Vektor

I matematikk og fysikk er en vektor [ a ] en matematisk enhet som en linje eller et plan . En vektor er representert av et linjestykke, orientert innenfor tredimensjonalt euklidisk rom . En vektor er fullstendig bestemt i tre dimensjoner av tre tall. For eksempel for posisjonsvektoren i rektangulære koordinater (x,y,z), i sylindriske koordinater (ρ,φ,z) eller i sfæriske koordinater (r,φ,θ). Den vanlige definisjonen på at en vektor har størrelse (modul) og retning følger av bruk av sfæriske (med θ=π/2) eller sylindriske (med z=0) koordinater i xy-planet. I dette tilfellet (i xy-planet) tilsvarer modulen nøyaktig komponentene ρ eller (størrelsen på vektoren) og retningen bestemmes av vinkelen φ. Sansen, som insisteres så mye (på spansk) som en egenskap ved en vektor, er overflødig. Fordi komponenten φ av vektoren dekker fra 0 til 2π, er det ikke nødvendig å gi en betydning. Det ville vært tilfelle hvis det var en rett linje, som hvis den roteres, er π radianer nøyaktig den samme, og det er da en retning må tildeles. [ 1 ] Vektorer lar oss representere vektorielle fysiske størrelser, slik som de som er nevnt nedenfor. I matematikk er en vektor definert som et element i et vektorrom . Denne forestillingen er mer abstrakt og for mange vektorrom er det ikke mulig å representere vektorene deres etter modul og retning. Spesielt uendelig dimensjonale rom uten prikkprodukter er ikke representable på denne måten. Vektorer i et euklidisk rom kan representeres geometrisk som linjesegmenter , i det ( todimensjonale ) planet eller i ( tredimensjonalt ) rom. $\R$ $\mathbb{R} 2$ $\mathbb{R} 3$

I fysikk er det definert som segmentet av en linje , som er plassert i rommet til et plan, enten det er todimensjonalt eller tredimensjonalt. Et eksempel på et fysisk fenomen som kan beskrives med vektorer er hastigheten til en bil , det ville ikke være nok å beskrive det med bare et tall , som er det speedometeret indikerer, men det kreves for å indikere retningen (der det går). Et annet eksempel er kraften som virker på en gjenstand, siden dens virkning avhenger, i tillegg til størrelsen eller modulen, av retningen den virker i; også forskyvningen av et objekt, siden det er nødvendig å definere avstanden den reiser, og bevegelsesretningen, eller den opprinnelige og endelige posisjonen til objektet.

Grunnleggende konsepter i euklidiske vektorer

Denne delen forklarer det grunnleggende, behovet for vektorer for å representere visse fysiske størrelser, komponentene i en euklidisk eller geometrisk vektor, samt deres notasjon, etc. Andre mer generelle typer vektorer diskuteres i et senere avsnitt.

Definisjon

En vektor er et element i et vektorrom. I praksis, når man arbeider med vektorer, blir de vanligvis uttrykt på en vektorbasis . Dermed fikserte et spesifikt vektorrom og en basis innenfor det:

En (reell) dimensjonsvektor er representert av en tuppel av reelle tall (kalt komponenter av vektoren). Settet med alle dimensjonsvektorer er representert som (dannet av det kartesiske produktet ). Dermed er en vektor som tilhører et rom representert som: $n\,$ $? {R} n$ $\scriptstyle v$ $? {R} n$

$v=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n})$ , hvor $v\in {\mathbb {R}}^{n}$

En vektor kan også sees fra et geometris synspunkt som en geometrisk vektor (ofte ved bruk av tredimensjonalt eller todimensjonalt rom ). ${\mathbb {R}}^{3}$ $? {R} 2$

En fast vektor av det euklidiske planet er et orientert segment, der tre egenskaper må skilles fra: [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

Modulus: Lengden på segmentet uttrykt i form av en numerisk verdi og en enhet.
Retning: Vinkelen til vektoren i forhold til x-aksen.
Retning: Orienteringen av segmentet, fra origo til slutten av vektoren. Det kan være positivt eller negativt.

På engelsk angir ordet retning både retningen og retningen til vektoren, som definerer vektoren med bare to egenskaper: modul og retning. [ 5 ]

Faste vektorer av planet er merket med to store bokstaver (og en høyre pil over dem), for eksempel , som indikerer deres opprinnelse og endepunkt. Det vil si at punkt A er opprinnelsen eller applikasjonspunktet og punkt B er slutten av vektoren , hvis koordinater er: ${\overrightarrow {AB}}$ ${\overrightarrow {AB}}$

$\overrightarrow {AB}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})\,$

Kjennetegn til en vektor

En vektor kan defineres av dens koordinater , hvis vektoren er i xy-planet, er den representert:

{\textstyle {\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y})}

som dens koordinater:

V_{x},\;V_{y}

Hvis vi betrakter trekanten dannet av komponentene (som ben) og (som hypotenuse): den kan beregnes ved å multiplisere med cosα (som er α vinkelen dannet av og ) eller ved å multiplisere med sinβ (er β vinkelen dannet av og ). På samme måte kan det beregnes ved å multiplisere med sinα eller multiplisere med cosβ (vurderer posisjonene til α og β nevnt ovenfor). $V_{x},V_{y}$ $v$ $V_{x}$ $v$ $V_{x}$ $v$ $v$ $V_{y}$ $v$ $V_{y}$ $v$ $v$

Som vektor er vektorsummen av dens koordinater:

{\vec {V}}={\vec {V_{x}}}+{\vec {V_{y}}}

Hvis en vektor har tre reelle dimensjoner, representert på aksene x, y, z, kan den representeres:

{\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})

som dens koordinater:

V_{x},\;V_{y},\;V_{z}

Hvis vi representerer vektoren grafisk, kan vi skille mellom følgende elementer:

Linjestøtten eller retningen som vektoren er tegnet på.

Modulen eller amplituden med en lengde proporsjonal med verdien av vektoren .

Retningen , angitt av pilspissen, er en av de to mulige på støttelinjen.

Påføringspunktet som tilsvarer lokuset som vektorkarakteristikken representert av vektoren tilsvarer.

Navnet eller betegnelsen er bokstaven, tegnet eller sekvensen av tegn som definerer vektoren.

Derfor kan vi i en vektor differensiere:

Navn Adresse Føle Modul søknadspunkt

Vektorstørrelser

Mot de fysiske størrelsene, som masse , trykk , volum , energi , temperatur , etc; som er fullstendig definert av et tall og enhetene som brukes i målingen, andre vises, for eksempel forskyvning , hastighet , akselerasjon , kraft , elektrisk felt , etc., som ikke er fullstendig definert ved å gi numeriske data, men som har en adresse tilknyttet med dem. Disse sistnevnte størrelsene kalles vektor i motsetning til førstnevnte kalt skalar .

Vektorstørrelser er representert av en matematisk enhet kalt en vektor. I et euklidisk rom , med ikke mer enn tre dimensjoner, er en vektor representert av et orientert segment. Dermed er en vektor preget av følgende elementer: dens lengde eller modul , alltid positiv per definisjon, og dens retning , som kan representeres av summen av dens ortogonale vektorkomponenter , parallelt med koordinataksene; eller ved polare koordinater , som bestemmer vinkelen som vektoren lager med de positive koordinataksene. [ 6 ] [ 7 ]

Det er representert som et orientert segment, med én retning, tegnet som en "pil". Dens lengde representerer modulen til vektoren, linjen indikerer retningen, og "pilspissen" indikerer dens betydning. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

Notasjon

Vektormengder er representert i trykte tekster med fete bokstaver , for å skille dem fra skalarmengder som er representert i kursiv . I manuskripttekster er vektorstørrelser representert ved å plassere en pil over bokstaven som angir modulen deres (som er en skalar ).

eksempler

${\mathbf A},\ {\mathbf a},\ {\boldsymbol {\omega }},$ … representerer henholdsvis vektorstørrelsene til modulene A , a , ω , … Modulen med vektorstørrelsen er også representert ved å omslutte notasjonen som tilsvarer vektoren mellom stolper: … $|{\mathbf A}|,\ |{\mathbf a}|,\ |{\boldsymbol {\omega }}|,$
I håndskrevne tekster står det: … for vektorer og … eller … for moduler. ${\vec A},\ {\vec a},\ {\vec {\omega }},$ $|{\vec A}|,\ |{\vec a}|,\ |{\vec {\omega }}|,$ $A,\ a,\ {\omega },$

Der det er hensiktsmessig, representeres vektorstørrelsen ved å referere til opprinnelsen og endepunktet til det orienterte segmentet som representerer det geometrisk; dermed er vektorene representert i figur 2 utpekt i formen , … denne notasjonen er veldig nyttig for vektorene som representerer forskyvningen. ${\mathbf A}=\overrightarrow {MN},{\mathbf B}=\overrightarrow {OP}\,$

I tillegg til disse konvensjonene er enhetsvektorer eller versorer, hvis modul er enhet, ofte representert med en circumflex over dem, for eksempel . ${\mathbf {{\hat {u}}}},{\mathbf {{\hat {v}}}}$

Klassifisering av vektorer

Avhengig av kriteriene som brukes for å bestemme likheten eller ekvivalenten til to vektorer, kan følgende skilles:

Frie vektorer: de brukes ikke på et bestemt tidspunkt.
Skyvevektorer: applikasjonspunktet ditt kan gli langs handlingslinjen.
Faste eller koblede vektorer: de brukes på et bestemt tidspunkt.

Vi kan også referere til:

Enhetsvektorer: vektorer av modul én.
Samtidige eller vinkelvektorer: vektorer hvis retninger eller handlingslinjer går gjennom samme punkt. De kalles også ofte kantete fordi de danner en vinkel mellom dem.
Motsatte vektorer: Vektorer av samme størrelse og retning, men motsatte retninger. [ 2 ] På engelsk sies de å være like store, men motsatte retninger, siden retningen også angir retningen.
Kollineære vektorer: vektorer som deler samme handlingslinje.
Parallelle vektorer: Vektorer hvis handlingslinjer er parallelle.
Koplanare vektorer: vektorer hvis handlingslinjer er koplanare (plassert i samme plan).

Komponenter av en vektor

En vektor i tredimensjonalt euklidisk rom kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av tre enhetsvektorer eller versorer, som er vinkelrett på hverandre og utgjør en basisvektor .

I kartesiske koordinater er enhetsvektorer representert med , , , ( eller u , v , w ) parallelt med de tilsvarende , , aksene . Komponentene til vektoren på standardbasis kan skrives i parentes og separeres med kommaer: ${\mathbf {i}}\,$ ${\mathbf {j}}$ ${\mathbf {k}}$ $x$ $Y$ $z$

${\mathbf {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$

eller uttrykkes som en kombinasjon av enhetsvektorene definert i vektorgrunnlaget. I et kartesisk koordinatsystem vil det altså være det

${\mathbf {a}}=a_{x}\,{\mathbf {i}}+a_{y}\,{\mathbf {j}}+a_{z}\,{\mathbf {k}}$

Disse representasjonene er ekvivalente med hverandre, og verdiene , , , er komponentene i en vektor som, med mindre annet er angitt, er reelle tall . $a_{x}$ $a_{y}$ $a_{z}$

En praktisk representasjon av vektormengder er med en kolonnevektor eller en radvektor , spesielt når matriseoperasjoner (som baseendring) er involvert, som følger:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {a} =[a_{ x}\ a_{y}\ a_{z}]$

For eksempel vil enhetsvektorer uttrykkes som følger:

${{\mathbf i}}=[1\ 0\ 0],\ {{\mathbf j}}=[0\ 1\ 0],\ {{\mathbf k}}=[0\ 0\ 1]$

Zorns lemma , en konsekvens av valgaksiomet , lar oss fastslå at hvert vektorrom tillater en vektorbasis , slik at hver vektor kan representeres som produktet av noen komponenter i forhold til nevnte basis. Gitt en vektor er det bare et begrenset antall komponenter som ikke er null.

Grafisk representasjon av vektorer

Det er folk som ikke anbefaler å bruke grafikk for å unngå begrepsforvirring og villedende, uten forskning for å bekrefte det, er det også sant at hukommelsen stimuleres med bedre resultater. For det:

Den visuelle representasjonen med pilsymbolet (et segment og en trekant i den ene enden) kalles en vektor .
Den visuelle rettheten til en pil eller dens krumning gjør den ikke forskjellig i symbol hvis de to endene forblir på samme sted og rekkefølge.
Det faktum at en pil lukkes i seg selv indikerer fraværet av algebraiske effekter .
For å visualisere summen av vektorer, vil det gjøres ved å kjede dem, det vil si å koble enden som har en trekant (ende) av den første vektoren med enden som ikke har en (opprinnelse) til den andre vektoren, og opprettholde retning og avstand, passende til rommet, av begge ender, da disse to egenskapene visuelt skiller dem fra andre vektorer.
Skalarer vil bli representert med en stiplet linje utelukkende som en distinksjon siden de ikke alltid tilhører vektorrommet .

Hvert av tilfellene som vises i definisjonen av operasjonssummen av vektorer og produkt ved en skalar blir undersøkt:

Vektortilføyelse

Definisjonen av summen av vektorer i rekkefølgen u + v produserer en annen vektor, det er som å kjede, alltid visuelt, en vektor u og deretter en vektor v . Vi vil si at u + v forenkler som en vektor w eller at w dekomponeres som summen av vektorene u og v .

1) Å si at u + v = v + u , er å kreve at de to summene forenkles til samme vektor, i svart. Legg merke til at i fysikk simulerer vektorene i rødt nedbrytningen av krefter som utøves av den svarte vektoren ved opprinnelsen, og er representert av et parallellogram . 2) Å si at u +( v + w )=( u + v )+ w , er å kreve at forenklinger av vektorsummer kan være valgfrie i enhver kjede av summer. 3) Å si at det er en nullvektor ( nøytralt element ) slik at u + 0= u , er ekvivalent med å kreve at det er en vektor som ikke er i stand til å utføre, gjennom addisjon, noen modifikasjon til alle vektorene. 4) Å si at u +(- u )=0, er å kreve eksistensen av et motsatt element , - u , som når det legges til u forenkles til en nullvektor . Produkt ganger en skalar

Definisjonsproduktet ved en skalar produserer en annen vektor; det er som å endre endepunktet til vektoren u , alltid visuelt. $a\cdot u$

På den ene siden modifiserer representasjonen av produktet i tilfelle at kroppen til skalarene er visuelt lengden på vektorbildet, begge er alltid overlagret; på den annen side anses representasjonene i tilfellet at i tillegg til å endre lengden, også legge til rotasjoner , for å lette dem visuelt, sentrert på opprinnelsen til vektoren, disse modifikasjonene er litt mer uttrykksfulle, visuelt, men ikke enklere enn i det virkelige tilfellet: $K={\mathbb {R}}$ $K={\mathbb {C}}$

a) Å si at a ( bu )=( ab ) u , er å kreve at de kjedede produktene a ( b ( u )) kan forenkles som ett, c = ab , så forblir ( ab ) u som cu . b) Å si at skalar 1 eksisterer slik at 1 u = u , tilsvarer å si at det eksisterer en skalar som ikke er i stand til å utføre, ved hjelp av et produkt, noen modifikasjon av alle vektorene. c) Å si at a ( u + v )= au + av , er å kreve den distributive egenskapen med hensyn til vektoraddisjon . d) Å si at ( a + b ) u = au + bu , er å kreve den fordelende egenskapen med hensyn til skalarsummen.

For det virkelige tilfellet må rotasjonene til de foregående eksemplene elimineres.

Operasjoner med euklidiske vektorer

Vektortilføyelse

For å legge til to frie vektorer (vektor og vektor), velges to vektorer som representanter slik at det endelige endepunktet til den ene faller sammen med opprinnelsesendepunktet til den andre vektoren.

Addisjon av vektorer over samme punkt

Addisjon av vektorer er godt definert hvis begge vektorer tilhører samme vektorrom, i fysikk, slik at to vektorer kan legges til, må de brukes på samme punkt. Sammensetningen av krefter på et stivt legeme når påføringspunktene ikke sammenfaller fører til forestillingen om kraftmoment gitt to krefter med påføringspunkter, den resulterende kraften er definert som paret: [ referanse nødvendig ] $\scriptstyle {\mathbf {F}}_{1},{\mathbf {F}}_{2}$ $\scriptstyle {\mathrm {P}}_{1},{\mathrm {P}}_{2}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{1},{\mathbf {F}}_{1} )\boxplus ({\mathrm {P}}_{2},{\mathbf {F}}_{2})$

hvor er den generaliserte summen til vektorer brukt på forskjellige punkter. Anvendelsespunktet er skjæringspunktet mellom kreftenes handlingslinjer. Komponentene til den resulterende kraftvektoren er faktisk summen av vanlige komponenter av vektorer: $\boxplus$ $\scriptstyle {\mathrm {P}}_{R}$

$({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{R})=({\mathrm {P}}_{R},{\mathbf {F}}_{1} +{\mathbf {F}}_{2})$

Det resulterende momentet er kraftmomentet til settet av krefter rundt det beregnede punktet for den resulterende kraften.

Parallelogrammetode

Denne metoden lar deg bare legge til vektorer to og to. Den består i å grafisk ordne de to vektorene slik at opprinnelsen til begge faller sammen i et punkt, ved å tegne linjer parallelle med hver av vektorene, på slutten av den andre og like lange, og dermed danne et parallellogram (se graf). Vektoren som resulterer fra summen er diagonalen til parallellogrammet som starter fra den felles opprinnelsen til begge vektorene.

Trekantmetode eller polygonmetode

Den består av å grafisk ordne den ene vektoren etter den andre, på en ryddig måte: opprinnelsen til hver av vektorene vil falle sammen med slutten av den neste. Den resulterende vektoren er den hvis opprinnelse faller sammen med den til den første vektoren og ender på slutten av den siste.

Analysemetode for sum og forskjell av vektorer

Gitt to frie vektorer,

$\mathbf {a} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )$

$\mathbf {b} =(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

Resultatet av summen deres eller forskjellen deres uttrykkes i skjemaet

${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}=(a_{x}{\mathbf {i}}+a_{y}{\mathbf {j}}+a_{z}{\mathbf { k}})\pm (b_{x}{\mathbf {i}}+b_{y}{\mathbf {j}}+b_{z}{\mathbf {k}})$

og bestille komponentene,

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\pm b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}\pm b_{y})\mathbf {j } +(a_{z}\pm b_{z})\mathbf {k}$

Med matrisenotasjon ville det vært det

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\pm {\ begynne{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y }\pm b_{y}\\a_{z}\pm bz\\\end{bmatrix}}$

Å kjenne til modulene til to gitte vektorer, og , i tillegg til vinkelen mellom dem, er modulen til : ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf{b}}$ $\theta$ ${\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}$

$|{\mathbf {a}}\pm {\mathbf {b}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}\pm 2ab\cos \theta }}\leq {\sqrt {a 2 +b 2 +2ab\cos θ }}$

Avledningen av dette uttrykket kan finnes i avledning av addisjonsmodulen .

Produkt av en vektor og en skalar

Produktet av en vektor med en skalar er en annen vektor hvis modul er produktet av skalaren ganger modulen til vektoren, hvis retning er lik vektorens retning, og hvis retning er motsatt av denne hvis skalaren er negativ.

Med utgangspunkt i den grafiske representasjonen av vektoren, på samme linje i retningen tar vi så mange ganger modulen til vektoren som skalaren indikerer.

Enten de er en skalar og en vektor, er produktet av by representert og gjøres ved å multiplisere hver av komponentene i vektoren med skalaren; det er, $p\,$ ${\mathbf {a}}$ $p\,$ ${\mathbf {a}}$ $p\,{\mathbf {a}}$

$p\,{\mathbf {a}}=pa_{x}{\mathbf {i}}+pa_{y}{\mathbf {j}}+pa_{z}{\mathbf {k}}$

Med matrisenotasjon ville det vært det

$p\,\mathbf {a} =p\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{ bmatrix}p\,a_{x}\\p\,a_{y}\\p\,a_{z}\\\end{bmatrix}}$

Skalært produkt

Vektorprodukt

Vanlig derivat av en vektor

Gitt en vektor som er en funksjon av en uavhengig variabel

${\mathbf {a}}(t)=a_{x}(t){\mathbf {i}}+a_{y}(t){\mathbf {j}}+a_{z}(t){\ mathbf{k}}$

Vi beregner den ordinære deriverte av vektoren med hensyn til variabelen t , og beregner den deriverte av hver av dens komponenter som om de var skalarer:

${\frac {d}{dt}}{\mathbf {a}}(t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t){\mathbf {i}}+{\frac { d}{dt}}a_{y}(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}a_{z}(t){\mathbf {k}}$

tatt i betraktning at enhetsvektorene er konstante i størrelse og retning.

Med matrisenotasjon ville det vært det

${\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y} \\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}a_{x}\\{\frac {d}{dt}}a_{y }\\{\frac {d}{dt}}a_{z}\\\end{bmatrise}}$

La oss se et eksempel på utledning av en vektor, med utgangspunkt i en vektorfunksjon:

${\mathbf {r}}(t)=\sin(t){\mathbf {i}}+\cos(t){\mathbf {j}}+5t{\mathbf {k}}$

Denne funksjonen representerer en spiralformet kurve rundt z -aksen , med enhetsradius, som illustrert i figuren. Vi kan tenke oss at denne kurven er banen til en partikkel og funksjonen representerer posisjonsvektoren som funksjon av tiden t . Differensiering vil vi ha: ${\mathbf r}(t)\,$

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sin(t){\mathbf {i}}+{\frac {d} {dt}}\cos(t){\mathbf {j}}+{\frac {d}{dt}}5t{\mathbf {k}}$

Å realisere den deriverte:

${\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\ mathbf{k}}$

Den deriverte av posisjonsvektoren med hensyn til tid er hastigheten, så denne andre funksjonen bestemmer hastighetsvektoren til partikkelen som en funksjon av tid, vi kan skrive:

${\mathbf {v}}(t)=\cos(t){\mathbf {i}}-\sin(t){\mathbf {j}}+5{\mathbf {k}}$

Denne hastighetsvektoren er en tangentvektor til banen i punktet som partikkelen okkuperer i hvert øyeblikk. Fornuften er mot å øke verdiene av skalarverdier. [ 5 ] Hvis vi differensierte igjen, ville vi fått akselerasjonsvektoren.

Kovariant derivat av en vektor

Når i stedet for å bruke en "fast basis" i hele domenet til en vektor, brukes "bevegelige baser", som når kurvelinjede koordinater brukes, avhenger den totale variasjonen av en tidsavhengig vektor ikke bare av variasjonen av komponenter som i tilfellet med den ordinære deriverte, men også for variasjonen av orienteringen til basen. Den totale variasjonen kalles den kovariante deriverte :

${\frac {\delta }{\delta t}}\mathbf {a} (t)=\sumk}\left({\dot {a}}^{k}\mathbf {e} k}+a^{k}{\dot {\mathbf {e} }}_{k}\right)={\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)+\mathbf {a } (t)\ ganger {\boldsymbol {\omega }}(t)$

Når en fast base (kartesiske koordinater) brukes, faller den kovariante deriverte sammen med den ordinære deriverte. For eksempel, når man studerer bevegelsen til en partikkel fra en roterende ikke-treghet referanseramme, skyldes Coriolis- og sentripetalakselerasjonene faktorene de inneholder og andre mindre vanlige faktorer. ${\boldsymbol \omega }$

Vinkel mellom to vektorer

Vinkelen bestemmes av retningene til to vektorer og er gitt av: ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf{b}}$

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}$

Dekomponeringer av en vektor

Gitt en vektor og en referanseretning gitt av en enhetsvektor , kan den første vektoren brytes ned i en parallell komponent og en annen komponent vinkelrett på referanseretningen: ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {n}}$

${\mathbf {a}}={\mathbf {a}}_{\|}+{\mathbf {a}}_{\bot }=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {a} }){\mathbf {n}}+({\mathbf {n}}\ ganger {\mathbf {a}})\ ganger {\mathbf {n}}$

I fysikk brukes denne dekomponeringen i forskjellige sammenhenger som å dekomponere akselerasjon til en komponent parallelt med hastigheten og en annen komponent vinkelrett på den. Også den mekaniske spenningen i et punkt på et plan kan løses opp i en komponent normal på planet og en annen parallell.

Gitt et vektorfelt definert over et Lipschitz-domene , avgrenset , enkelt koblet og kvadratisk integrerbart , innrømmer det den såkalte Helmholtz-dekomponeringen som summen av et konservativt felt og et solenoidfelt : ${\mathbf {u}}({\mathbf {x}})$ ${\mathbf {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{3}$

${\mathbf {u}}={\mathbf {u}}_{C}+{\mathbf {u}}_{S}=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )+({\boldsymbol { \nabla }}\ ganger {\mathbf {A}})$

Vektorbasisskift

I matematikk er rotasjoner normbevarende lineære transformasjoner på vektorrom der en indre produktoperasjon er definert . Transformasjonsmatrisen har egenskapen til å være en enhetlig matrise , det vil si at den er ortogonal og dens determinant er 1. La den være en vektor uttrykt i et kartesisk koordinatsystem ( x, y, z ) med en tilhørende vektorbasis definert av versors ; det er, $\scriptstyle {\mathbf A}$ ${\mathcal {B}}$ $\left({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k}\,\right)$

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}$

Anta nå at vi roterer systemet med koordinatakser, og holder opprinnelsen fast, slik at vi får en ny ortogonal trihedron av akser ( x′, y′, z′ ), med en tilhørende vektorbasis definert av versors . Komponentene til vektoren i denne nye vektorbasisen vil være: ${\mathcal {B}}'$ $\left({\mathbf i}',{\mathbf j}',{\mathbf k}'\,\right)$ ${\mathbf A}\,$

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B }}'}$

Vektorbasisrotasjonsoperasjonen kan alltid uttrykkes som handlingen til en lineær operator (representert av en matrise) som virker på vektoren (ved å multiplisere vektoren):

$\mathbb {R} \,\mathbf {A}{\mathcal {B}}=\mathbf {A}{{\mathcal {B}}'}$

som er transformasjonsmatrisen for vektorbasisendring.

Eksempel

I det enkle tilfellet hvor spinnet har størrelsen rundt z - aksen , vil vi ha transformasjonen: $\theta\,$

$\mathbb {R} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Ved å bruke operatoren, det vil si ved å multiplisere matrisen med vektoren, får vi uttrykket til vektoren i den nye vektorbasisen: ${\mathbf A}\,$

${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_ {x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y} \\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}$

å være

A'_{x}=A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta \,

A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,

A'_{z}=A_{z}\,

komponentene til vektoren i det nye vektorgrunnlaget.

Vektorer i det generelle tilfellet

I matematikk er vektorromstrukturen definert , og hvert av elementene eller punktene i det rommet kalles en vektor . I mange tilfeller kan ikke vektorene representeres av retnings- og sensormodulen. For eksempel, i et komplekst vektorrom over de komplekse tallene er ikke begrepet modul automatisk definert. På samme måte, i et vektorrom med uendelig dimensjon , som tilfellet er med Hilbert-rom, er det ingen grafisk representasjon av vektorene som orienterte segmenter.

Fysiske krav til vektormengder

Ikke hver n -tuppel av funksjoner eller reelle tall utgjør en fysisk vektor. For at en n -tuppel skal representere en fysisk vektor, må de numeriske verdiene til komponentene målt av forskjellige observatører transformeres i henhold til visse faste forhold.

I Newtonsk mekanikk brukes ekte vektorer, noen ganger kalt polare vektorer, generelt sammen med pseudovektorer, kalt aksiale vektorer , som faktisk representerer Hodge-dualen av antisymmetriske tensorstørrelser. Vinkelmomentet , magnetfeltet og alle størrelsene hvis definisjon kryssproduktet griper inn i , er faktisk pseudovektorer eller aksiale vektorer .

I spesiell relativitetsteori utgjør bare firedimensjonale vektorer hvis målinger tatt av forskjellige observatører kan relateres ved en eller annen Lorentz-transformasjon , vektorstørrelser. Dermed må komponentene av to vektorstørrelser målt av to observatører og være relatert i henhold til følgende forhold: $ENTEN\,$ ${\bar {ELLER}}$

{\bar {V}}^{\beta }=\sum{\alpha =0}}^{3}\Lambda​​\alpha }^{\beta }\ V^{\alpha }

hvor er komponentene i matrisen som gir Lorentz-transformasjonen. Størrelser som vinkelmomentet , det elektriske feltet eller magnetfeltet er faktisk i relativitetsteorien ikke vektorstørrelser, men tensorstørrelser . $λ α } ^ {β }$

Se også

Notater

↑ Også kalt euklidisk vektor eller geometrisk vektor . [ referanse nødvendig ]

Referanser

^ "2". Fysikkkompendium . Redaksjonell San Marcos. 2018. ISBN 978-612-315-362-5 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ a b c Enrico Bompiani, Universidad Nacional del Litoral, red., Analytical Geometry , s. 14-15, ISBN 9789875084339 .
↑ a b Llopis, GÁlvez, Rubio, López (1998), Redaksjonell Tebar, red., Physics: theoretical-practical course of Physical fundamentals of engineering , s. 26-27,36,70,71,82, ISBN 9788473601870 , «(Jeg siterer noen eksempler) [fra side 26] [Andre størrelser] kalt vektoriell, hvor det ikke er nok å vite deres numeriske verdi, men det er også nødvendig å gi sin adresse og mening. [side 70] […] som er en vektor som generelt vil ha en annen retning enn r(t). [side 71] […] En konsekvens av definisjonen er at retningen til denne deriverte vektoren, dr/dt, er tangent til indikatorkurven, retningen er retningen til de økende verdiene til skalarparameteren t, og at modulen er: […] » .
↑ a b Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997), Ediciones de la Torre, red., Curriculum diversification program: vitenskapelig-teknologisk felt: 2. ESO-syklus , Quirón Didactic Project. Vitenskap og teknologi 102 (illustrert utgave), s. 200 202 216, ISBN 9788479601867 .
↑ a b Mitiguy, Paul, kapittel 2: Vectors and dyadics , s. note 1 på side 2 .
↑ «Euklidisk vektor» (på engelsk) . PlanetMath.org . Hentet 3. juni 2010 .
^ "Vektor" (på engelsk) . Math Academy Online . Hentet 3. juni 2010 .

Bibliografi

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Fysikkforelesninger (4 bind) . Monytex. ISBN 84-404-4290-4 , ISBN 84-398-9218-7 , ISBN 84-398-9219-5 , ISBN 84-604-4445-7 .
Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysikk (på engelsk) . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fysikk for forskere og ingeniører ( 6. utgave). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Tipler, Paul A. (2000). Fysikk for naturvitenskap og teknologi (2 bind) . Barcelona: Red. Jeg snudde. ISBN 84-291-4382-3 .

Eksterne lenker

Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om vektor .
Weisstein, Eric W. «vektor» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .