Område

Areal er et metrisk konsept som kan tillate at et mål tilordnes utstrekningen av en overflate , uttrykt i matematikk som måleenheter kalt overflateenheter . [ 1 ] Areal er et metrisk konsept som krever spesifikasjon av et lengdemål .

Området er en metrisk størrelse av skalartype definert som forlengelsen i to dimensjoner av en linje til romplanet .

For flate overflater er konseptet mer intuitivt. Enhver flat overflate med rette sider - det vil si hvilken som helst polygon - kan trianguleres , og arealet kan beregnes som summen av arealene til trekantene den er brutt opp i. [ 2 ] Noen ganger brukes begrepet "areal" som et synonym for overflate, [ 3 ] når det ikke er noen forvirring mellom selve det geometriske konseptet (overflaten) og den metriske størrelsen knyttet til det geometriske konseptet (arealet).

For en solid form som en kule , kjegle eller sylinder kalles arealet av grenseoverflaten overflatearealet . De gamle grekerne beregnet formler for overflatearealene til enkle former, men å beregne overflatearealet til en mer komplisert figur krever ofte multivariabel kalkulus.

For å beregne arealet av buede overflater krever imidlertid introduksjon av metoder for differensialgeometri .

For å definere arealet til en overflate generelt - som er et metrisk konsept - må en metrisk tensor ha blitt definert på den aktuelle overflaten: når overflaten er inne i et euklidisk rom , arver overflaten en naturlig metrisk struktur indusert av den euklidiske metrikken.

Historikk

Tanken om at området er målet som gir størrelsen på regionen innelukket i en geometrisk figur kommer fra antikken. I det gamle Egypt , etter den årlige økningen av Nilen som oversvømmet åkrene, oppsto behovet for å beregne arealet til hver jordbrukstomt for å gjenopprette grensene; for å komme rundt det, oppfant egypterne geometri , ifølge Herodot . [ 4 ]

Måten å beregne arealet til en polygon som summen av arealene til trekantene er en metode som først ble foreslått av den greske vismannen Antifon rundt 430 f.Kr. C. Det er vanskeligere å finne arealet til en buet figur. Den uttømmende metoden består i å skrive inn og omskrive polygoner i den geometriske figuren, øke antall sider av nevnte polygoner og finne det søkte området. Ved å bruke systemet kjent som Eudoxus ' uttømmende metode , var han i stand til å få en tilnærming for å beregne arealet av en sirkel . Nevnte system ble senere brukt av Archimedes for å løse andre lignende problemer, [ 5 ] samt den omtrentlige beregningen av tallet π .

Område av sirkelen

I det femte århundre f.Kr. C., Hippokrates fra Chios var den første som viste at arealet til en skive (området som er omsluttet av en sirkel) er proporsjonalt med kvadratet på dens diameter, som en del av hans kvadratur av lunulaen , [ 6 ] men han identifiserte ikke proporsjonalitetskonstanten . Eudoxus av Cnidus , også i s. gå til C., fant også ut at arealet til en skive er proporsjonal med radius i kvadrat. [ 7 ]

Senere handlet bok I av Euklids elementer om likheten av områder mellom todimensjonale figurer. Matematikeren Archimedes brukte verktøyene i euklidisk geometri for å vise at arealet inne i en sirkel er lik arealet til en rettvinklet trekant hvis base er lengden på sirkelens omkrets og hvis høyde er lik radiusen til sirkelen, i hans bok Om sirkelens mål . (Omkretsen er 2π r , og arealet av en trekant er halvparten av grunnflaten ganger høyden, noe som gir arealet πr 2 av skiven.) Arkimedes tilnærmet verdien av π (og dermed arealet av en sirkel med enhetsradius) med metoden hans, der han skrev inn en vanlig trekant i en sirkel og noterte arealet, deretter doblet antall sider for å gi en vanlig sekskant , doblet deretter antall sider gjentatte ganger etter hvert som arealet til polygonen kom nærmere og nærmere sirkelens (og gjorde det samme for omskrevne polygoner). [ 5 ]

Den sveitsiske vitenskapsmannen Johann Heinrich Lambert viste i 1761 at π, forholdet mellom arealet av en sirkel og dens radius i kvadrat, er irrasjonell , noe som betyr at den ikke er lik kvotienten til to hele tall. [ 8 ] I 1794 beviste den franske matematikeren Adrien-Marie Legendre at π 2 er irrasjonell; dette beviser også at π er irrasjonell. [ 9 ] I 1882 beviste den tyske matematikeren Ferdinand von Lindemann at π er transcendental (ikke løsningen av noen polynomlikning med rasjonelle koeffisienter), noe som bekrefter en formodning fra Legendre og Euler. [ 8 ] : s. 196

Trekantområde

Heron of Alexandria fant det som er kjent som Herons formel for arealet av en trekant når det gjelder sidene, og et bevis kan finnes i boken hans Metrics , skrevet rundt 60 e.Kr. Det har blitt antydet at Arkimedes kjente formelen mer enn to århundrer tidligere, [ 10 ] og siden Metrikk er en samling av matematisk kunnskap tilgjengelig i den antikke verden, er det mulig at formelen er før referansen gitt i det arbeidet. . [ 11 ]

I 499 uttrykte Aryabhata , en matematiker-astronom fra den klassiske tidsalderen for indisk matematikk og astronomi, arealet av en trekant som halvparten av basen ganger høyden i Aryabhatiya (avsnitt 2.6).

Kineserne oppdaget en formel som tilsvarer Herons uavhengig av grekerne. Den ble utgitt i 1247 i Shushu Jiuzhang ("Mathematical Treatise in Nine Sections"), skrevet av Qin Jiushao .

Formell definisjon

En tilnærming til å definere hva som menes med "område" er gjennom aksiomer . "Området" kan defineres som en funksjon fra en samling M av en spesiell type planfigurer (kalt målbare sett) til settet av reelle tall, som tilfredsstiller følgende egenskaper: [ 12 ]

For alle S i M , a(S) ≥ 0.
Hvis S og T er i M , så er det også S ∪ T og S ∩ T , og det er også a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ).
Hvis S og T er i M med S ⊆ T , er T − S i M og a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ).
Hvis en mengde S er i M og S er kongruent med T , er T også i M og a ( S ) = a ( T ).
Hvert rektangel R er i M. Hvis rektangelet har lengde h og bredde k , så er a ( R ) = hk .
La Q være et sett innelukket mellom to echelonregioner S og T . Et trinnvis område er dannet fra en endelig forening av tilstøtende rektangler som hviler på en felles basis, det vil si S ⊆ Q ⊆ T . Hvis det er et unikt tall c slik at a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) for alle slike echelonregioner S og T , så er a ( Q ) = c .

Det kan bevises at en slik områdefunksjon virkelig eksisterer. [ 13 ]

Forvirring mellom område og omkrets

Omkretsen er, sammen med arealet, ett av de to hovedmålene til plane geometriske figurer. Selv om de ikke er uttrykt i samme enhet, er det vanlig å forveksle disse to begrepene [ 14 ] eller å tro at jo større den ene er, jo større er den andre også. Faktisk øker (eller reduserer) forstørrelsen (eller reduksjonen) av en geometrisk figur samtidig arealet og omkretsen. For eksempel, hvis et stykke land vises på et kart i en målestokk på 1:10 000, kan den faktiske omkretsen av landet beregnes ved å multiplisere tomtens omkrets med 10 000 og arealet ved å multiplisere tomten med 10, 000 2 . Imidlertid er det ingen direkte kobling mellom området og omkretsen til noen figur. For eksempel kan et rektangel med areal lik én kvadratmeter ha følgende dimensjoner, i meter: 0,5 og 2 (derfor en omkrets lik 5 m) men også 0,001 og 1000 (derfor en omkrets på over 2000m). Proclus ( femte århundre ) rapporterer at greske bønder delte åker "likt" i henhold til deres omkrets, men med forskjellige områder. [ 15 ] [ 16 ] Produksjonen av et felt er imidlertid proporsjonal med arealet, ikke omkretsen.

Arealet av flyfigurer

Polygonformler

For en ( enkel ) polygon som de kartesiske koordinatene ( i  = 0, 1, ..., n  − 1) av dens n toppunkter er kjent , er arealet gitt av den gaussiske arealformelen : $(x_{i},y_{i})$

${\acute {A}}={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sumi=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+ 1 }-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }$

når i = n − 1, så er i + 1 uttrykt som modulo n og refererer derfor til 0.

Rektangler

Den mest grunnleggende arealformelen er formelen for arealet til et rektangel . Gitt et rektangel med lengde og bredde , er arealformelen: $han$ $en$

${\acute {A}}=l\ ganger a$ (rektangel).

Arealet av rektangelet er lengden multiplisert med bredden. Som et spesielt tilfelle, siden i tilfelle av en firkant , er arealet til en firkant med sidelengde gitt av formelen: $l=a$ $c$

${\acute {A}}=c^{2}$ (torget).

Formelen for arealet til et rektangel følger direkte fra de grunnleggende egenskapene til området og blir noen ganger tatt som en definisjon eller aksiom . På den annen side, hvis geometri er utviklet før aritmetikk , kan denne formelen brukes til å definere multiplikasjon av reelle tall .

Disseksjon, parallellogrammer og trekanter

De fleste enkle formlene for å beregne areal følger disseksjonsmetoden . De består av å kutte en form i biter hvis arealer må legges opp til arealet til den opprinnelige formen.

For eksempel kan ethvert parallellogram deles inn i en trapes og en rettvinklet trekant , som vist på figuren. Hvis trekanten er oversatt til den andre siden av trapesen, er den resulterende figuren et rektangel. Det følger at arealet av parallellogrammet er det samme som rektangelet:

${\acute {A}}=b\ ganger h$ (parallellogram).

Imidlertid kan det samme parallellogrammet også kuttes langs en diagonal i to kongruente trekanter , som vist på figuren. Det følger at arealet til hver trekant er halvparten av parallellogrammet :

${\acute {A}}={\frac {1}{2}}bh$ ( trekant).

Lignende argumenter kan brukes for å finne arealformler for trapeser og mer kompliserte polygoner.

Område med buede former

Kretser

Formelen for arealet av en sirkel (mer riktig kalt området omsluttet av en sirkel eller arealet av en disk ) er basert på en lignende metode. Gitt en sirkel med radius , er det mulig å dele den inn i sektorer , som vist på figuren. Hver sektor er tilnærmet trekantet, og sektorene kan omorganiseres for å danne et omtrentlig parallellogram. Høyden på dette parallellogrammet er , og bredden er halve omkretsen av sirkelen eller . Derfor er det totale arealet av sirkelen : $r$ $r$ $\pi r$ $\pir^{2}$

${\acute {A}}=\pi r^{2}$ (sirkel).

Selv om disseksjonen som brukes i denne formelen bare er omtrentlig, blir feilen mindre ettersom sirkelen deles inn i flere og flere sektorer. Grensen for områdene til de omtrentlige parallellogrammene er nøyaktig , som er arealet av sirkelen. $\pir^{2}$

Dette argumentet er en enkel anvendelse av ideene til kalkulus . I gamle tider ble metoden ved utmattelse brukt på samme måte for å finne arealet av en sirkel, og denne metoden er nå anerkjent som en forløper til integralregning . Ved hjelp av moderne metoder kan arealet av en sirkel beregnes med en bestemt integral :

${\acute {A}}\;=\;2\int-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;= \;\pi r^{2}$

Ellipser

Formelen for området omsluttet av en ellipse er relatert til formelen for en sirkel; For en ellipse med semi-hovedakse og semi-minor-akse e, er formelen: $x$ $Y$

${\acute {A}}=\pi xy$

Overflate

De fleste av de grunnleggende formlene for overflateareal kan oppnås ved å kutte overflatene og flate dem ut. For eksempel, hvis sideflaten til sylinderen (eller et hvilket som helst prisme ) kuttes i lengderetningen, kan overflaten flates ut til et rektangel. Tilsvarende, hvis et kutt er laget langs en kjegle , kan sideoverflaten flates ut til en sektor av en sirkel og det resulterende området beregnes.

Formelen for overflatearealet til en kule er vanskeligere å oppnå: siden en kule har ikke- null Gaussisk krumning , kan den ikke flates ut. Arkimedes utledet først formelen for overflatearealet til en kule i sitt arbeid On the Sphere and the Cylinder . Formelen er:

${\acute {A}}=4\pi r^{2}$ (sfære).

hvor er radiusen til kulen. Som med formelen for arealet av en sirkel, bruker enhver avledning av denne formelen iboende metoder som ligner på kalkulus . $r$

Generelle formler

Områder med todimensjonale figurer

En trekant : (hvor er hvilken som helst side, og er avstanden fra linjen den er på til trekantens andre toppunkt). Denne formelen kan brukes hvis høyden er kjent . Hvis lengdene på de tre sidene er kjent , kan Herons formel brukes : hvor , , er sidene av trekanten og er halvperimeteren . Hvis en vinkel og to inkluderte sider er gitt, er arealet hvor er den gitte vinkelen, og og er dens inkluderte sider. Hvis trekanten er tegnet på et koordinatplan, kan vi bruke en matrise og forenkle absoluttverdien av . Denne formelen er også kjent som løkkeformelen og er en enkel måte å løse arealet til en koordinattrekant ved å erstatte de 3 punktene og . Lassoformelen kan også brukes til å finne arealene til andre polygoner når toppunktene deres er kjent. En annen tilnærming til en koordinattrekant er å bruke kalkulus for å finne arealet. ${\tfrac {1}{2}}Bh$ $B.$ $h$ $B.$ $h$ ${\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}$ $en$ $b$ $c$ $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ ${\tfrac {1}{2}}ab\operatørnavn {sin}(C)$ $C$ $en$ $b$ ${\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}- x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ $(x_{3},y_{3})$

En enkel polygon er bygget på et rutenett av punkter med lik avstand (det vil si punkter med heltallskoordinater ). Alle toppunktene i polygonet er rutenettpunkter: , hvor er antall rutenettpunkter innenfor polygonet og er antall grensepunkter. Dette resultatet er kjent som Picks teorem . $i+{\frac {b}{2}}-1$ $Yo$ $b$

Areal i beregning

Arealet mellom en kurve med positiv verdi og den horisontale aksen, målt mellom to verdier og ( er definert som den største av de to verdiene) på den horisontale aksen, er gitt av integralet av opp til funksjonen som representerer kurven : $en$ $b$ $b$ $en$ $b$

$A=\int a}^{b}f(x)\,dx$

Arealet mellom grafene til to funksjoner er lik integralet til en funksjon , f(x) , minus integralet til den andre funksjonen, g(x) :

$A=\int{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,$ hvor er kurven med den største verdien av y. $f(x)$

Et område avgrenset av en funksjon uttrykt i polare koordinater er: $r=r(\theta )$

$A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta$

Området omsluttet av en parametrisk kurve med endepunkter er gitt av linjeintegralene : ${\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))$ ${\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})$

$\ointt_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\ointt_{0}}^{t_{1}}y{ \dot {x}}\,dt={1 \over 2}\ointt_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}} )\,dt$

eller z-komponenten av

${1 \over 2}\ointt_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\ ganger {\dot {\vec {u}}}\,dt.$

(For flere detaljer, se Greens teorem § Arealet av en region med Greens teorem .) Dette er prinsippet for planimeterets mekaniske enhet.

Avgrenset område mellom to kvadratiske funksjoner

For å finne det avgrensede området mellom to kvadratiske funksjoner trekker vi den ene fra den andre for å skrive forskjellen som:

$f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

der f(x) er øvre grense for kvadrater og g(x) er nedre grense for kvadrater. Definer diskriminanten til f(x)−g(x) som:

$\Delta =b^{2}-4ac.$

Ved å forenkle formelen for integralet mellom grafene til to funksjoner (som angitt i forrige seksjon) og bruke Vietas formel, kan vi få:

$A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3} ,\qquad a\neq 0.$

Ovennevnte er fortsatt gyldig hvis en av grensefunksjonene er lineær i stedet for kvadratisk.

Overflateareal av tredimensjonale figurer

Kjegle : [ 17 ] , hvor er radiusen til den sirkulære basen og er høyden. Dette kan også skrives om som [ 17 ] eller hvor er radiusen og er den skrå høyden på kjeglen. er bunnflaten mens er kjeglens sideflate. $\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$ $r$ $h$ $\pi r^{2}+\pi rl$ $\pi r(r+l)\,\!$ $r$ $han$ $\pi r^{2}$ $\pi rl$
kube : hvor er lengden på en kant . $6a^{2}$ $en$
sylinder : , hvor er radien til en base og er høyden. kan også skrives om som , hvor er diameteren. $2\pi r(r+h)$ $r$ $h$ $2\pi r$ $\pi d$ $d$
prisme : , hvor er arealet til en base, er omkretsen til en base, og er høyden til prismet. $2B+Ph$ $B.$ $P$ $h$
pyramide : , hvor er arealet av basen, er omkretsen av basen, og er lengden på skråningen. $B+{\frac {PL}{2}}$ $B.$ $P$ $L$
rektangulært prisme : , hvor er lengden, er bredden og er høyden. $2(\ell a+\ell h+ah)$ $han$ $en$ $h$

Område-til-perimeter-forhold

Gitt en enkel lukket kurve i det euklidiske planet kan det bevises at lengden eller omkretsen av det lukkede området og det lukkede området i seg selv tilfredsstiller forholdet:

${\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}$

Likhet oppnås kun for en sirkel, resten av mulige figurer og former oppfyller den strenge ulikheten.

Liste over formler

Andre vanlige formler for areal:

Skjema	Formel	variabler
Rektangel	$A=ab$
Triangel	$A={\frac {1}{2}}bh\,\!$
Triangel	$A={\frac {1}{2}}ab\operatørnavn {sin}(\gamma )\,\!$
Triangel ( Herons formel )	$A={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}\,\!$	$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$
Likebent trekant	$A={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
Likesidet trekant	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!$
Rombe / deltoid	$A={\frac {1}{2}}av$
Parallelogram	$A=ah_{a}\,\!$
Trapes	$A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!$
vanlig sekskant	$A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$
vanlig åttekant	$A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!$
Vanlig polygon (av sidene ) $n$	$A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}$ $\quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\operatørnavn {sin}({\tfrac {2\pi}{n}})\,\!$	$p=na\$ ( perimeter ) radius av den innskrevne sirkelen radius av den omskrevne sirkelen $r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),$ ${\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\operatørnavn {sin}({\tfrac {\pi }{n}})$ $r:$ $R:$
Sirkel	$A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$ ( diameter ) $d=2r:$
sirkel sektor	$A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$
Ellipse	$A=\pi ab\,\!$
Integral	$A=\int{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0$
	Overfladisk område
Kule	$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$
kuboid	$A=2(ab+ac+bc)$
Sylinder (inkl. bunn og topp)	$A=2\pi r(r+h)$
Kjegle (inkl. bunn)	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$
Okse	$A=4\pi 2}\cdot R\cdot r$
revolusjonens overflate	$A=2\pi \int{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm { d }x$ (rotasjon rundt x-aksen)

Beregningene ovenfor viser hvordan du finner arealene til mange vanlige former .

Arealene til uregelmessige (og derfor vilkårlige) polygoner kan beregnes ved å bruke « Gauss -arealformelen » ( lassoformel ).

Overflatemåleenheter

Denne delen er et utdrag fra Surface Units .

Overflateenheter er standarder etablert ved konvensjon for å lette utvekslingen av måledata for overflaten, arealet eller utstrekningen til et objekt, terreng eller geometrisk figur.

Måling er teknikken der vi tilordner et tall til en fysisk egenskap , som et resultat av å sammenligne egenskapen med en annen lignende, tatt som et mønster, som blir tatt i bruk som en enhet. Målingen av et areal gir opphav til to forskjellige størrelser dersom forskjellige måleenheter brukes. Dermed oppsto behovet for å etablere en enkelt måleenhet for hver størrelse, slik at informasjonen lett kunne forstås.

Internasjonalt system av enheter

I følge International System of Units er kvadratenhetene følgende: [ 18 ]

multipler

Kvadratkilometer : 10 6 kvadratmeter
Kvadrathektometer eller hektar : 10 4 kvadratmeter
Kvadrat dekameter eller areal : 10 2 kvadratmeter

Grunnleggende enhet

kvadratmeter – SI-avledet enhet
Elenium: liter/centimeter
Piornio: (candela steradian)/lux

submultipler

Kvadratdesimeter : 10 −2 m² (en hundredel av en kvadratmeter)
Kvadratcentimeter : 10 −4 m² (en titusendels kvadratmeter)
Kvadratmillimeter : 10 −6 m² (en milliondels kvadratmeter)
låve : 10 −28 m² (kvadratmeter)

På atomskala måles arealet i enheter av fjøs . [ 19 ] Det er ofte brukt for å beskrive tverrsnittsområdet for interaksjon i kjernefysikk . [ 19 ]

angelsaksisk system av enheter

De mest brukte enhetene i det angelsaksiske systemet er: [ 20 ]

kvadrattomme
kvadratfot
Firkantet tun
Dekaret brukes også ofte til å måle arealer, der 1 acre = 4840 kvadratmeter = 43 560 kvadratfot. [ 21 ]

Se også

Måleenhet
Metrologi
Områder med geometriske figurer

Referanser

↑ Arturo, hjørne Villalba Mario; Ernesto, Vargas Vargas Wilson; Javier, Gonzalez Vergara Carlos (2018). Oppmåling: konsepter og anvendelser . Ecoe Editions. ISBN 9789587715071 . Hentet 1. mars 2018 .
↑ Matematikkdidaktikk - en pedagogisk opplevelse . ELIZCOM SAS ISBN 9789584479389 . Hentet 1. mars 2018 .
↑ Domínguez, Luis Fernando Díaz (4. mars 2016). Håndbok. Nøkkelkompetanse. Matematikk Nivå III (FCOV12). Utfyllende opplæring . REDaksjonell CEP. ISBN 9788468183855 . Hentet 1. mars 2018 .
↑ Herodotus Historier , bok II.
^ a b 'Arealproblemet . fca.unl.edu.ar
↑ Heath, Thomas L. (2003), A Manual of Greek Mathematics , Courier Dover Publications, s. 121-132, ISBN 978-0-486-43231-1 , arkivert fra originalen 2016-05-1 .
^ Stewart, James (2003). Enkelt variabel kalkulus tidlige transcendental. (5. utgave). Toronto PÅ: Brook/Cole. s. 3 . ISBN 978-0-534-39330-4 . "Men ved indirekte resonnement brukte Eudoxus (femte århundre f.Kr.) utmattelse for å bevise den kjente formelen for området til en sirkel: ". $A=\pi r^{2}.$
↑ a b Arndt, Jörg; Haene I, Christoph (2006). Pi Unleashed . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4 . Hentet 5. juni 2013 . Engelsk oversettelse av Catriona og David Lischka.
↑ Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. utgave), Saunders, s. 121, ISBN 978-0-03-029558-4 .
↑ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II) . Oxford University Press. s. 321-323.
↑ Weisstein, Eric W. Herons formel . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
↑ Apostel, Tom (1967). Regning . I: En-variabel beregning, med en introduksjon til lineær algebra. s. 58-59. ISBN 9780471000051 .
^ Moses, Edwin (1963). Elementær geometri fra et avansert ståsted . Addison-Wesley Pub . Co. Hentet 15. juli 2012 . (krever registrering) .
↑ Dominique Barataud. «Luft og omkrets» . http://eduscol.education.fr/ . Dossier d'activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l' enseignement des mathématiques en dispositifs relais. .
^ Thomas Heath (2013). Dover, red. A History of Greek Mathematics (på engelsk) 2 . s. 206. ISBN 978-0-48616265-2 . .
↑ Bernard Teissier . «Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre» . Jussieu institutt for matematikk . Teissier 1999 . (Leçon donnée le jeudi 7. oktober 1999, redigert av C. Reydy).
^ a b Weisstein, Eric W. . «kjegle» . Wolfram MathWorld . Arkivert fra originalen 21. juni 2012 . Hentet 6. juli 2012 .
↑ CAÑERO, JUAN LÓPEZ (1. januar 2016). Evakueringsnettverk . Paraninfo Editions, SA ISBN 978-84-283-3772-4 . Hentet 28. november 2019 .
↑ a b Bureau international des poids et mesures (2006). Det internasjonale enhetssystem (SI) . 8. utg. Arkivert fra originalen 5. november 2013 . Hentet 13. februar 2008 . Kapittel 5.
↑ Arturo, hjørne Villalba Mario; Ernesto, Vargas Vargas Wilson; Javier, Gonzalez Vergara Carlos (2017). Oppmåling: konsepter og anvendelser . Ecoe Editions. ISBN 978-958-771-507-1 . Hentet 28. november 2019 .
↑ Nasjonalt institutt for standarder og teknologi (nd) Generelle tabeller over måleenheter . Arkivert 24. november 2011 på Wayback Machine ..

Bibliografi

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, red. Anvendte matematiske formler og tabeller . Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7 .

Weisstein, Eric W. (1999). Chapman&Hall, red. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics . ISBN 0-8493-9640-9 .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori for Område .
Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om området .
Weisstein, Eric W. «Område» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Problemet med området, i fca.unl.edu.ar
Verdien av området representert grafisk, i fca.unl.edu.ar
WikiUnits - Konverter område med forskjellige enheter
Dette verket inneholder en delvis oversettelse hentet fra « Areal » av Wikipedia på engelsk, spesifikt fra denne versjonen av 17. juni 2021 , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .
Dette verket inneholder en delvis oversettelse hentet fra « Air (géométrie) » fra Wikipedia på fransk, spesifikt fra denne versjonen av 12. juni 2021 , utgitt av utgiverne under GNU Free Documentation License og Creative Commons Attribution-ShareAlike License 3.0 Unported .