Imaginært tall

I matematikk, spesielt i algebra, er et imaginært tall et komplekst tall hvis reelle del er lik null. For eksempel er et imaginært tall, akkurat som eller er også imaginære tall. Generelt er et imaginært tall av formen , hvor er et reelt tall . $3i\$ $Yo\$ $-Jo\$ $z=y\,i$ $Y$

Definisjon

Imaginære tall kan uttrykkes som produktet av et reelt tall ganger den imaginære enheten i , der bokstaven i betegner kvadratroten av -1 , det vil si:

z=y\,i

I kvadratrot er de imaginære tallene resten av en negativ rot; dvs. i: kvadratroten av -1, -2, -3, -4 osv.

Utseende og bruksområder

Historie og opprinnelse

Sjangeren for komplekse/imaginære tall ble oppfunnet av Raffaelle Bombelli , en italiensk matematiker og ingeniør fra 1500-tallet. Begrepet imaginære tall ble skapt av René Descartes , i sin avhandling Geometry , i motsetning til Bombellis teorier. [ 1 ]

Det var i år 1777 da Leonhard Euler ga navnet i , for imaginært, på en nedsettende måte, noe som antydet at det ikke hadde noen reell eksistens. Gottfried Leibniz sa på 1600-tallet om " en art av amfibier mellom væren og ingenting ". $\sqrt{-1}$ $\sqrt{-1}$

I elektroteknikk og relaterte felt er den imaginære enheten ofte betegnet j for å unngå forvirring med styrken til en elektrisk strøm , tradisjonelt betegnet i .

Kronologi

År	Hendelse [ 2 ]
1572	Rafael Bombelli utfører beregninger ved hjelp av imaginære tall.
1777	Leonhard Euler bruker symbolet "i" for å representere kvadratroten av -1.
1811	Jean-Robert Argand lager den grafiske representasjonen av det komplekse planet også kjent som Argand-planet

Andre representasjoner

Som et ordnet par reelle tall, betegner vi z = (0, y)
Trigonometrisk er z = r•cos(π/2) + r•sin(π/2)•i, der r er et hvilket som helst reelt tall.

Geometrisk tolkning

Geometrisk er de imaginære tallene representert på den vertikale aksen til det komplekse planet og derfor vinkelrett på den reelle aksen , som er horisontal, det eneste elementet de deler er null, siden . Denne vertikale aksen kalles den "imaginære aksen" og er betegnet som , , eller ganske enkelt . I denne representasjonen har vi: $0=0i$ $i\mathbb{R}$ $\mathbb{I}$ $\jeg er$

en multiplikasjon med –1 tilsvarer en rotasjon på 180 grader om origo.

En multiplikasjon med tilsvarer en 90-graders rotasjon i "positiv" ( mot klokken ), og kvadratet av ligningen kan tolkes som å gjøre to 90-graders rotasjoner om origo, tilsvarende en 180-graders rotasjon, . $Yo$ $i^2 = -1$ $-1$

En 90-graders rotasjon i "negativ" (urviser) retning tilfredsstiller også denne tolkningen, siden det også er en løsning på ligningen . $- Jo$ $x^2 = -1$

Generelt er det å multiplisere med et komplekst tall det samme som å roteres rundt origo med argumentet for komplekse tall , etterfulgt av skalering etter størrelsen.

Egenskaper

$\vdots$
$i^{-3}=\;\;\;i$
$i^{-2}=-1$
$i^{-1}=-i$
$i^{0}\;\;=\;\;\;1$
$i^{1}\;\;=\;\;\;i$
$i^{2}\;\;=-1$
$i^{3}\;\;=-i$
$i^{4}\;\;=\;\;\;1$
$i^{5}\;\;=\;\;\;i$
$i^{6}\;\;=-1$
$\vdots$
$i^{n}\;\;=\;\;\;i^{n\operatørnavn {mod} 4}$ ( mod representerer resten )
$\vdots$

Hvert imaginært tall kan skrives som hvor er et reelt tall og er den imaginære enheten. $ib$ $b$ $Yo$

Demonstrasjon
Hvordan må du: $i^2 = -1$ $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=b^{2}(-1)=-b^{2}\;$ som er et reelt tall. La være et negativt reelt tall, vi har: $-b$ ${\sqrt {-b}}={\sqrt {(-1)b}}$ $={\sqrt {-1}}{\sqrt {b}}$ $=i\;{\sqrt {b}}$ $={\sqrt {b}}\;i.$

Hvert komplekst tall kan skrives unikt som en sum av et reelt tall og et imaginært tall, slik:

$a + bi \,\!$

Det imaginære tallet i kalles også en imaginær konstant.

Disse tallene utvider settet med reelle tall til settet med komplekse tall . $\R$ $\mathbb{C}$

På den annen side kan vi ikke anta at imaginære tall har den egenskapen, i likhet med reelle tall, å kunne ordnes etter deres verdi. [ 3 ] Det vil si at det er riktig å si at , og at ; dette er fordi og . Denne regelen gjelder ikke for imaginære tall, på grunn av et enkelt bevis: $1>0$ $-1<0$ $1-0>0$ $-1-0<0$

Husk at i reelle tall er produktet av to reelle tall, si a og b , der begge er større enn null, lik et tall større enn null. For eksempel er det rimelig å si at , , derfor, , så har vi det , og åpenbart . $a = 2 > 0$ $b = 3 > 0$ $(a)(b)=c > 0$ $(2)(3) = 6$ $6>0$

På den annen side, anta at , så har vi det , som åpenbart er usant. $i>0$ $-1 = (i)(i) > 0$

Og på samme måte, la oss anta feil at , men hvis vi multipliserer med , sitter vi igjen med . Derfor må vi . Som er, i likhet med den forrige antagelsen, helt feil. $jeg < 0$ $-1$ $-i > 0$ $-1 = (-i)(-i) > 0$

Vi vil konkludere med at denne antakelsen og enhver annen for å prøve å gi en ordinalverdi til imaginære tall er helt feil.

Applikasjoner

Den imaginære enheten kan brukes til å formelt få kvadratrøttene til negative tall.
På samme måte er kvadratrøttene til et imaginært tall komplekse tall, der ett av dem har formen k ( cos π/4 + i sin π/4) hvor k er et hvilket som helst reelt tall.

I kvantefysikk gjør den imaginære enheten det mulig å forenkle den matematiske beskrivelsen av tidsvarierende kvantetilstander.
I kretsteori og vekselstrøm brukes den imaginære enheten til å representere visse mengder som fasorer , noe som tillater en enklere algebraisk behandling av nevnte størrelser.

Se også

Wiktionary har definisjoner og annen informasjon om imaginært tall .

Klassifisering av tall

komplekser

:\;\mathbb {C}

Kongelige

:\;\mathbb {R}

rasjonell

:\;\mathbb {Q}

heltall

:\;\mathbb {Z}

naturlig

:\;\mathbb {N}

Null : 0

Referanser

^ "Imaginaries" . Forskning og vitenskap . Hentet 27. november 2018 .
↑ Tony Crilly (2011). 50 ting å vite om matematikk . Red. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9 .
↑ Paul J. Nahin: Dette er ikke ekte. Historien om i . Bibliotek: Mexico, 2008.