Assosiativitet (algebra)

transformasjonsregler
proposisjonell logikk
slutningsregler
Modus tollendo tollens / ponens Modus leggingspons / tollens Innføring av det bibetingede / eliminering Konjunksjon introduksjon / eliminering Innføring av disjunksjon / eliminering Disjunktiv / hypotetisk syllogisme konstruktivt / destruktivt dilemma Absorpsjon
utskiftingsregler
Assosiativitet kommutativitet Fordelingsevne Dobbel fornektelse De Morgans lover Transponering materiell implikasjon Eksport Tautologi Innføring av fornektelse
predikativ logikk
Generalisering / universell instansiering Generalisering / eksistensiell instansiering
modal logikk
v du og

Associativitet er en egenskap i algebra og proposisjonell logikk som er sann, hvis gitt tre eller flere elementer i et gitt sett, er det verifisert at det er en operasjon : , som tilfredsstiller likhet: $\circledcirc$

a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c

Det vil si at i et assosiativt uttrykk med to eller flere fulgte forekomster av den samme assosiative operatoren , endrer ikke rekkefølgen operasjonene utføres resultatet, så lenge sekvensen til operandene forblir intakt . Med andre ord, omorganisering av parentesene i et assosiativt uttrykk endrer ikke den endelige verdien.

Summen og produktet av reelle tall oppfyller den assosiative egenskapen, og likhetene er gyldige:

a+(b+c)=(a+b)+c

for addisjon og for multiplikasjon:

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

I begge endrer ikke plasseringen av parentesen resultatet. Merk at operandene har blitt holdt i sin opprinnelige posisjon i uttrykket. Mange viktige operasjoner er ikke-assosiative, for eksempel subtraksjon og eksponentiering . Uttrykk som inneholder både assosiative og ikke-assosiative operasjoner resulterer i ikke-assosiative uttrykk .

Associativitet skal ikke forveksles med kommutativitet , som sier at rekkefølgen på operandene kan endres uten å påvirke det endelige resultatet.

Formell notasjon

La A være et sett hvor en indre binær operasjon er definert slik at $\circledcirc$

{\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}

Operasjonen sies å være assosiativ hvis: $\circledcirc$

\forall a,b,c\in A\;:\quad a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c

Den assosiative loven kan også uttrykkes i funksjonell notasjon som:

f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,

Addisjon og subtraksjon

Starter fra settet med naturlige tall

\mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}

for tilleggsoperasjonen , definert som:

{\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a +b\end{array}}

$(\mathbb {N} ,+)\,$ har den assosiative egenskapen, siden:

\forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c

For eksempel:

5+(3+2)=(5+3)+2

Imidlertid , for subtraksjonsoperasjonen , definert som:

{\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=ab \end{array}}

$(\mathbb {N} ,-)\,$ har ikke den assosiative egenskapen, siden:

\forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(bc)\neq (ab)-c

For eksempel:

5-(3-2)\neq (5-3)-2

Eksempler

Sammenkoblingen av tegnstrengene "hola" , " ", "mundo"kan beregnes ved å sette sammen de to første tegnstrengene (som resulterer i "hola ") og deretter den tredje tegnstrengen ( "mundo"), eller alternativt, slå sammen den andre og tredje tegnstrengen (som resulterer i " mundo") og sette sammen det første tegnet streng ( "hola") med det resultatet. De to metodene gir samme sluttresultat. Strengesammenkobling er assosiativ (men ikke kommutativ).
I aritmetikk er addisjon og multiplikasjon av reelle tall assosiative. På grunn av dens assosiativitet kan grupperingen i parentes utelates entydig. Det er,

\left.{\begin{matrise}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z )=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrise}}\right\}{\mbox{for alle }}x,y,z\in \mathbb {R } .

Et eksempel på assosiativiteten til addisjon er:

(2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12

og fra assosiativiteten til multiplikasjon

(2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42

Imidlertid er subtraksjon ikke assosiativ,

2-(3-1)=0\quad \neq \quad (2-3)-1=-2

og heller ikke splittelse,

(4:2):2=1\quad \neq \quad 4:(2:2)=4

. heller ikke eksponentiering, som er like ikke-assosiativ

2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad (2^{2})^{3}=4^{3}=64

Addisjon og multiplikasjon av komplekse tall og kvaternioner er assosiative. Oktonionaddisjon er også assosiativ, men oktonionmultiplikasjon er ikke -assosiativ .
Den største felles divisor og minst felles multiple funksjoner virker assosiativt.

\left.{\begin{matrix}\operatørnavn {gcd} (\operatørnavn {gcd} (x,y),z)=\operatørnavn {gcd} (x,\operatørnavn {gcd} (y,z) )=\operatørnavn {mcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatørnavn {lcm} (\operatørnavn {lcm} (x,y),z)=\operatørnavn {lcm} (x,\operatørnavn { lcm} (y,z))=\operatørnavn {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrise}}\right\}{\mbox{ for alle }}x,y,z\in \mathbb {Z} .

Skjæringspunktet eller foreningen av sett er assosiativ .

\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\ kopp C=A\kopp (B\kopp C)=A\kopp B\kopp C\quad \end{matrise}}\right\}{\mbox{for alle sett }}A,B,C.

HVIS M er et sett og S angir settet av alle funksjoner fra M til M , så er den funksjonelle komposisjonsoperasjonen på S assosiativ.

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{for alle }}f,g,h\in S.

Mer generelt, gitt fire sett M , N , P og Q , med h : M til N , g : N til P , og f : P til Q , da

(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h

som i forrige eksempel. Kort sagt, søknadssammensetning er alltid assosiativ.

For et sett med tre elementer A, B og C er følgende operasjon assosiativ.

×	EN	B.	C
EN	EN	EN	EN
B.	EN	B.	C
C	EN	EN	EN

Således, for eksempel, A(BC)=(AB)C = A. Denne operasjonen er ikke kommutativ.

Siden matriser representerer lineære transformasjonsfunksjoner , med matrisemultiplikasjon som representerer funksjonell sammensetning, kan man umiddelbart konkludere med at matrisemultiplikasjon er assosiativ. [ 1 ]

I proposisjonell logikk

Erstatningsregel

I standard proposisjonell logikk er assosiasjon , [ 2 ] [ 3 ] , eller assosiativitet [ 4 ] to gyldige erstatningsregler . Disse reglene lar deg flytte parenteser i logiske uttrykk som brukes i logiske tester. Reglene er:

(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),local2000

hvor " " er et metallisk symbol som representerer "kan erstattes i en test av". $\venstrehøyrepil$

Sannhetsforbindelser funksjoner

Associativitet er en egenskap ved noen logiske forbindelser i sannhetsfunksjonene til proposisjonell logikk . Følgende logiske ekvivalenser viser at assosiativitet er en egenskap ved bestemte logiske forbindelser. De er også tautologier av sannhetsfunksjoner.

Disjunksjon assosiativitet :

((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))

(P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)

Konjunksjon assosiativitet :

((P\land Q)\land R)\venstrepil (P\land (Q\land R))

(P\land (Q\land R))\venstrehøyrepil ((P\land Q)\land R)

Ekvivalens assosiativitet :

((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))

(P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)

Se også

Referanser

^ "Matriseproduktassosiativitet" . Khan Academy . Hentet 5. juni 2016 .
↑ Moore og Parker
↑ Copi og Cohen
↑ Hurley