Determinant (matematikk)

I matematikk er determinanten definert som en alternativ multilineær form på et vektorrom . Denne definisjonen indikerer en rekke matematiske egenskaper og generaliserer konseptet med determinanten til en matrise , noe som gjør den anvendelig på en rekke felt. Konseptet med determinant eller orientert volum ble introdusert for å studere antall løsninger av systemer med lineære ligninger .

Historie om determinanter

Bestemmere ble introdusert i Vesten fra 1500 -tallet , det vil si før matriser , som ikke dukket opp før på 1800 -tallet . Det var i Kina ( Jiuzhang Suanshu ) hvor en tabell med nuller ble brukt for første gang og en algoritme ble brukt som siden 1800 -tallet har vært kjent under navnet Gauss-Jordan Elimination . [ referanse nødvendig ]

Begrepet matrise ble laget av James Joseph Sylvester , og prøvde å antyde at det var "bestemmernes mor". [ referanse nødvendig ]

Noen av de største matematikerne på 1700- og 1800-tallet bidro til utviklingen av egenskaper til determinanter. De fleste historikere er enige om at teorien om determinanter oppsto med den tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Leibniz brukte determinanter i 1693 i forhold til systemer med simultane lineære ligninger. Det er imidlertid de som mener at den japanske matematikeren Seki Kowa gjorde det samme noen år tidligere. [ referanse nødvendig ]

De mest produktive bidragene til teorien om determinanter var de fra den franske matematikeren Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy skrev et 84-siders memoar som inneholder det første beviset på formelen i 1812 . [ referanse nødvendig ] $\det AB=\det A\det B$

Det er noen andre matematikere som fortjener å bli nevnt her. Utviklingen av en determinant av kofaktorer ble først brukt av den franske matematikeren Pierre-Simon Laplace (1749-1827). [ referanse nødvendig ]

En viktig bidragsyter til teorien om determinanter (med bare Cauchy foran ham) var den tyske matematikeren Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Det var hos ham ordet "determinant" fikk endelig aksept. Sylvester kalte senere denne determinanten Jacobian. [ referanse nødvendig ]

Første beregninger av determinanter

I sin opprinnelige forstand bestemmer determinanten det unike ved løsningen av et system med lineære ligninger. Det ble introdusert for tilfelle av orden 2 av Cardano i 1545 i hans arbeid Ars Magna som en regel for å løse systemer av to ligninger med to ukjente. Denne første formelen kalles modus regulerer .

Utseendet til bestemmere av høyere orden tok enda mer enn hundre år å komme frem. Interessant nok ga japaneren Kowa Seki og tyskeren Leibniz de første eksemplene nesten samtidig.

Leibniz studerte de forskjellige typene systemer av lineære ligninger. I mangel av matrisenotasjon representerte jeg koeffisientene til de ukjente med et par indekser: så jeg skrev ij for å representere . I 1678 ble han interessert i et system med tre ligninger med tre ukjente og oppnådde, for dette eksempelet, formelen for utvikling langs en kolonne. Samme år skrev han en bestemmer av orden 4, korrekt i alt bortsett fra tegnet. [ 1 ] Leibniz publiserte ikke dette verket, som så ut til å være glemt før resultatene ble uavhengig gjenoppdaget femti år senere. $a_{ij}$

I samme periode publiserte Kowa Seki et manuskript om bestemmere, der generelle formler som er vanskelige å tolke, finnes. Det ser ut til at det er gitt riktige formler for determinanter av orden 3 og 4, og igjen er fortegnene feil for determinanter av høyere størrelse. [ 2 ] Oppdagelsen ble stående uten fremtid på grunn av stengningen av Japan for omverdenen etter ordre fra shōgun , noe som gjenspeiles i utvisningen av jesuittene i 1638 .

Determinanter for alle dimensjoner

I 1748 , i en posthum avhandling om algebra av MacLaurin , vises regelen for å oppnå løsningen av et system med n lineære ligninger med n ukjente når n er 2, 3 eller 4, ved å bruke determinanter. [ 3 ] I 1750 gir Cramer regelen for den generelle saken, selv om han ikke gir noe bevis. Beregningsmetodene til determinantene er inntil da delikate fordi de er basert på forestillingen om signatur av en permutasjon . [ 4 ]

Matematikere blir kjent med dette nye objektet gjennom artiklene til Bézout i 1764, av Vandermonde i 1771 (som konkret gir beregningen av determinanten til den nåværende Vandermonde-matrisen ). I 1772 etablerte Laplace gjentakelsesreglene som bærer navnet hans. Året etter oppdager Lagrange forholdet mellom beregning av determinanter og volumer. [ 5 ]

Gauss brukte først begrepet "determinant" i Disquisitiones arithmeticae i 1801. Han brukte det for det vi nå kaller diskriminanten til en quadric , som er et spesielt tilfelle av en moderne determinant. Han var også nær ved å oppnå teoremet om determinanten til et produkt.

Fremveksten av den moderne forestillingen om bestemmer

Cauchy var den første som brukte begrepet bestemmer i sin moderne betydning. Han var ansvarlig for å lage en syntese av den tidligere kunnskapen og publiserte i 1812 formelen og beviset for determinanten til et produkt sammen med uttalelsen og beviset for Laplaces regel . [ 6 ] Samme år ga Binet et annet (feil) bevis for formelen for determinanten til et produkt. [ 6 ] Samtidig etablerer Cauchy grunnlaget for studiet av reduksjonen av endomorfismer .

I 1825 publiserte Heinrich F. Scherk nye egenskaper for determinanter. [ 6 ] Blant egenskapene som ble funnet var egenskapen at i en matrise der en rad er en lineær kombinasjon av flere andre rader i matrisen, er determinanten null.

Med publiseringen av sine tre avhandlinger om determinanter i 1841 i Crelles magasin , bringer Jacobi stor beryktethet til forestillingen. For første gang presenteres systematiske beregningsmetoder i en algoritmisk form. På samme måte muliggjør det evalueringen av determinanten av funksjoner med definisjonen av Jacobian , som er et stort fremskritt i abstraksjonen av begrepet determinant.

Matrisediagrammet er introdusert av verkene til Cayley og James Joseph Sylvester [ referanse nødvendig ] . Cayley er også oppfinneren av determinantnotasjonen ved hjelp av vertikale streker (1841 [ 6 ] ) og etablerer formelen for beregning av inversen til en matrise ved hjelp av determinanter (1858). [ 5 ]

Teorien forsterkes av studiet av determinanter som har spesielle symmetriegenskaper og ved introduksjonen av determinanten i nye felt av matematikk, slik som Wronskian når det gjelder lineære differensialligninger.

Beregningsmetoder

For beregning av determinanter av matriser av en hvilken som helst rekkefølge er det en rekursiv regel ( Laplaces teorem ) som reduserer beregningen til addisjoner og subtraksjoner av ulike determinanter av lavere orden. Denne prosessen kan gjentas så mange ganger som nødvendig til problemet er redusert til beregningen av flere ordensdeterminanter så små som ønsket. Når man vet at determinanten til en skalar er skalaren i seg selv, er det mulig å beregne determinanten til en hvilken som helst matrise ved å bruke teoremet.

I tillegg til denne regelen kan vi bruke en annen definisjon av determinant som kalles Leibniz-formelen for å beregne determinanter av matriser av hvilken som helst rekkefølge .

Leibniz sin formel for determinanten til en kvadratisk matrise A av orden n er:

$\det A=\sum{\sigma \in P_{n}}\operatørnavn {sgn}(\sigma )\prod{i=1}^{n}a_{i,\sigma{i }}$ ,

hvor summen er beregnet over alle permutasjoner σ av mengden {1,2,..., n }. Plasseringen av element i etter permutasjonen σ er betegnet som σ i . Settet med alle permutasjoner er . For hver σ er sgn(σ) signaturen til σ, det vil si +1 hvis permutasjonen er partall og −1 hvis den er oddetall (se Paritet av permutasjoner ). $P_{n}$

I noen av tilleggene, begrepet $n!$

\prod i=1}^{n}a_{i,\sigma i}}\

betegner produktet av oppføringene ved posisjon ( i , σ i ), der i går fra 1 til n :

a_{1,\sigma{1}}\cdot a_{2,\sigma{2}}\cdots a_{n,\sigma{n}}.\

Leibniz sin formel er nyttig som definisjon av determinant; men bortsett fra veldig små bestillinger er det ikke en praktisk måte å beregne det på: du må utføre n! produkter av n faktorer og legg til n! gjenstander. Den brukes vanligvis ikke til å beregne determinanten hvis matrisen har mer enn tre rader.

Matriser av lav orden

Tilfellet av matriser av lavere orden (rekkefølge 1, 2 eller 3) er veldig enkelt og dens determinant beregnes med enkle kjente regler. Nevnte regler kan også utledes fra Laplaces teorem.

En matrise av rekkefølge en er en triviell sak, men vi vil behandle den for å fullføre alle saker. En matrise av rekkefølge en kan behandles som en skalar, men her vil vi betrakte den som en kvadratisk matrise av rekkefølge en:

A=\left[{\begin{array}{c}a_{11}\end{array}}\right]

Verdien av determinanten er lik det eneste leddet i matrisen:

\det A=\det \left[{\begin{array}{c}a_{11}\end{array}}\right]=a_{11}

Determinanten for en matrise av orden 2:

A=\left[{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right]

beregnes med følgende formel:

|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12 }a_{21}

Gitt en matrise av orden 3:

A=\left[{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_ {32}&a_{33}\end{array}}\right]

Determinanten til en matrise av orden 3 beregnes ved å bruke Sarrus sin regel :

|A|=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31 }&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right|=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13} a_{21}a_{32})-(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{33}a_{21}a_{12})

Høyere ordens determinanter

Determinanten for orden n kan beregnes ved å bruke Laplaces teorem fra en rad eller kolonne, og reduserer problemet til beregningen av n determinanter av orden n-1. For å gjøre dette tas en hvilken som helst rad eller kolonne, og multipliserer hvert element med kofaktoren. Kofaktoren til et element i matrisen er determinanten for matrisen som oppnås ved å eliminere raden og kolonnen som tilsvarer elementet, og multiplisere den med (-1) i+j , hvor i er radnummeret og j antall kolonner. Summen av alle produktene til elementene i en hvilken som helst rad (eller kolonne) multiplisert med kofaktorene deres er lik determinanten. $a_{ij}$

Når det gjelder en determinant av orden 4, innhentes determinanter av orden 3 direkte og kan beregnes av Sarrus-regelen. På den annen side, i determinanter av høyere orden, slik som n = 5, når vi utvider elementene i en linje, vil vi få determinanter av orden 4, som igjen må utvides med samme metode for å få determinanter av orden 3 For å oppnå en determinant av orden 4 med den spesifiserte metoden, må for eksempel beregnes 4 determinanter av orden 3. siden de andre determinantene vil multipliseres med 0, som kansellerer dem).

Antall operasjoner øker veldig raskt. For eksempel, ved å bruke denne metoden, for en determinant av orden 10, må vi beregne 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604 800 determinanter av orden 3.

Gauss eliminasjonsmetoden kan også brukes til å konvertere matrisen til en trekantet matrise.

Numeriske metoder

For å redusere beregningskostnadene til determinantene og samtidig forbedre deres stabilitet mot avrundingsfeil, brukes Chios regel , som tillater bruk av matrisetrianguleringsmetoder, og reduserer dermed beregningen av determinanten til produktet av elementene i diagonalen til den resulterende matrisen. . Enhver metode som er kjent for å være numerisk stabil kan brukes for triangulering. Disse er vanligvis basert på bruk av ortonormale matriser, slik tilfellet er med Gauss metode eller bruk av Householder-refleksjoner eller Givens-rotasjoner .

Determinanter i uendelig dimensjon

Under visse forhold kan determinanten for lineære kart over et uendelig dimensjonalt Banach-vektorrom defineres. Spesielt i determinanten er definert for operatørene av klassen av determinant som kan fra operatørene av klassen spore . Et bemerkelsesverdig eksempel var Fredholms determinant, som han definerte i forbindelse med sin studie av integralligningen som bærer navnet hans:

( * ) $f(x)=\phi (x)+\int{0}^{1}K(x,y)\phi (y)\ dy$

Hvor:

f(x)\,

er en kjent funksjon

\phi (x)\,

er en ukjent funksjon

K(x,y)\,

er en velkjent funksjon kalt kjernen, som gir opphav til følgende finitt-trace kompakte lineære operator på Hilbert-rommet av kvadrat-integrerbare funksjoner i intervallet [0,1]:

{\hat {K}}:L^{2}[0.1]\to L^{2}[0.1],\quad ({\hat {K}}\phi )(x) =\int 0 ^ {1}K(x,y)\phi (y)\ dy

Ligningen ( * ) har en løsning hvis Fredholm-determinanten ikke forsvinner. Fredholm-determinanten generaliserer i dette tilfellet den endelig-dimensjonale determinanten og kan beregnes eksplisitt ved: $\det(I+{\hat {K}})$

$\det(I+{\hat {K}})=\sum{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\int{0}^{1} \dots \int 0 ^{1}\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq k}\ dx_{1}\dots dx_{k }$

Løsningen av ligningen ( * ) i seg selv kan skrives enkelt i form av determinanten når den ikke forsvinner.

Tidlige eksempler: områder og volumer

Beregningen av arealer og volumer i form av determinanter i euklidiske rom fremstår som spesielle tilfeller av en mer generell forestilling om determinant. Den store bokstaven D (Det) er noen ganger reservert for å skille dem.

Determinant for to vektorer i det euklidiske planet

La P være det euklidiske planet. Determinanten til vektorene X og X' oppnås med det analytiske uttrykket

\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'

eller tilsvarende ved det geometriske uttrykket

\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta

hvori er den orienterte vinkelen dannet av vektorene X og X' . $\theta$

Egenskaper

Den absolutte verdien av determinanten er lik arealet av parallellogrammet definert av X og X' ( det er faktisk høyden på parallellogrammet, så A = Base × Høyde). $X'\sin \theta$
Determinanten er null hvis og bare hvis de to vektorene er kollineære (parallellogrammet blir en linje).
Tegnet er strengt tatt positivt hvis og bare hvis målet på vinkelen (X, X ') er i ]0, [. $\pi$
Anvendelsen av determinanten er bilineær: lineariteten med hensyn til den første vektoren er skrevet

\det(aX+bY,X')=a\det(X,X')+b\det(Y,X')\;

og angående det andre

\det(X,aX'+bY')=a\det(X,X')+b\det(X,Y')\;

Figur 2, på planen, illustrerer et spesielt tilfelle av denne formelen. Representerer to tilstøtende parallellogrammer, ett definert av vektorene u og v (i grønt), og det andre av vektorene u' og v (i blått). Det er lett å se på dette eksemplet arealet av parallellogrammet definert av vektorene u+u' og v (i grått): det er lik summen av de to foregående parallellogrammene som arealet av en trekant til trekkes fra og arealet av en annen trekant. Begge trekantene samsvarer med oversettelse, og følgende formel er bekreftet Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).

Tegningen tilsvarer et spesielt tilfelle av bilinearitetsformelen siden orienteringene er valgt slik at områdene har samme fortegn, selv om det hjelper å forstå det geometriske innholdet.

Generalisering

Det er mulig å definere begrepet determinant i et orientert euklidisk plan med en direkte ortonormal basis B ved å bruke koordinatene til vektorene i dette grunnlaget. Beregningen av determinanten gir samme resultat uavhengig av den direkte ortonormale basen som er valgt for beregningen.

Determinant for tre vektorer i det euklidiske rom

La E være det orienterte euklidiske rommet av dimensjon 3. Determinanten til tre vektorer av E er gitt av

\det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}}=x{ \begin{vmatrix}y'&y''\\z'&z''\end{vmatrix}}-x'{\begin{vmatrix}y&y''\\z&z''\end{vmatrix}}+x'' {\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}}=xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''- X og Z.

Denne determinanten kalles det blandede produktet .

Egenskaper

Den absolutte verdien av determinanten er lik volumet av parallellepipedet definert av de tre vektorene.
Determinanten er null hvis og bare hvis de tre vektorene er i samme plan (parallelepiped "plan").
Det avgjørende kartet er trilineært: fremfor alt

\det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'')\,

En geometrisk illustrasjon av denne egenskapen er gitt i figur 3 med to tilstøtende parallellepipeder, det vil si med en felles side. Følgende likhet er da intuitiv:

\det(u+u',v,w)=\det(u,v,w)+\det(u',v,w)\,

Egenskaper

Determinanten til en matrise er en algebraisk invariant , noe som innebærer at gitt et lineært kart, vil alle matrisene som representerer den ha samme determinant. Det gjør det mulig å definere verdien av determinanten ikke bare for matriser, men også for lineære kart.
Determinanten til en matrise og dens transponering sammenfaller: $\det(A^{t})=\det(A)\,$

Et lineært kart mellom vektorrom er inverterbart hvis og bare hvis determinanten ikke er null. Derfor er en matrise med koeffisienter i et felt inverterbar hvis og bare hvis determinanten ikke er null.

Determinant for produktet

En grunnleggende egenskap til determinanten er dens multiplikative oppførsel mot produktet av matriser:

$\det \mathbf {AB} =\det \mathbf {A} \cdot \det \mathbf {B}$

Denne egenskapen er viktigere enn den ser ut til og er svært nyttig i beregningen av determinanter. Faktisk, la oss anta at vi ønsker å beregne determinanten til matrisen og at det er en hvilken som helst matrise med determinant en (det nøytrale elementet med hensyn til produktet av feltet). I dette tilfellet er det verifisert at: ${\mathbf {A}}$ $\mathbf {U}$

$\det \mathbf {A} =\det \mathbf {A} \cdot \det \mathbf {U} =\det \mathbf {AU}$

og analogt , $\det \mathbf {A} =\det \mathbf {UA}$

En lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom kan representeres av en matrise. Matrisen knyttet til sammensetningen av lineære kart mellom endelig-dimensjonale rom kan beregnes ved hjelp av produktet av matriser. Gitt to lineære kart og , gjelder følgende: $eller\,$ $w\,$

$\det(u\circ v)=\det(u)\cdot \det(v)$

Blokker arrays

La være matriser av størrelser henholdsvis. Deretter $A,B,C,D$ $n\ ganger n, n\ ganger m, m\ ganger n, m\ ganger m$

$\det \left[{\begin{array}{cc}A&0\\C&D\end{array}}\right]=\det \left[{\begin{array}{cc}A&B\\0&D\ end{array}}\right]=\det A\cdot \det D$ .

Dette kan sees fra Leibniz sin formel . Ved å bruke følgende identitet

\left[{\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}A&0\\C&I\end{array} }\right]\ ganger \left[{\begin{array}{cc}I&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{array}}\right]

vi ser at for en inverterbar matrise A er det det

\det \left[{\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right]=\det A\cdot \det(D-CA^{-1}B)

På samme måte kan en lignende identitet oppnås med factoring. [ 7 ] $\det D$

Hvis de er diagonale matriser, $d_{ij}$

\det \left|{\begin{array}{ccc}d_{11}&\ldots &d_{1c}\\\vdots &&\vdots \\d_{r1}&\ldots &d_{rc}\end {array}}\right|=\det \left|{\begin{array}{ccc}\det(d_{11})&\ldots &\det(d_{1c})\\\vdots &&\vdots \ \\det(d_{r1})&\ldots &\det(d_{rc})\end{array}}\right|.

[ 8 ]

Derivat av determinantfunksjonen

Bestemmelsesfunksjonen kan defineres på vektorrommet dannet av kvadratmatrisene av orden n . Nevnte vektorrom kan enkelt konverteres til et normert vektorrom ved hjelp av matrisenormen , takket være hvilken nevnte rom blir et metrisk og topologisk rom, hvor grenser kan defineres. Determinanten kan defineres som en morfisme fra algebraen til matriser til settet med elementer i feltet som matrisene er definert på:

$\det :M_{n\ ganger n}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K}$

Differensialen til den bestemmende funksjonen er gitt i form av den tilstøtende matrisen:

${\frac {\partial \det(\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {H} }}:=D(\det )|_{\mathbf {A} }(\mathbf {H } )=\lim\epsilon \to 0}{\frac {\det(\mathbf {A+\epsilon H} )-\det(\mathbf {A} )}{\epsilon }}={\mbox{ tr}}\left({\mbox{adj}}(\mathbf {A} )\ \mathbf {H} \right)$

Hvor:

{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )

er utvalget av vedlegg .

{\mbox{tr}}(\cdot )

, er sporet av matrisen.

Mindreårige i en matrise

I tillegg til determinanten til en kvadratisk matrise, gitt en matrise, kan andre størrelser defineres ved å bruke determinanter relatert til de algebraiske egenskapene til matrisen. Spesifikt, gitt en kvadratisk eller rektangulær matrise, kan de såkalte mindre determinantene av orden r defineres fra determinanten til kvadratiske submatriser til r x r av den opprinnelige matrisen. Gitt matrisen : $\mathbf {A} =[a_{ij}]$

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\ slutt{bmatrix}}$

Enhver mindreårig med rang r er definert som:

${\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&\dots &a_{i_{1}j_{r}}\\\dots &\dots &\dots \\a_{i_{ r}j_{1}}&\dots &a_{i_{r}j_{r}}\end{vmatrix}},\qquad {\begin{cases}1\leq i_{1}<i_{2}<\ prikker <i_{r}\leq n\\1\leq j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}\leq m\end{cases}}$

Det skal bemerkes at det generelt vil være et stort antall mindreårige av orden r , faktisk er antallet mindreårige av orden r av en m x n -matrise gitt av:

${\mbox{Min}}_{r}^{m\times n}={m \choose r}{n \choose r}$

En interessant egenskap er at rangeringen faller sammen med rekkefølgen til størst mulig ikke-null moll, som er beregning av mindreårige en av de mest brukte måtene å beregne rangeringen til en matrise eller et lineært kart.

Se også

Referanser

↑ E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980)
^ Y. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2. utg. Chelsea Pub. Company 1974)
↑ C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968)
↑ M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)
^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., " Matrices and determinants " , MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of Saint Andrews , http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Matrices_and_determinants.html , hentet 11. april , 2020 .
↑ abcd Kline , 1990 , s. 796
↑ Disse identitetene ble hentet fra "Archived Copy" . Arkivert fra originalen 13. januar 2008 . Hentet 2. februar 2010 .
^ Dette er et spesialtilfelle av et teorem publisert i "Archived Copy" . Arkivert fra originalen 9. juni 2007 . Hentet 27. juni 2008 .

Bibliografi

Kline, Morris (1990). Matematisk tankegang fra gammel til moderne tid 2 . New York: Oxford University Press . ISBN 0-19-506136-5 .

Eksterne lenker

Løste øvelser av determinanter
Weisstein, Eric W. "Avgjøre" . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
Determinant hos PlanetMath .