Egenvektor, verdi og plass

I lineær algebra er egenvektorene , egenvektorene eller egenvektorene til en lineær operator de ikke-nullvektorene som, når de transformeres av operatoren, gir opphav til et skalært multiplum av seg selv, og dermed ikke endrer retning. Denne skalaren kalles egenverdien , egenverdien eller karakteristisk verdi . Ofte er en transformasjon fullstendig bestemt av dens egenvektorer og egenverdier. Et egenrom , egenrom eller fundamental delrom assosiert med egenverdien er settet med egenvektorer med en felles egenverdi. $\lambda$ $\lambda$

Etymologi

Det tyske ordet eigen ( /'aj γen / ) , [ 1 ] som oversettes til engelsk som riktig , ble først brukt i denne sammenhengen av David Hilbert i 1904 (selv om Helmholtz tidligere brukte det med en lignende betydning). Eigen har også blitt oversatt som iboende , karakteristisk eller prefikset auto- , og understreker viktigheten av egenverdier for å definere den unike naturen til en gitt lineær transformasjon. Navnene karakteristisk vektor og verdi er også ofte brukt. Bruken av prefikset auto- er et unikt tilfelle som bare forekommer på spansk, portugisisk og italiensk. På andre språk med mer tradisjon i matematikk (tysk, nederlandsk, engelsk, fransk, russisk, etc.) ser det ut til at ingen har oversatt egen- (egen, tilhørende, osv.) med auto- (som ikke har noe å gjøre med etymologi eller betydningen av prefikset eigen).

Introduksjon

Lineære transformasjoner av rom – for eksempel rotasjon , refleksjon , strekking eller en hvilken som helst kombinasjon av de ovennevnte; Andre transformasjoner kan inkluderes i denne listen - de kan tolkes av deres effekt på vektorer . Vektorer kan visualiseres som piler av en viss lengde som peker i en bestemt retning og retning .

Egenvektorene til lineære transformasjoner er vektorer som enten ikke påvirkes av transformasjonen eller bare multipliseres med en skalar ; og derfor ikke endre retning. [ 2 ]
Egenverdien til en egenvektor er skalafaktoren som den er blitt multiplisert med.
Et egenrom er et rom som består av alle egenvektorer med samme egenverdi, pluss nullvektoren, som ikke er en egenvektor.
Den geometriske multiplisiteten til en egenverdi er dimensjonen til det tilhørende egenrommet.
Spekteret til en transformasjon på endelige vektorrom er settet av alle dens egenverdier.

For eksempel er en egenvektor til en rotasjon i tre dimensjoner en vektor plassert på rotasjonsaksen som rotasjonen utføres om. Den tilsvarende egenverdien er 1 og egenrommet er rotasjonsaksen. Siden det er et endimensjonalt rom, er dets geometriske mangfold ett. Det er den eneste egenverdien til spekteret (av denne rotasjonen) som er et reelt tall .

Definisjon

Formelt er egenvektorer og egenverdier definert som følger:

La være en lineær operator på et visst -vektorrom og en ikke-nullvektor på . Hvis det er en skalar slik at $\mathbf {A} :V\to V$ $\scriptstyle {\mathbb {K}}$ $v$ ${\mathbf {v}}$ $v$ $c$

$\mathbf {A} \mathbf {v} =c\mathbf {v} ,\qquad \mathbf {v} \neq \mathbf {0} ,\;c\in \mathbb {K}$

da sier vi at det er en egenvektor til operatoren A , og den tilhørende egenverdien er . Merk at hvis er en egenvektor med egenverdien , så er ethvert ikke-null multiplum av også en egenvektor med egenverdien . Faktisk danner alle egenvektorer med tilhørende egenverdi sammen med 0 , et underrom av V , "egenrommet" for egenverdien . Merk også at et egenrom er et invariant delrom av , det vil si at gitt en vektor i , tilhører vektoren også . ${\mathbf {v}}$ $c$ ${\mathbf {v}}$ $c$ ${\mathbf {v}}$ $c$ $c$ $c$ $\mathbf {Z}$ ${\mathbf {A}}$ $\mathbf {w}$ $\mathbf {Z}$ $\mathbf {Aw}$ $\mathbf {Z}$

Eksempler

Når jorden roterer, forblir vektorene på rotasjonsaksen invariante. Hvis den lineære transformasjonen som jorden gjennomgår etter en times rotasjon vurderes, ville en pil som startet fra midten av jorden til den geografiske sydpolen være en egenvektor for denne transformasjonen, men en pil som startet fra sentrum til et punkt på ekvator ville ikke være en egenvektor. Siden pilen som peker mot polen ikke endres i lengde ved rotasjon, er egenverdien 1.

Et annet eksempel vil være en metallplate som ekspanderer jevnt fra et punkt på en slik måte at avstandene fra et hvilket som helst punkt til det faste punktet dobles. Denne utvidelsen er en transformasjon med egenverdi 2. Hver vektor fra det faste punktet til et hvilket som helst annet er en egenvektor, og egenrommet er settet av alle slike vektorer.

Tredimensjonalt geometrisk rom er imidlertid ikke det eneste vektorrommet. Tenk for eksempel på en streng som holdes i endene, for eksempel på et strenginstrument (vist til høyre). Avstanden til atomene i den vibrerende strengen fra deres posisjoner når strengen er i ro kan tolkes som komponenter av en vektor i rommet med like mange dimensjoner som det er atomer på strengen.

Hvis strengen antas å være et kontinuerlig medium og transformasjonen av strengen over tid vurderes, er dens egenvektorer eller egenfunksjoner dens stående bølger - som, gjennom intervensjon av luften rundt, kan tolkes som et resultat av å spille en gitar . Stående bølger tilsvarer bestemte svingninger i strengen slik at formen på strengen skaleres med en faktor (egenverdien) over tid. Hver komponent av vektoren assosiert med strengen multipliseres med denne tidsavhengige faktoren. Amplitudene (egenverdiene) til stående bølger avtar med tiden hvis dempning vurderes. I dette tilfellet kan en levetid assosieres med egenvektoren, og begrepet egenvektor kan relateres til begrepet resonans .

Saker av spesiell interesse

Intuitivt, for lineære transformasjoner av todimensjonalt rom , er egenvektorene: $? {R} 2$

rotasjon: ingen egenvektor av reelle verdier (det er i stedet komplekse egenverdier, egenvektorpar).

refleksjon: egenvektorene er vinkelrette og parallelle med symmetriaksen, egenverdiene er henholdsvis -1 og 1.

uniform skalering: alle vektorer er egenvektorer, og egenverdien er skaleringsfaktoren.

projeksjon på en linje: egenvektorer med egenverdi 1 er parallelle med linjen, egenvektorer med egenverdi 0 er vinkelrett på projeksjonsretningen

Egenverdiligning

Matematisk er v λ en egenvektor og λ den tilsvarende egenverdien til en transformasjon T hvis den tilfredsstiller ligningen :

$T({\mathbf {v}}_{\lambda })=\lambda \,{\mathbf {v}}_{\lambda }$

hvor T ( v λ ) er vektoren oppnådd ved å bruke transformasjonen T til v λ .

Anta at T er en lineær transformasjon (som betyr for alle skalarer a , b , og vektorer v , w ). Vurder et grunnlag på det vektorrommet. Da kan T og v λ representeres i forhold til dette grunnlaget med en matrise AT og en kolonnevektor v λ — en endimensjonal vertikal vektor. Egenverdiligningen i denne matriserepresentasjonen er representert som følger: $T(a{\mathbf {v}}+b{\mathbf {w}})=aT({\mathbf {v}})+bT({\mathbf {w}})$

$\mathbf {A}T}\,\mathbf {v}{\lambda }=\lambda \,\mathbf {v}{\lambda }$

der sammenstillingen er et matriseprodukt . Siden transformasjonen T og dens matrisepresentasjon A T i dette tilfellet er ekvivalente, kan vi ofte bruke bare T for matrisepresentasjonen og transformasjonen. Dette tilsvarer et sett med n lineære kombinasjoner, hvor n er antall basisvektorer. I denne ligningen er både egenverdien λ og n - komponentene til v λ ukjente. Noen ganger er det imidlertid unaturlig eller til og med umulig å skrive egenverdiligningen i matriseform. Dette skjer for eksempel når vektorrommet er uendelig dimensjonalt, slik som i tilfellet med strengen vist ovenfor. Avhengig av arten av transformasjonen T og rommet den brukes på, kan det være fordelaktig å representere egenverdiligningen som et sett med differensialligninger , hvor egenvektorene ofte kalles egenfunksjoner til differensialoperatoren som representerer T . For eksempel er selve differensieringen en lineær transformasjon, siden (hvis f ( t ) og g ( t ) er differensierbare funksjoner og a og b er konstanter )

\displaystyle {\frac {d}{dt}}(af+bg)=a{\frac {df}{dt}}+b{\frac {dg}{dt}}

Vurder differensieringen med hensyn til . Egenfunksjonene deres h ( t ) følger egenverdiligningen: $du$

\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\lambda h

hvor λ er egenverdien knyttet til funksjonen. En funksjon over tid er konstant hvis , øker proporsjonalt med seg selv hvis den er positiv, og avtar proporsjonalt med seg selv hvis den er negativ. For eksempel gyter en ideell populasjon av kaniner oftere ettersom det er flere kaniner, og tilfredsstiller dermed ligningen for positiv lambda. $\lambda =0$ $\lambda$ $\lambda$

Løsningen til egenverdiligningen er , eksponentialfunksjonen ; siden den funksjonen er en egenfunksjon til differensialoperatoren d/dt med egenverdien λ . Hvis λ er negativ , kalles utviklingen av g eksponentielt forfall ; hvis den er positiv kalles den eksponentiell vekst . Verdien av λ kan være et hvilket som helst komplekst tall . d/dt - spekteret er da det komplekse planet i sin helhet. I dette eksemplet er vektorrommet som d/dt virker på rommet til funksjonene som kan utledes fra en variabel . Dette rommet har uendelig dimensjon (fordi det ikke er mulig å uttrykke hver differensierbar funksjon som en lineær kombinasjon av et endelig antall basisfunksjoner ). Egenrommet assosiert med en gitt egenverdi λ er imidlertid endimensjonalt. Det er settet av alle funksjoner , der A er en vilkårlig konstant, startpopulasjonen ved t=0 . $g(t)=\exp(\lambda t)$ $g(t)=A\exp(\lambda t)$

Spektralteorem

Spektralteoremet viser viktigheten av egenverdier og egenvektorer for å karakterisere en lineær transformasjon unikt. I sin enkleste versjon sier spektralsetningen at under gitte forhold kan en lineær transformasjon uttrykkes som den lineære kombinasjonen av egenvektorene med koeffisienter lik egenverdiene ganger prikkproduktet til egenvektorene ganger vektoren som transformasjonen til brukes, som kan skrives som:

{\mathcal {T}}({\mathbf {v}})=\lambda 1}({\mathbf {v}}_{1}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v }} _{1}+\lambda 2}({\mathbf {v}}_{2}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v}}_{2}+\dots

hvor og representerer egenvektorene og egenverdiene til . Det enkleste tilfellet der teoremet gjelder er når den lineære transformasjonen er gitt av en reell symmetrisk matrise eller en kompleks hermitisk matrise . ${\mathbf {v}}_{1},{\mathbf {v}}_{2},\dots$ $?1,?2,?$ ${\mathcal {T}}$

Hvis den n-te potensen til en transformasjon er definert som resultatet av å bruke den n påfølgende ganger, kan polynomet til transformasjonene også defineres . En mer generell versjon av teoremet er at ethvert polynom P av er lik: ${\mathcal {T}}$

P({\mathcal {T}})({\mathbf {v}})=P(\lambda 1})({\mathbf {v}}_{1}\cdot {\mathbf {v}} ){ \mathbf {v}}_{1}+P(\lambda 2})({\mathbf {v}}_{2}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v} }_{2 }+\prikker

Teoremet kan utvides til andre funksjoner eller transformasjoner som analytiske funksjoner , det mest generelle tilfellet er Borel-funksjoner .

Egenvektorer og egenverdier til matriser

Beregning av egenverdier og egenvektorer til matriser

Hvis du vil beregne egenverdiene til en gitt matrise og den er liten, kan du beregne den symbolsk ved å bruke det karakteristiske polynomet . Imidlertid er det ofte umulig for store matriser, i så fall må en numerisk metode brukes .

Symbolsk beregning Beregning av egenverdier

Et viktig verktøy for å finne egenverdier til kvadratiske matriser er det karakteristiske polynomet : å si at λ er en egenverdi av A tilsvarer å si at systemet med lineære ligninger A v = λ v → A v - λ v = 0 (faktorering med v forblir) ( A - λI ) v = 0 (hvor I er identitetsmatrisen ) har en løsning som ikke er null v (en egenvektor), og er dermed ekvivalent med determinanten :

\det(A-\lambda I)=0\!\

Funksjonen p ( λ ) = det( A - λI ) er et polynom av λ siden determinantene er definert som summer av produkter. Dette er det karakteristiske polynomet til A : egenverdiene til en matrise er nullene til dets karakteristiske polynom .

Alle egenverdier til en matrise A kan bli funnet ved å løse ligningen . $p_{A}(\lambda )=0$

Hvis A er en n × n matrise , så har den grad n og A har maksimalt n egenverdier. $p_{A}$

Den grunnleggende teoremet til algebra sier at denne ligningen har nøyaktig n røtter (nuller), tatt i betraktning dens mangfold . Alle reelle polynomer med oddetall har et reelt tall som rot, så for oddetall har hver reell matrise minst én reell egenverdi. Når det gjelder reelle matriser, for n partall og oddetall, er de ikke-reelle egenverdiene konjugerte par .

Beregning av egenvektorer

Når egenverdiene λ er kjent, kan egenvektorene finnes ved å løse det homogene ligningssystemet:

(A-\lambda I)v=0\!\

En enklere måte å oppnå egenvektorer uten å løse et system med lineære ligninger er basert på Cayley-Hamilton-teoremet som sier at hver kvadratmatrise tilfredsstiller sitt eget karakteristiske polynom. Så hvis de er egenverdiene til A , følger det at $?1,?2,...,?n$

(A-?1I)(A-?2I)...(A-?nI)=0\!\

så kolonnevektorene til er egenvektorer til . $(A-? 2 I)...(A- ? n I)$ $?1$

Eksempel på matrise uten reelle egenverdier

Et eksempel på en matrise uten reelle egenverdier er rotasjonen på 90 grader med klokken:

{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

hvis karakteristiske polynom er og dets egenverdier er paret av komplekse konjugater i , −i . De tilknyttede egenvektorene er heller ikke reelle. $\lambda 2}+1$

Eksempel

Vurder matrisen

A={\begin{bmatrix}\;0&1&-1\\\;1&1&\;0\\-1&0&\;1\end{bmatrix}}

som representerer en lineær operator R ³ → R ³. Hvis du vil beregne alle egenverdiene til A , kan du starte med å bestemme det karakteristiske polynomet:

p(x)=\det(A-xI)=\det {\begin{vmatrix}-x&1&-1\;\;\\\;\;1&1\!-\!x&0\\-1&0&1\!-\ !x\end{vmatrix}}

=-x^{3}+2x^{2}+x-2\

og fordi p ( x ) = - ( x - 2)( x - 1)( x + 1) ser vi at egenverdiene til A er 2, 1 og -1. Cayley -Hamilton-teoremet sier at hver kvadratisk matrise tilfredsstiller sitt eget karakteristiske polynom. Nemlig

(A-2I)(AI)(A+I)=0\!\

Faktisk, for tilfellet med egenverdi 2, kan det verifiseres at

(AI)(A+I)={\begin{bmatrix}\;-1&1&-1\\\;1&0&\;0\\-1&0&\;0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\; 1&1&-1\\\;1&2&\;0\\-1&0&\;2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;1&1&-1\\\;1&1&-1\\-1&-1&1\ slutt{bmatrix}}

hvor (1, 1, -1) er en egenvektor assosiert med 2.

A{\begin{bmatrix}\;1\\\;1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;2\\\;2\\-2\end{bmatrix}} =2{\begin{bmatrix}\;1\\\;1\\-1\end{bmatrix}}

Numerisk beregning

I praksis beregnes ikke egenverdiene til omfattende matriser ved å bruke det karakteristiske polynomet. Å beregne polynomet er svært kostbart, og å trekke ut de nøyaktige røttene til et høygradspolynom kan være vanskelig å beregne og uttrykke: Abel-Ruffini-teoremet innebærer at røttene til polynomer av høy grad (5 eller høyere) ikke kan uttrykkes bare ved å bruke nth røtter. Det finnes effektive algoritmer for å tilnærme røtter til polynomer, men små feil i estimeringen av egenverdiene kan føre til store feil i egenvektorene. Følgelig er generelle algoritmer for å finne egenvektorer og egenverdier iterative . Den enkleste måten er potensmetoden : en tilfeldig vektor velges og en sekvens av enhetsvektorer beregnes : $v$

{\frac {Av}{\|Av\|}}

, , ,...

{\frac {A^{2}v}{\|A^{2}v\|}}

{\frac {A^{3}v}{\|A^{3}v\|}}

Denne sekvensen vil nesten alltid konvergere til en egenvektor som tilsvarer den største egenverdien. Denne algoritmen er enkel, men ikke særlig nyttig isolert sett. Imidlertid er det mer populære metoder, for eksempel QR-dekomponering , som er basert på det.

Egenskaper

Algebraisk multiplisitet

Den algebraiske multiplisiteten til en egenverdi λ til A er størrelsesorden λ som null av det karakteristiske polynomet til A ; med andre ord, hvis λ er en av røttene til polynomet, er det antall faktorer ( t − λ) i det karakteristiske polynomet etter faktorisering . En n × n matrise , med komplekse oppføringer, har n egenverdier, regnet i henhold til dens algebraiske multiplisitet, siden dens karakteristiske polynom har grad n .

En egenverdi av algebraisk multiplisitet 1 kalles en "enkel egenverdi".

For eksempel kan utstillinger som følgende finnes i artikler om matriseteori :

"egenverdiene til en matrise A er 4,4,3,3,3,2,2,1,"

som betyr at den algebraiske multiplisiteten av 4 er to, den av 3 er tre, den av 2 er to, og den av 1 er en. Denne stilen brukes fordi algebraisk mangfold er nøkkelen til mange matematiske bevis i matriseteori.

Tidligere har den geometriske multiplisiteten til en egenverdi blitt definert som dimensjonen til det assosierte egenrommet, eller kjernen (egenrommet til egenvektorene til nullegenverdien) til λI - A . Algebraisk multiplisitet kan også forstås som en dimensjon: det er dimensjonen til det assosierte ( 1. sans) generaliserte egenrommet , som er kjernen til matrisen (λI - A ) k for tilstrekkelig stor k . Det vil si at det er rommet til generaliserte egenvektorer ( 1. sans), hvor en generalisert egenvektor er en hvilken som helst vektor som tar verdien 0 hvis λI - A brukes nok ganger etter hverandre. Enhver egenvektor er en generalisert egenvektor, så ethvert egenrom er inneholdt i det assosierte generaliserte egenrommet. Dette gir et enkelt bevis på at den geometriske multiplisiteten alltid er mindre enn eller lik den algebraiske. Den første betydningen må ikke forveksles med det generaliserte egenverdiproblemet som vist nedenfor.

For eksempel:

A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.

Den har bare én egenverdi λ = 1. Det karakteristiske polynomet er , så denne egenverdien har algebraisk multiplisitet 2. Det tilknyttede egenrommet er imidlertid aksen, vanligvis kalt x -aksen , spennet av enhetsvektoren , så den geometriske multiplisiteten er 1 . $(\lambda -1)^{2}$ ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

Generaliserte egenvektorer kan brukes til å beregne Jordans normalform av en matrise (diskutert nedenfor). Det faktum at Jordan-blokker generelt ikke er diagonale, men nilpotente er direkte relatert til skillet mellom egenvektorer og generaliserte egenvektorer.

Dekomponeringsteoremer for generelle matriser

Dekomponeringsteoremet er en versjon av spektralsetningen i en konkret klasse av matriser. Denne teoremet er vanligvis forklart i form av koordinattransformasjon. Hvis U er en inverterbar matrise , kan den sees på som en transformasjon fra ett koordinatsystem til et annet, der kolonnene til U er komponentene i det nye grunnlaget for vektorer uttrykt i form av det gamle grunnlaget. I dette nye systemet er koordinatene til vektoren representert ved , som kan fås gjennom relasjonen og på den annen side har vi . Suksessivt å anvende , og , til relasjonen gir med , representasjonen av A i det nye grunnlaget. I denne situasjonen sies matrisene A og å være like . $v$ $v'$ $v'=Uv$ $v=U^{{-1}}v'$ $v'=Uv$ $w'=Uw$ $U^{{-1}}U=I$ $Av=v$ $A'v'=w'$ $A'=WOW^{{-1}}$ $EN'$

Dekomponeringsteoremet erklærer at hvis n lineært uavhengige egenvektorer til A velges som kolonner , er den nye matrisen diagonal og dens elementer på diagonalen er egenverdiene til A. Hvis dette er mulig, er A en diagonaliserbar matrise . Et eksempel på en ikke-diagonaliserbar matrise er matrisen A som allerede er vist: $U^{{-1}}$ $A'=WOW^{{-1}}$

A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.

Det er mange generaliseringer av denne dekomponeringen som kan håndtere det ikke-diagonaliserbare tilfellet, designet for forskjellige formål:

Schur - dekomponeringen erklærer at hver matrise er ekvivalent med en trekantet matrise.
singular verdi dekomponering , der er diagonal med U og V enhetsmatriser, de diagonale elementene til er ikke-negative og kalles entallsverdier av A . Denne dekomponeringen kan også gjøres på ikke-kvadratiske matriser. $A=U\Sigma V^{*}$ $\Sigma$ $A=U\Sigma V^{*}$
Jordan normalform , hvor y ikke er diagonal, men blokkdiagonal. Antallet og størrelsen på Jordan-blokkene bestemmes av de geometriske og algebraiske multiplisitetene til egenverdiene. Jordan-nedbrytningen er et grunnleggende resultat. Fra det kan det umiddelbart utledes at en kvadratisk matrise er fullstendig beskrevet av dens egenverdier, inkludert multiplisiteten. Dette viser matematisk hvilken viktig rolle egenverdier spiller i studiet av matriser. $A=X\Lambda X^{{-1}}$ $\Lambda$
som en umiddelbar konsekvens av Jordan-dekomponeringen, kan enhver matrise A skrives unikt som A = S + N hvor S er diagonaliserbar, N er nilpotent (for eksempel slik at N q =0 for noen q ), og S tilfredsstiller kommutativet egenskapen til produktet ( SN=NS ).

Andre egenskaper ved egenverdier

Spekteret er invariant under lignende transformasjoner: matrisene A og P -1 AP har samme egenverdier for enhver matrise A og enhver inverterbar matrise P . Spekteret er også invariant for transposisjonen av matrisene: A og AT har samme egenverdier .

Siden en lineær transformasjon på endelig-dimensjonale rom er bijektiv hvis og bare hvis den er injektiv , er en matrise inverterbar hvis og bare hvis null ikke er en egenverdi til matrisen.

Andre konsekvenser av Jordan-nedbrytningen er:

en matrise er en diagonaliserbar matrise hvis og bare hvis de geometriske og algebraiske multiplisitetene sammenfaller for alle dens egenverdier. Spesielt er en n × n matrise som har n forskjellige egenverdier alltid diagonaliserbar;
Siden sporet , eller summen av elementer på hoveddiagonalen til en matrise, er bevart i enhetlig ekvivalens, finner Jordan normalform at den er lik summen av dens egenverdier.
Tilsvarende, siden egenverdiene til en trekantet matrise er oppføringene på hoveddiagonalen , er dens determinant lik produktet av egenverdiene (talt i henhold til deres algebraiske multiplisitet).

Noen eksempler på plasseringen av spekteret til visse underklasser av normale matriser er:

Alle egenverdier til en hermitisk matrise ( A = A * ) er reelle. Dessuten er alle egenverdier til en positiv bestemt matrise positive;
Alle egenverdier til en antihermitisk matrise ( A = − A * ) er rene imaginære;
Alle egenverdier til en enhetlig matrise ( A -1 = A * ) har absolutt verdi én;

Hvis A er en m × n matrise med m ≤ n , og B er en n × m matrise , så har BA de samme egenverdiene som AB pluss n − m nullegenverdier.

En vektornorm kan assosieres til hver matrise , som avhenger av normen til dens domene, normoperatoren til en kvadratisk matrise er en øvre grense for modulen til dens egenverdier, og derfor av dens spektrale radius . Denne regelen er direkte relatert til potensmetoden for å beregne egenverdien til den største modulen. For normale matriser er normoperatoren (den euklidiske normen ) den største modulen blant dens egenverdier.

Konjuger egenvektor

En konjugert egenvektor er en vektor som etter transformasjon blir et skalært multiplum av dets konjugate, hvor skalaren kalles den konjugerte egenverdien til den lineære transformasjonen. Egenvektorer og konjugerte egenverdier representerer i hovedsak den samme informasjonen og betydningen som egenvektorer og egenverdier, men vises når et alternativt koordinatsystem brukes. Den tilsvarende ligningen er:

Av=\lambda v^{*}.\,

For eksempel, i teorien om bortkommen elektromagnetisme, representerer den lineære transformasjonen A handlingen utført av spredningsobjektet, og egenvektorene representerer polarisasjonstilstandene til den elektromagnetiske bølgen . I optikk er koordinatsystemet definert fra bølgens synspunkt, og fører til en vanlig egenverdiligning, mens i radar er koordinatsystemet definert fra radarens synspunkt, og fører til en konjugert egenverdiligning. .

Generalisert egenverdiproblem

Et generalisert egenverdiproblem (2. sans) er av formen

Av=\lambda Bv\quad \quad

hvor A og B er matriser. De generaliserte egenverdiene (2. sans) λ kan oppnås ved å løse ligningen

\det(A-\lambda B)=0.\,

Settet med matriser av formen , hvor er et komplekst tall, kalles en blyant hvis B er inverterbar, så kan den opprinnelige oppgaven skrives i formen $A-\lambda B$ $\lambda$

B^{{-1}}Av=\lambda v\quad \quad

som er et standard egenverdiproblem. I de fleste situasjoner er det imidlertid å foretrekke å ikke invertere, og løse det generaliserte egenverdiproblemet med den opprinnelige konfigurasjonen.

Hvis A og B er symmetriske matriser med reelle oppføringer, så er egenverdiene reelle. Dette er like lett å se fra den andre ekvivalente formuleringen, siden matrisen ikke nødvendigvis er symmetrisk hvis A og B er det. $B^{{-1}}A$

Anvendelsen av molekylære orbitaler diskutert nedenfor gir et eksempel på dette tilfellet.

Billetter med én ring

I en kvadratisk matrise A med innganger til en ring kalles λ en høyre egenverdi hvis det finnes en kolonnevektor x slik at Ax =λ x , eller en venstre egenverdi hvis det finnes en radvektor som ikke er null og slik at yA = y λ.

Hvis ringen er kommutativ , er de venstre egenverdiene lik de høyre egenverdiene og kalles ganske enkelt egenverdier.

Uendelige dimensjonale rom

Hvis vektorrommet er uendelig dimensjonalt, kan forestillingen om egenverdier generaliseres til begrepet et spektrum . Spekteret er settet med skalarer λ som ikke er definert for, det vil si slik at det ikke har noen avgrenset invers. $\left(T-\lambda Id\right)^{{-1}}$ $T-\lambda Id$

Hvis λ er en egenverdi til T , er λ i spekteret til T. Generelt er det motsatte ikke sant. Det er operatorer på Hilbert- eller Banach- rom som ikke har egenvektorer. Ta for eksempel et bilateralt skifte i Hilbert-rom ; ingen potensiell egenvektor kan være kvadrat-summerbar, så ingen eksisterer. Imidlertid har enhver avgrenset lineær operator på et Banach-rom V et ikke-tomt spektrum . Spekteret til operatøren TV → V er definert som $\ell 2}({\mathbb {Z}})$ $σ(T)$

\sigma (T)=\{\lambda \in {\mathbb {C}}:(\lambda Id-T)\;

den er ikke inverterbar

\}.\;

Da er σ( T ) et kompakt sett med komplekse tall, og det er ikke tomt. Når T er en kompakt operator (og spesielt når T er en operator mellom finitt-dimensjonale rom som ovenfor), er spekteret til T lik settet med dens egenverdier.

I uendelig dimensjonale rom er spekteret til en avgrenset operator alltid ikke-tomt, noe som også gjelder for ubegrensede egenadjoint-operatorer. Gjennom dets spektrale mål kan spekteret til en hvilken som helst adjoint operator, avgrenset eller ikke, dekomponeres i dets absolutt kontinuerlige , diskrete og singulære deler . Eksponentiell vekst gir et eksempel på et kontinuerlig spektrum, som i vibrerende strengtilfelle ovenfor. Hydrogenatomet er et eksempel der begge typer spektrum vises. Den bundne tilstanden til hydrogenatomet tilsvarer den diskrete delen av spekteret, mens ioniseringsprosessen er beskrevet av den kontinuerlige delen.

Applikasjoner

Schrödinger-ligningen

Et eksempel på en egenverdiligning der transformasjonen er representert i form av en differensialoperator er den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen for kvantemekanikk : ${\mathcal {T}}$

$H\PsiE=E\PsiE\,$

Der H , Hamiltonianeren , er en andreordens differensialoperator og bølgefunksjonen , er en av egenfunksjonene som tilsvarer egenverdien E , tolket som energien . $?E$

Imidlertid, i tilfelle løsninger bare søkes for de bundne tilstandene til Schrödinger-ligningen, som ofte er tilfellet i kvantekjemi , vil rommet til kvadratintegrerbare funksjoner bli søkt . Siden dette rommet er et Hilbert-rom , med et veldefinert punktprodukt , kan vi introdusere et grunnlag der og H kan representeres som henholdsvis en endimensjonal vektor og en matrise. Dette lar oss representere Schrödinger-ligningen i matriseform. $?E$ $?E$

Bra-ket-notasjonen , ofte brukt i denne sammenhengen, understreker forskjellen mellom vektoren eller tilstanden og dens representasjon, funksjonen . I denne sammenhengen skriver vi Schrödinger-ligningen $|\PsiE}\område$ $?E$

H|\PsiE}\rangle =E|\PsiE}\rangle

og kalles en egentilstand av H (som noen ganger er representert som i noen lærebøker) som kan tolkes som en transformasjon i stedet for en spesiell representasjon når det gjelder differensialoperatorer. I den eksponerte ligningen tolkes den som vektoren oppnådd ved å bruke transformasjonen H til . $|\PsiE}\område$ ${\hat{H}}$ $H|\PsiE}\område$ $|\PsiE}\område$

molekylære orbitaler

I kvantemekanikk , og spesielt i atom- og molekylfysikk , og i sammenheng med Hartree-Fock-teori , kan atom- og molekylorbitaler defineres av egenvektorene til Fock-operatøren . De tilsvarende egenverdiene tolkes som ioniseringspotensialer gjennom Koopmans teorem . I dette tilfellet brukes begrepet egenvektor med en mer generell betydning, siden Fock-operatoren er eksplisitt avhengig av orbitalene og deres egenverdier. Hvis vi ønsker å understreke dette aspektet, snakker vi om den implisitte egenverdiligningen . Slike ligninger løses normalt ved en iterativ prosess, kalt egenkonsistent feltmetoden . I kvantekjemi er Hartree-Fock-ligningen ofte representert på en ikke- ortogonal basis . Denne spesielle representasjonen er et generalisert egenverdiproblem kalt Roothaan-ligninger .

Faktoriell analyse

I faktoranalyse tilsvarer egenverdiene til kovariansmatrisen faktorene, og egenverdiene til belastningene. Faktoranalyse er en statistisk teknikk som brukes innen samfunnsvitenskap og markedsføring , produktledelse , driftsforskning og andre anvendte vitenskaper som omhandler store datamengder. Målet er å forklare det meste av variabiliteten blant flere observerbare tilfeldige variabler i form av et mindre antall uobserverbare tilfeldige variabler kalt faktorer. Uobserverbare tilfeldige variabler er modellert som lineære kombinasjoner av faktorene pluss feilledd .

egne ansikter

Ved bildebehandling kan behandlede bilder av ansikter sees på som vektorer hvis komponenter er luminansen til hver piksel . Dimensjonen til dette vektorrommet er antall piksler. Egenvektorene til kovariansmatrisen assosiert med et stort sett med normaliserte bilder av ansikter kalles egenansikter . De er veldig nyttige for å uttrykke et bilde av et ansikt som den lineære kombinasjonen av andre. Egne ansikter gir et middel til å bruke datakomprimering på ansikter, for biometriske formål .

treghetstensor

I mekanikk definerer egenvektorene til treghetsmomentet hovedaksene til et stivt legeme . Treghetstensoren er nødvendig for å bestemme rotasjonen til et stivt legeme rundt massesenteret . Egenverdiene definerer maksimums- og minimumsmomentene oppnådd av Mohrs sirkel.

strekkstrammer

I deformerbar solid mekanikk er spenningstensoren symmetrisk, så den kan løses opp til en diagonal tensor hvis egenverdier på diagonalen og egenvektorene danner grunnlaget.

egenverdier til en graf

I spektralgrafteori er en egenverdi til en graf definert som en egenverdi av tilstøtende matrisen til grafen A , eller av den laplaciske matrisen til grafen , der T er en diagonal matrise som inneholder graden av hvert toppunkt, og i , 0 erstattes av . Hovedegenvektoren til en graf brukes til å måle sentraliteten til toppunktene. Et eksempel er Googles PageRank - algoritme . Hovedegenvektoren til en modifisert tilstøtende matrise til webgrafen gir siderangeringen i dens komponenter. $IT^{{-1/2}}AT^{{-1/2}}$ $T^{{-1/2}}$ $0^{{-1/2}}$

Se også

Referanser

^ "Automatisk fonetisk transkribering" .
↑ Siden ingen lineær transformasjon har noen effekt på nullvektoren, regnes den ikke som en egenvektor.
↑ Gorczyca, TW: "Auger Decay of the Photoexcited Inner Shell Rydberg Series in Neon, Chlorine and Argon". Abstracts of the 18th International Conference on X-ray and Inner-Shell Processes , Chicago, 23.-27. august (1999).

Bibliografi

Cohen-Tannoudji, Claude. Quantum Mechanics , Wiley (1977). ISBN 0-471-16432-1 . Kapittel II: "De matematiske verktøyene til kvantemekanikk".
De Burgos, Juan. Lineær algebra , Rediger. MacGraW-Hill (1993).
Fraleigh, John B. og Beauregard, Raymond A. Lineær algebra (3. utgave), Addison-Wesley Publishing Company (1995). ISBN 0-201-83999-7 (internasjonal utgave).
Horn, Roger A. og Johnson, Charles R. Matrix Analysis , Cambridge University Press (1985). ISBN 0-521-30586-1 .

Eksterne lenker

På engelsk

Weisstein, Eric W. «Eigenvector» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Tidligste kjente bruksområder for noen av ordene i matematikk: E - se egenvektor og relaterte termer
Online matrisekalkulator: Online kalkulator for egenverdier, egenvektorer og andre matrisedekomponeringer