Antall

Et tall  er et abstrakt konsept som brukes til å telle ( mengder ), måle ( størrelser ) og merke. De enkleste tallene, som vi alle bruker i hverdagen, er de naturlige tallene : 1, 2, 3 osv. De er betegnet med og fungerer også som ordinaler, for å etablere en rekkefølge (første, andre,...). Noen ganger bruker vi begrepet tall for å snakke om hva som faktisk er et tall eller en figur (for eksempel våre arabiske tall ).

Tall spiller en grunnleggende rolle i de empiriske vitenskapene ; ikke bare de naturlige, men mange andre typer tall som matematikken tenker på. Settet med heltall (representert med ) er en forlengelse av de naturlige tallene, inkludert de negative (som vi bruker for å representere gjeld, og i termometre for temperaturer under null). Hvis vi inkluderer brøktallene (1/3, 0,75, -3,25, etc.) får vi settet med rasjonelle tall , hvis symbol er . Allerede i antikken ble det oppdaget at det finnes ikke-rasjonelle tall: diagonalen til et kvadrat på side 1 måler roten av to, et tall som ikke kan representeres som et helt tall eller som en brøk; det er irrasjonelt. Rasjonalene danner sammen med de irrasjonale settet med reelle tall, (ℝ). Deretter har andre typer tall blitt lagt til: imaginære, transcendentale, uvirkelige, komplekse, ...

Merk at tallteori er en gren av matematikken som omhandler heltall (ikke med tall generelt).

Typer tall

De mest kjente tallene er de naturlige tallene . Angitt med , de er konseptuelt de enkleste og de som brukes til å telle diskrete enheter. Disse utgjør sammen med de "negative" tallene settet med heltall , betegnet med (fra tysk Zahlen , 'tall'). Negative naturlige tall lar oss formelt representere gjeld, og generalisere subtraksjonen av to naturlige tall. Det vil si at vi allerede har en løsning for operasjoner som for eksempel 3-2 = 1.

En annen mye brukt type tall er brøktall , som representerer både mengder mindre enn én enhet, og blandede tall (et sett med enheter pluss en del mindre enn én). Brøktall kan alltid uttrykkes som forholdstall mellom heltall. Settet med alle brøktall er settet med rasjonelle tall (vanligvis definert til å inkludere både positive rasjonaler, negative rasjonaler og null). Dette settet med tall er utpekt som . Som med heltall kan resultatet av enhver subtraksjon beregnes, med rasjonelle tall er det mulig å utføre divisjoner som ikke har et heltallsresultat, for eksempel 15/2 = 7,5 eller 7½.

Rasjonelle tall lar oss løse et stort antall praktiske problemer, men siden de gamle grekerne har det vært kjent at visse geometriske relasjoner ( diagonalen til en kvadrat på enhetssiden ) er ikke-heltall som heller ikke er rasjonelle. På samme måte er den numeriske løsningen av en polynomligning hvis koeffisienter er rasjonelle tall vanligvis et ikke-rasjonalt tall. Det kan vises at et hvilket som helst irrasjonelt tall kan representeres som en Cauchy-sekvens av rasjonelle tall som nærmer seg en numerisk grense. Settet med alle rasjonelle og irrasjonelle tall (oppnådd som grenser for Cauchy-sekvenser av rasjonelle tall) er settet med reelle tall . En tid trodde man at all eksisterende fysisk størrelse kun kunne uttrykkes i form av reelle tall. Blant de reelle tallene er det tall som ikke er løsninger av en polynomisk eller algebraisk ligning, og disse kalles transcendentale . De mest kjente av disse tallene er tallet π (Pi) og tallet e (den siste basen av naturlige logaritmer ), som begge er relatert til hverandre ved Eulers identitet .

Et av problemene med reelle tall er at de ikke danner et algebraisk lukket felt , så enkelte problemer har ikke en løsning i form av reelle tall. Det er en av grunnene til at komplekse tall ble introdusert , som er det minste algebraisk lukkede feltet som inneholder de reelle tallene. Videre, i noen praktiske anvendelser, så vel som i standardformuleringer av kvantemekanikk, anses det som nyttig å introdusere de komplekse tallene . Tilsynelatende reflekterer den matematiske strukturen til komplekse tall eksisterende strukturer i fysiske problemer, slik at i teoretisk fysikk og i ulike applikasjoner brukes komplekse tall på lik linje med reelle tall, til tross for at de i utgangspunktet bare ble betraktet som en matematisk kunstgrep uten tilknytning. til den fysiske virkeligheten. Alle sett med tall ble på en eller annen måte "oppdaget" eller foreslått i forbindelse med problemer i fysiske problemer eller innenfor elementær matematikk, og de ser alle ut til å ha viktige forbindelser med den fysiske virkeligheten.

Bortsett fra reelle og komplekse tall, klart knyttet til naturvitenskapelige problemer, er det andre typer tall som generaliserer enda mer og utvider tallbegrepet på en mer abstrakt måte og reagerer mer på matematikernes bevisste kreasjoner. De fleste av disse generaliseringene av tallbegrepet brukes bare i matematikk, selv om noen av dem har funnet anvendelser for å løse visse fysiske problemer. Blant dem er de hyperkomplekse tallene , som inkluderer kvaternionene , nyttige for å representere rotasjoner i tredimensjonalt rom, og generaliseringer av disse, for eksempel oktonionene og sedenionene .

På et litt mer abstrakt nivå er det også utviklet sett med tall som er i stand til å håndtere uendelige og uendelige små mengder , for eksempel hyperreals og transfinites .

Liste over eksisterende nummertyper

Tallteorien omhandler i utgangspunktet egenskapene til naturlige tall og heltall, mens operasjonene til algebra og kalkulus tillater å definere de fleste tallsystemene, blant annet:

Struktur av tallsystemer

I abstrakt algebra og matematisk analyse er et tallsystem preget av en:

En annen interessant egenskap ved mange numeriske sett er at de kan representeres ved hjelp av Hasse -diagrammer , Euler -diagrammer og Venn-diagrammer , og kan ta en kombinasjon av begge i et Euler-Venn-diagram med den karakteristiske formen til en firkant og også være i stand til å representere internt et diagram Hasse (er en rett linje). Både historisk og konseptuelt er de forskjellige tallsettene, fra de enkleste av de naturlige tallene, til transcendente utvidelser av de reelle og komplekse tallene, utviklet gjennom modellteori i løpet av det 20.  århundre , konstruert fra en enklere struktur til en mer kompleks. . [ 2 ]

Spesielle naturlige tall

Studiet av visse egenskaper som tall oppfyller har produsert et enormt antall typer tall, de fleste uten spesifikk matematisk interesse. De kan rammes inn innenfor rekreasjonsmatematikk . Her er noen få:

Når problemet med tallenes natur og klassifisering er forstått, oppstår et annet, mer praktisk, men som betinger alt som skal gjøres med dem: måten å skrive dem på. Systemet som har blitt universelt pålagt er posisjonsnummerering, takket være oppfinnelsen av null , med en konstant base.

Mer formelt, i The Foundations of Arithmetic , lager Gottlob Frege en definisjon av "tall", som ble tatt som en referanse av mange matematikere (inkludert Bertrand Russell , medskaper av Principia mathematica ):

«n» er et tall, det er da definisjonen av «at det finnes et begrep «F» som «n» gjelder for», som igjen forklares som «n» er utvidelsen av begrepet «equinumerable with» for «F», og to begreper er likeverdige hvis det er et «en-til-en»-forhold (se at symbolet «1» ikke brukes fordi det ennå ikke er definert) mellom elementene som utgjør det (det vil si en bijeksjon med andre ord).

Legg også merke til at Frege, så vel som enhver annen matematiker, ikke er i stand til å definere tall som uttrykk for en mengde, fordi matematisk symbolikk ikke nødvendigvis refererer til tellbarhet, og faktumet "mengde" vil referere til noe tellbart, mens hvilke tall er tatt i bruk for å definere kardinaliteten til for eksempel elementene som ligger i det åpne intervallet (0, 1), som inneholder utallige elementer (kontinuumet).

Peano, før han etablerer sine fem påstander om de naturlige tallene , gjør det eksplisitt at han antar en kjent definisjon (kanskje på grunn av dens "åpenbarhet") av ordene eller begrepene null , etterfølger og tall . På denne måten postulerer den:

Men hvis man definerer konseptet null som tallet 100, og konsepttallet som tallene større enn 100 , så gjelder de fem proposisjonene som er nevnt ovenfor, ikke for ideen om at Peano ville ha ønsket å kommunisere, men for formaliseringen.

Definisjonen av tall er derfor ikke fullt ut formalisert, selv om et flertall er enige om å ta i bruk definisjonen som er uttalt av Frege.

Historien om tallbegrepet

Kognitivt er begrepet tall assosiert med evnen til å telle og sammenligne hvilke av to sett med lignende enheter som har et større antall elementer. Tidlige menneskelige samfunn ble snart møtt med problemet med å bestemme hvilken av to settene som var "større" enn den andre, eller å vite nøyaktig hvor mange elementer som utgjorde en samling av ting. Disse problemene kan løses ved å telle. Menneskets evne til å telle er ikke et enkelt fenomen, selv om de fleste kulturer har tellesystemer som når minst hundrevis, noen folk med en enkel materiell kultur, har bare begreper for tallene 1, 2 og 3, og de bruker vanligvis begrepet "mange" for større mengder, men når det er nødvendig, bruker de rekursivt oversettbare uttrykk som "3 pluss 3 og ytterligere 3".

Tellingen må ha begynt ved bruk av fysiske gjenstander (som hauger av steiner) og tallmerker, slik som de som ble funnet på utskårne bein : Lebombo's, med 29 hakk etset inn i et bavianbein, er omtrent 37 000 år gammelt og en annen ulv bein funnet i det gamle Tsjekkoslovakia, med 57 merker arrangert i fem grupper på 11 og to løse, har blitt anslått å være rundt 30 000 år gammelt. Begge tilfellene utgjør et av de eldste kjente tallmerkene, og det har blitt antydet at de kan være relatert til månefaseregistreringer. [ 3 ] Når det gjelder den ordinære opprinnelsen, plasserer noen teorier det i religiøse ritualer. Tallsystemene til de fleste av de språklige familiene gjenspeiler at telleoperasjonen var assosiert med telling av fingre (det er grunnen til at desimal- og vigesimalbasesystemene er de mest utbredte), selv om bruken av andre numeriske baser er attestert.

Bevegelsen mot numeriske symboler, som skrift, har vært assosiert med utseendet til komplekse samfunn med sentraliserte institusjoner som utgjør byråkratiske regnskapskunster i skatte- og eiendomsregistre. Dens opprinnelse ville være i primitive symboler med forskjellige former for telling av forskjellige typer varer, for eksempel de som ble funnet i Mesopotamia påskrevet leirtavler, som igjen hadde kommet til gradvis å erstatte tellingen av forskjellige varer ved hjelp av leirtegn (bekreftet i det minste fra 8000 f.Kr.) De eldste tallsymbolene som er funnet er lokalisert i de mesopotamiske sivilisasjonene, og brukes som et nummereringssystem ikke bare for regnskap eller handel, men også for oppmåling eller astronomi, for eksempel registreringer av planetbevegelser. [ 4 ]

Totalt sett har de fleste sivilisasjoner i 5000 år talt som vi gjør i dag, selv om måten å skrive tall på (selv om de alle nøyaktig representerer naturlige tall) har vært svært mangfoldig. I utgangspunktet kan vi klassifisere det i tre kategorier:

  1. Additive notasjonssystemer . De samler symbolene til alle enhetene, tiere, hundrevis,..., som er nødvendige for å fullføre tallet. Selv om symbolene kan gå i hvilken som helst rekkefølge, inntok de alltid en bestemt posisjon (fra de fleste til minst). Av denne typen er nummereringssystemene: egyptisk , hettittisk, kretisk, romersk , gresk, armensk og jødisk.
  2. Hybrid notasjonssystemer . De kombinerer additivprinsippet med multiplikasjonsprinsippet. I de forrige 500 er det representert med 5 symboler av 100, i disse brukes kombinasjonen 5 og 100. Rekkefølgen på figurene er nå grunnleggende (vi er ett skritt unna posisjonssystemet). Av denne typen er nummereringssystemene: klassisk kinesisk, assyrisk, armensk, etiopisk og maya . Sistnevnte brukte symboler for 1, 5 og 0. Dette er den første dokumenterte bruken av null slik vi kjenner den i dag (år 36 f.Kr.) siden babylonerne kun ble brukt blant andre sifre.
  3. Posisjonelle notasjonssystemer . Posisjonen til figurene forteller oss om de er enheter, tiere, hundrevis,..., eller generelt kraften til basen. Bare tre andre kulturer enn India klarte å utvikle et system av denne typen: Det kinesiske systemet (300 f.Kr.) som ikke hadde 0, det babylonske systemet (2000 f.Kr.) med to symboler, fra base 10 additiv opp til 60 og posisjonell (fra base 60) videre, uten 0 til 300 f.Kr. c.

Egyptiske enhetsbrøker (Ahmes/Rhind Papyrus)

I denne papyrusen ervervet av Henry Rhind i 1858, hvis innhold dateres fra 2000 til 1800 f.Kr. C. i tillegg til nummereringssystemet beskrevet ovenfor finner vi hans behandling av brøker. De tar ikke hensyn til brøker generelt, bare enhetsbrøkene (invers av den naturlige 1/20) som er representert med et ovalt tegn over tallet, brøken 2/3 som er representert med et spesielt fortegn og i noen tilfeller brøker av typen . Det er dekomponeringstabeller fra n=1 til n=101, for eksempel eller , vi vet ikke hvorfor de ikke brukte, men det ser ut til at de prøvde å bruke enhetsbrøker mindre enn .

Som et summativt system er notasjonen: 1+1/2+1/4. Den grunnleggende operasjonen er addisjon og våre multiplikasjoner og divisjoner ble gjort ved "duplikasjoner" og "mediasjoner", for eksempel 69×19=69×(16+2+1), hvor 16 representerer 4 doblinger og 2 en dobling.

Babylonske sexagesimale fraksjoner (kileskriftdokumenter)

I kileskrifttavlene til Hammurabi -dynastiet (1800-1600 f.Kr.) vises det nevnte posisjonssystemet, utvidet til brøker, men XXX er gyldig for , eller med en representasjon basert på tolkningen av problemet.

For å beregne, brukte de, som oss før de hadde maskiner, til de mange tabellene de hadde: multiplikasjonstabeller, inverser, kvadrater og terninger, kvadrat- og terningsrøtter, suksessive potenser av et gitt ikke-fast tall, etc. For å beregne for eksempel tok de sin beste heltallstilnærming , og beregnet (en større og en mindre) og så er det den beste tilnærmingen, fortsetter på samme måte og oppnår i Yale-7289-nettbrettet 2=1;24,51, 10 (basert på desimal 1,414222) som verdi for å starte fra (se babylonsk algoritme ).

De utførte operasjonene på en lignende måte som i dag, divisjonen multiplisert med inversen (som de bruker inverstabellene for). I tabellen over invers mangler de av 7 og 11, som har et uendelig langt sexagesimalt uttrykk. Ja, det er 1/59=;1,1,1 (vår 1/9=0.111…) og 1/61=;0.59,0.59 (vår 1/11=0.0909…), men de la ikke merke til periodisk utvikling .

Oppdagelsen av de umåtelige

Omstendighetene og datoen for denne oppdagelsen er usikre, selv om den tilskrives Pythagoras skole ( Pythagorean -setningen brukes ). Aristoteles nevner et bevis på incommensurability av diagonalen til et kvadrat med hensyn til sin side basert på skillet mellom oddetall og partall. Rekonstruksjonen utført av C. Boyer er:

La d:diagonal, s:side og d/s være rasjonelle at vi kan skrive det som med p og q primtall til hverandre. Ved Pythagoras teorem har vi at , , da og derfor må være partall og også p, og derfor q oddetall. Å være p partall har vi , da og , da er det partall og q er også, da er q partall og oddetall som vi har en motsigelse med.

Pythagoras teori om alt er tall ble alvorlig skadet.

Problemet ville bli løst av Eudoxus fra Cnido (408-355 f.Kr.) som Euclid forteller oss i bok V av Elementene . For dette etablerte han det arkimedeiske aksiomet : To størrelser har en grunn hvis et multiplum av en av dem kan bli funnet som overstiger den andre (unntatt 0). Så i definisjon-5 gir han Eudoxus' berømte formulering: To størrelser er i samme forhold hvis gitt to naturlige tall m og n, hvis da (definisjon på at utveksling av 2. og 3. ledd er ekvivalent med vår nåværende prosedyre).

I JP Colettes bok er observasjonen gjort at denne definisjonen er veldig nær definisjonen av reelt tall gitt av Dedekind på 1800  -tallet , og deler brøker i slikt og de som ikke gjør det.

Opprettelse av null

I ethvert posisjonsnummersystem oppstår problemet med mangelen på enheter av en viss rekkefølge. For eksempel, i det babylonske systemet kan tallet skrevet i grunntall 60 være eller . Noen ganger ble den tomme posisjonen brukt for å unngå dette problemet 3 _ 2; men de skriftlærde måtte være veldig forsiktige så de ikke gjorde feil.

Mot det  tredje århundre  a. C., i Hellas, begynte ingenting å bli representert med en "o" som betyr oudos 'tom', og som ikke ga opphav til konseptet null slik det eksisterer i dag. Ideen om null som et matematisk konsept ser ut til å ha oppstått i India mye tidligere enn noe annet sted. Den eneste ordensnotasjonen i den gamle verden var sumerisk, der null ble representert av et tomrom.

I Amerika dateres det første kjente uttrykket for det pre-spanske vigesimale nummereringssystemet tilbake til det 3.   århundre f.Kr. C. Det er en sen Olmec -stele , som allerede hadde både konseptet "orden" og "null". Mayaene oppfant fire tegn for null; de viktigste var: kuttet av en snegl for den matematiske null, og en blomst for den kalendernull (som ikke innebar fravær av kvantitet, men oppfyllelsen av en syklus).

Negative tall

Brahmagupta , i 628 e.Kr., vurderer de to røttene til kvadratiske ligninger , selv om en av dem er negativ eller irrasjonell. Faktisk er det første gang i hans arbeid at aritmetikken (+, -, *, / , potenser og røtter) av positive og negative tall og null, som han kalte varer , gjeld og intethet , fremstår som systematisert . Så, for eksempel, for kvotienten, sett:

Positivt delt på positivt, eller negativt delt på negativt, er bekreftende. Tall delt på tall er ingenting (0/0=0). Positivt delt på negativt er negativt. Negativt delt på bekreftende er negativt. Positiv eller negativ delt på tall er en brøk som har det som nevner (a/0=¿?)

Ikke bare brukte han negativer i beregninger, men han betraktet dem som isolerte enheter, uten referanse til geometri . Alt dette ble oppnådd takket være hans ignorering av strenghet og logisk grunnlag, og hans blanding av det praktiske med det formelle.

Imidlertid falt deres behandling av negativene i tomrommet, og det tok flere århundrer (frem til renessansen ) før det ble gjenvunnet.

Tilsynelatende hadde kineserne også ideen om et negativt tall, og var vant til å beregne med dem ved å bruke svarte stenger for negative og røde for positive.

Overføring av det indo-arabiske systemet til Vesten

Flere forfattere fra 1200-tallet  bidro til denne spredningen, inkludert Alexandre de Villedieu (1225), Sacrobosco (ca. 1195, eller 1200-1256) og spesielt Leonardo de Pisa (1180-1250). Sistnevnte, kjent som Fibonacci , reiste i øst og lærte det hinduistiske posisjonssystemet fra araberne. Han skrev en bok, El Liber abaci , som omhandler posisjonsnummerering i kapittel I, elementære operasjoner i de neste fire, og brøker i kapittel VI og VII: vanlig, seksagesimal og enhetlig (han bruker ikke desimaler, hovedfordelen med systemet !), og i kapittel XIV kvadrat- og kubikkradikalene. Den inneholder også problemet med kaninene som serien gir: med .

Negative tall vises ikke, noe araberne heller ikke vurderte, på grunn av identifiseringen av tall med størrelse (en hindring som ville vare i århundrer!). Til tross for fordelene med beregningsalgoritmene, ville det bryte ut en hard kamp av ulike årsaker mellom abacister og algoritmer, inntil sistnevntes siste triumf.

Fortsatt brøker

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), men med numeriske eksempler, utvikler en kvadratrot i fortsatte brøker som i dag: Vi ønsker å beregne og være det største tallet hvis kvadrat er mindre enn og , vi har: at med notasjonen hans skrev han: n=a&b/ 2.a.&b/2.a... Så 18=4&2/8.&2/8, som gir tilnærmingene 4+(1/4), 4+(8/33)...

Å være dermed de irrasjonelle tallene akseptert med all normalitet, siden de lett kunne tilnærmes ved hjelp av rasjonelle tall.

Første formulering av de komplekse tallene

Komplekse tall ble i få tilfeller akseptert som røtter eller løsninger av ligninger ( M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) og nesten ingen som koeffisienter). Disse tallene ble opprinnelig kalt fictiii 'fiktive' (begrepet "imaginært" som brukes i dag minner om disse motviljen mot å betrakte dem som respektable tall). Til tross for dette kjenner G. Cardano (1501-1576) tegnregelen og R. Bombelli (1526-1573) tilsetningsreglene gjennom krediteringer og debeter , men de anses som formelle manipulasjoner for å løse ligninger, uten entitet ettersom de ikke kommer. fra å måle eller telle.

Cardano, ved å løse problemet, deler 10 i to deler slik at produktet er verdt 40 , oppnås som løsninger (i notasjonen 5p:Rm:15) og (i notasjonen 5m:Rm:15), løsninger som den betraktet som bare " subtil, men ubrukelig . "

Ved å løse kubiske ligninger med Cardano-Tartaglia-formelen, selv om røttene er reelle, vises røtter av negative tall i mellomtrinnene. I denne situasjonen sier Bombelli i sin Algebra at han hadde det han kalte "en gal idé" , dette var at de radikale kunne ha samme forhold som radikalerne og operere med dem, og prøve å eliminere dem etterpå. I en tekst 20 år senere bruker han pdm for og mdm for , og gir reglene for å operere med disse symbolene, og legger til at når et av disse uttrykkene dukker opp, vises dets konjugat også, som i 2.gradsligningene som det løser riktig. Gi en metode for å beregne .

Generalisering av desimalbrøker

Selv om det er en mer enn tilfeldig bruk av desimalbrøker i middelalderens Arabia og renessansens Europa, og så tidlig som i 1579 proklamerte Vieta (1540-1603) sin støtte til dem over sexagesimale brøker, og de ble akseptert av matematikere som var dedikert til Upon research , ble bruken utbredt med verket som Simon Stevin publiserte i 1585 De Thiende (La Disme) . I sin første definisjon står det at Disme er en slags aritmetikk som lar alle tellinger og målinger utføres ved bruk av kun naturlige tall. I det følgende definerer den vår heltallsdel: ethvert tall som går først kalles begynnelsen og tegnet er (0), (første desimalposisjon 1/10). Følgende sies først og tegnet er (1) (andre desimal 1/100). Følgende er sagt andre (2) . Det vil si desimaltallene du skriver: 0,375 som 3(1)7(2)5(3), eller 372,43 som 372(0)4(1)3(2). Han legger til at det ikke brukes brutte tall (brøker), og antallet tegn, bortsett fra 0, overstiger aldri 9 .

Denne notasjonen ble forenklet av Joost Bürgi (1552-1632) ved å fjerne henvisningen til rekkefølgen på figurene og erstatte den med en "." på toppen av enhetene 372 43, kort tid etter at Magini (1555-1617) brukte «.» mellom enheter og tideler: 372,43, en bruk som ville bli utbredt da den dukket opp i Napiers Constructio (1550-1617) fra 1619. « ,» ble også brukt på begynnelsen av 1600  -tallet av nederlenderen Willebrord Snellius : 372.43 .

Prinsippet for matematisk induksjon

Dens antecedent er en bevismetode, kalt fullstendig induksjon, ved gjentatt bruk av den samme syllogismen som strekker seg i det uendelige og som Maurolyco (1494-1575) brukte for å vise at summen av de første odde naturlige tallene er kvadratet av det -te leddet, det vil si . Pascal (1623-1662) brukte metoden for matematisk induksjon, i sin abstrakte formulering, slik vi kjenner den i dag, for å bevise egenskaper knyttet til den numeriske trekanten som bærer navnet hans. Beviset ved induksjon består alltid av to deler: basistrinnet og det induktive trinnet, som er beskrevet nedenfor i moderne notasjon:

If er en delmengde av de naturlige tallene (angitt med ) der hvert element tilfredsstiller egenskapen og deretter:

  1. tilhører .
  2. Det at han er medlem av tilsier at han også er det.

da , det vil si at alle naturlige tall har egenskapen .

Intuitivt forstås induksjon som en dominoeffekt. Forutsatt at du har en uendelig rad med dominobrikker, tilsvarer grunntrinnet å kaste den første dominobrikken; på den annen side tilsvarer det induktive trinnet å bevise at hvis en brikke faller av, så vil den neste brikken også falle av. Poenget er at alle flisene i den raden kan kastes.

Den geometriske tolkningen av komplekse tall

Denne tolkningen tilskrives vanligvis Gauss (1777-1855) som gjorde sin doktorgradsavhandling om algebraens grunnleggende teorem, først uttalt av Harriot og Girard i 1631, med bevisforsøk gjort av D'Alembert , Euler og Lagrange , som beviste at den forrige bevis var falske og ga et korrekt bevis først for tilfellet av koeffisienter, og senere for komplekse. Han jobbet også med komplekse heltall som har formen , med og heltall. Dette symbolet for ble først introdusert av Euler i 1777 og spredt av Gauss i hans Disquisitiones arithmeticae fra 1801.

Den grafiske representasjonen av komplekse tall hadde allerede blitt oppdaget av Caspar Wessel (1745-1818), men gikk ubemerket hen, og dermed kalles planet med komplekse tall « Gauss-plan » til tross for at han ikke publiserte ideene hans før 30 år senere.

Siden Girards tid (midten av det syttende  århundre ) var det kjent at reelle tall kan representeres i samsvar med punktene på en rett linje. Ved nå å identifisere kompleksene med punktene til flyet, vil matematikere føle seg komfortable med disse tallene, seing er å tro .

Oppdagelse av transcendentale tall

Skillet mellom algebraiske og transcendentale irrasjonelle tall dateres tilbake til 1700  -tallet , rundt tiden da Euler beviste at y er irrasjonelle og Lambert at π er. Legendres arbeid med hypotesen om at π ikke kunne være roten til en algebraisk ligning med rasjonelle koeffisienter, pekte veien for å skille forskjellige typer irrasjonaler. Euler gjorde allerede denne forskjellen i 1744, men det ville ta nesten et århundre før eksistensen av transcendentale irrasjonaliteter klart ble etablert i verkene til Liouville, Hermite og Lindeman.

Liouville (1809-1882) beviste i 1844 at alle tall i formen (f.eks. 0,101001...) er transcendentale.

Hermite (1822-1901) i et memoar Om den eksponentielle funksjonen fra 1873 demonstrerte viktigheten av å bevise på en svært sofistikert måte at ligningen: ikke kan eksistere.

Lindeman (1852-1939) i memoarene On the number of 1882 beviser at tallet e ikke kan tilfredsstille likningen: med algebraisk og , derfor har likningen ingen løsning for algebraisk x, men har vi , så kan den ikke være algebraisk og siden i er, da er π transcendental.

Hilberts oppgave 7 (1862-1943) som spør om , med algebraisk en forskjellig fra null og en, og algebraisk irrasjonell b, er transcendental ble løst bekreftende av Gelfond (1906-1968) i 1934. Men det er ikke kjent om de er transcendentale eller ikke: , , , ... Imidlertid er ey 1/e transcendentale.

Teorier om irrasjonelle

Fram til midten av 1800  -tallet var matematikere fornøyd med en intuitiv tallforståelse, og deres enkle egenskaper er ikke logisk etablert før på 1800  -tallet . Innføringen av strenghet i analysen avslørte mangelen på klarhet og unøyaktighet i systemet med reelle tall, og krevde dets logiske strukturering på aritmetiske grunnlag.

Bolzano hadde gjort et forsøk på å konstruere de reelle tallene fra sekvenser av rasjonelle tall, men teorien hans gikk ubemerket hen og ble ikke publisert før i 1962. Hamilton gjorde et forsøk, med henvisning til tidens størrelse, fra partisjoner av rasjonelle tall:

ja , når og ja når men han videreutviklet ikke teorien sin.

Men samme år 1872 publiserte fem matematikere, en fransk og fire tyskere, sine arbeider om aritmetisering av reelle tall:

Hyperkomplekse algebraer

Konstruksjonen av å få de komplekse tallene fra de reelle tallene, og dens forbindelse med gruppen av affine transformasjoner i planet antydet for noen matematikere andre lignende generaliseringer kjent som hyperkomplekse tall . I alle disse generaliseringene er de komplekse tallene en delmengde av disse nye tallsystemene, selv om disse generaliseringene har den matematiske strukturen til algebra over et felt , men i dem er ikke multiplikasjonsoperasjonen kommutativ.

Settteori

Settteori foreslo mange forskjellige måter å utvide de naturlige tallene og de reelle tallene på på andre måter enn de komplekse tallene utvidet settet med reelle tall. Forsøket på å fange ideen om et sett med et ikke-endelig antall elementer førte til aritmetikk av transfinite tall som generaliserer til naturlige tall, men ikke til heltall. Transfinite tall ble introdusert av Georg Cantor rundt 1873.

De hyperreelle tallene som brukes i ikke-standard analyse generaliserer til reelle tall, men ikke til komplekse tall (selv om de innrømmer en kompleksifisering som også vil generalisere til komplekse tall). Selv om det ser ut til at hyperreelle tall ikke gir interessante matematiske resultater som går utover de som kan oppnås i reell analyse, virker noen matematiske bevis og demonstrasjoner enklere i den hyperreale tallformalismen, så de er ikke uten praktisk betydning.

Sosialt

Tallrepresentasjonssystemer

Chiffer, siffer og tall

En av de vanligste måtene å representere tall skriftlig på består av et «endelig sett med symboler» eller sifre som, riktig kombinert, tillater å danne figurer som fungerer som representasjoner av tall (når en bestemt sekvens av tegn brukes til å representere et tall , det er han kaller det et tall, selv om en figur også ganske enkelt kan representere en identifikasjonskode).

Tallgrunnlag

Både naturlige språk og de fleste chiffertallrepresentasjonssystemer bruker en begrenset beholdning av enheter for å uttrykke et mye større antall tall. En viktig måte å oppnå dette på er bruken av en aritmetisk base I disse systemene uttrykkes et tall vanligvis ved å addere eller multiplisere tall. Rent aritmetiske systemer tyr til baser der hvert tegn får en annen tolkning avhengig av posisjonen. Altså i følgende arabiske tall (grunnlag 10):

<8> for å være i siste posisjon representerer enheter, <6> representerer tiere, <5> hundrevis, <3> tusenvis og <1> titusener. Det vil si at tallet vil representere tallet:

Mange språk i verden bruker en desimalbase, akkurat som det arabiske systemet, selv om det også er vanlig at språk bruker vigesimale systemer (base 20). Faktisk fungerer ideen om å bruke et begrenset antall siffer eller tegn for å representere vilkårlig store tall for enhver base b , der b er et heltall større enn eller lik 2. Datamaskiner bruker ofte den binære basen ( b = 2 ), og for visse bruksområder brukes også den oktale ( b = 8 ) eller heksadesimale ( b = 16) basen. Grunnlaget faller sammen med antall primærtegn, hvis et posisjonssystem har b primære symboler som vi vil angi med , tallet:

Vil angi nummeret:

Tall på naturlige språk

Naturlige språk bruker navn eller tall for tall ofte basert på fingertelling, og det er derfor de fleste språk bruker base 10 (fingre) eller base 20 (fingre og tær) nummereringssystemer. , selv om det også er noen eksotiske systemer som bruker andre baser.

Se også

Klassifisering av tall
komplekser
Kongelige
rasjonell
heltall
naturlig
En : 1
naturlige primtall
naturlige forbindelser
Null : 0
negative heltall
brøkdel
nøyaktig
aviser
sigarer
Blandet
irrasjonell
Algebraiske irrasjonaler
Transcendent
imaginære

Referanser

  1. ↑ Det er ingen ordensrelasjon i settet ℂ av kompleksene, da det eksisterer i de reelle, rasjonelle, heltall og naturlige
  2. ↑ Ikke nødvendigvis. Det reelle tallsystemet kan defineres aksiomatisk, slik David Hilbert gjorde; på samme måte som for de komplekse tallene, som de gjør: Polya, Alfhors, Markusevich, etc.
  3. ^ Ian Stewart , History of Mathematics, Review, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 s. 12-13
  4. ^ Ian Stewart , History of Mathematics, Review, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 s. 14
  5. ^ Meray, Charles (1872). Nouveau précis d'analyse infinitésimale (på fransk) . Paris: F. Savy, Libraire-redaktør. s. 2-4. 
  6. ↑ Roque, Tatiana (2011). Er de strengeste definisjonene lettest å forstå? Charles Méray et la proposition d'une definisjon "naturelle" des irrasjonelle navn» . History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the Sixth European Summer University (ESU 6) (på fransk) : 639-648 . Hentet 9. juli 2019 . 
  7. ↑ Trejo: Begrepet tall

Eksterne lenker