Hilberts tjueførste problem

Hilberts tjueførste problem (en av de såkalte tjuetre Hilbert-problemene , publisert i 1900 av den tyske matematikeren David Hilbert ), gjelder eksistensen av en viss klasse lineære differensialligninger med spesifiserte entallspunkter og monodromi .

Erklæring

Det opprinnelige problemet ble uttrykt som følger (oversettelse av en engelsk versjon fra 1902):

Bevis på eksistensen av lineære differensialligninger med en foreskrevet monodrom gruppe I teorien om lineære differensialligninger med én uavhengig variabel z, ønsker jeg å peke på et viktig problem som svært sannsynlig Bernhard Riemann selv kan ha hatt i tankene. Dette problemet er som følger: For å vise at det alltid eksisterer en lineær differensialligning av klassen Fuchsian , med gitte entallspoeng og monodromi . Problemet krever produksjon av n funksjoner av variabelen z, regelmessig gjennom det komplekse z-planet bortsett fra ved de gitte entallspunktene; ved disse punktene kan funksjonene bli uendelige av bare endelig rekkefølge, og når z beskriver kretsløp rundt disse punktene, vil funksjonene gjennomgå de foreskrevne lineære substitusjonene . Konstant telling har vist at eksistensen av slike differensialligninger er sannsynlig, men det strenge beviset har så langt kun blitt oppnådd i det spesielle tilfellet der de grunnleggende ligningene til de gitte substitusjonene alle har røtter av absolutt størrelsesenhet.  () har gitt dette beviset, basert på Poincarés teori om den fuchsiske zeta-funksjonen . Teorien om lineære differensialligninger ville åpenbart ha et mer fullstendig utseende hvis problemet som er skissert her kunne løses ved en helt generell metode . [ 1 ]

Definisjoner

Faktisk er det mer passende å ikke snakke om differensialligninger, men om lineære systemer av differensialligninger: for å realisere enhver monodromi ved hjelp av en differensialligning må man generelt innrømme tilstedeværelsen av ytterligere tilsynelatende singulariteter, det vil si, singulariteter med lokal monodromi triviell. I mer moderne språkbruk er de aktuelle (systemene med) differensialligninger de som er definert i det komplekse planet , minus noen få punkter, og med en regulær singularitet på dem. En strengere versjon av problemet krever at disse singularitetene er fuksiske , det vil si førsteordens poler (logaritmiske poler). En monodromi er foreskrevet av en endelig dimensjonal kompleks representasjon av den grunnleggende gruppen av komplementet på Riemann-sfæren av disse punktene, pluss uendelighetspunktet , opp til ekvivalens. Den grunnleggende gruppen er faktisk en fri gruppe , i "løkker" som går rundt hvert manglende punkt én gang, og starter og slutter ved et gitt basispunkt . Spørsmålet er om anvendelsen av disse fuchsiske ligningene på representasjonsklasser er surjektiv .

Historie

Dette problemet kalles oftere Riemann-Hilbert-problemet . Det er en moderne versjon ( modulo D og avledet kategori ), " Riemann-Hilbert-korrespondansen " i alle dimensjoner. Historien om bevis som involverer en enkelt kompleks variabel er komplisert. Josip Plemelj publiserte en løsning i 1908. Dette verket ble lenge akseptert som en definitiv løsning. En artikkel av George David Birkhoff ble også publisert i 1913, men hele området, inkludert Ludwig Schlesingers arbeid med isomonodromiske deformasjoner som skulle gjenopplives mye senere i forbindelse med soliton , falt av moten. Plemelj (1964) skrev en monografi som oppsummerte arbeidet hans. Noen år senere begynte den sovjetiske matematikeren Yuliy S. Il'yashenko og andre å så tvil om Plemeljs arbeid. Faktisk beviste Plemelj riktig at enhver monodromigruppe kan realiseres med et vanlig lineært system som er Fuchsian på alle punkter bortsett fra ett. Plemeljs påstand om at systemet også kan gjøres Fuchsian på siste punkt er feil. (Il'yashenko har vist at hvis en av monodromioperatørene er diagonaliserbar, så er Plemeljs utsagn sann.) [ 2 ]

Faktisk fant Andrei Bolibrukh (1990) [ 3 ] et moteksempel til Plemeljs utsagn. Det blir ofte sett på som et moteksempel på det nøyaktige spørsmålet Hilbert hadde i tankene. Bolibrukh viste at for en gitt polkonfigurasjon kan visse monodromigrupper realiseres av vanlige systemer, men ikke Fuchsian (i 1990 publiserte han den uttømmende studien av tilfellet med vanlige systemer av størrelse 3 som viser alle situasjonene der slike moteksempler eksisterer i 1978 Dekks hadde vist at Plemeljs utsagn er sant for systemer av størrelse 2. Andrei Bolibrukh (1992) og uavhengig  () viste at for enhver størrelse kan en irreduserbar monodromigruppe realiseres av et fuchsisk system av mangfoldet av monodromigrupper av vanlig størrelse systemer med poler som ikke kan realiseres av fuchsiske systemer er lik ( Vladimir Petrov Kostov (1992) ).Parallelt med disse verkene hadde Grothendieck-skolen for algebraisk geometri vært interessert i spørsmål om "integrerbare forbindelser i algebraiske varianter", og generaliserte teorien av di likninger lineære differensialer på Riemann-overflater . Pierre Deligne demonstrerte en presis Riemann-Hilbert-korrespondanse i denne generelle sammenhengen (et viktig poeng er å begrense hva 'Fuchsian' betyr). Med arbeidet til Helmut Röhrl ble saken dekket igjen i en kompleks dimensjon.

Se også

Referanser

  1. ↑ Clarku.edu; Hilbert problemer
  2. ↑ Ю. С. Иьяшенко, « нелинейная пробема римана - гиьберта », дифференциаьные уравнения с веществен fair и комексмебрем времексмебр. МИАН, 213, Наука, M., 1997, s. 10-34.
  3. ↑ А. А. Болибрух, «Проблема Римана — Гильберта на комплексной проективной прямой» , Матем. заметки, 46:3 (1989), 118-120

Bibliografi

Eksterne lenker

 Hilbert problemer