Enhetsring

I matematikk er en ring (ikke nødvendigvis kommutativ ) en enhetlig ring , eller enhetlig ring , eller ring med enhet hvis det finnes et element i , forskjellig fra nøytralen for addisjon, som er et nøytralt element for produktoperasjonen ("·" ) av ringen , som er grunnen til at dette elementet kalles et enhetselement og er representert med "1". En enhetlig ring er vanligvis representert som en kvartær, der de tre første elementene representerer ringen (settet, operasjonen som det er en abelsk gruppe i forhold til , og den andre operasjonen som er distributiv i forhold til den første) og fjerde representerer enhetselementet. I vårt tilfelle ville det vært .

Eksempler

  1. La Z være settet av alle heltall: positive, negative og null, med de vanlige operasjonene addisjon og multiplikasjon. Z er en kommutativ ring med et enhetlig element, nøyaktig 1.
  2. La T være settet av alle heltall som er multipler av tre, med de vanlige addisjons- og multiplikasjonsoperasjonene. T er en kommutativ ring, uten enhetselement.
  1. La M[2] være settet med kvadratiske matriser av orden 2, under operasjonene matriseaddisjon og multiplikasjon. M[2] er en ikke-kommutativ ring med enhetlig element, nøyaktig identitetsmatrisen I.

Egenskaper

I en enhetlig ring er det:

  1. Venstre-inverterbare elementer : et element i ringen er venstre-inverterbart (det sies også at x er en venstre enhet av ringen, ikke å forveksle med enhetselementet) hvis det eksisterer et element slik at .
  2. Høyre-inverterbare elementer : et element i ringen er høyre-inverterbart (det sies også at x er en høyre enhet av ringen, ikke å forveksle med enhetselementet) hvis det eksisterer et element slik at .
  3. Inverterbare elementer : et element i ringen er inverterbart hvis det er inverterbart (det sies også at x er en enhet av ringen, ikke å forveksle med enhetselementet) fra høyre og inverterbart fra venstre.

Enhetselementet i en ring er inverterbart, så det er venstre invertibelt og høyre invertbart. Settet med inverterbare elementer i en enhetlig ring R er betegnet med U(R).

Hvis vi i en enhetlig ring tar et ideal (fra venstre, fra høyre eller tosidig) og det er et inverterbart element som tilhører idealet, så faller idealet sammen med ringen. Spesielt i en enhetlig ring hører enhetselementet 1 aldri til egenidealene.

En viktig egenskap ved enhetsringer er at i hver enhetsring er det maksimale idealer , det vil si riktige (tosidige) idealer i ringen slik at det ikke er noe annet (tosidig) riktig ideal som inneholder det.

Enhetsringer er ringene som modulene er bygget på .

Homomorfisme av enhetsringer

En enhetsringhomomorfisme er en kartlegging mellom enhetsringene og slik at den verifiserer at det er en ringhomomorfisme (det vil si hvis da og ) og at bildet av enhetselementet er enhetselementet (det vil si ).

Hvis vi etablerer en ringhomomorfisme mellom en enhetlig ring og en ring , så må det skje at , som bildet av enhetselementet må være idempotent med.

Eksterne lenker