Vinkel

I geometri kan vinkelen defineres som den delen av planet som bestemmes av to stråler kalt sider som har samme opprinnelsespunkt kalt toppunktet til vinkelen. Den mest brukte måleenheten for vinkler er seksagesimale grader eller ganske enkelt grader. [ 1 ]

Målingen av en vinkel betraktes som bredden av sirkelbuen sentrert ved toppunktet og avgrenset av sidene. Dens mål er et multiplum av forholdet mellom lengden på buen og radien. Dens naturlige enhet er radian , men seksagesimal grad eller centesimal grad kan også brukes .

De kan defineres på flate (plan trigonometri ) eller buede ( sfærisk trigonometri ) overflater. Den dihedriske vinkelen er rommet mellom to halvplan hvis felles opphav er en rett linje. En hel vinkel er den som dekkes av et objekt sett fra et gitt punkt, som måler dens tilsynelatende størrelse.

Vinkel brukes også til å angi målingen av en vinkel eller en rotasjon . Denne målingen er forholdet mellom lengden på en sirkelbue og dens radius . Ved en geometrisk vinkel er buen sentrert i toppunktet og avgrenset av sidene. I tilfelle av en rotasjon, er buen sentrert i midten av rotasjonen og avgrenset av et hvilket som helst annet punkt og bildet av rotasjonen.

Historie og etymologi

Ordet vinkel kommer fra det latinske angŭlus , som betyr 'hjørne'. Den er knyttet til den proto- indo -europeiske roten *ank- , som betyr 'å bøye' eller 'å lene seg'. [ 2 ]

Euklid definerer en planvinkel som den gjensidige helningen, i et plan, av to linjer som møtes og ikke er linjer til hverandre. I følge Proclus må en vinkling være en kvalitet eller en mengde, eller et forhold. Det første konseptet ble brukt av Eudemus , som anså en vinkel for å være et avvik fra en rett linje ; den andre av Carpus fra Antiokia , som betraktet det som intervallet eller mellomrommet mellom kryssende linjer; Euklid tok i bruk det tredje konseptet. [ 3 ] [ 4 ]

Definisjon og egenskaper

Det er i hovedsak to måter å definere en vinkel i planet på :

Geometrisk form: Amplituden mellom to linjer av enhver type som møtes i et felles punkt kalt toppunktet kalles en "vinkel" . I daglig tale er vinkel figuren dannet av to linjer med felles opphav. Vinkelen mellom to kurver er vinkelen mellom deres tangentlinjer i skjæringspunktet.
Trigonometrisk form: Det er amplituden av rotasjon eller vridning som beskriver et rettlinjet segment rundt en av endene tatt som et toppunkt fra en startposisjon til en endelig posisjon. Hvis rotasjonen er venstrehendt (mot klokken), anses vinkelen som positiv. Hvis rotasjonen er med klokken (med klokken), anses vinkelen som negativ.

Klassiske definisjoner

Euklid definerer en vinkel som helningen mellom to linjer som møter hverandre i et plan og ikke er i en rett linje. I følge Proclus må en vinkling være en kvalitet eller en mengde, eller et forhold. Det første konseptet ble brukt av Eudemus av Rhodos , som beskrev en vinkel som et avvik fra en rett linje; den andre av Carpus fra Antiokia , som så det som intervallet eller rommet mellom kryssende linjer; Euklid tok i bruk et tredje konsept, selv om hans definisjoner av rette, spisse og stumpe vinkler er kvantitative.

Vinkelområde

Et vinkelområde kalles hver av de to delene der planet er delt med en vinkel. [ 5 ]

Amplitude av en vinkel

Målingen av en vinkel kalles amplituden til en vinkel. [ 5 ]

Amplitudeenheter

Enhetene som brukes til å måle vinklene til planet er:

Radian (offisielt brukt i International System of Units )

1{\text{ turn}}=2\pi \;\mathrm {rad}

sexagesimal grad

1{\text{ lap}}=360^{\circ }

Grad

1{\text{ lap}}=400^{\rm {g}}

Vinklene kan måles ved hjelp av verktøy som goniometer , kvadrant , sekstant , armbrøst, gradskive eller halvsirkel gradert, gradert, etc.

Positive og negative vinkler

Selv om definisjonen av et vinkelmål ikke støtter konseptet med en negativ vinkel, er det ofte nyttig å pålegge en konvensjon som lar positive og negative vinkelverdier representere orienteringer og/eller rotasjoner i motsatte retninger med hensyn til en eller annen referanse.

I et todimensjonalt kartesisk koordinatsystem er en vinkel typisk definert av de to sidene, med toppunktet i origo. Startsiden er på den positive x -aksen , mens den andre siden eller terminalsiden er definert av målet på startsiden i radianer, grader eller svinger. Med positive vinkler som representerer rotasjoner mot den positive y-aksen og negative vinkler som representerer rotasjoner mot den negative y -aksen . Når kartesiske koordinater er representert av standardposisjonen, definert av x -aksen til høyre og y-aksen opp , er positive rotasjoner mot klokken og negative rotasjoner med klokken.

I mange sammenhenger er en vinkel på -θ effektivt ekvivalent med en vinkel på "en hel omdreining minus θ". For eksempel er en orientering representert som -45° i praksis ekvivalent med en orientering representert som 360° -45° eller 315°. Selv om den endelige posisjonen er den samme, er en fysisk rotasjon (bevegelse) på -45° ikke det samme som en rotasjon på 315° (for eksempel vil rotasjonen til en person som holder en kost hviler på et støvete gulv etterlate visuelt forskjellige spor av feide områder på bakken).

I tredimensjonal geometri har "med klokken" og "mot klokken" ingen absolutt betydning, så retningen til positive og negative vinkler må defineres i forhold til en eller annen verdi.referanse, som vanligvis er en vektor som går gjennom toppunktet til vinkelen og er vinkelrett på planet der vinkelstrålene møtes.

I navigasjon måles overskrifter eller asimuter i forhold til nord. Etter konvensjon, sett ovenfra, er orienteringsvinklene positive med klokken, så en orientering på 45° tilsvarer en nordøstlig orientering. Negative overskrifter brukes ikke i navigasjon, så en nordvestlig orientering tilsvarer en kurs på 315°.

Typer vinkler

Vinklene, i henhold til deres amplitude, mottar disse valørene:

Fyr	Beskrivelse
null vinkel	Det er vinkelen som dannes av to sammenfallende rette linjer, derfor er åpningen null, det vil si 0°.
Spiss vinkel	Det er vinkelen som dannes av to stråler med amplitude større enn 0 rad og mindre enn rad. $\frac{\pi}{2}$ Det vil si større enn 0° og mindre enn 90° ( seksagesimale grader ), eller mindre enn 100 g ( centesimale grader ).
Rett vinkel	En rett vinkel har amplitude lik rad . $\frac{\pi}{2}$ Det tilsvarer 90° sexagesimal (eller 100 g centesimal ). De to sidene av en rett vinkel er vinkelrett på hverandre. Den ortogonale projeksjonen av hverandre på hverandre er et punkt som sammenfaller med toppunktet.
Stump vinkel	En stump vinkel er en hvis amplitude er større enn rad og mindre enn rad. $\frac{\pi}{2}$ $\pi \,$ Større enn 90° og mindre enn 180° sexagesimal (eller mer enn 100 g og mindre enn 200 g centesimal ).
flat vinkel	Den rette vinkelen har en amplitude på rad . $\pi \,$ Tilsvarer 180° sexagesimal (eller 200 g centesimal ).
skrå vinkel	En vinkel som verken er en rett vinkel eller et multiplum av en rett vinkel. Akutte og stumpe vinkler er skrå vinkler.
Full vinkel eller perigonal	En komplett eller perigonal vinkel har en amplitude på rad. $2\pi \,$ Tilsvarer 360° sexagesimal (eller 400 g centesimal ).

Koterminale vinkler

Vinkler som har samme sluttside kalles dette. De kan være i rotasjon mot gitt vinkel eller med en rotasjon større enn 360°.

Konvekse og konkave vinkler

I et plan bestemmer to stråler (verken sammenfallende eller på linje) med felles opprinnelse alltid to vinkler, en konveks (den med minst amplitude) og den andre konkav (den med størst amplitude): [ 1 ]

Fyr	Beskrivelse
konveks eller fremtredende vinkel	Det er den som måler mindre enn rad. $\pi \,$ Tilsvarer mer enn 0° og mindre enn 180° sexagesimal (eller mer enn 0 g og mindre enn 200 g centesimal ).
Konkav vinkel, refleksjon eller utsparing	Det er den som måler mer enn rad og mindre enn rad. $\pi \,$ $2\pi \,$ Det vil si mer enn 180° og mindre enn 360° sexagesimal (eller mer enn 200 g og mindre enn 400 g centesimal ).

Relaterte vinkler

Valør i forhold til sin stilling:

Påfølgende vinkler er de som deler en side og et toppunkt.
Tilstøtende vinkler er de som har en felles toppunkt og side, og de andre sidene er motsatte stråler, men har ikke noe felles indre punkt, og summerer seg til 180°.
Vertikale vinkler er vinkler hvis sider er motsatte stråler fra hverandres sider.

Valør basert på summen av dens amplitude:

Kongruente vinkler er de som har samme amplitude, det vil si at de måler det samme.
Komplementære vinkler er de hvis summen av mål er π/2 radianer eller 90°.
Supplerende vinkler er de hvis summen av mål er π radianer eller 180°.
Konjugerte vinkler er de hvis mål summerer seg til 2π radianer eller 360°.

Når to linjer kuttes av en tredje, dannes følgende fjernrelasjoner: [ 6 ]

Alternative vinkler er de vinklene som er arrangert på en annen side av linjen som skjærer to andre, men som ikke deler en side.

?

o er alternativ til oa

\gamma

\beta '

\delta '

\beta

o er alternativ til oa

\delta

\alpha '

\gamma \,'

og vice versa.

De alternative innvendige vinklene er de vinklene som er inkludert mellom de to skjærelinjene, men plassert på en annen side av skjærelinjen.

\gamma

er intern alternativ til

\beta '

\delta

er intern alternativ til

\alpha '

Alternative ytre vinkler er de vinklene som ikke er inkludert mellom de to kryssende linjene, men plassert på en annen side av den kryssende linjen.

?

er ekstern alternativ til

\delta '

\beta

er ekstern alternativ til

\gamma \,'

De tilsvarende vinklene er de som er på samme side av tverrgående, en tilhører det indre området og en annen til det ytre området. De er kongruente når de kryssende linjene er parallelle.

Sammensatte vinkler

De er de som oppnås ved summen eller differansen av vinkler. I figuren er to sammenhengende sirkulære sektorer representert, hver med sin vinkel, betegnet henholdsvis α og β; foreningen av de to sektorene vil ha som vinkel sammensetningen, i dette tilfellet summen, α + β, av vinklene til sektorene vi forbinder.

De trigonometriske forholdene til de sammensatte vinklene er relatert til de for komponentvinklene ved formlene for trigonometriske forhold for sammensatte vinkler, se for eksempel Trigonometriske identiteter .

Vinkler til en polygon

Interne og eksterne vinkler

En vinkel som er en del av en enkel polygon kalles en indre vinkel hvis den er innenfor den enkle polygonen, dannet av tilstøtende sider. En enkel konkav polygon har minst én indre vinkel som er en refleksvinkel. I euklidisk geometri summeres målene for de indre vinklene til en trekant til π radianer, 180° eller 1/2 omdreining; målene for de indre vinklene til en enkel konveks firkant summerer seg til 2π radianer, 360° eller 1 omdreining. Generelt sett summerer de indre vinkelmålene til en enkel konveks polygon med n sider opp til (n - 2)π radianer, eller ( n - 2) 180 grader, ( n - 2) 2 rette vinkler, eller ( n - 2) 1/2 omgang.

Supplementet til en indre vinkel kalles en ytre vinkel (dannet av den ene siden og forlengelsen av den tilstøtende siden), det vil si at en indre vinkel og en ytre vinkel danner et lineært par vinkler. Det er to ytre vinkler ved hvert toppunkt av polygonet, hver bestemt ved å forlenge en av de to sidene av polygonet som møtes ved toppunktet; disse to vinklene er vertikale og derfor like. En ytre vinkel måler mengden rotasjon man må gjøre ved et toppunkt for å tegne polygonet. [ 7 ] Hvis den tilsvarende indre vinkelen er en refleksvinkel, må den ytre vinkelen anses som negativ. Selv i en ikke-enkel polygon kan det være mulig å definere den ytre vinkelen, men én orientering av planet (eller overflaten) må velges for å bestemme tegnet til det ytre vinkelmålet.
I euklidisk geometri vil summen av de ytre vinklene til en enkel konveks polygon, hvis bare én av de to ytre vinklene ved hvert toppunkt antas, være en hel omdreining (360°). Den ytre vinkelen her kalles "supplerende ytre vinkel." Utvendige vinkler brukes ofte i Logo Turtle -programmer når du tegner vanlige polygoner.
I en trekant er halveringslinjen til to ytre vinkler og halveringslinjen til den andre indre vinkelen samtidige (møtes i et enkelt punkt). [ 8 ]
I en trekant er tre skjæringspunkter, hver en utvendig vinkelhalveringslinje med motsatt forlenget side, kollineære. [ 8 ]
I en trekant er tre skjæringspunkter, to av dem mellom den ene indre vinkelhalveringslinjen og den motsatte siden, og den tredje mellom den andre ytre vinkelhalveringslinjen og den motsatte forlengede siden, kollineære. [ 8 ] : s. 149
Noen forfattere bruker navnet utvendig vinkel til en enkel polygon for ganske enkelt å referere til den ytre vinkelen til komplementet (ikke komplementet!) til den indre vinkelen. [ 9 ] Dette er i konflikt med tidligere bruk.

Vinkler i forhold til en omkrets

En vinkel, med hensyn til en omkrets , kan være:

Sentralvinkel , hvis den har toppunktet i midten av seg.

Amplituden til en sentral vinkel er lik den til buen den omfatter.

Innskrevet vinkel , hvis toppunktet er et punkt på sirkelen og sidene skjærer det i to punkter.

Amplituden til en innskrevet vinkel er halvparten av buen den spenner over. (Se: dyktig bue .)

Halvinnskrevet vinkel , hvis toppunktet er på den, skjærer den ene siden den og den andre er tangent, tangenspunktet er selve toppunktet.

Amplituden til en halvinnskrevet vinkel er halvparten av buen den omfatter.

Innvendig vinkel , hvis toppunktet er innenfor sirkelen.

Amplituden til en indre vinkel er halve summen av to mål: den til buen som sidene dekker pluss den til buen som dens forlengelser dekker.

Utvendig vinkel , hvis den har toppunktet på utsiden av den.

Amplituden til en ytre vinkel er halvparten av forskjellen av de to buene som dekker sidene på nevnte omkrets.

Vinkelreseksjon

Vinkeltriseksjon er et klassisk problem som går ut på å dele en gitt vinkel i tre like deler ved å bruke bare rette og kompass . Generelt er det umulig å løse med disse forholdene.

Tredimensjonale vinkler

Den dihedrale vinkelen er hver av de to delene av rommet avgrenset av to halvplan som starter fra en felles rett linje,
Hele vinkelen er området av plass avgrenset av en konisk overflate.

Tredimensjonale vinkelkoordinater

Euler-vinkler er tre vinkelkoordinater som indikerer orienteringen til et referansesystem med ortogonale akser, normalt bevegelige, i forhold til en fast.

Vinkler i vektorrom

Gitt et vektorrom , hvis felt er settet av reelle tall og hvor det er et skalarprodukt mellom vektorer , er vinkelen dannet av to ikke-null- vektorer e definert av uttrykket: Hvis forrige kvotient er 0, sies det at begge vektorene er ortogonale eller perpendikulære. Ovennevnte kvotient er i intervallet på grunn av Cauchy-Schwarz-ulikheten , som sikrer at arccosine alltid kan brukes. Normalt tas grenen til arccosinus slik at vinkelen mellom to vektorer alltid er i intervallet (geometrisk er den minste av vinklene mellom to vektorer valgt). Hovedegenskapene som vinkelen til to vektorer oppfyller er følgende: $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x$ $Y$
$\angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}},$
$(-1,1)$ $[0,\pi ]$

Hvis vi multipliserer en av vektorene med en positiv skalar, endres ikke vinkelen.
Hvis vi multipliserer en av vektorene med en negativ skalar, blir vinkelen den komplementære.
Cosinussetningen gjelder , det vil si gitt e ikke null, . $x$ $Y$
$\|xy\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\|x\|\cdot \|y\|\cdot \cos \angle(x,y)$

Vinkelgalleri


$0^{\circ }\,$	$15^{\circ }\,$	$30^{\circ }\,$	$45^{\circ }\,$	$60^{\circ }\,$	$75^{\circ }\,$

$90^{\circ }\,$	$105^{\circ }\,$	$120^{\circ }\,$	$135^{\circ }\,$	$150^{\circ }\,$	$165^{\circ }\,$

$180^{\circ }\,$	$195^{\circ }\,$	$210^{\circ }\,$	$225^{\circ }\,$	$240^{\circ }\,$	$255^{\circ }\,$

$270^{\circ }\,$	$285^{\circ }\,$	$300^{\circ }\,$	$315^{\circ }\,$	$330^{\circ }\,$	$345^{\circ }\,$

$360^{\circ }\,$

Vinkelmåling

Størrelsen på en geometrisk vinkel er vanligvis preget av størrelsen på den minste rotasjonen som kartlegger en av strålene på den andre. Vinkler som har samme størrelse sies å være like eller kongruente eller like store .

I noen sammenhenger, for eksempel å identifisere et punkt på en sirkel eller beskrive orienteringen til et todimensjonalt objekt i forhold til en referanseorientering, er vinkler som avviker med et eksakt multiplum av en hel sving i praksis ekvivalente. I andre sammenhenger, for eksempel å identifisere et punkt på en spiralkurve eller beskrive den kumulative rotasjonen av et todimensjonalt objekt rundt en referanseorientering, er vinkler som avviker med et multiplum som ikke er null av en hel omdreining, ikke ekvivalenter.

For å måle en vinkel θ , tegnes en bue sentrert ved vinkelens toppunkt , for eksempel med et kompass . Forholdet mellom lengden s av buen og radiusen r av sirkelen er antall radianer i vinkelen. Konvensjonelt, i matematikk og i SI , blir radianen behandlet som om den var lik den dimensjonsløse verdien 1.

Vinkelen uttrykt i en annen vinkelenhet kan da oppnås ved å multiplisere vinkelen med en passende konverteringskonstant av formenk/2π $_$ , der k er målet for en hel sving uttrykt i den valgte enheten (for eksempel k = 360° for grader eller 400 grad for grader ):

\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.

Verdien av $θ$ som er definert på denne måten er uavhengig av størrelsen på sirkelen: hvis lengden på radien endres, endres lengden på buen i samme proporsjon, slik at forholdet s / r ikke endres. [ NB 1 ]

Vinkeladdisjonspostulat

Angle Addition Postulatet sier at hvis B er i det indre av vinkel AOC, da

m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}

Mål på vinkel AOC er summen av mål på vinkel AOB og mål på vinkel BOC.

Enheter

Enhetene som brukes til å representere vinkler er oppført nedenfor i synkende størrelsesorden. Av disse enhetene er graden og radianen de klart mest brukte. Vinkler uttrykt i radianer er dimensjonsløse for dimensjonsanalyse .

De fleste enheter for vinkelmål er definert slik at en omdreining (det vil si en hel sirkel) er lik n enheter, for et heltall n . De to unntakene er radianen (og dens desimalsubmultipler) og diameterdelen.

Vri ( n = 1) Spinn , også syklus , full sirkel , omdreining og rotasjon , er fullstendig sirkulær bevegelse eller måling (som å returnere til samme punkt) med en sirkel eller ellipse. Symbolene som brukes og vrien er cyc , rev , eller rot , avhengig av applikasjonen. Kvadrant ( n = 4) Kvadrant er en14 vri, det vil si en rett vinkel . Det er enheten som brukes i Euklids elementer . 1 kvadrant = 90° =Πto rad =14vri = 100 grader. På tysk har symbolet ∟ blitt brukt for å betegne en kvadrant. Sekstant ( n = 6) Sekstanten ( vinkelen på den likesidede trekanten ) er16 sving. Det var enheten som ble brukt av babylonerne , [ 11 ] [ 12 ] og er spesielt enkel å konstruere med rette og kompass. Graden, bueminuttet og buesekunderet er sexagesimale underenheter av den babylonske enheten. 1 babylonsk enhet = 60° = Π/3 rad ≈ 1,047197551 rad. Radianer ( n = 2( Π ) = 6,283...) Radianen er vinkelen dekket av en sirkelbue som har samme lengde som sirkelens radius. Symbolet for radianen er rad . En sving er 2Π radianer, og en radian er180°Π, eller omtrent 57,2958 grader. I matematiske tekster blir vinkler ofte behandlet som dimensjonsløse med radian lik én, så enheten rad er ofte utelatt. Radianen brukes i praktisk talt alt matematisk arbeid utover enkel praktisk geometri, for eksempel på grunn av de fine og "naturlige" egenskapene som trigonometriske funksjoner viser når argumentene deres er i radianer. Radianen er den (avledede) enheten for vinkelmål i SI , som også behandler vinkelen som dimensjonsløs. Timevinkel ( n = 24) Den astronomiske timevinkelen er124 tilbake. Siden dette systemet er i stand til å måle objekter som har en daglig syklus (som den relative posisjonen til stjernene), kalles de sexagesimale underenhetene minutt av tid og sekund av tid . De er forskjellige fra og 15 ganger større enn minutter og buesekunder. 1 time = 15° =Π12 rad =16 kvadrat =124 runde = 16to3 grad. Kompasspunkter ( n = 32) Prikken , brukt i navigasjon , er132av en sving 1 poeng =18av en rett vinkel = 11,25° = 12,5 grader. Hver søm er delt inn i fire kvartsting, så 1 runde tilsvarer 128 kvartsting. Hexacounted ( n = 60) Heksatellingen er en enhet som Eratosthenes brukte og tilsvarer 6°, så en hel sving ble delt inn i 60 heksakeller. Bryster ( n =144–180) Pechus var en babylonsk enhet tilsvarende omtrent 2° eller 21to°. Binær grad ( n = 256) Den binære graden , også kjent som den binære radianen (eller brad ), er den1256av en sving [ 13 ] Den binære graden brukes i beregningen slik at en vinkel effektivt kan representeres i en enkelt byte (riktignok med begrenset presisjon). Andre vinkelmål som brukes i beregningen kan være basert på å dele en hel sving i 2n like deler for andre verdier av n . [ 14 ] Grad ( n = 360) Den seksagesimale graden eller ganske enkelt grad , angitt med en liten hevet sirkel (°), er 1/360 av en omdreining, så en omdreining er 360°. Gradtilfellet for formelen gitt ovenfor, en grad på n = 360° enheter oppnås ved å sette k =360°2Π. En fordel med denne gamle sexagesimale underenheten er at mange vanlige vinkler i enkel geometri måles som et helt antall grader. Brøker av en grad kan skrives med normal desimalnotasjon (for eksempel 3,5° for tre og en halv grad), men "minutt" og "sekund" seksagesimale underenheter av "grad-minutt-sekund"-systemet brukes også, spesielt for geografiske koordinater og innen astronomi og ballistikk . En del av diameteren ( n = 376,99...) Diameterdelen (brukes av og til i islamsk matematikk) er160av en radian. En del av diameteren er omtrent 0,95493°. Det er omtrent 376 991 deler i diameter per omdreining. Grad ( n = 400) Graden , også kalt grad , gradian , gon eller gonio , er1400av en sving, så en rett vinkel måler 100 grader. Det er en desimal underenhet av kvadrant. En kilometer ble historisk definert som lengden på buen som strekker seg med en hundredel av en grad langs en meridian på jorden. Dermed er kilometeren desimalanalogen til den sexagesimale nautiske milen. [ referanse nødvendig ] Graden brukes primært i triangulering og kontinental landmåling . milliradius Milliradianen (mrad, noen ganger tusen ) er definert som en tusendel av en radian, som betyr at en rotasjon på en omdreining består av 2000Π mrad (eller ca. 6283.185... mrad), og nesten alle sikter for skytevåpen er kalibrert med denne definisjonen. I tillegg er det tre andre avledede definisjoner brukt for artilleri og navigasjon som er omtrent lik en milliradius. Basert på disse tre andre definisjonene tilsvarer én omdreining nøyaktig 6000, 6300 eller 6400 mrad, som tilsvarer å spenne over området 0,05625 til 0,06 grader (3,375 til 3,6 minutter). Til sammenligning er den sanne milliradius 0,05729578... grader (3,43775... minutter). En " NATO mil" (en enhet brukt av Atlanterhavsalliansen innen kartografi og artilleri) er definert som16400av en sving Som med den sanne milliradianen, utnytter hver av de andre definisjonene den praktiske mil-egenskapen til subtensjoner, nemlig at verdien av en milliradian er omtrent lik vinkelen dekket av en bredde på 1 meter sett fra 1 km unna (2Π6400= 0,0009817... ≈11000). Arcminute ( n = 21 600) Bueminuttet (eller bueminutt , eller ganske enkelt minutt ) er160av en grad =121.600rotasjon. Det er betegnet med en enkelt primtall ( ′ ). For eksempel er 3° 30′ lik 3 × 60 + 30 = 210 minutter eller 3 + 3060= 3,5 grader. Et blandet format med desimalbrøker brukes også noen ganger, for eksempel 3° 5,72′ = 3 + 5,7260grader. En nautisk mil ble historisk definert som ett bueminutt langs en storsirkel av jorden. Buesekund ( n = 1 296 000) Buesekundet (eller andre av bue , eller ganske enkelt andre ) er160ett bueminutt og13600av en grad. Det er angitt med en dobbel primtall ( ″ ). For eksempel er 3° 7′ 30″ lik 3 +760+303600grader, eller 3125 grader. Milliarsekund ( n = 1 296 000 000) Spesielt blir millibuesekundet, forkortet mas , noen ganger brukt i astronomi. Mikrobuesekund ( n = 1 296 000 000 000) På samme måte brukes mikrobuesekundet, forkortet til µas , for høypresisjonsvinkelmålinger.

Se også

Notater

↑ Denne tilnærmingen krever imidlertid et ekstra bevis på at vinkelmålet ikke endres med endringen av radius $r$ , i tillegg til spørsmålet om "valgte måleenheter". En mykere tilnærming er å måle vinkelen med lengden av den tilsvarende enhetssirkelbuen. Her kan "enheten" velges til å være dimensjonsløs i den forstand at det er det reelle tallet 1 knyttet til enhetssegmentet på den reelle linjen. Se for eksempel Radoslav M. Dimitrić. [ 10 ]

Referanser

^ a b "Vinkler" . descartes.cnice.mec.es . Hentet 17. oktober 2010 .
^ Slocum, 2007
^ Chisholm, 1911
↑ Heiberg, 1908 , s. 177-178
↑ a b Royal Academy of Exact, Physical and Natural Sciences, red. (1999). Essential Dictionary of the Sciences . Spania. ISBN 84-239-7921-0 .
↑ Essential Dictionary of the Sciences . Reserve. ISBN 84-239-7921-0 .
↑ Henderson og Taimina, 2005 , s. 104.
^ abc Johnson , Roger A. Advanced Euclidean Geometry , Dover Publications, 2007.
↑ D. Zwillinger, red. (1995), CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , Boca Raton, FL: CRC Press, s. 270 . som sitert i Weisstein, Eric W. "Utenfor vinkel" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
^ Dimitrić, Radoslav M. (2012). "Om vinkler og vinkelmålinger" . Matematikkundervisningen XV (2): 133-140. Arkivert fra originalen 17. januar 2019 . Hentet 6. august 2019 .
↑ Jeans, James Hopwood (1947). Veksten av naturvitenskap . CUP-arkivet. s. 7 .
↑ Murnaghan, Francis Dominic (1946). Analytisk geometri . s. to.
^ "ooPIC programmeringsveiledning - Kapittel 15: URCP" . ooPIC Manual & Technical Specifications - ooPIC Compiler Ver 6.0 . Savage Innovations, LLC. 2007 (1. utg. 1997). Arkivert fra originalen 28. juni 2008 . Hentet 5. august 2019 .
↑ Hargreaves, Shawn . "Vinkler, heltall og modulo-aritmetikk" . blogs.msdn.com. Arkivert fra originalen 30. juni 2019 . Hentet 5. august 2019 .

Bibliografi

Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3. utgave), Pearson Prentice Hall, s. 104, ISBN 978-0-13-143748-7 .
Heiberg, Johan Ludvig (1908), Heath, T.L., red., Euclid , The Thirteen Books of Euclid's Elements 1 , Cambridge : Cambridge University Press ..
Mal:SpringerEOM
Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , W.H. Freeman, s. 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0 .
Slocum, Jonathan (2007), Foreløpig indoeuropeisk leksikon—Pokorny PIE-data , University of Texas forskningsavdeling: lingvistikkforskningssenter , åpnet 2010-02-02 .
Shute, William G.; Shirk, William W.; Porter, George F. (1960), Plane and Solid Geometry , American Book Company, s. 25-27 .
Wong, Tak-wah; Wong, Ming-sim (2009), "Angles in Intersecting and Parallel Lines", New Century Mathematics , 1B (1 utgave), Hong Kong: Oxford University Press, s. 161-163, ISBN 978-0-19-800177-5 .

Denne artikkelen inneholder tekst fra en publikasjon uten kjente opphavsrettsbegrensninger : Various Authors (1910-1911). « Vinkel ». I Chisholm, Hugh, red. Encyclopædia Britannica . A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General Information ( 11. utgave) . Encyclopædia Britannica, Inc.; for øyeblikket i det offentlige domene .

Eksterne lenker

Wikimedia Commons har en mediekategori på Angles .
Weisstein, Eric W. «Vinkel» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .