Hilberts femte problem

Hilberts femte problem (en av de såkalte tjuetre Hilbert-problemene , publisert i 1900 av den tyske matematikeren David Hilbert ), gjelder karakteriseringen av Lie-gruppen .

Lie gruppeteori beskriver kontinuerlig symmetri i matematikk; dens betydning på dette feltet og i teoretisk fysikk (for eksempel i forskning på kvarker ) vokste jevnt og trutt på 1900-tallet. Generelt sett er Lie-gruppeteori det felles grunnlaget for gruppeteori og topologisk mangfoldig teori . Hilberts spørsmål fokuserte nøyaktig på følgende spørsmål:

Gjør det noen forskjell om det settes en begrensning på differensierbare manifolder ?

Det forventede svaret var negativt ( klassiske grupper , de mest sentrale eksemplene i Lie gruppeteori, er glatte manifolder). Dette ble endelig bekreftet tidlig på 1950-tallet. Siden Hilbert ikke hadde den presise forestillingen om «manifold», er det rom for en del debatt om problemformuleringen i moderne matematisk språk.

Klassisk formulering

En formulering som ble akseptert i en lengre periode var at poenget var å karakterisere Lie-grupper som topologiske grupper som også var topologiske mangfoldigheter . I nærmere termer enn Hilbert ville ha brukt, nær det nøytrale elementet e i den aktuelle gruppen G , er det et åpent sett U i det euklidiske rommet som inneholder e , og på en åpen delmengde V av U er det en kontinuerlig funksjon :

F  : V × V → U

som tilfredsstiller gruppen der de er definert. Dette er et fragment av en typisk lokalt euklidisk topologisk gruppe . Problemet er da å vise at F er en uendelig differensierbar funksjon nær e (siden topologiske grupper er homogene rom , like overalt som nær e ).

En annen måte å si det på er at den mulige uendelig differensierbare funksjonen til F ikke spiller noen rolle: gruppeaksiomene kollapser hele området C  k .

Løsning

Det første viktige resultatet var det av John von Neumann i 1933, [ 1 ] for kompakte grupper . Den lokalt kompakte abelske gruppesaken ble løst i 1934 av Lev Pontriaguin . Den endelige resolusjonen, i det minste på denne tolkningen av hva Hilbert mente, kom i arbeidet til Andrew Gleason , Deane Montgomery og Leo Zippin på 1950-tallet.

I 1953 fikk Hidehiko Yamabe det endelige svaret på Hilberts femte problem: [ 2 ]

Hvis en lokalt koblet kompakt gruppe G er en invers grense for en sekvens av Lie-grupper, og hvis G har "ingen små undergrupper" (en betingelse definert nedenfor), så er G en Lie-gruppe.

Spørsmålet er imidlertid fortsatt omdiskutert, ettersom det har vært andre lignende påstander i litteraturen, hovedsakelig basert på ulike tolkninger av Hilberts uttalelse om problemet gitt av forskjellige forskere. [ 3 ]

Mer generelt er enhver lokalt kompakt og kvasi-tilknyttet gruppe den prosjektive grensen for en Lie-gruppe. Hvis vi vurderer en lokalt kompakt generell gruppe G og den tilkoblede komponenten av identiteten G 0 , har vi en gruppeutvidelse

G 0 → G → G / G 0 .

Som en totalt frakoblet gruppe har G / G 0 en åpen kompakt undergruppe, og tilbakesporet G′ til en slik åpen kompakt undergruppe er en nesten koblet åpen undergruppe av G . På denne måten har vi en jevn struktur på G , siden den er homeomorf til ( G′ × G′  )/ G 0 , hvor G′ / G 0 er en diskret mengde.

Alternativ formulering

Et annet syn er at G bør behandles som en transformasjonsgruppe , snarere enn en abstrakt form. Dette fører til formuleringen av Hilbert-Smith-formodningen , som ble bevist i 2013.

Ingen små undergrupper

En viktig betingelse i teorien er " ingen små undergrupper " . En topologisk gruppe G , eller en del av en gruppe som F ovenfor, sies å ikke ha noen "små undergrupper" hvis det er en N nabo til e som ikke inneholder en undergruppe som er større enn { e }. . For eksempel tilfredsstiller den sirkulære gruppen betingelsen, mens de p -adiske heltall Z p som en additiv gruppe ikke gjør det, fordi N vil inneholde undergruppene: p k  Z p , for alle store heltall k . Dette gir en ide om hvor vanskelig problemet er. Når det gjelder Hilbert-Smith-formodningen, er dette en kjent reduksjon av hvorvidt Zp kan virke trofast på en lukket manifold . Gleason, Montgomery og Zippin karakteriserte Lie-grupper blant lokalt kompakte grupper , som å ha ingen små undergrupper.

Uendelige dimensjoner

Forskere har også vurdert Hilberts femte problem uten å anta endelig dimensjonalitet . Det siste kapittelet av Benyamini og Lindenstrauss diskuterer Per Enflos avhandling , om Hilberts femte problem uten kompakt plass .

Se også

Referanser

  1. ^ John, von Neumann (1933). «Die Einführung analytischer parameter in topologischen Gruppen». Annals of Mathematics 34 (1): 170-190. JSTOR  1968347 . doi : 10.2307/1968347 . 
  2. ↑ I følge Morikuni (1961, s. i)
  3. ^ For en gjennomgang av slike påstander (om enn fullstendig ignorert Yamabes bidrag) og for en ny, se Rosinger (1998, s. xiii–xiv og s. 169–170)

Bibliografi


 Hilbert problemer