funksjon "klassifisering i slekter" som tildeler hvert pattedyr i samlingen M = {kjente pattedyr} sin slekt. Kodomenet "klassifisering i slekter" er samlingen G = { Mammalia genera }.
Det er en «areal»-funksjon som tilordner arealet til hver trekant i planet (i samlingen T av dem alle, dets domene), et reelt tall, så dets kodomene er . $\mathbb{R}$
I et valg hvor hver velger kun kan avgi én stemme, er det en «stemme»-funksjon som tildeler hver velger det partiet de velger. Bildet viser et sett med valgmenn E og et sett med partier P , og en funksjon mellom dem.

Funksjoner med flere variabler

Det er mange eksempler på funksjoner som "trenger to verdier" for å beregnes, for eksempel "reisetids"-funksjonen T , som er gitt av forholdet mellom avstanden d og gjennomsnittshastigheten v : hvert par positive reelle tall (a avstand og en hastighet) har et tilknyttet positivt reelt tall (reisetiden). Derfor kan en funksjon ha to (eller flere) uavhengige variabler.

Forestillingen om en funksjon av flere uavhengige variabler trenger ikke en spesifikk definisjon atskilt fra den om en "vanlig" funksjon. Generaliteten til definisjonen ovenfor, der domenet er tenkt å være et sett med vilkårlige matematiske objekter , tillater oss å utelate spesifikasjonen av to (eller flere) sett med uavhengige variabler, A 1 og A 2 , for eksempel. I stedet tas domenet for å være settet med par ( a 1 , a 2 ), med den første komponenten ved A 1 og den andre komponenten ved A 2 . Dette settet kalles det kartesiske produktet av A 1 og A 2 , og er betegnet med A 1 × A 2 .

På denne måten bringes de to uavhengige variablene sammen i et enkelt objekt. For eksempel, i tilfellet med funksjonen T , er dens domene mengden × , settet med par av positive reelle tall. I tilfelle av mer enn to variabler, er definisjonen den samme, ved å bruke et ordnet sett med flere objekter, ( a 1 ,..., a n ), en n -tuppel . Også tilfellet med flere avhengige variabler vurderes på denne måten. For eksempel kan en delefunksjon ta to hele tall som inngangsverdier (dividende og divisor) og returnere to hele tall som utgangsverdier (kvotient og rest). Det sies da at denne funksjonen har settet som domene og codomain . $\mathbb{R}^+$ $\mathbb{R}^+$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$

Notasjon og nomenklatur

Den vanlige notasjonen for å presentere en funksjon f med domene A og codomain B er:

${\begin{array}{rrcl}f:&A&\longrightarrow &B\\&a&\mapsto &b=f(a)\end{array}}$

Det sies også at f er en funksjon "fra A til B " eller "mellom A og B ". Domenet til en funksjon f er også betegnet med dom( f ), D( f ), D f , etc. For f ( a ) oppsummeres operasjonen eller regelen som gjør det mulig å oppnå elementet av B assosiert med en viss a ∈ A , kalt bildet av a . [ 7 ]

Eksempler

Funksjonen "kube" kan nå betegnes som , med for hvert reelt tall . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)=x^{3}$ $x$
Den "inverse" funksjonen er , med for hver reell og ikke null. $g:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R}$ $g(x)={\frac {1}{x}}$ $x$
Funksjonen «sortering i slekter» kan skrives som , hvor γ ( m ) = Genus av m , for hvert kjent pattedyr m . $\gamma :M\to G$
Funksjonen "areal" kan betegnes som , og så , hvor t er en trekant i planet, B sin base og H sin høyde. $A:T\to R$ $A(t)=B\ ganger {\frac {H}{2}}$
Funksjonen «stemme» kan skrives som v : E → P , hvor v ( a ) = Parti som a stemte på, for hver velger a .

Notasjonen som brukes kan være litt mer slapp, for eksempel . I nevnte uttrykk er det ikke spesifisert hvilke sett som tas som domene og codomene. Generelt vil disse være gitt av konteksten der nevnte funksjon er spesifisert. Når det gjelder funksjoner av flere variabler (for eksempel to), er bildet av paret ikke betegnet med , men med , og tilsvarende for flere variabler. $f(n)={\sqrt {n}}$ $(a_{1},a_{2})$ $f((a_{1},a_{2}))$ $f(a_{1},a_{2})$

Det er også forskjellige terminologier i forskjellige grener av matematikk for å referere til funksjoner med visse domener og codomener:

faktisk funksjon : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Kompleks funksjon : $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$
Skalar funksjon : $f:\mathbb {R}<n}\to \mathbb {R}$
Vektor funksjon : $f:\mathbb {R}<n}\to \mathbb {R}<m}$

Også uendelige sekvenser av elementer som a , b , c , ... er funksjoner, hvis domene i dette tilfellet er de naturlige tallene . Ordene «funksjon», «applikasjon», «kartlegging» eller andre som « operatør », «funksjonell», etc., kan angi spesifikke typer funksjoner avhengig av konteksten. I tillegg begrenser noen forfattere ordet "funksjon" til tilfellet der elementene i det innledende og siste settet er tall. [ 8 ]

Bilde og omvendt bilde

Elementene i codomene B assosiert med et element i domene A utgjør bildet av funksjonen.

Gitt en funksjon f : A → B , kalles elementet av B som tilsvarer et visst element a i domenet A bildet av a , f ( a ).

Settet med bilder av hvert element i domenet er bildet av funksjonen f (også område eller område av f ). Settet med bilder av en hvilken som helst delmengde av domenet, X ⊆ A , kalles bildet av X .

Bildet av en funksjon er merket med eller , mens bildet av en delmengde er merket med eller . I settnotasjon er bildene av f og X angitt: $F$ ${\textstyle {\text{Im}}(f)}$ $f(A)$ ${\tekststil X\delsett A}$ $f(X)$ $f[X]$

${\begin{aligned}&{\text{Im}}(f)=f(A)=\{b\i B:{\text{det finnes }}a\i A{\text{ slik at }}f(a)=b\}\\&f(X)=\{b\i B:{\text{det finnes }}a\i X\subseteq A{\text{ slik at }}f( a) =b\}\end{justert}}$

Bildet av en funksjon f er en delmengde av dets kodomene, men de er ikke nødvendigvis like: det kan være elementer i kodomenet som ikke er bildet av et element i domenet, det vil si at de ikke har noe forbilde.

Det inverse bildet (også anti-bilde eller preimage ) av et element b i codomain B er settet med elementer i domenet A som har b for bildet sitt. Det er betegnet med f −1 ( b ).

Det inverse bildet av en hvilken som helst delmengde av codomenet, Y ⊆ B , er settet med forhåndsbilder av hvert element i Y , og er skrevet f −1 (Y).

Forbildet av et element i codomenet kan således ikke inneholde noe objekt eller tvert imot inneholde ett eller flere objekter, når ett eller flere elementer i domenet er tilordnet nevnte element i codomenet. I settnotasjon er de skrevet:

${\begin{aligned}&f^{-1}(b)=\{a\in A:f(a)=b\}\\&f^{-1}(Y)=\{a\ i A:{\text{ finnes }}b\i Y{\text{ med }}f(a)=b\}\end{aligned}}$

Eksempler

Bildet av kubefunksjonen f er alt , siden hvert reelt tall har en reell terningrot . Spesielt er kuberøttene til positive (negative) tall positive (negative), så vi har f.eks. $\mathbb {R}$ $f^{-1}(\mathbb {R}++})=\mathbb {R}++}$
Rekkevidden til den inverse funksjonen g er ikke lik dens kodomene, siden det ikke er noe reelt tall x hvis inverse er 0.
For funksjonen «klassifisering i slekter» γ har vi:

γ (Hund) = Canis , og γ −1 ( Canis ) = {Hund, coyote, sjakal,...}.

Siden arealet alltid er et positivt tall, er området til områdefunksjonen A . $\mathbb {R}++}$
I diagrammet kan det verifiseres at bildet av stemmefunksjonen v ikke sammenfaller med codomenet, siden parti C ikke fikk noen stemme. Imidlertid kan det sees at for eksempel v −1 (Part A) har 2 elementer.

Likestilling av funksjoner

Gitt to funksjoner, for at de skal være identiske, må de ha samme domene og codomene, og tildele det samme bildet til hvert element i domenet:

Gitt to funksjoner f : A → B og g : C → D , er de like eller identiske hvis:

De har samme domene: A = C
De har samme codomene: B = D
De tilordner de samme bildene: for hver x ∈ A = C , har vi at f ( x ) = g ( x )

Injektiv, surjektiv og bijektiv funksjon

Det omvendte bildet av et codomene-element kan være tomt, eller inneholde flere domeneobjekter. Dette gir opphav til følgende klassifisering:

Funksjoner

injektiv

ikke-injektiv

surjektiv


bijektiv

ikke surjektiv

En funksjon f : A → B sies å være injektiv hvis bildene av distinkte elementer er distinkte:

${\text{Hvis }}a,a'\in A{\text{ og }}a\neq a',{\text{ then }}f(a)\neq f(a')$

eller tilsvarende hvis du bare tilordner identiske bilder til identiske elementer:

${\text{If }}a,a'\in A{\text{ og }}f(a)=f(a'),{\text{ then }}a=a'$

En funksjon f : A → B sies å være surjektiv (eller surjektiv ) hvis bildet er lik dets codomene:

${\text{Im}}(f)=B\!$

eller, tilsvarende, hvis hvert element i codomenet er bildet av et element i domenet:

${\text{For hver }}b\i B{\text{ finnes det en }}a\in A{\text{ med }}f(a)=b$

Injeksjonsfunksjoner gjentar ikke bilder: hvis b = f ( a ), har ingen andre a' b som bilde, så sistnevntes antibilde inneholder bare elementet a . Surjektive funksjoner krysser hele codomenet, så ingen anti-bilder kan være tomme. Definisjonen av en surjektiv funksjon forutsetter at den har et tidligere spesifisert codomene. Ellers er forestillingen om surjektivitet meningsløs.

Når en funksjon har begge egenskapene samtidig, sies det å være en bijeksjon mellom begge settene:

En funksjon f : A → B sies å være bijektiv hvis den er injektiv og surjektiv.

De bijektive funksjonene utgjør en «perfekt matching» mellom elementene i domenet og codomenet: hvert element i A har en unik «partner» i B —som alle funksjoner—, og hvert element i B tilsvarer bare ett i A —til minus én for å være surjektiv, og høyst én for å være injektiv—.

Eksempler

Kubefunksjonen er bijektiv. Det er injektiv fordi to reelle tall som har samme terning er identiske, og det er surjektivt fordi . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $Im(f)=\mathbb {R}$
Den "inverse" funksjonen er injektiv, siden inversen til hvert reelt tall som ikke er null er unikt (1/ x = 1/ y betyr nødvendigvis at x = y ). Det er imidlertid ikke surjektivt, siden $g:\mathbb {R} \backslash {0}\to \mathbb {R}$ $Im(g)=\mathbb {R} \omvendt skråstrek {0}.$
Pattedyrklassifiseringsfunksjonen γ : M → G er ikke injektiv, siden det er forskjellige pattedyr i samme slekt (for eksempel γ (Yak) = γ (Toro) = Bos ). Imidlertid er det surjektivt, siden i hver slekt av pattedyr er det klassifisert minst en art av pattedyr.
Arealfunksjonen A : T → R er ikke surjektiv, siden Im( A ) = R + . Den er heller ikke injektiv, siden forskjellige trekanter med samme areal lett kan konstrueres.
På bildet kan du se flere eksempler på funksjoner mellom et sett med børster P og et sett med flater C .

Algebra av funksjoner

Med funksjoner kan du utføre en komposisjonsoperasjon med egenskaper som ligner på multiplikasjon .

Sammensetning av funksjoner

Gitt to funksjoner kan vi under visse forhold bruke utgangsverdiene til en av dem som inngangsverdier for den andre, og skape en ny funksjon.

La det være to funksjoner f : A → B og g : C → D , slik at banen til den første er inneholdt i domenet til den andre, Im( f ) ⊆ C . Da kan sammensetningen av g med f dannes , funksjonen g ∘ f : A → D som assosierer til hver a i domenet A elementet ( g ∘ f )( a ) = g ( f ( a )).

Det vil si at komposisjonen g ∘ f gjør at funksjonen f først virker på et element av A , og deretter g på bildet som oppnås:

$x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

Betingelsen Im( f ) ⊆ C sikrer nøyaktig at dette andre trinnet kan gjennomføres.

eksempler

Bildet av den «inverse» funksjonen g er R \ {0} — siden hvert ikke-null reelle tall er inversen til et annet—, og derfor er det inneholdt i domenet til kubefunksjonen f , som er R . Sammensetningen f ∘ g : R \ {0} → R fungerer da som f ( g ( x )) = f (1/ x ) = (1/ x ) 3 = 1/ x 3 .
Gitt de reelle funksjonene og gitt av og , kan komposisjonen tas i begge rekkefølgen, h 1 ∘ h 2 og h 2 ∘ h 1 . Imidlertid er de forskjellige funksjoner, siden: $h_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $h_{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $h_{1}(x)=x^{2}$ $h_{2}(x)=x+1$

(h_{1}\circ h_{2})(x)=h_{1}(h_{2}(x))=h_{1}(x+1)=(x+1)^{ 2}=x^{2}+2x+1

, Y

(h_{2}\circ h_{1})(x)=h_{2}(h_{1}(x))=h_{2}(x^{2})=x^{2} +1

Funksjonen γ som klassifiserer pattedyr i slekter kan være sammensatt med funksjonen ω : G → Eller som klassifiserer slektene til pattedyr i rekkefølger —som danner mengden Or— . Funksjonen ω ∘ γ tildeler hvert pattedyr sin rekkefølge:

( ω ∘ γ )(Menneske) = ω ( Homo ) = Primat, ( ω ∘ γ )( Guanaco ) = ω ( Lama ) = Artiodactyla

Identitetsfunksjon

En identitetsfunksjon kan defineres i ethvert sett, som, med selve settet som domene og codomene, assosierer hvert element med seg selv.

Gitt et sett A , er identitetsfunksjonen til A funksjonen id A : A → A som assosierer hver a ∈ A med id A ( a ) = a .

Det er også betegnet som I A . Identitetsfunksjonen fungerer som et nøytralt element ved komponering av funksjoner, siden den "gjør ingenting". Den unike funksjonen på et sett X som tilordner hvert element til seg selv kalles identitetsfunksjonen for X og er typisk betegnet med idX. Hvert sett har sin egen identitetsfunksjon, så subskriptet kan ikke utelates med mindre settet kan utledes fra konteksten. Under sammensetning er en identitetsfunksjon "nøytral": hvis f er en hvilken som helst funksjon fra X til Y, så:

Gitt en hvilken som helst funksjon f : A → B har vi:

${\begin{aligned}&f\circ {\text{id}}_{A}=f\\&{\text{id}}_{B}\circ f=f\end{aligned}}$

Det vil si at gitt et element x ∈ A , har vi:

${\begin{aligned}&x\ {\stackrel {{\text{id}}_{A}}{\longmapsto }}\ x\ {\stackrel {f}{\longmapsto }}\ f(x )\\&x\ {\stackrel {f}{\longmapsto }}\ f(x)\ {\stackrel {{\text{id}}_{B}}{\longmapsto }}\ f(x)\end {justert}}$

Omvendt funksjon

En funksjon kan ha en invers , det vil si en annen funksjon som, når den er sammensatt med den, resulterer i identiteten, på samme måte som et tall multiplisert med dens inverse gir 1.

Gitt en funksjon f : A → B , g : B → A sies å være den omvendte eller resiproke av f hvis den holder:

${\begin{aligned}&f\circ g={\text{id}}_{B}\\&g\circ f={\text{id}}_{A}\end{aligned}}$

Inversen er betegnet med g = f −1 , og både f og f −1 sies å være inverterbare .

Ikke alle funksjoner er inverterbare, men bare de som er bijektive har en invers:

Hver bijektiv funksjon f er inverterbar, og dens inverse f −1 er bijektiv i sin tur. Omvendt er hver inverterbar funksjon f bijektiv.

Notasjonen for inverse funksjoner kan være forvirrende. For et element av codomenet b , kan f −1 ( b ) betegne enten antibildet til b (en delmengde av domenet), eller bildet av b med den inverse funksjonen til f (et element i domenet), i tilfellet er f inverterbar.

Eksempler.

«Eksponentiell»-funksjonen , som assosierer hvert reelt tall med dets eksponentielle , , er ikke inverterbar, siden den ikke er surjektiv: ingen negative tall tilhører bildet av h . $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $h(x)=e^{x}$
Det er en funksjon som beregner endringen mellom to valutaer . Når det gjelder valutakursen fra rupier til quetzales (valutaene til India og Guatemala ), er omregningen gitt (i 2011) av:
Q ( r ) = 0,15 × r
Denne vekslingsfunksjonen har en invers, den gjensidige omregningen av quetzales til rupier:
R ( q ) = 6,65 × q
Terningfunksjonen f ( x ) = x 3 er inverterbar, siden vi kan definere den inverse funksjonen ved å bruke terningroten, f −1 ( x ) = 3 √ x .
Klassifikasjonsfunksjonen i slektene γ : M → G er ikke inverterbar, siden den ikke er injektiv, og for hver slekt kan det være flere pattedyr klassifisert i den.
Funksjonen som tilordner hver ukedag dens etterfølger har det motsatte av funksjonen som tilordner hver ukedag sin forgjenger:

Mandag → søndag, tirsdag → mandag,..., søndag → lørdag

Begrensning og utvidelse

Begrensningen til en gitt funksjon er en annen funksjon definert i en del av domenet til originalen, men som "oppfører seg på samme måte" som den. Det sies også at den første er en forlengelse av den andre. Uformelt er en begrensning på en funksjon f resultatet av trimming av domenet. Mer presist, hvis S er en delmengde av X, er begrensningen på f S funksjonen f | S fra S til Y slik at f | S(s) = f(s) for alle s i S. Hvis g er en begrensning av f, så sies f å være en utvidelse av g.

Gitt to funksjoner f : A → B og g : C → D , slik at domenet til g er en delmengde av domenet til f , C ⊆ A , og hvis bilder sammenfaller i denne delmengden:

$f(x)=g(x),{\text{ for hver }}x\i C\,,$

da sier vi at g er begrensning av f til delmengden C , og at f er en utvidelse av g .

Begrensningen av en funksjon f : A → B til en delmengde C ⊆ A er betegnet med f | C. _

Representasjon av funksjoner

Funksjoner kan presenteres på forskjellige måter:

bruke et matematisk forhold beskrevet av et matematisk uttrykk : formlikninger . Når relasjonen er funksjonell, dvs. den tilfredsstiller den andre betingelsen i funksjonsdefinisjonen, kan en funksjon defineres som sies å være definert av relasjonen. Med mindre annet er angitt, antas det i slike tilfeller at domenet er størst mulig ( med hensyn til inkludering) og at codomenet alle er ekte. Det valgte domenet kalles funksjonens naturlige domene . $y=f(x)$

Eksempel: y=x+2. Naturlig domene er alle ekte. Eksempel: «For alle x , heltall, er y verdt x pluss to enheter».

Som tabell : tabell som gjør det mulig å representere noen diskrete verdier av funksjonen.

Eksempel:

{\begin{array}{c|rrrrrr}X&-2&-1&0&1&2&3\\\hline Y&0&1&2&3&4&5\\\end{array}}

Som ordnede par : ordnede par , mye brukt i grafteori .

Eksempel: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Som graf : graf som gjør det mulig å visualisere tendensene i funksjonen. Mye brukt for kontinuerlige funksjoner som er typiske for kalkulus , selv om det også finnes noen for diskrete funksjoner .

Eksempel:

5						X
4					X
3				X
to			X
1		X
0	X
y / x	-to	-1	0	1	to	3

Funksjonsrom

Settet av alle funksjoner fra en mengde X til en mengde Y er betegnet X -> Y, med [X -> Y] eller med Y^X. Denne siste notasjonen er motivert av det faktum at når X og Y er endelige og av størrelse |X| og |OG| da er antallet funksjoner til X -> Y |Y^X| = |Y|^|X| Dette er et eksempel på den enumerative kombinatoriske konvensjonen som gir merknader for sett basert på deres kardinaliteter. Hvis X er uendelig og det er mer enn ett element i Y, så er det utallige funksjoner fra X til Y, selv om bare tallrike mange av dem kan uttrykkes med en formel eller algoritme.

Currying

En alternativ tilnærming til å håndtere funksjoner med flere argumenter er å transformere dem til en kjede av funksjoner som hver tar et enkelt argument. For eksempel kan Add(3,5) tolkes til å bety "produser først en funksjon som legger til 3 til argumentet, og bruk deretter funksjonen 'Legg til 3' til 5". Denne transformasjonen kalles currying : Add 3 er currying (Add) brukt på 3. Det er en bijeksjon mellom funksjonsrommene CA × B og (CB)A.

Når du arbeider med curried-funksjoner, er det vanlig å bruke prefiksnotasjonen med funksjonsapplikasjon som anses som venstreassosiativ, siden sammenstillingen av flere argumenter – som i f(x, y) – vanligvis korrelerer med evalueringen av en curried-funksjon. I motsetning til dette regnes symbolene → og "er" som høyreassosiative, så karrifunksjonene kan defineres med en notasjon som f: ℤ → ℤ → ℤ = x ⟼ y ⟼ x · y.

Formell definisjon. Generaliseringer

Funksjoner kan defineres i form av andre matematiske objekter, for eksempel sett og ordnede par . Spesielt er en funksjon et spesielt tilfelle av en binær relasjon , så denne definisjonen er basert på den som er brukt for relasjoner. I den "omfattende" tilnærmingen identifiseres en funksjon med sin graf :

En funksjon er et sett f av ordnede par slik at den ikke inneholder to forskjellige par med samme første komponent:

$(a,b),\,(a,c)\in f\Rightarrow b=c$

Domenet ( bilde ) til funksjonen er da settet med første (andre) komponenter :

${\begin{aligned}&{\text{Dom}}(f)=\{a\in A:{\text{ Det finnes }}b{\text{ med }}(a,b)\ i f\}\\&{\text{Im}}(f)=\{b\in B:{\text{ Det finnes }}a{\text{ med }}(a,b)\i f\ }\ end{aligned}}$

I den omfattende definisjonen fremstår ikke begrepet codomain som et potensielt sett der rekkevidden er inneholdt. På noen områder av matematikken er det viktig å bevare denne distinksjonen, og derfor brukes en annen definisjon: [ 9 ]

En funksjon er en trippel av settene f = ( A , B , G ( f )), domenet , codomenet og grafen til f , slik at:

G ( f ) ⊂ A × B
Hvert element i domenet har et bilde: for hver a ∈ A , eksisterer det en b ∈ B slik at ( a , b ) ∈ G ( f )
Dette bildet er unikt: hvis ( a , b ), ( a , c ) ∈ G ( f ), så er b = c .

Med denne definisjonen er to funksjoner med samme graf forskjellige hvis deres codomain ikke sammenfaller. Noen ganger snakkes det også om delfunksjoner , som ikke nødvendigvis alle elementer i domenet har et bilde for, i motsetning til funksjoner som definert ovenfor, som kalles totaler . Delfunksjoner kalles også en-til-en- korrespondanser eller relasjoner . [ 10 ]

Se også

Referanser

^ "Definisjon av matematisk funksjon — Definicion.de" . Definisjon.av . Hentet 28. januar 2018 .
↑ Denne delen er basert på Pedro Ponte, J. (1992). "Historien om funksjonsbegrepet og noen pedagogiske implikasjoner" (pdf) . Matematikkpedagogen (på engelsk) 3 (2) . Hentet 10. desember 2011 .
^ Dunham, William (1999). Euler: Mesteren av oss alle . The Mathematical Association of America. s. 17 .
^ Friedrich Gauss, Carl (1995). Colombian Academy of Exact, Physical and Natural Sciences, red. mangler ( hjelp ) |título=
↑ Howard Eves (1990). Fundamenter og grunnleggende begreper i matematikk (3. utgave). Dover. s. 235 . ISBN 0-486-69609-X .
↑ Dorronsoro, Jorge; Hernandez, Eugenio (1996). Tall, grupper og ringer . Addison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8 .
↑ a b Generelt er en funksjon karakterisert ved en regel eller metode som beskriver assosiasjonen mellom elementene i disse settene. Men i mer avanserte matematikkdisipliner er dette ikke alltid tilfelle, som for eksempel med valgfunksjoner . Av denne grunn fokuserer den generelle definisjonen av funksjon på assosiasjonen mellom objektene, og ikke på regelen eller algoritmen.
↑ Essential Dictionary of Mathematics . VOX. 6 av 2011. s. 15. ISBN 978-84-9974-001-0 .
↑ Om forskjellen mellom de to definisjonene, se for eksempel Forster, Thomas (2003). «§1.3. Notasjon for mengder og relasjoner”. Logikk, induksjon og sett (på engelsk) . Cambridge University Press . ISBN 9780521533614 .
↑ Great Square Thematic Encyclopedia . Matematikk (2 opplag). Plaza & Janés Publishers, SA 1993. s. 74. ISBN 978-84-01-61659-4 .

Bibliografi

Dorronsoro, Jorge; Hernandez, Eugenio (1996). Tall, grupper og ringer . Addison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8 .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons er vert for en mediekategori på Features .
Wolfram-funksjonssiden . Fil med matematiske funksjoner.
FooPlot . Graf over matematiske funksjoner.
Historie om funksjonsbegrepet . Artikkel oversatt fra MacTutor History of Mathematics-arkivet .