Sexagesimalt system

Det sexagesimale systemet er et system av posisjonelle tallsett som bruker tallet 60 som sin base Det hadde sin opprinnelse i det gamle Mesopotamia , i den sumeriske sivilisasjonen . Det sexagesimale systemet brukes hovedsakelig til å måle tider (timer, minutter og sekunder) og vinkler (grader).

Det seksagesimale systemet ble bare brukt formelt i numeriske beregninger, siden navnene på tallene på sumerisk , akkadisk og andre tallspråk ikke fulgte et egentlig sexagesimalt system, men som tallene på de fleste av verdens språk de hadde navn basert på desimal- eller vigesimalsystemet. [ referanse nødvendig ]

Introduksjon

Tallet 60 har fordelen av å ha mange faktorer som: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60), noe som gjør det lettere å regne med brøker . Merk at 60 er det minste tallet som er delelig med 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

Bruken av tallet seksti som grunnlag for måling av vinkler, koordinater og tidsmålinger er knyttet til gammel astronomi og trigonometri. Det var vanlig å måle høydevinkelen til en stjerne og trigonometri bruker rette trekanter. I gamle tider var det vi nå kaller positive heltall – unntatt null – de eneste "bona fide" tallene. De nåværende rasjonelle tallene ble ansett som forhold mellom heltall, siden den rådende filosofien tydde til proporsjoner og en brøk, kort sagt, var en proporsjonal sammenligning mellom to segmenter av heltallsverdier. Alt dette knyttet til det vi kaller det minste felles multiplum . Alle rettvinklede heltall har egenskapen at produktet av deres tre sider alltid er et multiplum av seksti. Hvis ett av bena er primtall , er det andre minst et multiplum av tolv og det er et multiplum av seksti hvis hypotenusen også er primtall. Hvis det ikke er noen primtall, er ett ben delelig med tre og det andre med fire; hvilken som helst av de tre sidene er et multiplum av fem. Dette nest siste utsagnet har den egyptiske hellige trekanten som et unntak , som har et primtall og en prime hypotenuse, men det sammensatte benet er et multiplum av fire: (3, 4, 5), selv om produktet er seksti. Andre eksempler på trekanter med prime ben og hypotenuse er: (11, 60, 61) og (71, 2520, 2521).

Det gjenstår brudd på det sexagesimale systemet i måling av tid . Det er 24 timer i et døgn, 60 minutter i en time og 60 sekunder i et minutt. Enheter mindre enn et sekund måles ved hjelp av desimalsystemet .

Denne metoden for å beregne enheter brukes også i typografi , der de grunnleggende cicero- eller pica-enhetene er delt inn i tolv punkter, som i seg selv er delt inn i tideler av et punkt. I tillegg til de historiske årsakene som kan ha vært opphavet til denne måten å beregne størrelsen på trykktyper og andre elementer av typografisk komposisjon som søyler, korandeler eller gater, er årsaken til dens varighet på grunn av komforten med disse inndelingene i halvdeler, fjerdedeler og tredjedeler kan gjøres mentalt med hele typografiske punkter uten å ty til desimaler.

For å uttrykke tallene i det sexagesimale systemet, følges en konvensjon som består i å bruke tallene til desimalsystemet (fra 0 til 59), adskilt to og to med kommaer. For å indikere desimaltegn , vil et sexagesimalt semikolon bli brukt . For eksempel tilsvarer tallet 1;07.30 1 + 07/60 + 30/60² = 1.125 i desimal. Under Umayyad-kalifatet ble det sexagesimale systemet brukt av araberne både for å telle tid og for geometri og trigonometri som hadde utviklet seg fra babylonske forfedre, gjennom det gamle Egypt og mange andre kulturer. Det var nettopp araberne som etablerte bruken av det sexagesimale systemet i moderne kultur, siden de i nesten 500 år hadde alt det vitenskapelige potensialet uten diskusjon. Akkurat som babylonerne på den tiden trakk de første linjene for at araberne skulle bruke systemet sitt år senere, sementerte de bruken av det sexagesimale systemet slik vi kjenner det i dag. Og hvor nysgjerrig det enn kan virke, fungerer det fortsatt perfekt.

Addisjon og subtraksjon av det sexagesimale systemet i matematikk

Det sexagesimale systemet er et nummereringssystem der hver enhet er delt inn i 60 enheter av lavere orden, det vil si at det er nummereringssystem i base 60. Det brukes for øyeblikket på måling av tid og amplituden til vinklene.

1t 60min 60s 1° 60′ 60″

Operasjoner i det sexagesimale systemet

Sum

1. trinn: Sett timene under timene (eller gradene under gradene), minuttene under minuttene og sekundene under sekunder; og de legger sammen.

2. trinn: Hvis sekundene summerer seg til mer enn 60, dividerer du dette tallet med 60; resten vil være sekundene og kvotienten legges til protokollen.

3. trinn: Det samme gjøres for minuttene.

Subtraksjon

Trinn 1: Plasser timer under timer (eller grader under grader), minutter under minutter og sekunder under sekunder.

2. trinn: Sekundene trekkes fra. Hvis dette ikke er mulig, konverterer vi et minutt av minuenden til 60 sekunder og legger det til sekundene av minuenden. Deretter trekker vi fra sekundene.

3. trinn: Vi gjør det samme med referatet.

Opprinnelse

Som i tilfellet med desimalsystemet går opprinnelsen tilbake til en måte å nummerere ved hjelp av fingrene på hendene . I gamle tider telte innbyggerne i den såkalte fruktbare halvmånen , og pekte med tommelen på høyre hånd, hvis de var høyrehendte , hver av de 3 falangene til de gjenværende fingrene på samme hånd, og startet med lillefingeren . Med denne metoden kan du telle opp til 12. Og for å fortsette med større tall, hver gang du utfører denne operasjonen, heves én finger på den ledige hånden — den venstre — til du fullfører 60 enheter (12 x 5 = 60), så dette nummer ble ansett som en "rund figur", og ble en vanlig referanse i transaksjoner og målinger. En lignende skjebne rammet tallet som ble talt i høyre hånd, 12, og noen multipler som 24, 180 (12 x 15 eller 60 x 3) og 360 (12 x 30 eller 60 x 6). Av denne grunn er det sexagesimale systemet relatert i sine historiske røtter til det duodesimale systemet .

Denne måten å telle på fingrene (opptil 12, deretter 60) brukes fortsatt av noen Midtøsten-folk i dag . [ 1 ]

Matematikeren Sergey Fomin gjennomgikk to andre eldgamle forklaringer for opprinnelsen til det sexagesimale systemet, selv om han anså dem for å være utrolige og dårlig argumenterte. Den første hypotesen var at det sexagesimale systemet oppsto fra det politiske kompromisset mellom to stammer som gikk sammen, og kombinerte deres respektive numeriske systemer ( senar og desimal). Den andre presenterte systemet som et derivat av astronomisk observasjon og ikke et resultat av daglig bruk. På en slik måte at, ettersom mesopotamierne etablerte sitt år på 360 dager, ville de ha konkludert med bruken av en divisor av det tallet (60) som grunntallet for all deres nummerering. [ 2 ]

Astronomisk bruk ved opprinnelsen

I Babylon ble omkretsen delt inn i 360 like buer. Hver av disse delene fikk navnet på graden og hver av dem ble tildelt en gud. Tolv dukker opp igjen i dyrekretsen , siden det antallet tegn eller "hus" har systemet, som omfatter en bue på 30 grader og et sett med samme antall guder. Det religiøse systemet var svært strengt og dogmatisk og krevde at vinklene skulle konstrueres ved hjelp av en ikke-gradert linjal med en enkelt kant og ubestemt lengde, pluss et kompass med fast åpning, mens en omkrets ble tegnet, men som lukket seg når den ble hevet, som det ikke var mulig å bruke til å transportere segmenter eller mål (Se: Linjal og kompass ). Dette geometriske konstruksjonssystemet ble ansett for å være av guddommelig opprinnelse og bruk; I følge disse troene hadde universet blitt skapt med denne metoden for geometrisk konstruksjon.

Det som utgjør et mysterium er å vite hvordan dette geometriske religiøse systemet ble fullt utviklet, siden Gauss ' General Theorem of Cyclotomy , fra 1801, demonstrerer umulig konstruksjon for mange vinkler med et heltall av grader: enhver som ikke er et multiplum av 3 °.

Hvorvidt prestene nøyde seg med tilnærminger eller ikke-hellige metoder, som å sette merke på linjalen, er et åpent spørsmål. Dette ville ha ødelagt en hel filosofi, og hvis det hadde skjedd, ville de vært nødt til å være nøye skjult for utdannede ikke-geistlige.

Hvert 315. år vender solen og månen tilbake til samme sted på himmelen, med en feil på 7 eller 8 bueminutter. Dette utgjør litt mer enn det dobbelte av minimum separasjon som kan oppdages av det menneskelige øyet uten forstørrelsesinstrumenter. Den lille feilen burde ha en religiøs betydning ignorert av vår sivilisasjon, siden graden var okkupert av en gud og ble delt inn i 60 minutter. Men både Solen og Månen falt i det samme "guddommelige" domene. Fire perioder dekker 1260 år, som tilsvarer 3 + ½ ganger 360 år. Tar settet til dets minste heltallsuttrykk, har vi den astronomiske perioden på 2520 år, som er en del av en rettvinklet trekant med et ben og hypotenusens primtall: (71, 2520, 2521). Disse tallene, 1260 og 2520, er multipler av 12, 40 og 60 og kan oppta alle ben og hypotenusen til rette trekanter som ligner på den egyptiske hellige trekanten (3, 4, 5) og generelt en hvilken som helst rettvinklet trekant med hele sider. , spesielt de med et primt bein.

Eksempler

1,414212… = 30547/21600 = 1;24.51.10 (kjønnskjønn = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³), en konstant som allerede ble brukt av de babylonske matematikerne i den gamle babylonske perioden ( 1900 f.Kr. – 1650 f.Kr. ), og som er samlet i leirtavlen YBC 7289 . En mer nøyaktig verdi på er 1;24,51,10,07,46,06,04,44,... 365.24579… = 06.05;14.44.51 (365 + 14/60 + 44/60² + 51/60³). 3,141666… = 377/120 = 3;08,30 (3 + 8/60 + 30/60²).

Brøker

Tallet 60 har som primdelere de tre første primtallene, det vil si 2, 3 og 5. Enhver brøk hvis nevner er av formen 2 a · 3 b · 5 c vil ha en eksakt seksagesimal ekspansjon, med a , b og c hele tall lik eller større enn 0.

Men i tilfeller hvor utviklingen ikke er eksakt, vil perioden generelt være lang. Siden både tallet før og etter 60 er primtall (henholdsvis 59 og 61), for at perioden bare skal være ett eller to sifre, må nevneren være 59, 61, produktet av de to (3599) eller hva som helst. av de ovennevnte med et tall på formen 2 a · 3 b · 5 c . I alle andre tilfeller vil perioden bli lengre.

1/2 = 0;30 1/3 = 0;20 1/4 = 0;15 1/5 = 0;12 1/6 = 0;10 1/7 = 0;08,34,17 1/8 = 0;07,30 1/9 = 0,06,40 1/10 = 0;06 1/11 = 0;05,27,16,21,49 1/12 = 0;05 1/13 = 0;04,36,55,23 1/14 = 0,04,17,08,34 1/15 = 0;04 1/16 = 0,03,45 1/17 = 0;03,31,45,52,56,28,14,07 1/18 = 0,03,20 1/19 = 0;03,09,28,25,15,47,22,06,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41 1/20 = 0;03 1/24 = 0,02,30 1/25 = 0,02,24 1/27 = 0,02,13,20 1/30 = 0;02 1/32 = 0,01,52,30 1/36 = 0,01,40 1/40 = 0,01,30 1/45 = 0,01,20 1/48 = 0,01,15 1/50 = 0;01.12 1/54 = 0,01,06,40 1/59 = 0;01 1/1,00 = 0;01 (1/60 desimal).

Multiplikasjonstabeller

Multiplikasjonstabellene i base-seksti er relativt vanskelige å huske, siden det innebærer å memorere 59×60/2 = 1770 forskjellige produkter. Til sammenligning, i desimalsystemet må du huske 9×10/2 = 45 produkter. Eksempel: 8×5 = 40 = 5×8

10×9 = 90 = 9×10

Primnummersøk

Primtall kan ende på følgende sifre: 01, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53 eller 59.

Med andre ord, hvis vi har et naturlig tall hvis siste siffer, i base-60, er et primtall (annet enn 02, 03 eller 05), 01 eller 49, så kan dette tallet være primtall - og vi kan sjekke ved å bruke noen Primalitetsmetoden . Hvis det ikke ender på noen av disse tallene, må det være sammensatt .


Bibliografi

Notater

  1. ↑ Verdenshistorie. Bind I, Forhistorie og tidlige sivilisasjoner. Redaksjonell Sol90, 2004. side 69.
  2. ↑ Sergei Vasilyevich Fomin. Nummereringssystemer. Mir Publishing House, Moskva, 1975. Digital utgave .

Eksterne lenker