Intervall (matematikk)

Et intervall (fra latin intervallum ) [ 1 ] er en tilkoblet delmengde av den reelle linjen , det vil si en delmengde som tilfredsstiller det, for alle og , hvis , da . [ 2 ] Det er et målbart sett og har samme kardinalitet som den virkelige linjen. [ 3 ] $I\subset \mathbb{R}$ $u,w\in I$ $v\in \mathbb {R}$ $u<v<w$ $v\in I$

Forslag

Et intervall er en delmengde av som tilfredsstiller følgende egenskap: $Yo$ $\R$

Hvis og er elementer av med , så for alt slik at , det holder at $r$ $du$ $Yo$ $r\leq t$ $s$ $r\leq s\leq t$ $s\in I$

Notasjon

Det er to hovednotasjoner: i det ene tilfellet brukes parenteser og reverserte parenteser, i det andre parenteser og parenteser ; begge notasjonene er beskrevet i den internasjonale standarden ISO 31-11 .

Åpne intervaller

Definisjon

Gitt de reelle tallene a og b som tilfredsstiller a<b, er settet kalt åpent intervall av nedre grense a og øvre grense b definert . $(a;b)=$ $\{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}$

Med ord er det åpne intervallet (a,b) settet av reelle tall mellom a og b: dette settet inneholder ingen endepunkter a og b. [ 4 ] Det er navngitt som en type endelig intervall .

Andre notasjoner

$(a;b)\$ eller eller $]a;b[\$ $<a;b>\$

I definisjonen av den ordinære grensen for en reell funksjon , anses domenet for å være et åpent intervall som inneholder akkumuleringspunktet .

I den vanlige topologien til linjen (eller ) brukes et åpent intervall for å definere et åpent sett i nevnte topologi. I den vanlige topologien til , er et åpent intervall et åpent sett. Det åpne intervallet (a; b) er lik dets indre, dets grense er settet {a, b} og dets lukking er det lukkede intervallet [a, b]. Dens ytre er strålene (-∞; a] og [b; +∞). [ 5 ] Den har ingen isolerte punkter, mens alle punktene er akkumuleringspunkter med samme intervall. [ 6 ] $\R$ $\R$

Lukket intervall

Det inkluderer endene.

Hva er angitt: $I=[a,b]\$

I sett notasjon:

I=[a,b]=

\{\ x\in I:\quad a\leq x\leq b\}

Halvåpent intervall

Inkluderer kun en av endene.

Med notasjonen eller vi indikerer. $(a,b]\$ $]a,b]\$

I sett notasjon:

I=(a,b]=

\{\ x\in I:\quad a<x\leq b\}

Og med notasjonen eller , $[a,b)\$ $[a,b[\$

I sett notasjon:

I=[a,b)=

\{\ x\in I:\quad a\leq x<b\}

De fire typene intervaller ovenfor kalles endelige ; eksperter tilordner som lengden |b-a|. De er svært nyttige i matematisk analyse og i generelle topologi-emner, for studiet av forskjellige konsepter som lukking, interiør, grense, tilknytning, etc. [ 7 ] De brukes i definisjonen av funksjoner som den maksimale heltallsfunksjonen, eller tak- eller gulvfunksjonen i diskret matematikk og for løsning av ligninger som involverer absolutt verdi, fortegnsfunksjonen osv. [ 8 ]

Finite intervaller har et symmetrisenter som er (a + b)/2, kalt midtpunktet , der endepunktene er a og b med a < b. I tilfellet a=b er det ikke noe midtpunkt og det åpne intervallet er ∅. [ 9 ]

Intervaller med uendelig

Denne typen intervall vises når bare en av ytterpunktene er kjent og den andre er uendelig, det vil si en verdi i absolutte termer som er større enn noen annen, enten positiv eller negativ. Siden uendelig ikke kan inkluderes i intervallet, anses de alltid som åpne.

Det inkluderer en ekstrem og uendelighet til høyre.

Med notasjonen angir vi $[a,\infty )\$

I sett notasjon:

I=[a,\infty )=

\{\ x\in I:\quad a\leq x\}

Ikke inkludert slutten:

Og med notasjonen , $(a,\infty )$

I=(a,\infty )=

\{\x\in I:\quad a<x\}

Det inkluderer en ekstrem og uendelig til venstre.

Med notasjonen angir vi $(-\infty ,a]\$

I sett notasjon:

I=(-\infty ,a]=

\{\ x\in I:\quad x\leq a\}

Ikke inkludert slutten:

Og med notasjonen , $(-\infty ,a)$

I sett notasjon:

I=(-\infty ,a)=

\{\x\in I:\quad x<a\}

For all virkelig verdi:

Og med notasjonen , $(-\infty ,\infty )$

I sett notasjon:

I=(-\infty ,\infty )=

\{x\in I:x\in \Re \}=\Re

Familie av intervaller

{(1-1/n; 2+1/n) / } er en familie med åpne intervaller . $n\in \aleph$

{[1; 2+1/n] / } er en familie med lukkede intervaller . $n\in \aleph$

Operasjoner med intervaller

I settnotasjon: anta at settet A :

A=\{x\in R:\quad x<4\}

Dette leses: A er mengden av alle reelle tall x slik at x er mindre enn fire.

Og sett B :

B=\{x\in R:\quad 9<x\}

B er mengden av alle reelle tall x , slik at 9 er mindre enn noen x .

Unionssettet av A og B vil være:

A\cup B=\{x\in R:\quad x<4\;\lor \;9<x\}

Eller du kan skrive ned:

x\in (-\infty ,4)\cup (9,\infty )

Et element er i foreningen av to eller flere sett sss er i minst ett av dem.

Skjæringssettet av A og B er tomrommet: [ 10 ]

A\cap B=\{x\in R:\quad x<4\;\land \;9<x\}

fordi A og B ikke har noen punkter til felles.

Det er notert som følger: $A\cap B=\varnothing$

Gitt settene A og C :

A=\{x\in R:\quad x<4\}

C=\{x\in R:\quad -3<x<15\}

Unionssettet til A og C er:

A\cup C=\{x\in R:\quad x<15\}

Unionsettet er det som tar verdiene til hvert av settene, blant alle de inkluderte settene.

Skjæringssettet av A og C er:

A\cap C=\{x\in R:\quad -3<x<4\}

Skjæringssettet er settet som tar verdiene til felles mellom alle de inkluderte settene.

Symmetrisk miljø

Et symmetrisk nabolag eller nabolag med sentrum a og radius r er representert:

Med notasjonen angir vi $E(a,r)\$

I=E(a,r)\Leftrightarrow

\{\x\in I:\quad ar<x<a+r\}

Redusert miljø

Et redusert nabolag med sentrum a og radius r er representert:

Med notasjonen angir vi $E^{\star }(a,r)\$

I=E^{\star }(a,r)\quad =\{\ x\in I:\quad x\in E(a,r)\;-\;\{a\}\}

Et redusert nabolag av et punkt p er et nabolag av p , minus { p }. For eksempel er intervallet (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} et nabolag av p = 0 på den reelle linjen , så settet (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} er et redusert nabolag på 0. $\in \Re$

Merk

Hvis a > b , har de beskrevne intervallene ingen elementer og angir det tomme settet .
( a , a ), [ a , a ) og ( a , a ] angir også det tomme settet.
[ a , a ] angir enhetsmengden { a } , også kalt det degenererte intervallet .
Disse notasjonene brukes også i andre områder av matematikken; for eksempel angir notasjonen et ordnet par i settteori ; koordinatene til et punkt eller en vektor i analytisk geometri og lineær algebra ; et komplekst tall i algebra . $(a,b)\$
Begge notasjonene støtter uendelighetssymbolet ( ) for å indikere at det ikke er noen dimensjon. $\infty$

Grafiske eksempler

Graf av en funksjon på et intervall.

Lineær transformasjon av intervaller.

Nummer linje.

Klassifisering

Intervaller kan klassifiseres i henhold til deres topologiske egenskaper (åpne, lukkede, halvåpne intervaller) eller i henhold til deres metriske egenskaper (lengde: null, endelig ikke null, uendelig).

Følgende tabell oppsummerer de 11 mulige tilfellene, med a ≤ b , og x som tilhører intervallet:

Notasjon	Intervall	Lengde	Beskrivelse
$[a,b]\,$	$a\leq x\leq b$	$ba\,$	Lukket intervall med begrenset lengde.
$[a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,b)\!$	$a\leq x<b\!$	$ba\,$	Halvåpent intervall ( lukket ved a, åpent ved b ).
$]a,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b]\!$	$a<x\leq b$	$ba\,$	Halvåpent intervall ( åpent ved a, lukket ved b ).
$]a,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,b)\!$	$a<x<b\!$	$ba\,$	åpent intervall.
$]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b)\!$	$x<b\!$	$\infty$	halvåpent intervall.
$]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (-\infty ,b]\!$	$x\leq b\!$	$\infty$	halvåpent intervall.
$[a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ [a,\infty )\!$	$x\geq a\!$	$\infty$	halvåpent intervall.
$]a,\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (a,\infty )\!$	$x>a\!$	$\infty$	halvåpent intervall.
$]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\acute {o}} \ \ (\infty ,+\infty )\!$	$x\in \mathbb {R} \!$	$\infty$	Både åpent og lukket sett i den vanlige topologien til ℝ.
$\{a\}\!$	$x=a\!$	$0\!$	Lukket intervall av null lengde ( degenerert intervall ).
$\{\}=\emptyset \!$	ikke noe element	null	Tomt sett Åpent intervall (a,a).

[ 11 ]

Karakterisering

Lukket intervall

Det reelle tallet x er i hvis bare hvis . Punktene a og b er elementer i det lukkede intervallet I ; a er minst og b er størst. Det lukkede intervallet er lukkingen av det åpne intervallet og de halvåpne intervallene med endepunkt a og b med . Det åpne intervallet er det indre av det lukkede intervallet med endepunktene a og b; og disse punktene er de eneste som er på grensen til det lukkede intervallet ; dette er et lukket og kompakt sett med linjens vanlige topologi. [ 12 ] $I=[a,b]\,$ $a\leq x\leq b$ $a\leq x\leq b$ $\ \ (a,b)\!$ $I=[a,b]\,$

Egenskaper

Unionen av intervaller av er ikke alltid et intervall (det vil være hvis krysset ikke er tomt). $\R$
De tilkoblede settene med er nøyaktig intervallene. [ 13 ] $\R$
De lukkede intervallene på en linje kalles " linjesegment ", de er lukkede sett i henhold til den vanlige topologien, koblet og kompakt. [ 13 ]
Bildet av en kontinuerlig funksjon av et intervall på er et intervall på . Dette er en formulering av Intermediate Value Theorem . $\R$ $\R$
I følge den vanlige topologien til ℝ er et åpent sett foreningen av åpne intervaller. [ 14 ]

Intervallaritmetikk

La I = [ a , b ] og J = [ c , d ] med a ≤ x ≤ b , og c ≤ y ≤ d .

Altså: a + c ≤ x + y ≤ b + d . Hva rettferdiggjør det

I + J = [ a + c , b + d ].

I - J = [ a - d , b - c ].

Hvis a , b , c og d antas å være positive ikke-null, I J = [ ac , bd ] og I / J = [ a / d , b / c ].

Generalisering

Et n - dimensjonalt intervall er definert som en delmengde av , som er det kartesiske produktet av n intervaller: , en på hver koordinatakse ... $? {R} n$ $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

I topologiske termer , i det vanlige metriske rommet er intervallene de åpne og lukkede kulene . Mer generelt kalles settet med punkter x hvis avstand til a er mindre enn ε nabolaget til sentrum a og radius ε. $\R$

E(a;\epsilon )=\venstre\{x\in \mathbb {R} \ :\ |xa|<\epsilon \right\}

Se også

Referanser og notater

^ "Intervall" . Royal Spanish Academy . Hentet 13. august 2021 .
↑ Barbola García RM og andre. Introduksjon til reell analyse Alhambra, Madrid, 1982, andre utgave ISBN 84-205-0771-7
↑ De Guzman. Rubio: Integrasjon: teori og teknikker" ISBN 84-205-0631-1
↑ César A. TREJO: Begrepet tall . OEA Publishing, Washington DC (1973). Revidert og korrigert utgave
^ Ayala og andre: Elements of the General Topology , Salamanca, Spania, ISBN 84-7829-006-0
↑ Rubiano: Generell topologi, Bogotá
^ Mansfield, M.J. (1974). Introduksjon til topologi. Madrid Spania. Redaksjonell Alhambra S.A.
↑ Arizmendi. Kinn. Lara: Beregning Cecsa, Mexico City
↑ Spivak: Calculus , bind I http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf
↑ Tomt sett
↑ Hasser. La Salle. Sullivan: Matematisk analyse I.
↑ Mansfield, MJ- (1974). Introduksjon til topologi. Madrid Spania. Redaksjonell Alhambra S.A.
↑ a b Chinn. Steenrod: Early Concepts in Topology ISBN 84-205-0524-2
↑ Mansfield, MJ (1974) Introduksjon til topologi. Madrid Spania. Redaksjonell Alhambra S.A.

Skornyakov, LA (2001), "Intervall og segment" , i Hazewinkel, Michiel, red., Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1556080104 .
Weisstein, Eric W. «Intervall» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .