Hilbert problemer

Hilberts problemer utgjør en liste over 23 matematiske oppgaver utarbeidet av den tyske matematikeren David Hilbert for Paris-konferansen til International Congress of Mathematicians i 1900. Problemene var alle uløste på den tiden, og flere skulle vise seg å være svært innflytelsesrike i matematikk. av det 20. århundre. Hilbert presenterte ti av problemene (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 og 22) på konferansen, i en funksjon 8. august på Sorbonne . Den fullstendige listen ble publisert senere.

Problemers art og påvirkning

Selv om det har vært forsøk på å gjenskape suksessen til Hilberts liste, har ingen andre så varierte problemer eller formodninger hatt en sammenlignbar effekt på utviklingen av faget og fått en betydelig brøkdel av kjendisen. For eksempel er André Weils formodninger kjente, men lite publisert. Kanskje hans eget temperament hindret ham i å prøve å sette seg i en posisjon til å konkurrere med Hilbert. John von Neumann produserte en liste, men den fikk ikke universell anerkjennelse.

Ved første øyekast kan denne suksessen tilskrives eminensen til forfatteren av problemene. Hilbert var på høyden av sin makt og rykte på den tiden og fortsatte å lede den fremragende matematikkskolen ved Universitetet i Göttingen . En mer nøye undersøkelse viser at saken ikke er så enkel.

Matematikken på den tiden var fortsatt diskursiv: tendensen til å erstatte ord med symboler og appellere til intuisjon og begreper med ren aksiomatikk var fortsatt dempet, selv om den ville bli sterk i løpet av neste generasjon. I 1900 var Hilbert ikke i stand til å vende seg til aksiomatisk settteori , Lebesgue-integralet , topologiske rom eller kirkens avhandling , som ville endre deres respektive felt permanent. Funksjonsanalyse , grunnlagt på en bestemt måte av Hilbert selv som den sentrale forestillingen om symbolene til Hilberts rom , hadde ennå ikke blitt differensiert fra variasjonsregningen ; det er i listen over variasjonsmatematikkproblemer, men ingenting, som uskyldig kan antas, om spektralteori (oppgave 19 har en sammenheng med hypoelliptisitet ).

Listen var ikke prediktiv i den forstand: den klarte ikke å fange opp eller forutse den meteoriske økningen av topologi , gruppeteori og måleteori på 1900-tallet, akkurat som den ikke klarte å forutse hvordan logikken ville utvikle seg . Derfor er dens dokumentariske verdi samme som et essay : en delvis, personlig visjon. Den foreslår noen forskningsprogrammer og noen retninger å følge uten et konkret mål.

Faktisk ga mange av spørsmålene en feilaktig fremstilling av den profesjonelle matematikeren på 1800-tallet, eller til og med 1950, ved at formen av en løsning på et godt spørsmål ville ha form av en artikkel publisert i et matematisk tidsskrift . Hvis dette var tilfellet for alle tjuetre problemene, ville kommentaren blitt forenklet til det punktet at den kunne gi en referanse til et tidsskrift, eller vurdere spørsmålet fortsatt åpent. I noen tilfeller anses språket som brukes av Hilbert fortsatt som noe "omsettelig", når det gjelder den virkelige betydningen av problemformuleringen (i mangel, gjentar vi, av aksiomatiske grunnlag, basert på ren matematikk , som begynner med Hilberts eget arbeid om euklidisk geometri , gjennom Principia Mathematica , og slutter med Bourbaki-gruppen og "intellektuell terrorisme" for å fullføre jobben). Oppgave 1 og 5 er, kanskje overraskende, i en mindre tydelig formulering (se merknader). I tilfeller som den tjuende kunne problemet rimeligvis leses i en relativt tilgjengelig "intern" versjon, der leseren kan vite hva Hilbert siktet til; eller som en "ekstern" og spekulativ penumbra.

Når alt dette er sagt, er derfor den viktigste årsaken den store hastigheten som Hilberts liste ble akseptert med av det matematiske samfunnet på den tiden (som er en mindre konvensjonell formel enn den er nå, siden det på den tiden var få ledende forskere, hvem de vanligvis var i noen få europeiske land og alle kjente hverandre). Problemene ble studert med stor oppmerksomhet; løse et bygget omdømme.

Stilen var minst like innflytelsesrik som innholdet i sakene. Hilbert ba om avklaring. Han ba om prinsippløsninger på algoritmiske spørsmål, ikke på praktiske algoritmer . Han ba om en styrking av grunnlaget for deler av matematikken som for ikke-utøvere fortsatt så ut til å være styrt av ugjennomsiktige intuisjoner ( Schuberts kalkulus og enumerativ geometri ).

Disse holdningene ble adoptert av mange følgere, selv om de også ble diskutert, og fortsetter å være det. Tretti år senere hadde Hilbert skjerpet sin holdning: se ignorabimus .

Problemene som Hilberts manifest

Det er helt klart at problemlisten, og dens måte å diskutere på, var ment å være innflytelsesrik. Hilbert sviktet ikke forventningene til det tyske akademiet når det gjelder imperiumbygging, programmatisk verb og eksplisitt etablering av en retning og territoriell krav for en skole. Ingen snakker om 'Hilbert-skolen' i disse termene lenger; De likte heller ikke Hilberts problemer i sin tid som om han gjorde Felix Kleins Erlangen - program . Klein var en kollega av Hilbert, og Hilberts liste var mye mindre preskriptiv til sammenligning. Michael Atiyah har karakterisert Erlangen-programmet som prematurt. Hilberts problemer viste derimot ekspertens evne til å lete etter det rette øyeblikket.

Hvis 'Hilbert-skolen' har en betydning, refererer den muligens til operatørteori og stilen til teoretisk fysikk som tok Hilbert-Courant- volumene som kanoniske. Som nevnt tidligere, angir ikke listen direkte problemer i spektralteori. Han ga heller ikke relevans til kommutativ algebra (den gang kjent som teorien om idealer ), hans viktigste algebraiske bidrag og største bekymring i sine dager fra teorien om invarianter ; som uten tvil ville vært mer på linje med Klein. Heller ikke, i det minste overfladisk, forkynte han mot Leopold Kronecker , motstanderen til Georg Cantor , som han hadde lært mye av, men hvis holdninger han nesten avskyr (som dokumentert i Constance Reids biografi). Leseren kunne trekke brede konklusjoner fra tilstedeværelsen av settteori øverst på listen.

Teorien om funksjoner av kompleks variabel , grenen av klassisk analyse som enhver ren matematiker bør vite om, er stort sett neglisjert: verken Bieberbach-formodningen eller noe annet interessant spørsmål bortsett fra Riemann-hypotesen . Et av Hilberts strategiske mål var å sette kommutativ algebra og teorien om komplekse funksjoner på samme nivå; dette vil imidlertid ta 50 år (og har ennå ikke resultert i bytte av spillesteder).

Hilbert hadde en liten jevnaldrende gruppe: Adolf Hurwitz og Hermann Minkowski var begge nære venner og intellektuelle likemenn. Det er et nikk til Minkowskis tallgeometri i oppgave 18, og til hans arbeid med kvadratiske former i oppgave 11. Hurwitz var den store utvikleren av Riemanns overflateteori . Hilbert brukte feltet funksjonsanalogi , en guide til algebraisk tallteori gjennom bruk av geometriske analoger, for å utvikle feltet klasseteori innenfor sin egen forskning, og dette gjenspeiles til en viss grad i oppgave 9. i oppgave 12, og i oppgave 21 og 22. På den annen side var Hilberts eneste rival i 1900 Henri Poincaré , og den andre delen av oppgave 16 er et spørsmål i Poincaré-stil om dynamiske systemer .

To dusin runde

Hilbert inkluderte opprinnelig 24 problemer på listen sin, men bestemte seg for å ekskludere ett av dem fra den publiserte listen. Det "tjuefjerde problemet" (i bevisteori, på et kriterium om enkelhet og generelle metoder) ble gjenoppdaget i 2000 av den tyske historikeren Rüdiger Thiele , innenfor Hilberts originale håndskrevne notater.

Sammendrag

Av Hilberts klart uttalte problemer har oppgavene 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 og 20 en konsensusløsning. På den annen side har oppgavene 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 og 22 delvise akseptløsninger, men det er en del uenighet om hvorvidt løsningen faktisk løser problemet.

Som 18-åring uttaler han at løsningen på Keplers ligning er et dataassistert bevis , en anakronistisk forestilling om et Hilbert-problem og noe kontroversielt fordi en menneskelig leser ikke kan bekrefte det i rimelig tid.

Dette etterlater 8 ( Riemann-hypotesen ) og 12 uløste , begge innenfor tallteori . I denne klassifiseringen er 4, 6 og 16 for vage til en dag å bli erklært løst. Pensjonert oppgave 24 ville også falle inn i denne klassen.

Liste over problemer

Hilberts tjuetre problemer er som følger:

Problem kortfattet forklaring problemstatus
1. _ Kontinuumhypotesen (det vil si at det ikke er noe sett hvis størrelse er strengt tatt mellom rasjonalene og de reelle tallene ). Umuligheten av å bevise at det er sant eller usant har blitt bevist av Zermelo-Fraenkel-aksiomene . Det er ingen konsensus om å vurdere dette som en løsning på problemet. [ 1 ]
2 Bevis at aksiomene til aritmetikk er konsistente (det vil si at aritmetikk er et formelt system som ikke antar en selvmotsigelse ). Delvis løst: det er de som hevder at det har vist seg umulig å etablere et konsistent, finitært og aksiomatisk system; [ 2 ] Imidlertid beviste Gentzen i 1936 at konsistensen av aritmetikk følger av ordinalens soliditet , et faktum som er underlagt kombinatorisk intuisjon.
3. _ Gitt to polyeder med likt volum , er det alltid mulig å kutte den første i et begrenset antall polyedere som kan settes sammen for å lage den andre? Løst. Resultat: nei, testet med Dehn-invarianter .
4 Konstruer alle beregninger hvis linjer er geodesiske . For lat til å bestemme om det er løst eller ikke. [ 3 ]
5 Er kontinuerlige grupper automatisk differensialgrupper ? Løst av Andrew Gleason (1952).
6 Aksiomatiser all fysikk .
7 Er a  b transcendental , med a ≠ 0,1 algebraisk og b irrasjonell algebraisk? Løst. Resultat: ja, illustrert ved Gelfonds teorem eller Gelfond-Schneider-teorem .
8 Riemann-hypotesen ( den reelle delen av enhver ikke- triviell null av Riemann zeta-funksjonen er ½), og Goldbach-antagelsen (hvert partall større enn 2 kan skrives som summen av to primtall ). Uten å løse. [ 4 ]
9 Finne den mest generelle loven for gjensidighetsteoremet på ethvert algebraisk tallfelt . Delvis løst. [ 5 ]
10 Finn en algoritme som bestemmer om en gitt polynomisk diofantligning med heltallskoeffisienter har en heltallsløsning. Løst. Resultat: Matiyasevichs teorem ( 1970 ) innebærer at det ikke finnes en slik algoritme.
11 Løs kvadratiske former med numeriske algebraiske koeffisienter . Delvis løst:
12 Utvid Kronecker-Weber-teoremet om abelske utvidelser av rasjonelle tall til et hvilket som helst grunntallsfelt . Uten å løse.
13 Løs alle 7. grads ligninger ved å bruke to- parameter funksjoner . Negativt løst av Vladimir Arnold og Andrei Kolmogorov i 1957 .
14 Bevis endeligheten til visse komplette funksjonssystemer. Løst. Resultat: ikke, generelt, på grunn av et moteksempel, Nagata ( 1962 ).
15 Strenge grunnlag for Schuberts oppregningsregning . Delvis løst, Van der Waerden på slutten av 1930-tallet .
16 Topologi av kurver og algebraiske overflater. Uten å løse.
17 Uttrykk for en rasjonell bestemt funksjon som en kvotient av summer av kvadrater . Løst. Resultat: Det ble satt en øvre grense for antall kvadratledd som trengs, Pfister ( 1967 ). Den negative løsningen generelt skyldes Du Bois ( 1967 ).
18 Finnes det et uregelmessig polyeder og hva bygger andre polyedere ? Hva er den tetteste kompakte stablingen ? Løst. [ 6 ]
19 Er løsninger av lagrangianere alltid analytiske ? Løst av Bernstein ( 1904 ). Resultat: ja.
20 Har alle variasjonsproblemer med visse grensebetingelser en løsning ? Løst. Det har vært et viktig forskningsområde i løpet av det 20. århundre, og kulminerte med løsninger på den ikke-lineære saken.
21. _ Bevis eksistensen av lineære differensialligninger som har en foreskrevet monodrom gruppe . Løst. Resultat: ja eller nei, avhengig av en mer nøyaktig formulering av problemet. I følge Gray, løst negativt av Anosov og Bolibruch ( 1994 ).
22 Uniformisering av analytiske relasjoner ved hjelp av automorfe funksjoner . Løst av Koebe ( 1907 ) og Poincaré uavhengig av hverandre ( 1907 ).
23. _ Utvidelse av metodene for variasjonsregning . Uten å løse.

Se også

Notater og referanser

  1. ^ Cohens uavhengighetsresultat, som viser at kontinuumhypotesen er uavhengig av ZFC ( Zermelo–Fraenkel-aksiomene , utvidet til å inkludere valgaksiomet ) blir ofte sitert for å rettferdiggjøre at det første problemet er løst. Et moderne syn er at det kan være slik at settteori bør ha ytterligere aksiomer som er i stand til å løse situasjonen.
  2. ↑ Meningssak, ikke delt av alle. Gentzens resultat viser ganske nøyaktig hvor mye antakelse som må gjøres for å bevise at Peanos aksiomer er konsistente. Det er generelt antatt at Gödels ufullstendighetsteorem viser at det ikke er noe finitistisk bevis for at AP-er er konsistente (selv om Gödel selv avslo å ha gjort denne slutningen [bedre referanse nødvendig for dette, men jf. Dawson s.71ff» ... mente Gödel også [som Hilbert] at intet matematisk problem var utenfor rekkevidden av menneskelig fornuft, likevel viste resultatene hans at Hilberts foreslåtte program for å validere denne troen – hans bevisteori – ikke kunne gjennomføres. utført slik Hilbert ønsket" (s.71) Se også s.98ff for mer om 'endelig prosedyre').
  3. ↑ I følge Rowe og Gray (se referanse nedenfor), er de fleste problemene løst. Noen var ikke fullstendig definert, men det er gjort nok fremskritt på dem til å bli ansett som "løst"; Rowe og Gray lister opp det fjerde problemet som for vagt til å avgjøre om det er løst.
  4. ↑ Oppgave 8 inneholder to kjente problemer, begge fortsatt uløste. Den første av disse, Riemann-hypotesen , er en av de syv prisproblemene i årtusenet , som var ment å være "Hilbert-problemene" i det 21. århundre .
  5. ↑ Oppgave 9 har blitt løst i det abelske tilfellet , ved å utvikle teorien om klassefelt ; det ikke-abelske tilfellet forblir uløst, hvis det tolkes som feltteori for ikke-abelske klasser .
  6. ↑ Rowe og Gray lister også opp det 18. problemet som "åpent" i boken deres fra 2000, fordi det kompakte stableproblemet (også kjent som Kepler-formodningen ) var uløst, men en løsning har siden blitt foreslått (se i referanser).

problem 2:

Det som følger kommer fra Nagel og Newman, s. 96 og 97: "Dette imponerende resultatet av Godels analyse bør ikke misforstås: det utelukker ikke et meta-matematisk bevis på aritmetikkens konsistens. Det det utelukker er et bevis på konsistensen som kan gjenspeiles i de formelle deduksjonene av aritmetikken. Notat til fot 29. [Dette notatet gir et eksempel på tredeling av en vinkel (det er mulig, men ikke med rettekant og kompass ).] Faktisk er det konstruert metamatematiske bevis på konsistensen av aritmetikk, spesielt Gerhard ' s 1936 Gentzen , medlem av Hilbert-skolen, og av andre siden fotnote 30" [Note 30: Beskriver Gentzens bevis, som bruker transfinitt induksjon; "30: Gentzens bevis avhenger av å ordne alle aritmetikkbevis i lineær rekkefølge i henhold til deres grad av 'enkelhet'... men Gentzens argument kan ikke kartlegges på aritmetikkens formalisme. Mer ennå, selv om de fleste forskere ikke stiller spørsmål ved betydningen av aritmetikken. beviset, det er ikke endelig i betydningen av Hilberts opprinnelige bestemmelser om et absolutt bevis på konsistens ."[kursiv lagt til]..."Men disse [metamatematiske] bevisene kan de ikke representeres innenfor den aritmetiske beregningen; og siden de er ikke-endelige, de oppnår ikke målene som er proklamert av Hilberts originale program."

Goldstein gir en definisjon av et "formelt finalistisk system":

"... endelige formelle systemer ... formelle systemer med et begrenset eller tellbart (eller tellbart) alfabet av symboler, fbds [veldefinerte formler] av endelig størrelse, og slutningsregler som bare involverer et begrenset antall premisser. (The Logikere arbeider også med formelle systemer med utallige alfabeter, med fbds av uendelig størrelse, og med bevis på uendelige premisser.» (s. 144, fotnote 7)

Bibliografi

Eksterne lenker

 Hilbert problemer