I matematikk er en ring (ikke nødvendigvis kommutativ ) en enhetlig ring , eller enhetlig ring , eller ring med enhet hvis det finnes et element i , forskjellig fra nøytralen for addisjon, som er et nøytralt element for produktoperasjonen ("·" ) av ringen , som er grunnen til at dette elementet kalles et enhetselement og er representert med "1". En enhetlig ring er vanligvis representert som en kvartær, der de tre første elementene representerer ringen (settet, operasjonen som det er en abelsk gruppe i forhold til , og den andre operasjonen som er distributiv i forhold til den første) og fjerde representerer enhetselementet. I vårt tilfelle ville det vært .
I en enhetlig ring er det:
Enhetselementet i en ring er inverterbart, så det er venstre invertibelt og høyre invertbart. Settet med inverterbare elementer i en enhetlig ring R er betegnet med U(R).
Hvis vi i en enhetlig ring tar et ideal (fra venstre, fra høyre eller tosidig) og det er et inverterbart element som tilhører idealet, så faller idealet sammen med ringen. Spesielt i en enhetlig ring hører enhetselementet 1 aldri til egenidealene.
En viktig egenskap ved enhetsringer er at i hver enhetsring er det maksimale idealer , det vil si riktige (tosidige) idealer i ringen slik at det ikke er noe annet (tosidig) riktig ideal som inneholder det.
Enhetsringer er ringene som modulene er bygget på .
En enhetsringhomomorfisme er en kartlegging mellom enhetsringene og slik at den verifiserer at det er en ringhomomorfisme (det vil si hvis da og ) og at bildet av enhetselementet er enhetselementet (det vil si ).
Hvis vi etablerer en ringhomomorfisme mellom en enhetlig ring og en ring , så må det skje at , som bildet av enhetselementet må være idempotent med.