Koordinatsystem

I geometri er et koordinatsystem et referansesystem som bruker ett eller flere tall ( koordinater ) for unikt å bestemme posisjonen til et punkt eller geometrisk objekt. [ 1 ] Rekkefølgen som koordinatene er skrevet i er betydelig, og de identifiseres noen ganger ved deres plassering i en ordnet tuppel ; de kan også representeres med bokstaver, for eksempel " x -koordinaten ". Studiet av koordinatsystemer er gjenstand for analytisk geometri , som gjør at geometriske problemer kan formuleres på en "numerisk" måte. [ 2 ]

I geometri er koordinater mengder som bestemmer posisjonen til et punkt i et plan eller i rommet. I et plan er posisjonen til et punkt vanligvis bestemt av avstandene til to rette linjer (koordinatakser) som skjærer hverandre i et punkt (opprinnelse) i rette vinkler; en av koordinatene kalles ordinaten og den andre kalles abscissen . I rommet i henhold til Descartes-systemet bestemmes posisjonen til et punkt av avstandene til tre koordinatplan som skjærer hverandre i et punkt vinkelrett på hverandre, selv om andre systemer også brukes som sfæriske koordinater (hvor origo er kl. sentrum av en serie kuler), eller de sylindriske koordinatene .

I geografi velges koordinater som et omtrent sfærisk koordinatsystem: breddegrad , lengdegrad og høyde over et kjent generelt nivå (som havets).

I astronomi er himmelkoordinatene et ordnet par vinkelstørrelser (for eksempel rett oppstigning og deklinasjon ), med hvilke posisjonen til forskjellige lyspunkter og hjelpepunkter på himmelsfæren bestemmes. I praksis brukes ulike himmelske koordinatsystemer. Hver av dem er i hovedsak et sfærisk koordinatsystem (ingen radielle koordinater) med et passende valgt grunnplan og opprinnelse. Avhengig av valget av grunnplanet kalles det himmelske koordinatsystemet horisontalt (horisontens plan), ekvatorialt (ekvatorplanet), ekliptikk (ekliptikkens plan ) eller galaktisk (galaktikkens plan).

Det mest brukte koordinatsystemet er det rektangulære koordinatsystemet, også kjent som det kartesiske koordinatsystemet .

Koordinater i planet og i rommet kan defineres på et ubegrenset antall forskjellige måter. Løsningen av en rekke matematiske eller fysiske problemer innebærer å velge det spesifikke koordinatsystemet der problemet løses enklere eller mer praktisk i hvert enkelt tilfelle. En velkjent generalisering av koordinatsystemet er referansesystemer.

Eksempler på koordinatsystemer

Lineært koordinatsystem

Det er settet med reelle tall representert grafisk med en linje der alle naturlige tall, heltall, brøker, desimaler osv. kan plasseres. [ 3 ]

Hvert punkt på linjen representerer et reelt tall, enten ved hjelp av en en-til-en korrespondanse eller ved hjelp av en bijektiv applikasjon , brukt til å representere tall som spesielt merkede punkter, for eksempel heltall, ved hjelp av en linje som kalles gradert linje som heltall [ 3 ] av punkter ordnet og atskilt fra hverandre i samme avstand. Punktet som representerer null ( ) er hovedreferansepunktet til koordinatsystemet, kalt opprinnelsespunktet. $0$

Ta i betraktning at hvert av punktene på linjen grafisk representerer et reelt tall, til høyre for opprinnelsespunktet er alle de positive reelle tallene og til venstre alle de negative reelle tallene. [ 4 ] $ENTEN$

For å representere et tall på den reelle linjen, brukes store bokstaver og deres tilsvarende koordinater, for eksempel punktene A(5), B(3), C(-3), D(-5) osv.

Kartesisk koordinatsystem

I et euklidisk rom er et kartesisk koordinatsystem definert av to eller tre like skalerte ortogonale akser , avhengig av om det er et todimensjonalt eller tredimensjonalt system (analogt i n -dimensjonale systemer kan defineres ). Verdien av hver av koordinatene til et punkt ( A ) er lik den ortogonale projeksjonen av posisjonsvektoren til nevnte punkt ( ) på en gitt akse: $\scriptstyle \mathbb{R} n}$ ${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}\,$

${\mathbf r}_{{\text{A}}}={\text{OA}}=(x_{{\text{A}}},y_{{\text{A}}},z_{{ \text{A}}})$

Hver av aksene er definert av en retningsvektor og av opprinnelsen til koordinatene. For eksempel er x -aksen definert av koordinatopprinnelsen ( O ) og en vektor ( ) slik at: ${\mathbf {i}}\,$

{\mathbf {i}}=(1,0,0)

, hvis modul er .

|{\mathbf {i}}|=1\,

Verdien av x - koordinaten til et punkt er lik den ortogonale projeksjonen av posisjonsvektoren til nevnte punkt på x -aksen :

$x_{{\text{A}}}={{\text{OA}}\cdot {\mathbf {i}} \over |{\text{OA}}|\cdot |{\mathbf {i}}| }={{\text{OA}} \over |{\text{OA}}|}\cdot {\mathbf {i}}$

Polar koordinatsystem

Polare koordinater er et todimensjonalt koordinatsystem der hvert punkt eller posisjon i planet bestemmes av en vinkel og en avstand . [ 5 ]

Et punkt velges som pol og en stråle fra dette punktet tas som polarakse . For en gitt vinkel er det en enkelt rett linje gjennom polen hvis vinkel med polaraksen er (målt mot klokken fra aksen til linjen). Så er det et unikt punkt på denne linjen hvis fortegnsavstand fra origo er r for et gitt tall r . For et gitt koordinatpar er det bare ett punkt, men ethvert punkt er representert med mange koordinatpar. For eksempel, og er alle polare koordinater for samme punkt. Polen er representert med for en hvilken som helst verdi på . $\theta$ $\theta$ $(r,\theta )$ $(r,\theta )$ $(r,\theta +2\pi )$ $(-r,\theta +\pi )$ $(0,\theta )$ $\theta$

Logg-polart koordinatsystem

Det er et koordinatsystem der et punkt identifiseres med to tall, ett for logaritmen av avstanden til et bestemt punkt og ett for en vinkel. Logaritmiske koordinater er nært forbundet med polare koordinater, som vanligvis brukes til å beskrive domener i planet med en slags rotasjonssymmetri .

Sylindrisk koordinatsystem

Det sylindriske koordinatsystemet brukes til å representere punktene i tredimensjonalt euklidisk rom . Det er spesielt nyttig i problemer med linjesymmetri . Dette koordinatsystemet er en generalisering av det polare koordinatsystemet til det euklidiske planet, som er lagt til en tredje referanseakse ortogonal til de to andre. Den første koordinaten er avstanden mellom aksen og punktet, den andre er vinkelen mellom aksen og linjen som går gjennom begge punktene, mens den tredje er koordinaten som bestemmer høyden på sylinderen. ${\tekststil {\mathcal {C}}=\{(\rho ,\varphi ,z)|\ \rho >0,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ z\in \mathbb {R} \ }}$ $Oz$ $Ox$ $z$

Sfærisk koordinatsystem

I likhet med sylindriske koordinater brukes det sfæriske koordinatsystemet i tredimensjonale euklidiske rom. Dette sfæriske koordinatsystemet består av tre innbyrdes ortogonale akser som skjærer hverandre ved origo. Den første koordinaten er avstanden mellom origo og punktet, de to andre er vinklene som må snus for å nå posisjonen til punktet.

Geografiske koordinater

Denne typen kartografiske koordinater, en undertype av sfæriske koordinater, brukes til å definere punkter på en sfærisk overflate. Det finnes flere typer geografiske koordinater. Det mest klassiske og kjente systemet er det som bruker breddegrad og lengdegrad , som kan vises i følgende formater:

DD — Desimalgrad (polare grader): f.eks. 49 500-123 500
DM — Grad:Minutt : f.eks. 49:30.0-123.30.0
DMS — Grad:Minutt:Sekund (Grader:Minutter:Sekunder): f.eks. 49:30:00-123:30:00

Koordinatene til et punkt på jordens overflate kan også defineres ved hjelp av en kartprojeksjon . Det vanligste projiserte kartografiske koordinatsystemet er UTM-koordinatsystemet .

Generelle krumlinjede koordinater

Et krumlinjet koordinatsystem er den mest generelle måten å parametrisere eller merke punktene til et lokalt euklidisk rom eller til en differensierbar manifold (globalt kan rommet være euklidisk, men trenger ikke). Hvis det er et lokalt euklidisk dimensjonsrom , kan et lokalt krumlinjet koordinatsystem konstrueres rundt et punkt alltid fra en hvilken som helst diffeomorfisme som tilfredsstiller: $M$ $m$ $s$

\phi :M\to \mathbb {R}<m}\qquad p\in M\land \phi (p)=(0,0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^ { m}

For ethvert punkt q nær p , er dets krumlinjede koordinater definert som:

\phi (q)=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})\,

Hvis det lokalt euklidiske rommet har den Riemannske manifoldstrukturen , kan visse krumlinjede koordinatsystemer klassifiseres som ortogonale koordinatsystemer eller til og med som ortonormale koordinatsystemer. Sylindriske koordinater og sfæriske koordinater er spesielle tilfeller av ortogonale koordinatsystemer over det euklidiske rom . $\mathbb{R} 3$

Ortogonale krumlinjede koordinater

Et krumlinjet koordinatsystem kalles ortogonalt når den metriske tensoren uttrykt i disse koordinatene har en diagonal form . Når dette skjer, kan mange av differensialvektorkalkulusformlene skrives på en spesielt enkel måte i disse koordinatene, og kan dra nytte av dette faktum når det for eksempel er aksial , sfærisk eller annen symmetri lett representert i de ortogonale krumlinjede . koordinater.

Sfæriske og sylindriske koordinater er spesielle tilfeller av ortogonale krumlinjede koordinater.

Homogene koordinater

I matematikk , og mer spesifikt i projektiv geometri , er homogene koordinater en enhet som brukes til å beskrive et punkt i det projektive rommet . De ble introdusert av den tyske matematikeren August Ferdinand Möbius i 1837 .

De kan også brukes som et alternativt koordinatsystem for å arbeide i det euklidiske rom , siden det euklidiske rom kan sees på som en undergruppe av projektivt rom. På denne måten er homogene koordinater mye brukt i datagrafikk for representasjon av scener i tre dimensjoner. Notasjonen i matriseform brukes i 3D-grafikkprogrammeringsbiblioteker som OpenGL og Direct3D .

I homogene koordinater er hvert todimensjonale punkt definert av tre koordinater, på en slik måte at et dimensjonspunkt representeres av trippelen $(x,y)$

$\left(\lambda x,\lambda y,\lambda \right),\quad \lambda \neq 0$

Koordinater i to dimensjoner finner du lettere hvis , ved forenkling. I tre dimensjoner skjer vanligvis det samme. [ 6 ] [ 7 ] $\lambda =1$

En konsekvens av denne skrivingen er at et riktig punkt har uendelige måter å skrive på, siden det bestemmes av et ekvivalensforhold mellom det aktuelle punktet og de andre punktene i linjen som genererer .

Den grunnleggende ideen er å utvide det euklidiske planet (i det todimensjonale tilfellet) til det projektive planet. Dette innebærer vurdering av upassende poeng, eller uendelig. Et upassende punkt er et hvor $λ = 0$ , og bestemmes av retningen til en linje , inneholdt i det projektive planet. [ 8 ]

Andre systemer i vanlig bruk

Noen andre vanlige koordinatsystemer er som følger:

Kurvilineære koordinater er en generalisering av koordinatsystemer generelt; systemet er basert på skjæringspunktet mellom kurver.
- Ortogonale koordinater : Koordinatflater møtes i rette vinkler.
- Skråkoordinater : Koordinatflatene er ikke ortogonale.
Det log-polare koordinatsystemet representerer et punkt i planet ved logaritmen av avstanden fra origo og en vinkel målt fra en referanselinje som skjærer origo.
Plückeriske koordinater er en måte å representere linjer i tredimensjonalt euklidisk rom ved å bruke et sjette tallpar som homogene koordinater .
Generaliserte koordinater brukes i behandlingen av lagrangiansk mekanikk .
Kanoniske koordinater brukes i behandlingen av Hamiltoniansk mekanikk .
Barysentriske (n-simplekse) koordinater brukes til å representere ternære diagrammer og mer generelt i trekantanalyse . De ble først introdusert av August Möbius , som løste spørsmålet om tyngdepunktet til massene som ligger i trekantens toppunkter . De er affine invarianter, som representerer et spesielt tilfelle av de homogene generelle koordinatene . Et punkt med barysentriske koordinater ligger i et -dimensjonalt vektorrom , og de reelle koordinatene i dette tilfellet refererer til et fast system av punkter som ikke ligger i det -dimensjonale underrommet. Barysentriske koordinater brukes også i algebraisk topologi med hensyn til punktene i simplekset . [ 9 ] $n$ $E^{n}$ $(n-1)$
Trilineære koordinater er en av de homogene koordinatprøvene og er basert på en gitt trekant, slik at posisjonen til et punkt bestemmes i forhold til sidene av denne trekanten, hovedsakelig av verdien av avstanden fra dem, selv om de er Andre variasjoner mulig . Trilineære koordinater kan relativt enkelt konverteres til barysentriske koordinater ; i tillegg kan de også konverteres til todimensjonale rektangulære koordinater, for hvilke de tilsvarende formlene brukes. De brukes i sammenheng med trekanter. [ 10 ]
tokantede koordinater . I matematikk er tokantede koordinater et plan koordinatsystem der og er to faste punkter, og posisjonen til et punkt P som ikke er på linje med , bestemmes av vinklene og . Denne typen koordinater ble først undersøkt av Lazare Carnot , som publiserte resultatene sine i 1803. [ 11 ] $C_{1}$ $C_{2}$ ${\overline {C_{1}C_{2}}}$ $\angle PC_{1}C_{2}$ $\angle PC_{2}C_{1}$
Bipolare koordinater . De er et todimensjonalt ortogonalt koordinatsystem , basert på sirklene til Apollonius . [ 12 ] Forvirrende nok brukes det samme begrepet også noen ganger for å betegne bisentriske koordinater . Videre er det et tredje system også basert på to poler (de tokantede koordinatene ).
Bisentriske koordinater , (også kalt to-senter bipolare koordinater) er et koordinatsystem, basert på to koordinater som gir avstandene fra to faste sentra, og . [ 12 ] Dette systemet er veldig nyttig i noen vitenskapelige anvendelser (som for eksempel å beregne det elektriske feltet til en dipol i et plan). [ 13 ] [ 14 ] $c_{1}$ $c_{2}$
Kjeglekoordinater : De er et ortogonalt tredimensjonalt system som består av konsentriske kuler, beskrevet ved deres radius, og to familier av vinkelrette kjegler plassert langs aksene . $Ox\land Oz$
Parabolske koordinater : De er et todimensjonalt ortogonalt koordinatsystem der koordinatlinjene er konfokale paraboler . En tredimensjonal versjon av parabolske koordinater oppnås ved å rotere det todimensjonale systemet om symmetriaksen til parablene. Parabolske koordinater er nyttige i mange applikasjoner, for eksempel behandling av Stark-effekten og kantpotensialteori .
Projektive koordinater . De er navngitt i henhold til det projektive rommet de er definert på, og de representerer en en-til-en-korrespondanse mellom deres elementer og klasser av endelige delmengder av elementer i feltet , preget av egenskapene til ekvivalens og rekkefølge. For å bestemme de projektive koordinatene til de projektive underrommene, er det nok å bestemme de tilsvarende koordinatene til punktene til det projektive rommet. I det generelle tilfellet, med hensyn til et eller annet grunnlag, introduseres projektive koordinater med rent projektive midler. [ 15 ] $Pn(K)$ $K$
Rindler-koordinater brukes hovedsakelig innenfor rammen av relativitetsteori og beskriver den delen av flat romtid, som vanligvis kalles Minkowski-rom . I den spesielle relativitetsteorien er en jevnt akselererende partikkel i hyperbolsk bevegelse , og for hver slik partikkel i Rindler-koordinater kan et referansepunkt velges i forhold til det som er i ro.
Et toroidalt koordinatsystem er et tredimensjonalt ortogonalt koordinatsystem som oppnås ved å rotere et todimensjonalt bipolart koordinatsystem om en akse som skiller de to fociene. Fociene til det bipolare systemet blir henholdsvis en ring med radius , som ligger i planet til det toroidale koordinatsystemet, mens aksen blir systemets rotasjonsakse. Fokalringen kalles også noen ganger grunnsirkelen. [ 16 ] $en$ $Oxy$ $Oz$
Sylindriske parabolske koordinater : De er et tredimensjonalt ortogonalt koordinatsystem oppnådd som et resultat av en romlig transformasjon av et todimensjonalt parabolsk koordinatsystem. De konfokale parabolske revolusjonsflatene fungerer henholdsvis som koordinatflater. Sylindriske parabolske koordinater er relatert til rektangulære koordinater på en bestemt måte og kan brukes på ulike områder av vitenskapelig forskning. [ 17 ]

Det finnes måter å beskrive kurver uten koordinater, ved å bruke indre ligninger som bruker invariante størrelser som krumning og buelengde. Disse inkluderer:

Whewells ligning relaterer buelengde og tangentiell vinkel .
Cesàros ligning relaterer buelengde og krumning.

Koordinater til geometriske objekter

Koordinatsystemer brukes oftest til å spesifisere posisjonen til et punkt, men kan også brukes til å spesifisere posisjonen til mer komplekse figurer som linjer , plan , sirkler eller kuler . For eksempel lar Plückeriske koordinater oss bestemme posisjonen til en rett linje i rommet. [ 18 ] Når det er nødvendig, brukes figurtypen som beskrives for å skille ut typen koordinatsystem, for eksempel brukes begrepet linjekoordinater for ethvert koordinatsystem som spesifiserer posisjonen til en rett linje.

Det kan hende at koordinatsystemene for to forskjellige sett med geometriske figurer er ekvivalente når det gjelder deres analyse. Et eksempel på dette er de homogene koordinatsystemene for punkter og linjer i det projektive planet. De to systemene i en sak som dette sies å være doble . Doble systemer har den egenskapen at resultatene av det ene systemet kan overføres til det andre, siden disse resultatene bare er forskjellige tolkninger av det samme analytiske resultatet; dette er kjent som prinsippet om dualitet . [ 19 ]

Koordinere endringer

I løsningen av fysiske og matematiske problemer er strategien med å endre koordinater vanlig. I hovedsak betyr en endring av koordinater å endre variablene som problemet avhenger av, til andre forskjellige koordinater der problemet kan ha en ekvivalent, men enklere form, som gjør det lettere å finne løsningen.

Siden det ofte er mange mulige koordinatsystemer for å beskrive geometriske figurer, er det viktig å forstå hvordan de henger sammen. Disse relasjonene beskrives ved koordinattransformasjoner som gir formler for koordinatene til ett system i form av koordinatene til et annet system. For eksempel, i planet, hvis de kartesiske koordinatene og de polare koordinatene har samme opprinnelse, og den polare aksen er den positive aksen til , så er koordinattransformasjonen fra polare til kartesiske koordinater gitt av . $(x,y)$ $(r,\theta )$ $x$ $x=r\cdot \cos(\theta )\land y=r\cdot \sin(\theta )$

Mer formelt kan en endring av koordinater representeres av en diffeomorfisme eller bijektiv og differensierbar kartlegging (med invers også differensierbar) mellom to sett med , her kalt og : $? {R} n$ $EN$ $B.$

${\begin{matrix}\phi :&A\subset \mathbb {R}<n}&\longrightarrow &B\subset \mathbb {R}<n}\\&\mathbf {x} &\longmapsto &\ mathbf {y} =\phi (\mathbf {x} )\end{matrise}}\qquad \land \qquad \det D\phi ={\frac {\partial (y^{1},\dots, y^ {n})}{\partial (x^{1},\dots,x^{n})}}\neq 0$

Denne endringen av variabel gjør det for eksempel mulig å omskrive integraler som følger:

$\int{D\subset B}}f({\mathbf {y}})\ d^{n}{\mathbf {y}}=\int{\phi{-1}}(D)}}(f \circ \phi )({\mathbf {x}})\ |\det D\phi ({\mathbf {x}})|\ d^{n}{\mathbf {x}} =\int{{\ tilde {D}}}}{\tilde {f}}({\mathbf {x}})\ Jd^{n}{\mathbf {x}}$

Hvor:

f({\mathbf {y}}),{\tilde {f}}({\mathbf {x}})=(f\circ \phi )({\mathbf {x}})

representerer funksjonen som skal integreres uttrykt i gamle og nye koordinater.

J=|\det D\phi ({\mathbf {x}})|

er Jacobian av endringen av koordinater.

D,{\tilde {D}}=\phi{-1}}(D)

er integrasjonens domene uttrykt i de gamle og nye koordinatene.

For å transformere eller omskrive differensialligninger i form av de nye koordinatene brukes tensortransformasjonslovene :

${\frac {\partial f(\mathbf {y} )}{\partial y^{i}}}=\sumk=1}^{n}{\frac {\partial x^{ k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial f(\phi (\mathbf {x} ))}{\partial x^{k}}}$

Koordinater for rette linjer, kurver, plan og overflater

I to dimensjoner, hvis en av koordinatene i et punkts koordinatsystem holdes konstant og den andre koordinaten tillates å variere, kalles den resulterende kurven en koordinatkurve . I det kartesiske koordinatsystemet er koordinatkurvene faktisk rette linjer , så de kalles koordinatlinjer . Nærmere bestemt er de linjene parallelle med en av koordinataksene. For andre koordinatsystemer kan koordinatkurvene være generelle kurver. For eksempel er koordinatkurvene i polare koordinater oppnådd ved å holde r konstant sirklene sentrert ved origo. Et koordinatsystem der noen koordinatkurver ikke er rette linjer kalles et krumlinjet koordinatsystem . [ 20 ] Denne prosedyren gir ikke alltid mening, for eksempel er det ingen koordinatkurver i homogene koordinatsystemer .

I tredimensjonalt rom, hvis en koordinat holdes konstant og de to andre tillates å variere, kalles den resulterende overflaten en koordinatoverflate . For eksempel er koordinatflatene som oppnås ved å holde ρ konstant i det sfæriske koordinatsystemet sfærene sentrert ved origo. I tredimensjonalt rom er skjæringspunktet mellom to koordinatflater en koordinatkurve. I det kartesiske koordinatsystemet kan man snakke om koordinatplan .

På samme måte er koordinathyperflater de dimensjonale rom som er et resultat av å fikse en enkelt koordinat til et koordinatsystem. [ 21 ] $(n-1)$ $n$

Opprinnelsen til koordinatene

Opprinnelsen til koordinatene er referansepunktet til et koordinatsystem. På dette tidspunktet er verdien av alle koordinater i systemet null - for eksempel at eller at -. I noen koordinatsystemer er det imidlertid ikke nødvendig å sette alle koordinater til null. For eksempel, i et sfærisk koordinatsystem er det nok å sette radius null , verdiene for breddegrad og lengdegrad er likegyldige. $(0,0)$ $? {R} 2$ $(0,0,0)$ ${\mathbb {R}}^{3}$ $(\rho =0)$

I et kartesisk koordinatsystem er origo punktet der systemets akser skiller seg.

Se også

himmelske koordinater
Geografiske koordinater
høyrehåndsregel
Tabell i sylindriske og sfæriske koordinater

Notater og referanser

↑ Weisstein, Eric W. Koordinatsystem . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
↑ Weisstein, Eric W. «Koordinater» . I Weisstein, Eric W, red. MathWorld (på engelsk) . WolframResearch .
↑ a b Royal Academy of Exact, Physical and Natural Sciences, red. (1999). Essential Dictionary of the Sciences . Spania. ISBN 84-239-7921-0 .
↑ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5. utgave). Brooks Cole . s. 13-19. ISBN 978-0-495-56521-5 .
↑ Finney, Ross; GeorgeThomas; Franklin Demand; Bert Waits (juni 1994). Kalkulus: Grafisk, Numerisk, Algebraisk (enkeltvariabel versjon). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X . (krever registrering) .
↑ David C., Lay (2007). Lineær algebra og dens applikasjoner (3. utgave). Mexico: Pearson. s. 159, 162. ISBN 9789702609063 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ Garci'a Alonso, Fernando Luis; Perez Carrio, Antonio; Reyes Perales, Jose Antonio. Utvidelse av grunnleggende for anvendt matematikk . Spania: Universitetsklubben. s. 110. ISBN 9788484549772 . |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
↑ Santaló, Luis A. Projective Geometry (3. utgave). Buenos Aires, Argentina: Eudeba. s. 88-92. |fechaacceso=krever |url=( hjelp )
^ Sklyarenko E. (1977-1985). Barysentriske koordinater (Mathematical Encyclopedia-utgave). Sovjetisk leksikon.
↑ Weisstein, av Eric W. Trilinear Coordinates (eng.) på Wolframs MathWorld-side
↑ Michael Naylor og Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 12. september 2009, s. 31
^ a b "Eric W. Weisstein, Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM , Bipolar Coordinates , CD-ROM-utgave 1.0, 20. mai 1999" . Arkivert fra originalen 12. desember 2007 . Hentet 2. april 2019 .
↑ R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Tilpassede koordinater og spektralmetoder.
↑ Den periodiske stående bølgetilnærmingen: ikke-lineære skalarfelt, tilpassede koordinater og egenspektralmetoden.
↑ Voitsekhovsky MI Projective Coordinates. - Matematisk leksikon. - M: Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ [1]
↑ https://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html
↑ Hodge, W.V.D.; D. Pedoe (1994). Metoder for algebraisk geometri, bind I (bok II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5 .
↑ Woodsp. to
↑ Tang, K.T. (2006). Matematiske metoder for ingeniører og forskere 2 . Springer. s. 13. ISBN 3-540-30268-9 .
↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). En beregningsmessig differensialgeometrisk tilnærming til nettgenerering . Springer. s. 38. ISBN 978-3-540-34235-9 .

Bibliografi

Woods, Frederick S. (1922). Høyere geometri . Ginn og Co. pp. 1ff.
Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Differensialformers geometri . AMS bokhandel. s. 12. ISBN 0-8218-1045-6 .
Gelfand IM, Glagoleva EG, Kirillov AA Koordinatmetode. (utilgjengelig lenke) Femte utgave, stereotypt. Serie: Library of the School of Physics and Mathematics. Matte. Utgave 1.M.: Nauka, 1973.
Delone NB Koordinater i matematikk // Brockhaus og Efron Encyclopedic Dictionary: i 86 bind (82 bind og 4 ekstra). - SPb. , 1890-1907.

Eksterne lenker

Wikimedia Commons er vert for en mediekategori på koordinatsystemet .
Epsiloner - Oppfinnelsen av koordinatsystemer
Sekskantede koordinatsystemer